C. sia 1" 5,3i44a5i c la — 7,65o

aMerme = «— 28' 36r/2 3,2345577 (*:«)* 8,2211626

(z:«)' 8,8141084 C. sin 1" ".. 5,3i4425i

3* tenne = + 1.51,92,0486661 — i5",4 — 1,1861 1 10

4e terme = — i5,4 (s : a)* 8,8141084

5« terme = -f- 2,5 f = 2,5 0,3979400

5 termes == -f- 14° 10' 42"6 — 2*,5 — 0,3981594

Astronomie, tome II, page 29, j'ai trouvé,

2* terme =

3" terme = -{-

3 termes — 4* terme s= —

valeur exacte =5= -f- 14.10.41,8. .

Si je m'en tiens aux trois premiers termes, j'ai, à o",2 près, la même valeur que par cinq termes de la série de Keill ; si je prends quatre termes , j'ai o",8 de moins que Keill , qui les a de trop ; les termes négligés par Keill , tels que ceux qui résulteraient de <f, auraient peut-être corrigé cette légère erreur. 11" parait donc que la série de Keill pourrait s'employer pour Mercure; ce qui a pu lui paraître suffisant ; mais il n'en résulte pas moins que ma série

KEILL. i6L) est plus convergente et demande moins de calculs. Mon premier ierme n'est en erreur que de 8' 3G",7 ; celui do Keill de aG' U7". Mon second terme réduit l'erreur à — 1"; cc'ui de Keill la réduit à l'3çf, Après le troisième, je suis en erreur de o",(i , Keill de 1 3". Après le quatrième , je ne suis en erreur que de o",»02, et Keill de a",5. On voit par la que souvent je pourrais m'arrêter après le second terme. Voilà donc enfin dans le livre de Keill un calcul qui mentait d'être examiné; c'est aussi à peu près le seul endroit que Weidler recommande à l'attention des astronomes.

Keill va traiter le même problème par la méthode «le Newton.

Au lieu de prendre AN proportionnel au temps qui donnerait QJN = SF, cherchons l'arc qui serait égal à CS = excentricité = plus grande valeur

CS

possible de SF. Cet arc en secondes serait Newton fait CS = 57°,29578 ;

il fait B = log 57%2g578, D = SF; log D = log B -f- log sin ACQ. Soit jM'scs D; si la supposition est bonne, le point estimé P coïncidera avec le point Q. Mais si l'estime est inexacte, le point P tombera au-dessus ou au-dessous du point Q (fig. 27).

« Soit ASy l'aire proportionnelle au temps , et sur qC abaissons la perpendiculaire SE, qui sera égale à INy ; SE — SF = LE à fort peu près, sera l'erreur de la supposition , et nous aurons Vq =LE à peu près. Or, si yCQ est un petit angle, nous aurons CE : Gj :: LE : Q7 :: QP — Qq *. Qq; d'où l'on tire

CZ+C, : O, :: QP : Qî-= £2*- Jj^g,

CE = e cos x: donc. . . . Qq = — r^- = -2Là fort peu près. »

On voit que Qq est la correction à faire à l'anomalie supposée x = AQ , et PQ l'erreur résultant de la supposition (*). C'est donc une équation diflê-

(*) Dana ce qui précède , Keill se propose de montrer comment on peut trouver l'anomalie excentrique Aq , quand on connaît le demi-grand axe AC, l'excentricité SC, et l'anomalie moyenne AN. Puisque l'on a toujours N<7 = SE; la plus grande valeur deNq sera SC converti en degrés, ou R»SC= ty.OQfyft SC. Supposons que l'on retranche de AN un certain arc hypothétique NQ moindre que SC, le reste AQ sera une première valeur de l'anomalie excentrique qu'il s'agit de corriger. Soit NP l'arc égal à SF , on auraNP=R»SC sin AQ par le triangle rectangle SCF. L'estime de NQ sera bonne, et AQ sera effectivement l'anomalie excentrique , si cette valeur de NP — NQ. Mais si le calcul donne NP plus petit que NQ , ce sera une preuve que l'anomalie AQ est trop petite. Astr. au i8* siècle. a a

rcnticllc que nous trouvons aujourd'hui d'une manière Lien plus claire et

bien plus simple , en diffcrcntiant l'équation de Kepler s = x -f- e sin x , qui

donne dz = dx -f- e cos xdx = dx ( 1 -f- e cos x) \ d'où dx = — -^j-p Mais

11a reconnaît encore là cette obstination inconcevable à rejeter le calcul algébrique, pour tout ramènera des constructions pénibles et tout démontrer, comme disaient les Grecs, yp *ft(t*a»K, par des lignes.

11 l'applique à Mars; on ne voit pas pourquoi il ne préfère pas Mercure. On dirait qu'il craint de laisser voir les imperfections de la méthode; et c'est là précisément ce qu'il importait de montrer. Il n'est pas inutile de refaire

Comme l'on aura la différence NQ — NP == PQ , on ponrra calculer la correction

Qq sa = — , à trèi peu près , et AQ + Qq = Aq sera U véritable

C1 1 + CL 1-f-bCcosAQ r r > >. • -*7

anomalie excentrique, ou bien une valeur Fort approchée que l'on corrigera en opérant avec Aq comme on vient de faire avec AQ.

Dans la première application à Ma», Keill suppose AC= 1 , SC = o,oqa5384, 1 anomalie moyenne AN = i°, et B = log Sf^ojîl SC = 0,7344446- Comme SC est presque la dixième partie de CA, il prend AQ = o°,0, = 54', plus petit d'un dixième que l'anomalie moyenne i°. On voit que cela revient à faire NQ = SC.AN. L'équation ISP = R» SC sin AQ , ou bien log NP = B 4- sin AQ =0,7244446 + sin 54' me donne NP = o\o83a8i , et par suite NQ — NP, ou PQ = o°,i--o0,o83a8i = o°,oi67i9;

mai* 1 H- CS cos AQ = i,oqs538; donc Qq = ° — on,oi53o3; donc enfin

AQ-f-Qo- ou A^ = o,,<9i53o3 = 54*55">o.v C'est exactement I'aaomalie excentrique; car en ajoutant Aq avec l'arc égal à SE = R° SC sin Aq = o", 0846^5, on trouve un degré ou AN.

Si l'on jugeait cette méthode par les exemples de Keill, on la trouverait très expéditive; elle donne en effet l'anomalie excentrique en calculant la seule correction Qq , quand AQ est déjà une valeur très approchée. Reill ne dit pas par quels essais il obtient AQ avant d'entreprendre son calcul , qui paraît ainsi assez court. La vraie valeur de Noétant R°SC sin A?, ou pourrait prendre NQ = ll°SC sin AN, et même NQ r=SC. AN, quand l'excentricité n'est pas très grande; on obtiendrait ainsi une valeur assez approchée de AQ = AN — NQ, pour toutes les planètes, et l'on serait rarement obligé de faire deux calculs pour arriver à l'anomalie excentrique Aq. Soit , par exemple , SC = o,a5, et AN = 73", j'aurai -NQ = o,a5 R° siu 75°= i3*.8; AQ = 6i°,a, PN= ia0,55ai , PQ = iD,a47g, et Qq = i«,iiGj; donc Aq = 6a°,3i67. Ce résultat est trop fort de 3" seulement. Dans ce cas, la différence entre Aq et AN étant très grande , il faut calculer une seconde correction , mais le plus sauvent on en sera dispensé. Pour une excentricité plu» considérable que o,*5 , on trouverait AQ pins difficilement, et le calcul serait encore plus long. ( Note de fEditeur.)

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