VV-CL*. MauPL:CL::PS:Sp=£~-, donc différentielle de ACP

|£ . — : on en déduira la courbe décrite quand la relation entre « et * sera

..fît;

» Si Ton demande la réfraction, on divisera d.CL par PL, et l'on aura sa différentielle

abgds

(*•-».) vV- a.) x'-a'iy

s doit être donné par la différence des densités en AE et en BP. Cette expression de la réfraction que le rayon éprouve en traversant la couclie BPSI varie comme |j£ ou la

tangente de l'incidence sur la surface de cette couche, et comme . Donc si ces deux

quantités restent à peu près les mêmes partout , la réfraction entière ou la courbure totale du rayon sera comme la tangente de l'angle PAB, et la densité du milieu très près de la surface AE. n

Après quelques considérations particulières, Simpson dit d'abord : « 11 paraît que quelle que soit la loi des densités , les réfractions k toutes les hauteurs , excepté les petites , seront à très peu près comme les tangentes des distances apparentes nu lénit, et la densité de l'atmosphère dans l'endroit et dans le temps pour lesquels les réfractions doivent être déterminées. » Et plus loin, il conclut « que si par quelques moyens nous pouvons arriver k une réfraction exacte correspondante à une hauteur non moindre que 20°, la 1 à toutes les hauteurs plus grandes peut être obtenue par cette proportion, a 1 près, pour la même densité de l'atmosphère. » Les réfractions pour de petites hauteurs ne sont pas si certaines et si aisées à obtenir ; elles ne peuvent se calculer qu'au moyen de quelque hypothèse. Si la densité de l'atraosplière est supposée décroître uniformément ( on verra que cette loi répond mieux à l'expérience que celle qui est communément reçue , et qui est fondée sur l'élasticité de l'air), et que A «oit eu parties du rayon de la Terre, la hauteur AB de l'atmosphère entière, et que k soit égal k la plus grand» valeur de * correspondante k cette hauteur, on aura cU '. dx k ', h, et la différentielle de la réfraction deviendra

. abgkdx

r ~ /»(** - as) \/{g'—i4)x'-a>bY '•

elle est k la différentielle de l'angle ACP comme y^^T~^[jy eït * ~ » ou en Pr«n"nt a =1 ,

g=i , comme £ est à A (^-7-) i ou enfin , k très peu près , comme h est à A , puisque *

et 1 — as sont toujours approchant les mêmes. »

Ainsi «fr:a\ ACP::*:A et oV:</. ACP— drl'.f.h— k; mais d. ACP— aV =— rf.QPC, puisque de PQB = QPC + ACP, on tire rf.PQB ou oV= d.QPC -f- rf.ACP; donc

</r:— rf.QPC :: * *.

« La différentielle de la réfraction est à la différentielle de — QPC dans la raison constante de * à h — k; il faut que les intégrales elles-mêmes soient dans le même rapport, c'est-à-dire que la réfraction sera a l'excès de CAM sur QPC comme k est à

h — k. Mais la valeur de CL trouvée plus haut devenant CL = --==(OD aura

78a ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE, sinus QPC = ££ = * — == = b(i — h + l) à très peu près, et

i ; | — h + k b, ou le sinus delà distance apparente au aénit, est au sinus d'un

arc; la différence entre cet arc et la distance zénitale, multipliée par . g donnera

la réfraction cherchée. Cette proportion servira à calculer la réfraction dans ton* les cas quand A «t i auront été déterminés par deux observations. ■

Simpson emploie les réfractions i'3o",5 à 3o° de hauteur et 33' à I'horixou, qui lui ont été communiquées par le docteur Revis , et il trouve t = 0,0002 53, h — k —

0,00139, i-h + k = 0,9986, et ÂTH = 73— = 77 à très peu près. Au

de ces nombres, il déduit de la proportion précédente cette règle.

« 1 : 0,9986, ou le rayon est au einus de 86*58' ; comme le tinu» dt la dût zénit est au sinus d'un arc; rr de la différence entre cet arc et la distance am aénit «et la réfraction cherchée.

» C'est ainsi que les deux tables de réfraction rapportées ci-dessus, page 348, ont été calculées , la première avec les nombres qui sont dans la règle et qui sont adaptés à la moyenue densité de l'atmosphère , la seconde en y mettant les nombres correspondans aux plus grandes réfractions.

» La seule chose qu'on puisse objecter aux tables , c'est d'être fondées sur la supposition que la densité de l'atmosphère décroît uniformément. Cette supposition est bien différente de ce qu'on a admis jusqu'à présent : elle paraît contraire à ce résultat d'expérience , que ta densité de l'air décroit comme la force comprimante. Mais celte loi, qui n'a lien que pour de l'air partout à la même température, ne peut convenir à l'atmosplièrc , dont les couches supérieures ont une température et une élasticité moindres que vers la surface de la Terre; et si l'on s'en sert pour calculer la réfraction horizontale moyenne, on la trouvera trop grande d'un tiers de degré ou de 5a'. tandis que si cette même infraction est calculée daus l'hypothèse d'une densité uniformément décroissante, et comparée aux observations , la différence ne sera pas à beaucoup près si considérable. Les tables sont plus exactes qu'elles ne seraient si elles étaient calculées par l'hypothèse commune. Je veux dire pour les petites hauteurs; car les réfractions à de grandes hauteurs seront bien peu affectées par différentes lois de densité; elles paraîtront à très peu près les mêmes en les calculant dans l'hypothèse qu'on voudra. Si l'on se sert d'une réfraction exacte observée à 70 de hauteur pour calculer dans les deux hypothèses les réfractions relatives à des hauteurs plus grandes, elles ne différeront jamais de plus de a*. L'hypothèse sur laquelle les tables ci-dessus sont fondées étant la plus exacte des deux vers l'horizon, l'erreur qui en résulte ne peut, pour les grandes hauteurs , aller an - delà d'une seconde. ■

La différentielle de la réfraction trouvée par Simpson, page 781, devient l'expression rigoureuse (A) en remplaçant b par sa valeur a sin Z et en faisant — ^ ■ == u

Vf—™

c'est-à-dire que, comme nous l'avons déjà fait, page 776, 00 met u pour le rapport des vitesses g et Vf — a* de la lumière en A et en P. Si l'on prend les vitesses em-

ployées, page 776, on aura ^ |/ n% -f* fàf et V£* — a* = k/n*-f-4^f > ""ou ''on l'r,!

