ÂB*4- BD* — 2BD.BC
Ce théorème est déjà dans Euclide; il en lire
nr — AB* -4- BD*— AD*__ ± (AB*4- BD*— AD) è (L W
aBD “ - BD ~~ BD
11 désigne \(J par les mols dimidia potens (AB 4- BD — AD); on dirait qu’il s’étudie à rendre obscures les vérités les plus communes, ou du moius à se faire un langage particulier 3 il se plaint que le langage mathé-
maiique manque d élégance; mais celle qu'il affecte ne ressemble pas mal à celle de Ronsard,
Dont la muse , en français , parlant grec et latin,
"Vit au siècle suivant, par un retour grotesque,
Tomber de ses grands mots le faste pédantesque.
Celle réflexion n’ôte rien cependant à ses belles formules des tangentes et des sécantes, neuves alors, et qu’on retrouve partout sans savoir à qui Ton en est redevable.
11 démontre ensuite, comme Régiomonlan , l’analogie
BD : (AD -h AB) :: (AD — AB) : (CD — BC), que Théon avait démontrée plus simplement.
11 ajoute, d’après Commandin, que la ligne qui partage en deux l’angle au sommet, est toujours plus courte que la demi-somme des deux côtes. 11 eût été mieux encore de donner l’expression de cette ligne.
Soit ADB (fig. 120) un triangle quelconque, dont l’angle est également partagé par DC; à cette ligne menez les deux perpendiculaires AH et BP,
DC = DP — CP = DB cos BDC — BC cos C =DB cos j D — BC cos C ,
^S=?^CH=1DAcosADC+CA cosC=D.4cos j D+CAcosC, 2ÜC = (DB ■+■ DA) cosi D — (BC — CA) cos C
= (DB + DA) — a(DB -+- DA) si'n* £ D — (BC — CA) cos C .
DC = i(DB + DA)-(DB + DA)sm‘iD
— (DB DA) (22^2*) cos C ;
Quantité évidemment plus petite que £(DB-f-DA), car DB > DA et cos C est positif.
Après plusieurs théorèmes fort obscurs et de très peu d’utilité, il donne des tableaux peu commodes , où il a rassemblé dix analogies générales , ong-te7jips désirées et non encore publiées , qu’il répète six fois, selon le nombre des parties du triangle.
^ oit ABC (fig. 121) un triangle sphérique rectangle en C. Ces tableaux peuvent se traduire ainsi :
sinBC— sin A sinAB
sni AC=sinB sinAB
cosB —sinAcosAC cos A = sin B cosBC J
cosAB=cosACcosBCI
sin BC= cotB tang AC sinAC=cotA tangBC cos B =±:cot AB tangBC cos A =cot ABtang AC cosAB=colA col B
tang BC = tang AC sin AC tangAC = tangBsiuBC col B = tang A cos AB colA = tang BcosAB cotAB = colBCcosB
Ces trois premiers tableaux offrent, avec les formules déjà connues, qui ne renferment que des sinus et des cosinus, les formules qui emploient les tangentes.
coséc BC coséc A . cosec A B coséc BC = tang B cot AC cotBC= cot A coséc AC
cosé c AC = coséc B . coséc AB coséc AC = tang A cot BC cotAC= cot B coséc BC
sécB = coséc A . séc AC sécB = tang AB cotBC tangA =. cotisée AB
sùc A = coséc B. séc AB séc A = tang AB cot AC tangA — cot B sec AB
séc AB = séc AC. séc BC ' séc AB= tang A tang B tang AB = tang BC séc B
Ces trois tableaux sont la traduction des trois précédons, en substituant les colangenles aux tangeules, les cosécautes aux sinus, et les sécantes au cosinus.
