Sin D /r-x

sin O = - — • • • • (E).

sin • v '

Cette formule donnera la longitude du Soleil et le jour, ^

Vous reje(erez comme iauliles , les déclinaisons qui surpasseront l’obhquilé.

Au jour de l’e'quinoxesin S = 3^^, et D = o; c est 1 une des deux déclinaisons. Pour avoir l’autre qui sera australe, on remarquera que D — o

donne ( n — m ) =o, n + '» = 2" = 2,w el sin D == siu 2'iC0S^==

sin 2m cos H; vous aurez ainsi la déclinaison australe, qui répondra a la durée équinoxiale du crépuscule. Vous aurez donc deux crépuscules de même durée, l’un quand le Soleil sera à l’équateur , 1 autre quand il aura la déclinaison australe calculée par celte dernière formule.

La formule (A) prouve que C et S croissent et diminuent ensemble ; S ne peut cire nul, ni C non plus; dans la sphère droite C = S; les pôles P et C se confondent.

m croit et diminue en même tems que S, m ne peut être nul.

cos «= ^-7? deviendra cos «= i, si Ton a C = 2fl, alors 7i=o. Cos n sin Ç

appartient également à-f-«età — n\ nous le faisons toujours positif pour simplifier.

Siw=o, C = 2rz, =a; sin iC=sinrt = sin ^ Scoslîet sin2S = ~^s

C’est la plus petite valeur qu’on puisse donner a C; car si C < 2 a, cosn • , c sin sina . ,

serait imaginaire; mais sin -à = —fl ~cosîï’ au moins» telle esl donc

la valeur la plus petite qu’on puisse donner à f S; elle donnera le plus court crépuscule; d’ailleurs la perpendiculaire Ey==2« est une constante; si elle est à go° deC, C sera 2 a; si elle est plus près ou plus loin, C 2a; ou bien encore formule (A), le minimum de C coincide avec celui de S.

Sini S = — — est en effet la formule de Nonius, pour le plus court

cos H 9

crépuscule; elle est un simple corollaire de nos formules générales ; elle s’en déduit sans aucun des embarras qu’on rencontre dans les méthodes

analytiques. Puisque rc==o,les deux formules de déclinaison . .

sin D = sin(/2:±:/7î) cos II se réduisent à sin D ===— • sin/» cosH,

jiG ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

sin*D = s>I,’"! cos“H = (i — cos' mi) cos*H = cos'II (i — c)

= cos'H (i - ) cos* II

\ COSaa / \ cos a /

a T T /sin* i S — sina a\ cos3 H /sinag ; a V

COS co^aT J cos 4 a \cosaH /

==tang3a— cos3Hlangart=lang*«sm,H, et sinD = tangasinH,

et cette déclinaison sera australe.

C’est la formule donnée par Jean Bernoulli, l’Hôpital et dÀlembert, qui n’ont pas su trouver la formule de la demi-durée, et qui n’ont donné qu’une solution indirecte et incomplète du problème que Nonius avait? résolu tout entier.

Hans le cas du plus court crépuscule,

tang m = tang £ S sin H I !iniSsi„H sincsinH

cos ± S 5inm = T A-— — - ü - = tang a tang II ;

cos m - - ( cos 5 C cos H cos a

cos ^ L )

jnais sinD = sin/McosII puisque rc=o; donc ni est l’amplitude au jour du crépuscule équinoxial.

Nous avons trouvé généralement

sinScosIï sinScosH sinS sin arc plus court crépuscule

COS 771 — sja2û /sin 2a\ sin aie crépuscule équinoxial

Voilà donc trois formules pour trouver l’amplitude au jour du plus court crépuscule. Nonius, qui ne connaissait pas les tangentes, fait

cos \ S cos { S cos m = — —p = ——7-7- j

pour le plus court erépuscule. Cet arc nous est inutile.

Nous avons ci-dessus calculé les formules de Nonius et lés nôtres, pour le plus court crépuscule et pour le crépuscule équatorial ; il ne reste plus qu’à donner un exemple de nos formules générales pour calculer les déclinaisons par la durée.

On calculera d’abord la plus courte durée et sa déclinaison. On aura -ainsi la plus petite valeur que l’on puisse donner à S; on augmentera successivement cette valeur, suivant l'étendue qu’on voudra donner à ses tables, par exemple, de minute en minute de la durée, et l’on calculera les deux déclinaisons, ainsi qu’on va le voir.

Soit donc la durée du crépuscule T = 2h 2' 34’> ce qui est à peu près le crépuscule du solstice d'hiver à Paris ;

4 ïl

S-ii£^£==3o”33'3o*> iS=i5M9'i5'',

sin^S.. 9,4219718 tang^S.. 9,4^76870

cosH.. 9,8183919 sinH.. 9,8766785

sin jC = io° o'5c)u 9,2403637 tangm==ii°39'ii" 9,3x43655 G. siniC.. 0,7596563