* = aK (»' — f) , expression qui fait connaître l'aire • de la courbe ABDG en fonction

de la densité. Pour trouver la valeur de la réfraction, Simpson pose d'abord d*\dx'.\k'.h ;

k k on en tire aisément s — - (r — a), puisaK(f' — ()=z-^(x — a) qui montre, comme

il Pa supposé, que le» densités diminuent uniformément. Cette hypothèse introduite dans son équation différentielle, revient à faire dans l'équation (A), «=' — 6 ,

ectto relation cotre « et x, quoique bien différente de la relation qui résulte de

l'hypothèse de Bouguer, conduit cependant Simpson à la même règle que Bouguer. Mais il faut remarquer que Simpson ne cherche pas à intégrer sa différentielle modifiée par son hypothèse ; il se contente de la comparer à la différentielle de l'angle an centre ACP, et ce n'est qu'au moyen de plusieurs réductions ou simplifications qui ne paraissent pas toujours bien légitimes, qu'il arrive a une proportion qu'on peut écrire

r — [Z — arc.sin — (1 — A -f- k) sinZ].

La règle qu'il en déduit après avoir déterminé les constantes A et * revient à la formule

r = ^ (Z — arc.sin = 0,9986 sinZ);

on voit qu'elle est, aux constantes près, identique avec celle que Bouguer avait donnée 14 ans ;i va rit.

La première conséquence de l'hypothèse de Simpson est que la réfraction et l'angle «u centre ACP sont dans le rapport constant de * à A, ou de i à 6,5. Ainsi la réfraction serait égale a l'angle an centre divisé par 6,5. Bradley, Boscovich {Optra, t. II, page 3g8) et Du Séjour ( Théorie de* mouvement die* te*, 1. 1, page 653) ont supposé avec Simpson que le rapport entre la réfraction et l'angle au centre est constant dans tontes les parties de la trajectoire. Cette supposition, admissible pour la réfraction terrestre, cesse d'être exacte quand il s'agit des régions élevées de l'atmosphère. Nous avons vu q«a Bouguer avait déjà été conduit par son hypothèse a ce rapport constant sur lequel il a tant insisté. Simpson ne s'étend guère sur la variation de la réfraction suivant l'état de l'atmosphère : il se contente de construire une table pour la densité moyenne de l'atmosphère et une autre pour les plus grandes réfractions, en déterminant convenablement A et k. Il fait donc varier h et k avec l'état de l'air. De là résulte un changement dans le rapport de la réfraction à l'angle an centre. Cependant Bradley , ou plutôt sa formule, •appose ce rapport constant, non-seulement pour toutes les hauteurs, mais encore pour tous les étatsde l'air, ce qui n'est pas exact. ( fby«scî-dcssus,p. 724» l'art, de Du Séjour.)

Bradley a donné sans démonstration une règle exprimée par la formule.

r ar 67* tan g ( Z— 3r). Elle a servi à construire une table qui a été long-temps employée par les astronomes; elle rentre au fond dans celle de Bouguer et de Simpson. La règle

de Simpson et de Bouguer peut s'écrire généralement r m ' (Z — arc. sises m sinZ).

On en tire immédiatement la formule m ain Z= sin (Z — nr), qui se change en r = R tang j »R tang ^Z — ^ nrj , en représentant par R la réfraction horiiontale. Brad-

ley a fait R tang J «R =s 5,', ouR=33' comme Simpson, et i n = 3, ou n = 6 = ^.

Ainsi sa formule est une transformation de celle de Simpson, dans laquelle il a remplacé

le coefficient ^^7! cc <lui revient à supposer que la réfraction est constamment

h; de l'angle au centre.

Bradley a été conduit par la seule discussion de ses observations à cette modification du coefficient n. Voici cc que Maskel yne noua apprend a ce sujet dans les Transaction* , vol. LXXVH,pour 1787 , p. 1 54 : « Bradley ayant observé la distance apparente du pôle, il l'ajouta à la distance apparente de l'équateur. La somme qui est augmentée par la parallaxe et diminuée par la réfraction est plus petite que 90°. Comme les meilleures tables d'alors donnaient pour ces distances des réfractions qui différaient de a ou 3*, il chercha à s'en passer. Il remarqua, d'après la théorie de Simpson, que les réfractions pour le pôle et l'équateur peuvent être prises sans erreur sensible, proportionnelles à la tangente de la distance au lénit. 11 les calcula ainsi, et trouva la latitude de 5i"?8'3«)",5 et la réfraction a 45° 3' de 5"]', le baromètre étant à 29,6 pouces et le thermomètre Fahrenheit à 5o°. Connaissant ainsi la latitude de rObservatoire et la réfraction pour toutes les étoiles passant au méridien, entre le pôle et l'équateur, Bradley tira de ses observations la distance polaire vraie de beaucoup d'étoiles. La comparaison qu'il en fit avec les distances sénitales observées sous le pôle, donna les réfractions pour de plus petites hauteurs; et des réfractions observées à des degrés extrêmes de froid et de chaud, il déduisit la loi des variations produites par la température. Ccst ainsi qu'il arriva a son élégante règle pour calculer la réfraction dans toutes les circonstances. ». Maskelyne en donne un énoncé qui revient à la formule

r = • 57» tang ( Z — 3r ) ; et pour appuyer ses assertions , a cite des passages

d'un manuscrit de Bradley qu'il possède. On voit que les observations dont Bradley s'est servi pour déterminer les constantes de sa formule ont été faites de 1746 à in52. I« facteur thermométrique qu'on peut ramener à 1 , divisé par 1 + o , ooa5 ( t — 5o), montre que Bradley faisait la correction de température égale à un 400* pour un degré Fah. ou un 1 78" pour un degré R. Mayer l'avait portée avant à un ai 7*, ce qui était plus près de la vérité. Ce coefficient 0,002 5 est trop fort, car pour un degré centigrade il donnerait o,oo45, au lieu de 0,00375 que l'on trouve maintenant.

Maskelyne ajoute que, cette précieuse règle fut d'abord publiée par lui-même, dans le vol. LIV des Transactions, pour 1764, page a65, et qu'elle a servi à construire une table qui se trouve dans plusieurs ouvrages de ce temps-là.