tang BC — cos B tang AB i sécBC = sin B séc A | séc BC == C09 AC séc’AB tang AC = cos A tang AB séc AC= sin Aeéc B séc AC = cos BC séc AB
cot B = sin BC cot AC coséc B = cos&Cséc.A çoséc B s= sin AB coséc AC
cot A =sinACcotBC coséc À = sin B coséc AC coséc A =aéc AB coséc BC
çot AB = cos A cot AC coséc A£ = sin A coséc BC coséc AB — séc B coséc AC
Ces trois tableaux sont des renversemens des précédens; il en est même des trois suivans ;
cot BC = séc B cot AB cos BC=cos A coséc B cos BC = cos AB séc AC
cot AC = séc A cot AB ços AC = cos B coséc A cos AC = cqs AB séc BC
tang B = coséc BC tang AC sin B = cos A séc BC sin B = sin AC coséc AB
tangA = coséc AC tang BC sin A = cos B séc BC sin A = sin BC coséc AB
tang AB r= séc A tang AC sin AB =à sin BC coséc A sin AB = sin AC coséc B
Viète a tort de dire que ces six équations générales sont nouvelles; il n’y a de nouvelles que celles qui donnent des tangentes, et parmi celleslà même il y en deux qui étaient connues de tout temps; au lieu de tang A ,
Albategnius écrivait , mais Aboul Wéfa metlait, comme nous, tang A. Des sif’règles qui composent notre Trigonométrie des triangles rectangles, les Grecs *et les Arabes connaissaient les quatre premières; Géber donna la cinquième ; la sixième seule est de Yièle. Les Grecs avaient donc
cos C" = COS C cos C', sin C" sin A = sin Ç, tang G = cos A tang C", tangC' = sin C tang A'.
Ils n’avaient pas cos A' = cos G' sin A, Géber l’a donné le premier; non plus que col A' = tang A cos C"; c’est la seule que l’on doive à Viète.
VlÈTE. 465
Toutes ces analogies, car c'est sous la forme d’analogies que Viète les présente, ont le rayon au premier terme; il en ajoute 16 autres, qui n 0nt Pas cet avantage, et qui sont toujours inutiles. La manière de les obtenir est extrêmement simple, ce qui nous dispensera de les insérer ici.
Dans chacune des six formules fondamentales, l’inconnue se trouve au moyen de deux données; pour chacune de ces données on péut mettre sa valeur, exprimée par deux autres; après l’élimination, la valeur de l’inconnue dépendra, de trois données au lieu de deux; ce qui, comme on voit, est moins simple et se trouvera bien rarement utile; mais ce qui parait plus inutile encore, ce sont dix équations absolument identiques, telles que 1
qui revient à
coséc AB
cospc B sin B sin AB
coséc AB sinÀB = cosécB sinB, ou 1 = 1.
Pour résoudre les triangles obliquantes, Viète les partage en deux rectangles par une perpendiculaire, comme on a fait de tout tems. 11 résout en passant ce problème : Connaissant la somme ou la différence de deux arcs, et le rapport des deux sinus, trouver les deux arcs. Pto-
pl^facile^811 d°Une 3 S° üll°D; mais les tangen*es rendent l’opération Soit (fig. 122 )
MP=A, PN==B, MO=KA+B), VO=[(A~V), MA=»inA, N*=si„B.
Tes triangles semblables donnent
M/2 : wN ::
ÏÏI/i -f n N : M/z :: -f- Na : M£,
MN : Mit :: ; Mb,
2Sin i(A4-B) : M/i :: siuA-j-sinB : sin A;
M/i = a3Înî (A -f- B) sin A 2sinf (A -h B) .
sera donc
sm A q- sin B
siu A
connu*
mn == M/z — sin 7 ( A -f- B) ,
... mn Mn — sin’(A-f-B)
tang PO = tang PCO= tang i (A— B) = fc- = — ■ —
=3sinj(A + Bj ain.(A + B)
, sin B 1 ”i“ “ — r
sm A
côs ï (A + B)
* 2sin j (A -f- B) — sin £ (A -f- B) — ^ sin \ (A + B)
(1 + !“|)co.t(A+l \ sin A /
= taug|(A+B)
La solution de Viète est donc au fond identique à celle des modernes; mais elle est beaucoup plus longue, car il calcule M/ï , il en retranche
sin (A -f- B) pour avoir mn et calculer tang £ (A — BJ — cosi(A-f-B)‘ Pour le second cas, il suffit de changer le signe de B et celui de sin B;
on aura
tang {(A -f B) =
langi(A — B),
ou mieux eucore de renverser la première formule.
