C : C' ;; sin A ; sio A' ;; coséc A' : coséc A
Si 1 angle est aigu et C <C,Cr} l’espèce de 1 angle sera douteuse. Cela n’est pas nouveau.
Huitième donnée. Triangles sphériques rectangles. C ' et A étant connus, on a le reste ; car
sinC"sin A = sinC, langC" cos A = tangC' , cosC" tang A = cot A'.
Ce sont les trois règles actuelles. Regiomontanus ignorait les deux dernières. A b oui Wéfa connaissait la seconde. La troisième est de Viète. On peut faire
cosec C"cosécA==cosecC, colC"sécA=cotC', séc C"cotA=taugA', coiollaires evidens des premières formules.
Neuvième donnée. Triangles sphériques rectangles.
Avec C" et C on a le reste; car
= cos C> ou cos Se'c C = cos C',
coséc C" sin C = sin A , colC" tang C = cos A', formule d Aboul Wéfa, ignorée de Regiomontanus. sec C" cos C = séc C', sin C" coséc C = coséc A , tang C' cot C :±= séc A'.
L idée des tangentes et des sécantes une fois donnée , il y a nombre de ces formules qui ne coûtent que Ta peine de les écrire, et qui appartiennent au premier qui y porte son attention, ou plutôt à celui qui le premier a introduit les tangentes, c’est-à-dire à Aboul Wéfa.
Dixième donnée. Triangles sphériques rectangles.
C et C' font trouver le reste; car
cosC cosC'*» cosC”, cotC smC'==cotA, cotC'sinC = cot A' eUeurs analogues, en substituant les sécantes et les tangentes. Ici rien (le
Onzième donnée. Triangles sphériques rectangles.
C et A donnent le reste,
tang C cot A=sin C, sin C coséc A = sinC', séc C cos A = sin A', et leurs analogues.
STÎTomr 'ielteD8'eS SP'*C'riqUeS
47o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
cotC cos A' = eût C", smCtangA'=tangC', cosCsinA' = cosA, etc.’
Treizième donnée. Triangles sphériques rectangles.
A et À' donnent le reste;
col A cot A'=cos C", cosécAcosA' = cosC', cosécA'cosA=cosC, etc.
Quatorzième donnée. ItyoflwwJW , petite proposition préliminaire. Viète aime les expressions insolites, car il aurait pu dire lemme , Xï\pn*
OU XYfJLfJLSLTlOV.
Soit I l'inclinaison d’un grand cercle sur un autre grand cercle quelconque, R la plus grande différence qu’on puisse avoir entre l’hypoténuse et la base du triangle rectangle formé en abaissant un arc perpendieu— culaire d’un point quelconque du cercle incliné.
i 4. cos I i — cos 1 : : i i sin R ,
ce qui revient à
2COS‘ïI: 2sin*^I :: I : sin R = lang*£ I.
De l’analogie de Viète , qui est celle de Régiomontan , on tirerait
T sin qo° — sinR
I + sinR : I — sinR :: 2 : 2C0SI :: 1 : cosi — ü^^-j-sinR
»in(45“ — j R) cos (45° -K R) __ Ung(45« sin (^5® 1 II} cos (45* — i ït)
= taog* (45‘
i R) cot (45*4- i R)
J’avais trouvé ces théorèmes, et beaucoup d’autres, jong-tems avant d'avoir lu Viète, ni Régiomontan. Vojrez ci-dessus, p. aif Quinzième donnée. Triangles obliquangles.
Avec les trois côtés on a les trois angles.
cos A" =
cos Cr — cos C cos C' sinC sin C'
Règle d’Àlbategni. Viète n’avait- il jamais lu Albalegni, commente par Régiomontan? Il donne des règles pour connaître l’espèce de l’angle. Il n’avait aucune idée des signes des sinus, ni de ceux des tangentes. Pour donner une idée de son style, rapportons sa règle pour trouver cos A".
Laïus quœrendo angulo oppositum esta primum (c’est cosC") ; duo igitur rectangula sigiÜatïm applicabuntur ad sinum totuni (c’est-à-dire seront divisés par le sinus total); unum quod fit sub sinibus ad complementa lato rwn secundiet tertu (c’est cosC cosC'); alterum sub sinibus ipsorwn
. j*V,ETE' 4ft
Tuni secundi et terhi (c est sin ^sin C ) et prit : ut exiens e secunâîi applicatinne latitude (c’est le dénominateur); ad aggiegatum vcl differentiam
MUtudinis ex primâ applicatione oriundœ . . [c’est le numérateur
(cosC" cosC cosC') et cela n’est pas trop clair]; Ua sinus lotus ad coniplementum anguli qaœsiti.
11 fallait dire au moins ad sinum complcmenti anguli rjuœsiti. 11 faut avouer que des préceptes ainsi présentés ne sont faciles ni à retenir ni à pratiquer, ni même à comprendre. Jugez quand il y manque plusieurs tnots. Par exemple, après le mot oriundœ, on avait omis les mots et sinu complemenli lateris primi.