Euler a donné dans les Mémoires de Berlin , pour 1754, des recherches asset étendues sur la réfraction astronomique. 11 considère, sur la courbe décrite par le rayon de lumière, deux tangentes très voisines, et il arrive par la loi des sinus d'incidence et de réfraction à la différentielle de l'angle au centre. Elle s'accorde avec celle que Kramp a trouvée depuis. Pour l'intégrer et en déduire la valeur de la réfraction ,

Euler regarde la trajectoire, à came «le sa petite courbure, comme une partie d'une courbe asymptotique qui est déjà très éloignée de son commencement. Cette mcthodin'a pas été heureuse; elle a conduit Euler a une équation du second degré en j- : et Kramp qui l'a discutée et appliquée à quelques cas, a trouvé des réfractions tics différentes de l'observation. Il pense en conséquence que 1rs formules d'Euler ne peuvent |MM même être admises comme des méthodes d'approximation. Euler supposait encore que la chaleur décroît suivant une progression harmonique.

Tycho avait remarqué que les réfractions sont sujettes à des saiir.tion?. Picard, vers iGGy, et le* Astronomes qui l'ont suivi, avaient reconnu qu'elles varient avec la température et qu'elles sont plus grandes en hiver qu'en été, la nuit que le jour. Bongucr dit positivement ( Acad. 17^9, pge io5) qu'au Pérou la réfraction est généralement plus forte la nuit que le jour d'euviron un •)'. Cependant Simpson et les auteurs de son temps ne parlent ni du baromètre ni du thermomètre. C'est dans un Mé.jioii ;• de La Caille ( Académie, 1755), dont on peut voir l'extrait ci-dessus, page 480, que l'on trouve pour la première fois une table des corrections relatives aux diOei ens états i!,> l'air. La Caille après avoir réduit ses observations de réfraction A la température io" 1\. et à la pression de 28 pouces, s'en sert pour construire une table qui donne les réfractions moyennes jusqu'à 84* de distance no eénit. Ce travail repose en grande partie sur la réfraction a 45° qu'il trouve de 66*,5, et qui lui sert à calculer les réfractions pour les distances moindres au moyen de la formule r = G6",5 tang Z. A la suite de sa table de réfractions moyennes, qui sont trop fortes de l'erreur de son instrument , et qui ne conviennent qu'à se» propres observations, il a mis unetable à double entrée, dans laquclleou trouve avec le baromètre et le thermomètre, le nombre par lequel il faut diviser la réfraction moyenne pour avoir la correction qu'on doit lui appliquer. Elle a été faite en supposant la réfraction proportionnelle à la pression, et la variation provenant du changement de io* R. dans la température égale à un 27» de la réfraction moyenne. Voici ce qu'il nous apprend, page 555, sur ces règles de corrections. « Halîcy en a donné une assez bonne pour les variations du baromètre; elle est fondée sur des expériences délicates de llauksbce : d'où il résulte que la variation de la réfraction rat « la réfraction totale comme la variation du baromitre est à sa hauteur moyenne. Cette analogie est confirmée par les calculs d'Euler ( Acad. , Berlin , «754, page 168) et par t. * expériences de Bouguer au Pérou. A l'égard de la variation qui dépend du thermomètre, Euler a fait voir que la réfraction est assez exactement en raison inverse des degrés de chaleur, lorsque l'astre n'est pas trop près de l'horizon. Mais on ne connaît pas encore la quantité précise du rapport. . . . Mayer m'a communiqué le résultat de son travail sur les réfractions. Il en a dressé une table par le moyen (fane formule dont il a tiré les coefficiens de ses propres observations, et dans laquelle il a fait entrer des terme*

qui expriment les variations relatives à celles du Lr «tir et du thermomètre. Il fait

la variation occasionée dans la réfraction , par i5 lignes de variation dans le baromètre égale à celle qui est occasionée par io° de variation dans le thermomètre , cl chacune de ces variations est, selon sa table, d'un 22* de la réfraction totale qui répond à 28 pouces et à o* du thermomètre. Mayer prétend de plus , que la réfraction est la même sur toute la surface de la terre, et qu'elle n'est variable qu'autant que l'indiquent les variations du baromètre et du thermomètre. »

Jstr. au 18* siècle.

Ces règles de Mayer reviennent à supposer que la réfraction moyenne étant r a o° et

n ?.o pouces, elle sera r r= -0- — t ... . = r + rl — s I pour la temptra-

1 ae(i 4-0,0040 1) >a™ ai7/r r

lure < et la pression p = îB1' -p- La variation est en effet un aa' de r à très peu près quaud 1 = .5 lignes et quand r = io° Réauniur.

Cette manière de corriger la réfraction est remarquable; elle est exacte pour le baromètre, et le coefficient 0,004*6 = — — 7 est fort approché, car M.Gaj-Lussac a trouvé

0,003^5 pour i° centigr., ce qui lait 0,0046675 pour 1" R. Mayer dans ses tahfes de la Lune, publiées à Londres, eu 1770, a donné sans démonstration la formule rapportée ci-dessus, page 435, et il est bien difficile de savoir comment il y a été conduit. Dans cette formule, qui est probablement celle dont p. n ie La Caille , on trouve le coefficient thermométrique 0,0046: il représente la dilatation pour i° R. d'un volume d'air égal à l'unité. Mayer dit qu'il l'a obtenu par des expériences faite* avec soin.

La Caille n'a pas conservé le coefficient de Mayer, qui était un peu trop petit, il l'a encore diminué eu prenaut un 27* au lieu d'un aac. Dans sa table de correction, qui peut

se déduire de la formule r ^ ^ — *2"ô° )' * toaiour* ramené les deux termes à une

fraction dont le numérateur est 1 : le dénominateur qu'oo cherche avec le baromètre et le thermomètre marque par quel nombre il faut diviser r pour avoir la correction totale.

à'ous ne nous arrêterons pas à la formule et à la table de D. BernouUi (Hydrodynamique, 1738); nous eu ferons autant pour Lambert , nous renverrons à son ouvrage sur la llouU- de la Lumière, La Haye, 1759, et aux Lphémérides de Berlin, de 1779, A la liu d'un Mémoire sur la Densité de l'air ( Acad. de Berliu, 177a ) , il rapporte sou équation différentielle, que l'on peut aisément ramener à la forme de l'équation rigoureuse, bien qu'elle ne soit qu'approchée; et il y applique une loi de décroissement des densités qu'il croit propre à représenter l'état moyen de l'atmosplière.