Pour trouver les côtés par les angles , il dit : cos ier angl. à labase:cos2* ang.àlab. :: sin Ier angl.vertic. : sin 2*angl. vert, et renvoie à la démonstration de Regiomontanus. On a donc la raison des sinus des angles verticaux; on a la somme de ces angles ou leur différence; on aura donc les deux angles; dans chacun des deux triangles rectangles on aura tous les angles ; il restera à calculer les deux hypoténuses et les deux bases.
La solution est bien longue; elle n’a d’ailleurs rien qui appartienne a Viète, que la manière de calculer tang | (A dç. B).
Pour trouver les angles parles côtés, il prolonge deux côtés jusqu’à 90*; du sommet de l'angle compris, comme pôle, il décrit un arc du grand cercle qui coupe le troisième côté prolongé, s’il est nécessaire; les segmens de cet arc , ou du troisième côté, forment deux triangles rectangles, qui out un angle commun; le rapport des hypoténuses est connu; leur
somme ou leur différence est le troisième côté. On a tout le reste comme ^ ^ problème precedent. On a trois analogies à Faire avant de pouvoir calculer un seul côté, chacun de ces côtés exige une analogie de P us.j La solution d’Albategni était plus courte, plus élégante et plus gé-
Viète donne ensuite, pour le même cas, l’autre solution des Arabes par les sinus verses, et pour la démonstration, il renvoie encore à Réeiomon ta n. °
Il n’examme aucun des quatre cas restans, et termine ici la Trigonométrie sphérique. b
Pourexprimcr les arcs en parties du diamètre supposé de 200,000 . -°'°° ; d donne les rapports suivans, où l'on eutrevoit l’usage des fractions déci-
redüerche'r sur !’°UVra^ contient des propositions de Géométrie, des recherches sur le rapport du diamètre à la circonférence 8e. „*• r
lions des tangentes et des sinus, les limites du sinus de enfin queU
nesTorrectnT8"' de laH8,ed° fausseP0!i‘-“^esad’dLns
Dans la collection des œuvres de Vièle, donnée à Leyde, en 1646 on tiouve un huitième livre de problèmes, sous le titre : 9
Francisci Fietœ variorum de rebus mathematicis responsorum , liber oc mine 1 11' SaU Ce f,ue sout devenus les premiers. Le huitième comil ranneUe t'"3 l.héorè™es qui ne 5ûnt pas de notre sujet. Au chapitre X , citer Iditus “T"6 “"r y"qUe du livre ffuî sult «on canon. Is enim infeli . n’est pas s l"nn° ,5y9’ S l1 » eu à se plaindre du peu de succès, ce corriger V&ÎT* * ^ ^ 9nelques faules typographiques aisées à étranee ’ei ' 1> dÛ S e“ Prendl-e qu’aux défauts de rédaction, au langage loppef' N obscurité dont il parait avoir cherché lui-même à s’enveont du efTr ^ V°*r ^ n est P38 bien corrigé de ces défauts, qui
les services^ f ^ £ran<* nombre de ses lecteurs, et font qu’on ignore différens obiett S arenfus a ,a Trigonométrie. 11 passe en revue les qu il a traites dans ses Universelles inspections. Au cha^>
pilre XIX, il arrive à l’usage de sa table; il annonce qu’on ne sera paf accablé parla multitude des préceptes, car toute la pratique se réduit à vingt-un éiéopuwa. ou données.
Première donnée. Dans un triangle plan rectangle, les angles étant donnés, les côtés se trouvent dans sa table. Pour l’explication de cette table, soit C le côté perpendiculaire, il sera le sinus de l’angle A ; le côté G' le cosinus de A ou le sinus du complément de A ; C?/ ou 1 hypoténuse sera le sinus total. On aura donc
C" =i, C = sin A, C' = cos A = sin À'.
Autrement. C = prosinus de A , c’est-à-dire tangA; base = C' = i .C" transsimiose de A , c’est-à-dire sécante de À.
Enfin,
C=i, C'==cotA, C" = cosécA.
Yiète n’emploie les mots ni de cosinus, ni de tangente, ni de secante; il dit toujours sinus, prosinus, traussinuose , soit de l’angle, soit de ce qui reste quand l’angle a été retranché de l’angle droit. Anguli reliqui à recto. Nous abrégeons les préceptes.
On peut trouver les mêmes choses dans sa table d’une manière mêlée
ou composée .
