CHAPITRE VIII

J^iète et Magini.

Depuis Hipparque et Ptolémée jusqu’au seizième siècle, les théories astronomiques n’ont fait aucun progrès véritable; quelques points fondamentaux ont été mieux déterminés; Albategni a mieux* connu la longueur de l’année, l’excentricité du Soleil et l’obliquité de l'écliptique; d’un autre côté , Thébit a fait rétrograder la science par son système de la trépidation des étoiles. La faveur avec laquelle celte idée malheureuse a été reçue par tous les astronomes qui l’ont suivi , est une preuve qu’on observa bien peu , ou qu’on observait bien mal ; le vrai service que les Arabes ont rendu à la science , est la face nouvelle qu’ils ont donnée à la Trigonométrie, et leurs soins continuels pour faciliter les calculs de 1 Astronomie sphérique. Leurs découvertes en ce genre, imparfaitement connues, et plus mal appréciées , ont fait que les premiers restaurateurs de 1 Astronomie en Europe , se sont traînes long-temps sur les pas des Arabes qu’ils n’ont pas su égaler; ils ont lentement et péniblement retrouvé ce qui était inventé cinq cents ans auparavant. Le savant dont nous allons extraire les ouvrages, n’était pas aslronbme, mais il était le plus grand géomètre de son temps; il a complété enfin le système trigonomélrique des Arabes; il est le premier auteur des formules analytiques, qui servent à la résolution de tous les triangles; il a mis dans un ordre plus satisfaisant les méthodes que les astronomes ont suivies long-temps de préférence, et qu’on avait successivement étendues et améliorées; il a donné des règles qui facilitent la construction des tables de sinus, de tangentes et de sécantes ; enfin, on lui doit encore des formules où l’on trouve à peu près tout ce que les modernes connaissent déplus utile, pour les sinus es arcs multiples , en fonctions des sinus de l’arc simple. L’extrait des ou vx âges de Vièle est donc une partie essentielle de l’histoire de l’Astroe au moins sphérique. Nous le commencerons par ses tables trigonometnques, dont voici le titre : F

Canon mathematicus seu ad triangula cum adpendiçibus ; avec celte

astronomie du moyen ace: j

épmra'pbe : Dura el quiesce. Luteliœ, apud Joannem Mettayer, m Ma-

themalicis ^graphum^, ^ ^ ^ ^ de „ e„

Nous avons vu q^ Purbachj élendues à toutes les minutes

à: ;::;z îsïs» ^es g- - - — iis fei-

ISiïï? flxe04le0 d’Albategnius, avait indiqué ^^tangentes dans la Gnomonique; Régiomontan , ayant senti e du calcul sexagésimal , avait refondu les tables de sinus pour rayon ne 6oooo- il avaiT fait b part une table des tangentes pour tous les degrés,

ùbl, i, *-m, qui ■'•PP* <*/««*. qu-'l" £

nom de perpendiculaire, la tangent ]a sécante sous le nom àhj-

prend la perpendiculaire pour rayon, ’ chaque colonne, que ces

poténuse. Viète indique au haut e ^ lles de sinus , et les deux quantités sont tirées, les premieie , Rhapsodes, qu’il ne nomme

autres des tab.es/eWe et très féconde d. ^'scurit é et cette bipas. Ces tables, assez mn ^ Praut€ur’ Les différences sont marquées zarrene qui sont le ca degrés et les minutes des arcs sont

rsîsr» « .«J»* ?**•***•

les tangentes et les sécantes supposent un rayon plus grand.

A la suite de cette grande table on en trouve une autre sous ce litre . Canonion triangulorum rationalium. Ces triangles ont leurs coles fM* le nlus souvent par des fractions si considérables qu’il est assez difficile de 1 ? X utilité l’on en pourrait tirer. Ou voit ensuite une table pour r T ,i(.allon des quantités sexagésimales ; une autre pour la transfor-

fl, des sinus des tangentes et des sécantes pour tous les degres ; enfin, un tableau des règles à suivre pour l’usage de la grande table , et qui pa-

naîtrait au contraire imaginé tout exprès pour en augmenter les difficultés.

Cet ouvrage est peu connu, rarement cité ; il est probable qu’on n’en a Pas fait un fréquent usage. L’auteur n'a pas mis son nom au frontispice, mais seulement en tête d'un opuscule qui vient après les tables, avec ce litre : Francisci Vietœi , universahum inspectionum ad Canonem matliematicuni , liber singularis . Latetiæ, i5yg. On y lit à la page 2, que Y hypoténuse de l’angle droit sera nommée simplement hypoténuse , xct x iZ°Xyivi ut pote anguli nobilioris; on y rencontre ensuite un triangle en nombres, un triangle inscrit au cercle, un triangle dont un côté est tangent à un cercle. 11 est d’avis de conserverie mot technique sinus, ad laterum semissium inscriptorum denotationem. Le côté tangent au cercle n’a pas encore reçu de nom élégant; mais, parce que les Rhapsodes ont appellé fécondes les tables où ils les ont recueillis , il propose de donner à ces côtés la dénomination de féconds, ce qui n’est pourtant pas plus élégant que le mot tangente qu’il réprouve; quant aux sécantes, il veut qu’on les appelle hypoténuses des féconds.

Ces dénominations n’étaient pas faites pour être accueillies; on s’est décidé pour ce qui était plus naturel, plus commode, et même plus élégant, quoiqu’en dise Viète. On ne voit pas d'ailleurs comment les tangentes et les sécantes mériteraient le nom de féconds plutôt que les sinus, qui, au fait, sont la source de tout; en effet, les tangentes et les sécantes ne sont que des combinaisons des sinus entre eux ou avec le rayon. Les sinus suffisent tout seuls à la résolution de tous les triangles; longtemps on n’a pas connu d’autres lignes trigonométriques; l’usage en est bien plus fécond et plus universel; cependant ce fut une idée fort heureuse que de leur associer les tangentes et les sécantes, puisqu’elles abrègent nombre d’opérations qui seraient bien plus longues par les sinus.

Viète désigne le cosinus par les mots de sinus residuœ. II parait partager cette répugnance que les Arabes ont montrée si long-temps pour les cosinus , et qui leur avait fait inventer leurs déclinaisons prime et seconde, afin de chercher toujours l'inconnue par un sinus, se réservant ensuite de prendre le Complément de l’arc trouvé pour avoir la véritable inconnue du problème.

Pour faciliter la construction des tables, il donne les formules suivantes :

[corde(A — B)]* = (sin A — sinB)a4- (cosB — cos A)*

= sinaA 4-sinaB — ssin A sinB-f-cos’B-f cos* A - 2COSB cos A

= 2 — 2(cosB cos A 4- sin A sin B) =2 — 2(cosA — B)* = 2[l — cos(À — B)] = 4S'n* ■ (A ?

c’est une formule de Régiomontan»

sin(6o°-f-A) — sin(6o* — A) = sin 6o° cos A cos 60® sin A — sin6o*cosÂ

cos6o° sin A

r= scas Go° sin A = 2sin 3o° sin A = * siu À = sin A,

formule neuve et utile.

coséc À + cot À = ~—r 4” 1 sin A

coséc A — col A = -rA- —

sin A

cos  sin A cos A

sin A