Lagrangc a donné un Mémoire suc le.» lUfraction* ti&tronomiqutt ( Ac. de Berlin , 1 77a). Il cherche d'abord l'équation différentielle entre la hauteur b du baromètre et l'élévation A au-dessus de la surface de la Terre , et |K»ur déterminer les constantes , il se sert de la règle que de Luc a donnée pour calculer la hauteur des montagnes. Celte équation renferme aussi la température l a la hauteur A; et comme ou ne connaît pas la loi du décroissement de la cliulcur ou la valeur de t en A, on est réduit à employer des bypolhèaes

et des approximations. La rigle de de Luc peut s'écrire A=M(log. b' — logeai +A —

lu désignant par $ = — = o ,oo465 son coefficient pour la correction Ibermométriqur.

Si cette règle était exacte, la loi du décroissement serait A= K (/ — .)(t

De Luc croyait qu'en prenant une température moyenne * entre les deux stations, c'était supposer que la température diminue en progression arithmétique. Mais l'expression précédente montre que cela n'aurait lieu que dans le cas où l'on pourrait négliger fl ,

puisqu'on aurait alors A = K (/ — t), ou la différence (1rs températures proportion- / nelle à celle des hauteurs. Celte loi, que Lagrange substitue à celle que de Luc avait énoncée, exprime donc la relation qui doit exister entre la hauteur h et les températures extrêmes r et*% pour que, dans sa formule haromélrique, la correclion de température dépende de • — ». M. Plana a Tait voir (Acad. dcTurin , t. XXVTI.p. ig4) «1"»

l'hypothèse s = t/ g* — */ , adoptée dans la Mécanique céleste, t. IV, p. 590 , est dans le fond l'ancienne hypothèse de do Luc, conTenahlement modifiée par Lagrange.

; à l'équation différentielle

^ ai'tnZJu

u'sin'Z

elle est de même forme que l'équation rigoureuse (A) , mais il faut remarquer qu'un petit coefficient A qui entre dans la valeur de u, et qui est supposé constant, peut cependant éprouver de» variations , très faibles à la vérité, par le changement de la densité -.

jr (î

Comme dans l'intégration doit augmenter depuis o jusqu'au rapport de la hauteur de l'atmosphère au rayon de la Terre, rapport qui est fort petit, Lagrange fait * — a

trouve par Pintégrati

N est nn nombre qui a pour logarithme tabulaire comme cette quan-

tité est toujours fort petite, il dit qu'on aura à très peu près :

r= , +o,oo465/ + -^z) ;

b est la hauteur du baromètre en lignes, t le degré du thermomètre Réaumur au-dessus de i6°75 5 /. 10 = a,3oa585og. Lagrange a d'abord déterminé la constante a au moven d'une expérience de HauVshée, qui donne une réfraction de 30' dans le passage de la lumière du vide dans l'air. 11 cherche ensuite « au moyen de la réfraction horizontale, qu'il suppose de 33' pour io° R. et 28 pouces. « La valeur de « étant connue, on pourra construire par notre formule une table «1rs réfractions pour toutes les hauteurs apparentes, et cette table aura l'avantage d'être fondée sur des données plus exactes, et sur une théorie moins précaire qu'on ne l'a fait jusqu'à présent, u

Si l'on développe le dernier terme de la formule de Lagrange en série, et que l'on adopte les valeur» A = 0,0000003484 et « = 0,00057, nue l'on trouve en refaisant son calcul numérique, on aura r=55",57 tang Z — o",o35 tang3Z pour la réfraction k 16*73 R. et a a8 pouces, et r = Go',3o tangZ — o*,o38 tang' Z à la température zéro. ■

Pour intégrer rigoureusement l'équation différentielle précédente, il faudrait connaître la valeur de * en u, laquelle dépend de la loi du décroisseroent de la chaleur qui

est inconnue. ï.agrange montre le premier que, par l'hypothèse très simple ^ = «",

rllc s'intègre immédiatement par un arc tic cercle, et conduit a la formule

(m — i)r~Z — arc (sin=NsinZ) ou sin [Z — (m — i ) r] = N sinZ, qui comprend celle de Simpson et celle de Bradley; on peut ajouter qu'elle comprend aussi celle de Bouguer , qui est hien antérieure.

Kramp, dans son Analysé des réfraction» astronomiques > publiée en 1799, admet que la refraction de la lumière est l'effet de l'attraction que les corps transparens exercent sur clic. Ccst en partant de ce principe, qui sert de base au système de Newton, qu'il démontre que dans le pasiagfde la lumière par une atmosphère dispoice par couches sphériques concentriques, les différences des carrés des vitesses sont partout proportionnelles aux différences des densités. A laide de ce théorème, il trouve (fig. G6) la perpendiculaire CL= ^1 ■+ m a sm Z , « en se servant des réductions approximatives que

l'extrême petitesse de la fraction * permet d'employer sans craiute d'erreur sensible.

D'après ce théorème, si 1 est la vitesse dans le vide, elle sera V7» + ?r au point P, et V' * + «T en A ; mais ces vitesses sont en raison inverse des perpendiculaire» CL, CM = « sin Z, donc CL :CM :: |/| + F#' : l/i + Pf. Kramp représente par 1 : 1 +• le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction, quand la lumière passe de l'air dans le vide; ces sinus sont en raison inverse des vitesses l/i-J-P/, et 1 dans l'air et dans le vide, donc lîi + a!: 1 : {/ 1 -f- Pf ' : on tire de la V 1 -+- Pf' = 1 + *>, et ?t = a» + «*. Portant ce* \aleurs dans la première proportion , on en déduira

CL=(i+*)«i«u>Z: \/ 1 + (** + •* )A- De cette «pression rigoureuse on tire

la valeur très approchée CL= (!+• — m—,) a sin Z, obtenue par Kramp.

Divisant </.CL = — m^-aiiu Z par PL = — CL , on trouve

dr = ^ * '

(,+.-.^)^/ i-a. + :u,A-£sin'Z.

Telle est l'expression différentielle a laquelle Kramp arrive, p. 35; elle se change dans la formule (A) en faisant 1 — «4-=w,ou en pour le rapport des vitesse» de la lumière en A et en P.