Seizième donnée. Les trois angles comras, on a les trois côtés.
COS C" = 003 A" -f- cos A cos Ar tin A sin A' ~ y
formule inconnue jusqu’alors, ainsi que la suivante.
Dix-septième donnée. C, C' et A' connus, on a le reste.
cot A =
cotC — cot A" cot C' sin A" coséc C' 9
cotCsinC' B
ïïîTa7 cos G col A",
ce qui est plus simple.
Dix-huitième donnée. Connaissant A, A* et C', on a le reste, en retournant la precedente. * fcU re
co^ cot A 4- cos C' cot A"
— i^ccsééA- > o.uplulét + COS A" cote',
ce qui est plus commode.
Dix-neuvième donnée.
cos C" - cos A" -f- cot Ç cot Ç * . , ,
coséc C cosécC °uplutot =cosA sinC sin C^-f- cos C cosG\
d’Albategni!'aS P°Ur<IUOi ^ Une forme $i COmP Kquée à la règle
Vingtième donnée. A , A' et C" donneront le troisième angle.
C(K A f/ — g08 cpt A cot A’
coséc A coséc A' 9 °u plutôt ~-cosC sinAsinA' — cosAcosA'.
^'«gt-unième donnée.
sin C ___ sin C' ___ sin C* ein A *iu A' âio A* 9
règle biea connue.
'IvvrofAov ou manière abrégée. ^
Les produits, tels que sinC sinC', sin A sin A', etc., peuvent s obtenir par la soustraction.
sin C sinC' = \ [cos (G — C') cos(C 4* C')] , cosC cosC' = î [cos (G — C') 4- cos(C 4- G')] ,
c’est ce qu’on appelait prostaphérese ; elle était connue des Arabes. Viete fait
i : ssinC sinC' l cos (C — C') — cos (C + C'), i : 2cosC :: cosC' : cos(C — C') -H cos^G+C'), ce qui revient au même. II donne cette règle sous trois formes , selon l’espèce des angles.
Appendice à la sixième donnée, '7tcLpeL7rzfju7ni.
Un triangle sphérique ne peut avoir aucun côté plus grand que 180% ni même de 1800 tout-à-fait.
Si deux sécantes sont en raison donnée, les deux arcs seront connus, pourvu que l’on en connaisse la somme ; on pourrait ajouter ou leur différence.
Yiète fait
sécA : sécA' :: coséc(A 4" A') : tangA' 4- cot(A + A');
d’où
séc A' coséc (A -f* A') == séc A tangA' 4- sécA cot(A 4- A') ;
1 tangA' t cos (A -H A')
cos A' sin (A+ A') ‘ cou A cos~A 9
cos A l, > cot(A-h AQ
cos A' sin (A 4- A') g sin (A 4" A') 9
*^-4-7 = tangA' sin ( A -f- A') -4- cos (A 4- A'), cos A a
cos A^=sin A'sin(A-h A')4^os A'cos(A4“A')=cos(A4*A'-— A) — COsA. L’analogie de Yiète est donc vérifiée; on aura donc
tang A' 5= On peut faire
sécA'
sécA
— cos (A4- A')
sin (A 4- A')
cos A. / » « 1 / \
- - — cos ( A 4" A )
cos A
sin (A -f À7) r*
cos A
tant» A' = cm» — co»(A + AQ asin ■ (A + A' — pi sin i (A 4- A' + 0)
sin (A -f A') s7n(A4~A') ‘ *
Or,
1 + cos <p : 1 — cos <p :: cos A' -f- cos A : cos A' cos A
j : tangip :: I : tang^ (A— A') tang j (A -f- A'). *
Ainsi, au lieu de supposer la somme connue, on peut supposer la demidifférence. Cos<p est le rapport connu des cosinus, ou le rapport inverse des sécantes; on a donc coscp et
lang I p = tang f (A — A') tang A (A + A') ;
ainsi, avec la somme et le rapport on aura la différence, et par conséquent les deux arcs, d’une manière bien plus courte que celle de Viète On arriverait plus naturellement à cette solution en faisant
cos A' : co. A : : 1 : cos » , cosA'+cosA:cosA'— cosA :: . +COs®- .—cos* acos, (A A') cos J (A-f-A') : asin f ( A — A'Jsin a (A+ A') :: ,:,ang- 1»’ tang- i = tang 1 (A A') tang f (A + A').