Soit
C x= séc A — cos A ;
C __sécA — cos À
sia A sin A
î — cos4 Â
"sin A cos A sin A cos A
C' = (séc A - cos A) cot A = cos A cot A « - ~ (c'03
1 — cos3 A sin3 A
sin A
= sin A ;
/ormules plus bizarres qu’utiles, et qu’il ne démontre pas.
Soit
C = sécA' — cos A'; vous aurez C"= tangA' et C'=sinÀ'.
La démonstration est la meme.
Soit
C = sécA , C' — séc A cot A == = £~ sT&iec A ,
St . » . . sin A . cos A
* sia À sin À cos A siasA ano* *4“ CO cos A sin A
sin*À-bcos*A i
çt, __ sècA __
sin A cos A
~ sin A cosA*
Écrivez toul cela dans le langage de l'auteur, réduisez les équations en analogies, et vous aurez autant de logogriphes, qui vous donneront plus de peine qu’ils ne valent.
Deuxième donnée. Connaissant l’hypoténuse et un côté, on a les angles.
C" : i CrsinA; C=C"sinA et G' = C* cos A=Cf'sin A',
G' : i ::C':sécA= -i-,, C : C' :: i : coséc A =
cos A 7 sin A
Ces formules sont connues de tout tems.
Troisième donnée. Ayant la perpendiculaire avec la base, on aura les angles.
C' : C :: i : tangA, C : G' :: i : cotA = tang A'.
Quatrième donnée. Triangles plans quelconques.
Tes angles étant connus, on aura les côtés en parties de la table. sinC : sin G' .* sin G" :: sin A : sin A' : sin A".
Autrement. Partagez les angles en deux parties égales , par des droites qui se réuniront en un meme point H(fig. 12 3}, de ce point H menez les perpendiculaires HP, HP', HP"; vous aurez
C,/=PIP"cotP'AH4-HP^cotP"A,H=HP7(cot^A-^cotiA'), car les trois perpendiculaires sont égales.
Autrement. Soit
C"=tangi A-Hangl A', alors Cf=cot^ A*— -taug^ A, C=coli A'-tang^A',
cos j-A" sin-; A
cot J A" — tang^A sin 5 A" cosjA
c" tang i A -f- tang { A' ‘ sin ; A sin + A'
cos^A^cos^A'
. (c°s j A" cos; A — sin; A" sin ; A) cos £ A cos { A'
(sin i A cos i A' -j- cos ; A sin £ A')sin ~ A" cos £ A
COS ; (A 7 -4“ A) 00,5 J A cos ~ A' sin (A -f- A') sin ; AV cos ; A
= C0S (9°* — î A;) cos ; A cos ‘ A' A' sin A'
cos £ A" sin { A" cos £ A sin 5 A" cos^A" sin A" *
la supposition est donc démontrée; mais à quoi peut-elle servir?
Autrement. SoitP la perpendiculaire abaissée dé À" sur C*, V lougle vertical du côté de A, V' l’angle vertical du côté de A7, V-f-V'—A'. c__ P __ P
cos V sin A
sin A' : siu A;
Cs=JL=X-
sinA' cosV*
; cosécA : cosécA'
C = P (colA cot A') j
celle manière est au moins un peu plus simple; on en déduirait
Psin(A + A) P gin A" ^ p . —
C" sin A sin A' C* sin A sin A'
^sin A sin A' sinAsinA' w smA" sin (A + A)
Cinquième donnée. Les côtés élant connus , on en déduit les angles, cos A" = - — - } A -f- A — i oo A ,
A = ï (A + A') — K A — A') , . i A} = i (A + A') — s (A — A') J' tout cela élail bien connu et n’est pas devenu plus clair cnlreles mains de Viète.
Sixième donnée. Etant connus CelC avec Af/ , on en conclut les angles à la base.
fangKA-A^^co^A'V
Voilà une formule très utile et qui est restée. Je la crois de Viète, puisqu il parait que c’est lui qui, du moins en Europe, a véritablement introduit les tangentes dans le calcul trigonométrique , idée dont on fait honneur à Régiomontan , qui n’y a jamais songé; elle appartient incontestablement à Aboul Wéfa. Elle a été renouvelée par Reinhold.