Kramp supprime dans le dénominateur le facteur 1 + m — • ~ dont le

ts dit-il, ne produirait que des quantités en •* que l'on pourra regarder évanouissantes en comparaison des autres. Il admet, p. 35, une loi de

représentée par • =* », et qui devient # = ,'« * ' T, en ayant égard à la

diminution de la pesanteur* mesure qu'on s'élève; il en tire la valeur c//~ — "j^— ,

qui est précisément celle qui a été employée , p. 776, par Taylor. Il s'en sert comme lui pour faire dispnraître H» <le son expression différentielle de la réfraction ; il l'intègre

ensuite en faisant l— tang Z,c--=^, et trouie, p. 4',

r= (c + 3c (c — |«)" — 3-5c* + ctc- }î

il pense que cette formule donnera la réfraction astronomique depuis le *tnit jusqu'à pria de 84° de distance apparente- 11 ajoute, p. .\"> : ••• La réfraction est exactement proportionnelle à la densité de l'air représentée par la fraction », tant qu'elle est exprimée par mi; ainsi, depuis le aénit jusqu'à plus de 70° de distance, on peut continuer sans erreur sensible à réduire les fractions à une autre température , en employant les multiplicateurs ordinaires qui expriment la densité de l'air, n Après avoir reconnu que la variation de m affecte très peu la série 1 — (c — J • ) <* -f- etc. , et que celle de 1 produit au plus une seconde vers 8o°, il dit : « On peut donc assurer que , par des changemens survenus dans la température de l'air, la réfraction reste proportionnelle sans erreur sensililc à sa densité, aussi long-temps que l'on peut se servir de la série r=mt — (e — J») •<1+etc. Quant aux chaagHMM qui surviennent aux réfractions plus approchantes de l'horizon, le 4* chapitre nous apprendra à les déterminer. »

Avant de réduire en nombres la formule de Krauip, nous remarquerons que dans la

première partie de la réfraction, il trouve, p. 4« 1 mt multiplié par la série

1 — et* + 3c* t ' — 1 5c V -f- etc. , dont les cœOlcicns constituent, dit-il , la série hypergéométrique des nombres impairs : c'est sans doute pour avoir cette série qu'il ne prend

que — et* au lieu des deux termes — cet — cf", produits par — — = — c (x-f tang* Z). En conservant le petit terme — r , la série de Kramp sera

r = «/|i — c—^c — ^m^t*-\-3c(c — etc. j;

et comme t= tangZ, c = i, elle deviendra en s'arrétant àl»î« puissance de tang Z,

r = 0 *~ a ) • Ung z î " ) * Un^ z

Cette formule, que Kramp croit pouvoir étendre jusque vers 8o° de distance an zénit , a l'avantage de donner les réfractions sans avoir recours aux observations astronomiques : elle ne dépend que des quantités l et * qui peuvent s'obtenir directement par des expériences sur la pesanteur spécifique de l'air, et sur son pouvoir réfringent.

Nous avons déjà tu, p. 775, qu'à la température zéro et sous la pression o"-6, le rapport des densités de l'air et du mercure donne 1= 7955" ; et comme a = 6S661 98*,

nous aurons ^=0,0012495. De la relation 1 + «= t/ 1 + P,' trouvée plus haut, p. 788,

on tire * = ; Pf' — g P*»',4-ctc; or, MM. Biot et Arago ont trouvé (Mémoires de l'Institut, pour 1806, p. 3i5) par leurs expériences sur le pouvoir réfringent de l'air,

qu'à la température zéro, et sous la pression 0^,76, l'accroissement total du carré «le la vitesse de la lumière, lorsqu'elle a passé du vide dans l'air , est P,' r= 2 X 0,0002948856 donc «»=,o ,00029454 , et en secondes m — Go",^53. La substitution de ces nombres donne

r = 0,9987505 m tang Z — 0,001 10223 m tang' Z , et en réduisant les cocflîcicns en secondes avec » = 6o .*'~>'S ,

r = 60" ,677 tang Z — o'.o*^ tang' Z. Cette formule, que nous arons déduite de celle de Krarap, donne les réfractions pour la température zéro et 0",j6 de pression depuis le zénit jusque Ters 75° de distance. Elles seront ramenées à la température t, vt h la pression p en les. multipliant par

— ^ ^~"°'OOOI^2 ' i car die» changent comme * = r P/, et par conséquent comme o™,7b(i -f- 0,00375/)' 0

la densité de l'air dans l'endroit o!i e«t l'observateur. Le nombre o ,00018 ou un 555o« représente la dilatation du mercure pour Ie centigrade, il sert à réduire a zéro la hasrieur observée p du baromètre dont le mercure est supposé à la température (.

Après . ctle première formule, Kramp passe à la tbéoric des réfractions qui approchent de l'horizon. Plus loin, il discute avec beaucoup de soin et de détails les solution» d'Eulcr, Simpson , Bradlcy , Maycr et Lambert : il montre en quoi elle» sont incomplètes, en comparant leurs formules à celles qu'il a trouvées , « conformément aux véritables principes de la physique et du calcub » S'il avait soumis à uu examen semblable les recbcrcbcs de Ta) loi- , Rongucr , Lagrange et Oriani , il en aurait sans doute profité pour étendre et mémo simplifier ses propres recherches. U aurait certainement remarqué ( Lphéméridcs de Milan, 1788) le travail dans lequel M. Oriani a trouvé pour les réfactions relatives à. dos distances zénilales moindres que 75", une formule indépendante de la loi de décroissement des densités, et qu'il caractérise ainsi, p. 218, Quee exprtstio a nulla penefet hjpviheiij vtl circa coloris Ugtm in atmosphœra j met eirca aeri* densitaUm «» variis a ttlluri* superficie distandis. Cet important ouvrage de Kramp est terminé par un chapitre sur la réfraction terrestre.

La théorie des réfractions astronomiques a beaucoup exercé les astronomes et les géomètres : quoiqu'elle eût beaucoup gagné depuis Cassini et Taylor, on n'avait mcore rien de complètement satisfaisant, et l'on continuait à se servir «le lo formule et de la tahle do Bradley, lorsqu'en i8o5 M. Laplacc donna, dans le tome TV de la Mécanique cihste, une théorie plus précise, plus claire, plus complète que toutes celles qui avaient paru antérieurement. C'est d'après cette théorie que l'on a construit. lu table des réfractions adoptée à cette époque par le Bureau des Longitudes. Après avoir cousidéré, conformément au système de Newton , les forces qui sollicitent la lumière dans son passage à travers les corps trantparens, il cherche la trajectoire décrite par un rayon de lumière dans l'atmosphère, en supposant a quelcs forces réfractives des coiiches de l'atmosphère sont proportionnelles aux densités de ces couches, » et il arrive, p. 244, à l'équation différentielle (3) que l'on peut écrire

-sinZrfu

ar = — — r — - , fn faisant u = - ;

^.-'iVsin'Z sj I + 4£f

c'est celle à laquelle on doit arriver, quelle que soit la méthode qu'on suive. La comparaison de cette valeur de m à celle» qu'il faut adoptée pour ramener ù la même Cornule» équation» différentielle* donnée» par Taylor, Bouguer, Eulcr, Lambert , Lagrange, etc. , montrera en quoi elle» peuvent être ioconiplètes. La même équation (3) devient

dr = * . r , eu faisant « = — /lr- ,

expression analogue à celle que Kramp a donnée p. 35 de son Ouvrage; car il n'existe entre - et m qu'une différence extrêmement petite. M. Laplacc fait ^ = 1 — * : il développe le radical en série, néglige le» produits de trois dimensions de • ol «, et trouve,

en intégrant depui» p = j jusqu'à f = o, il obtient

tout est donc réduit à trouver l'intégrale fëdf=fs—Jfds qui devient fdf = — ffjg, m intégrant entre le» limites f = f' et f = o. Désignons la pression par // en A , par p

en P à la distance x. Si g est la gravité à la surface de la Terre, elle sera g - à la distance s; mais quand on s'élève de la quantité dx , la pression diminue d'une quantité égale nu poids de la petite colonne d'air dont la hauteur est dx et la densité f ; donc

dp = — gp fdx = agfd ^ = — agfdt, cl p— — agffda; d'où l'on tire p'=agffds, puisque p—p' en A, et que/> = 0 au haut de l'atmosphère; ainsi, ffdé = '— quelle que soit la loi

du décroissent r t des densités. « Ccst ce résultat , dit M. Plana ( Acad. de Turin , t. XXV U , p. 176), qui a servi de base à M. La place, pour déterminer la réfraction astronomique,

depuis o° jusqu'à 0 de distance au «éoit, indépendamment de la connaissance de la loi de la densité des couches atmosphériques ; mais il est juste d'ohserver que M. Oriani a remarqué le premier cette propriété de l'intégrale ffda , étendue à la hauteur totale de l'atmosphère.» (Ephémérides de Milan, 1788, p. 308.)

Puisque l est la hauteur d'une colonne d'air dont la densité est /, et qui par son poids

fait équilibre à la pression p', «m aura p'~ gt% donc en fin f^- = -. Substituant cette

valeur dans l'expression ci-dessus, nous aurons la formule donnée pour la première fois par M. La place,

r=*tangZ { . +* + ( \ — i)( , + tang' Z ) } (A)

« Cette expression a l'avant«^e d'être indépendante de toute hypothèse sur la 1

79a ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIECLE.

tation île l'atmosphère, et de ne dépendre que de sa nature dans le lien de l'observateur. ■ En réduisant et en ordonnant , elle devient

Nous prendrons, comme M. Laplace, a =6366198", /= 7974" et « — 0,000293876, et en secondes, * = 6o",6i6. Cette valeur de « a été déterminée par M. Delamhre, au moyen d'un très grand nombre d'observations d'étoiles circumpolaires. Elle a été confirmé» depuis par MM. Biot et Arago, qui , dans des expériences directes sur le pouvoir réfringent ?K

del'air, ont trouvé — o,oooa945856. On déduit de là * = 0,00039 Î41 ai el en

.secondes, m = Go",- 26 , résultat de o",i 1 seulement plus fort que celui de M. Delambre.

Ga valeurs de / et de * étant relatives à la température aéro et à la pression o",-6,

on obtiendra la refraction pour la température t et la pression p~ «",76 ( 1 -f-r ), en

. . . # / , ^ n o,ooo2q38,:6 f 1 + »î « ,

mettant pour t cl « les quantités 7074'" ( ' 4* o.ooS^D t) cl ; — « — — r— , — dans la

formule précédente. Si on les substitue seulement dans les cocflîciens, sous les parentbèae»,

et qu'on néglige les termes insensibles qui renferment f et /, on trouvera

r = 0,9991 88a74«tangZ — 0,001 loSô-tang'Z — <.o,ooooo5?5« tang'Z;

et en réduisant en secondes avec a = 6o',6i6,

r~ 6o",567 tangZ — ©",067 tang* Z — /.o*,ooo3i8 tang3 Z. Cette formule donne les réfractions pour la température zéro et la pression o",76 ,

jusque vers r5* du xénil. 11 faut les multiplier par le facteur ^'i. °'°?01 ^ pour ' 1 ' 11 o",7b(i-r-o,oo375/) r

les réduire à la température f et à la pression p. Le troisième terme peut se négliger le

plus souvent} car à 75° du «énit, quand /=3o° centigrades, il ne vaut encore qu'une

demi -seconde. Les deux premiers donnent exactement les réfractions moyennes de fa

table du Bureau des Longitudes en sup|>osant t— i= io* c et p~om,'6.

Voyons maintenant jusqu'à quel point les réfractions do la formule précédente que

nous écrirons r=M«langZ — N*lnng',Z, peuvent être représentées par la formule

de Bradley, r = A tang (Z — nr), qui étant développée devient

On tire de la comparaison des deux séries A = 1,000295* = 0,000293963 = 6o'634 et n — Ii2°jl^>^ Œ 3 , -G9, On voit que A varie comme * ou la densité f, ainsi sa

valeur 6o"J634 devra être multipliée par le même facteur que « , pour convenir à une température et à une pression quelconque / et p. La seconde expression montre que n r.'csl pas constant comme Dradley le supposait , et qu'il varie avec N et en raison inverse de a ; en y substituant M = 0,9c)») 1882 74, N — 0.001 io56-f- o,ooooo5a5/ -f 0,000146938^ , et pour ce sa valeur 0,000293876 multipliée par p et divisée par om,^i +0,00375/),

La hauteur p du baromètre est supposée réduite à la température téro. On a donc enfin

Cette formule, qui équivaut à l'équation (A'), comprend les trois termes de la série ci-dessus; elle est donc rigoureuse jusqu'à - 5° ; elle peut même s'étendre plus loin, car elle s'accorde avec la table du Bureau des Longitudes jusque fers 8a°, et a 86°, où les réfractions Tarient accidentellement d'une vingtaine de secondes j elle donne des réfractions qui ne diflerent que d'environ 10*. Au-delà, elle conduit à des réfractions trop petites, et à l'horizon , pour /= o, et j>r=o",76, elle ne donne que 3o'ai*, au lieu d'environ 35\

Cette formule n'est pas commode pour le calcul; si l'on fait ï=o,yj = o",76, on

aura simplement r=6o*,634 tang(Z — Z,i^r). Cette expression , qui conduit exactement

encore s'étendre jusqu'à 86°. Les réfractions ainsi obtenues devront être multipliée»

pfi — 0.00018/) , . 1 . ,i

o-,t6(, + o,oo3750 ^ *trC ramCDCCS * 18 prCM,0D P'lkU temPérature <•

, . - , , - . ^3 ' " Ainsi, quand on regardera les coefBcicns 1 ^ â* e* â — a * °°mine constans, ou

pourra calculer les réfractions pour des hauteurs au-dessus de i5°, ou avec r= 6o',634 tang (Z — 3,77r) , ou avec r=6o*,567 tangZ — 0*067 ^"g3 et on obtiendra toujours les réfractions des Tables du Bureau des Longitudes; la première formule aura encore l'avantage de les donner assez bien jusque vers 86°. Le calcul delà formule r = 6o*,634 tang

( Z— 3, 77^) revient à celui des deux suivantes Ung 9 = sin 3° 48' 5 1 * tang Z,et

r=i8ai*,i tang, 9, qui conduiront directement au résultat.

Lorsqu'on détermine les constantes A et n comme nous l'avons fait, la formule de Bradlcy représente bicu lat réfractions du zénit à 75»; elle s'étend «score, avec une précision suffisante, jusqu'à 86°; mais plus loin elle fournil des réfractions trop petites. Elle comprend donc les réfractions que l'on a occasion de calculer pour les besoins ordinaires de l'Astronomie. On cherchait ordinairement ces constantes à l'aide de la réfraction moyenne observée à l'horizon et à une certaine hauteur. On pouvait obtenir ainsi une formule représentant assez bien les réfractions pour les petites distances, et à peu près dans le voisinage de l'horizon. Cest précisément ce qu'on remarque dans la formule r= 58*,07 tang(Z — 3,ao8r), qui n'est que la transformation des deux équations tang*' = sin3»a6'35",36tangN/, / = Rtang4*'= iç>3a* tang £ *', que M. Dclambre a déduites ci-dessus, p. 707, des deux réfractions 3a' 1 a" et 5'ao* observées par Le Gentil. La formule de Bradley qui , par le fait , se trouve indépendante de la loi du décroissement des densités , ne peut donc pas donner exactement les réfractions à toutes les hauteurs. Quand on veut l'étendre du aénit à l'horizon , elle ne fournit plus qu'une approximation :, suivant le choix des réfractions qui servent a <

que Yon a données jusqu'à présent pour les réfractions voisines de l'horizon , «ont ou empiriques ou fondées sur des hypothèses particulières qui ne peuvent guère satisfaire à la fois aux réfractions observée* et aux observations barométriques et thermométriques faites à de grandes hauteurs. Ainsi, par exemple, M. Plana trouve (Acad. de Turin, t. XXVII, p. ao5, aïo) que l'hypothèse de M. Laplace qui représenta Aitr. au 18* siècle. 100

la réfraction , et de plut asm bien la température que M. Gay-Luasac a observé* à 69B0

mètres d'élévation , dans ton ascension aérostatique , conduit à une pression barométrique de 7a millimètres plus petite que celle qui a été observée, taudis que l'hypothèse de M. Bcstel, qui va mieux pour la pression, puisqu'elle la donne plus petite seulement de 17 millimètres, ne donne que 8° au lieu de4«>0,2 pour la diminution de la température à cette hauteur. Ce qui parait le plus conTenable, c'est d'admettre l'hypothèse qui, eu représentant asset bien les réfractions, ne s'écarte pas trop des observations de température et de pression. 11 est bien à craindre que l'on ne parvienne jamais à soumettre à une théorie 1 igourcusedes 1 cfractions qui , d midescirconstancos semblables en apparence» éprouvent des variations notables et souvent plus grandes que celles que l'on remarque entre les différentes théories proposées. H est probable que ces irrégularités proviennent des changement qui ont lieu dans les couches éloignées de l'atmosphère et qui n'affectent ni le baromètre ui le thermomètre placés dans la couche où se trouve l'observateur. Ce que l'on peut espérer de mieux, c'est d'arriver à une hypothèse qui représente le plus possible l'état moyen autour duquel l'atmosphère parait sans cesse osciller.

Depuis la publication des Tables françaises construites sur les formules de M. La place , MM. Groomhridge,8rinàley, Bessel, Young, etc.', se sont beaucoup occupés de la théorie de* réfVactionaastronomiques. Dans le tome XXV II «te, Mémoires de Torin, armée ,8*3, M. Plana a discuté les principales hypothèses qui avaient été proposées jusqu'alors; il s'est attaché, dans une analyse iogénieuse, à bien faire ooonaitre l'esprit de ces hypothèses , et à leur donner plus de généralité. M. lvory faisait paraître en même tempe (Trans. philo*. i8a3 , p. 409) an travail très remarquable sur les réfraction» astronomique.

M. Ivory prend , comme Taylor et Kramp , d. CL divisé par LP (fig. 66), pour la différentielle de la réfraction; il emploie la vitesse de la lumière donnée parla théorie de Newton , et il arrive sans faire aucune supposition aux expressions de tiret de r rapportées ci-deasus, page 791. Il montre que la formule (A') donnée, pour la première fois, par M. I >a place , et qui a servi en 1806 à calculer la réfraction des tables française» depuis le .euh jusqu'à 74*, peut se déduire de l'hypothèse de Canins. Il écrit cette formule de U

manière suivante, en faisant u = f- — : ( '

r = -(i+«){langZ — tangZ(i -ftang'Z)}

il introduit sous la parenthèse la valeur approchée r = « ( 1 + « ) tang Z, et il obtient r^«(i+*) {iaugZ-«r(i+taug*Z) } = - ( 1 +.) tang(Z -nr). C'est précisément la formule de Bradley, qui sera cosuéquesnmoait exacte dans les mêmes limites que celle de M. La place. Mais U saut remarquer qu'elle, ne seront équivalentes qu'autant qne dans chaque cas on mettra dans chacune lin mêmes valeurs de • et de l; ce qui montre que le coefficient », qoe Bradley croyait constant, varie avec la température et la pression. Si l'on prend les valeurs «=6o",6i6, 1 — •;<)•] employée» par M. Laplace et adoptées par M. lvory, on aura « ( 1 4-*) = 6©',634,n a» 3, 76 et r » 60' ,63 4 tang (Z — 3,76r) pour aéro et la pression o™,7fx

Les termes du développement de l'expression différentielle de la réfraction qne l'on peut négliger pour les petites distances, deviennent sensibles quand on approche de Rw>

NOIE. 7cp

M. Laplaoa, «A adoptant pu tu- la densité un décroissciment qui participe à la foi» de» progressions arithmétique et géométrique, e*t parvenu à une formule qui a servi à calculer les réfractions de la table française pour les 16 premiers degrés de l'auteur. M. Jvorv pense que cette table donue bien les réfractions moyennes; aussi il la prend toujours pour terme de comparaison dans ses recherches.

Les diverses hypothèses qu'on a proposées donnent pour la hauteur de l'atmosphère et la réfraction horiiontale des résultats très différons. En les comparant entre eux, M. Ivory remarque que la réfraction horizontale parait croître avec la hauteur de l'atmosphère, et que cette hauteur est un élément qui ne doit pas être négligé dan la théorie des réfractions.

La pression, la densité, la température étant /»',»'*' à In sui'acc de la terre, />,»,/ a la hauteur A, et 0 = o,oo375 l'expansion de l'air pour i°c; M. Ivory suppose

■j^jp =1— ^m+l^l+fit'y c'est-à-dire qu'il suppose que la chaleur décroît unifor-

tucaaent, car on tire de là A=£/(m+i) (/—<). Mais (i +tf)t' et de plus

dp-—fJh donne p=f—fdh, donc %>=f !(7+îf ) \' °° ' a'*illcur* 6«»éralemenl

Ê =yjg? « ****** *■* «*» h

et la pression avec l'équation hypothétique de M. Ivory, on trouvera aisément

ff\m i+fit t h P n\ m.

Telles sont les équations qui expriment la constitution de l'atmosphère dans le cas du niforme de la chaleur, m— o donne » = »', et l'on a l'hypothèse d'une : consUnte proposée par Caasini. Alors /=7974" est la hauteur de l'atmosphère.

Sim=,,onaU,-a/(i^0. Ainai la densité , diminue uuiformément , et quand

elle est nulle, on a h— il pour la hauteur de l'atmosphère. Cette hypothèse, employée par i, est moins inexacte que celle de Cassini-, on peut en déduire la plupart des qui ont obtenu quelque extension. Faisons h=sl (i+jS/) dans la première ^développons la puissance m, supposons ensuite m inCni, et nous aurons

«+î«* — | «* + etc.=«-; on a encore ^ = j, et 1+*/= « +M. Dansée

cas la température est uniforme, et la densité qui est proportionnelle à la pression décroit en progression géométrique quand la hauteur h croit en progression arithmétique-, alors l'atmosphère s'étend indéfiniment. Ces trois suppositions sont , arec quelques modifications, «elles qui ont servi dans les différentes théories qu'on a données. Les deux premières m = oetm=i donnent une réfraction horizontale beaucoup trop petite, îaig* et 1671* : la dernière conduit à une réfraction trop grande 3253* ; on trouve à peu près ao3a" par l'observation à la température de io" c. et sous om,-j6de pression.

Les réfractions sont les mêmes jusqu'à une certaine distance du cénit, quel que soit le nombre m auquel on s'arrête. On pourra donc adopter la valeur de m qui représentera la

réfraction horizontale- On peut aussi déterminer m par le Accroissement observé de la cbaleur à la surface de la terre. Soit (t la hauteur à laquelle il faut s'élever pour que lo thermomètre s'abaisse de iV, nous aurons f* = fil (m-f-i) en faisant t' — *=i° dans l'équation /t—fil(m + i) (/ — /) ; stcc /= 7974" cl f — «6om, on trouve mr=q\ En calculant les réfractions avec cette valeur de m, M. lvory les trouve d'accord avec celles des tables françaises jusqu'à 8o° et plus fortes de 8' seulement à l'horicon; mais m~ ^ ae donne que h =5/, ou environ dix lieues, pour la hauteur de l'atmosphère, ce qui n'est proltahlement pas la moitié de la hauteur réelle. Pour ne pas limiter ainsi l'atmosphère, M. liory fait cette nouvelle supposition

Les nombres arbitraires/et m sont liés par la relation ^ — * pour que le décroisse-

ment de la clialcur à la surface de la terre soit toujours « . il ne reste donc que m d'indéterminé. Quand m=4 , on a f — o , et l'on retombe sur l'hypothèse précédente. En faisant croître m au-delà de .j , on obtient une suite d'atmosphères dont la hauteur augmente graduellement. Dans chacune le décroissement de la chaleur à la surface de la terre est toujours le même; mais il devient plus lent à mesure qu'on s'élève, et au haut de l'atmosphère il est fil (m -f- i ). Ces diverses atmosphères donnent à très peu près le même système de réfractions. Dans les cas extrêmes de m = 4 et m infini, il n'y aqu'une différence de 17", a sur la réfraction horizontale, on arrive également à la formule barométrique usuelle, et on trouve les densités et les pressions à très peu près égales à celles qu'on déduit des expériences faites à de grandes hauteurs. Pour avoir la hauteur de l'atmosphère indiquée par la durée du crépuscule, il faudrait prendre m = 10 au moins. Mais tous les cas sont si peu différons que M. Ivory s'arrête au cas de m infini, qui donne f ~ \ , comme le mieux d'accord avec les circonstances générales de l'atmosphère. Les deux équations hypothétiques précédentes deviennent alors les suivantes

qui ont seni de fondement à sa table, dont l'exactitude dépend, dit-il , du coefficient £ qu'il .1 intro'.vt arrive à une formule qui donne exactement les réfractions moyennes des tables françaises jusqu'à 8aa : au-delà , les différences ne sont que de quelques secondes. II a égard aux variations que « et / éprouvent quaud la température et la pression changent ; à côté de la réfraction moyenne r calculée pour 5o° F. et 3o pouces anglais, il donne les dr dr

petites corrections ^ et ^ pour les changemens d'un degré dans la température et d'un pouce dans la pression. D'après cette table on a pour la température t et la pression p

le premier terme est la réfraction moyenne r corrigée à la manière ordinaire.