Mats pour trouver cette formule plus élégante et plus générale, il fallait transformer 1 analogie primitive en prenant les somnies et les différences des deux termes de chaque rapport. Nous avons plusieurs Ifé témoigné notre e.onnemen, de ce que les Grecs , qui ont tourmente leu s proportions de tant de manières souvent bizarres, ne se soient jamais avises de cette combinaison. Les Arabes ont eu la même maladreTé et nous voyons avec quelque surprise, qu’une chose si simple n’ait pas ete aperçue de Viète. Il donne ensuite une règle particulière pour le cas de la différence. Il en donne encore d’autres pour les cas où c’est la somme ou la différence des arcs qui est donnée; mais notre formule reste toujours aussi simple et aussi générale.
s>nA : sin A' :: 1 : n; donc sinA+sinA'.-sîn A— sinA':; ,-f»;
donc tang HA — A') J — n i — cosp
tang ï (A -f- A') 1 -f n ~~~ i + cos p ^an§ I Pi
donc tang i (A -A') = tang- 1 „ tang * (A + A'),
p. tang 1 (A-f-A') = cot* a <p tang a (A— A’).
Plus loin il donne
cotA-j-cotA' : cot A cot A' sin (A-f-A') ; sin (A — A');
en effet ,
cos A' .. sinA' cosA-f sinAcosA/ , sin A' cos A — cos A' »in A tin A' ** sin À sin A' * sinAsinA'
:: sin(A'-f-A) : sin (À' — A).
II ne démontre aucune de ces formules.
Il revient à l’histoire des Tables de sinus, de tangentes et de sécantes. 11 persiste a rejeter les dénominations de sécantes et de tangentes; ses raisons sont que la sécante doit couper le cercle en deux points, et que la tangente n’a par elle-même aucune borne; mais c'est qu'il s’obstine à placer l’origine delà sécante hors du cercle. En plaçant l’origine au centre, elle ne coupera plus le cercle qu’en un seul point, et elle bornera naturellement la tangente. Les dénominations sont une chose arbitraire et qu’on peut changer pour plus de commodité, pourvu qu’on commence par les définir pour éviter toute méprise. Yiète lui-même n’a-t-il pas changé la définition du mot hypoténuse, qui, chez les Grecs, signifiait indifféremment l’un des côtés quelconque des triangles. La restriction qu’il proposait était bonne et commode, elle fut généralement adoptée. Les dénominations de tangentes et de sécantes, dans le nouveau sens, avaient les mêmes avantages. Elles ont triomphé des mépris de Viète, et elles méritaient la préférence sur les prosinus et les transsinnoses.
Au lieu de prosinus il proposait encore amsinus, sans en dire la raison; la préposition am est peut-être ctfict des Grecs, ou cum ; ainsi, amsinus serait le sinus compagnon : ce qui serait le cosinus , a la signification près. Il propose encore de donner aux sécantes le nom de prosemidia me tri } quasi protensœ semidiametri.
Si des trois sommets d'un triangle sphérique , comme pôles , on décrit des arcs de grand cercle , le triangle nouveau qui en résultera sera réciproque au premier triangle , tant pour les angles que pour les côtés . Yiète n’en dit pas davantage. On serait tenté de croire, qu’il vient de définir sous le nom de triangle réciproque , le triangle polaire ou supplémentaire, dont il est question dans toutes les Trigonométries modernes; mais, dans le vrai triangle polaire, les côtés sont les supplémens des angles du triangle primitif, les angles sont les supplémens des côtés et réciproquement. Yiète ne prononce pas le mot de supplément. On croirait que les côtés deviennent tout simplement des angles, et que les angles se changent en côtés : ce qui ne serait pas exact. Nous verrons plus loin le mot de cette énigme; en attendant, contentons-nous d’assurer que jusqu’ici rien ne
cos A , cos A' . cos A sin A ainA'*smA
démontre encore que Viète ait eu la première idée du triangle supplémentaire des modernes.
Ce qui parait démontré, c’est que Viète a le premier complété notre système trigonomélrique ; qu’il a véritablement enseigné l’usage des taugentes et des sécantes; qu’il a établi les quatre formules générales, desquelles deux seulement étaient connues. Mais ce qui paraîtra singulier aux géomètres, c’est qu'étant auteur des formules que l’on appelle spécialement formules analytiques, il ne les regarde que comme des théorèmes purement curieux, et que pour la pratique il préfère de partager le triangle en deux rectangles. Il est certain que le calcul en est toujours plus court, quoique moins précis quelquefois. Il est pourtant des occasions où je préfère les quatre formules analytiques, même comme plus commodes : cela dépend des circonstances. On ne gagne jamais rien à se borner exclusivement à une méthode. Une autre chose presque aussi singulière, c’est que Viète n’ait jamais mis ses règles en équations ; il en connaissait l’usage cependant, puisqu’il a composé un traité tout exprès, sous le titre de Recognitione œquationum, et un autre de Emendationc œquationum. Il est vrai qu'il ne connaissait pas le signe = qui sert à indiquer l’égalité des deux membres, et qu’il s’expliquait de la manière suivante : si aJV œquetur B; mais ce n’était pas un obstacle; il pouvait écrire , par exemple ,
on aura cosC" égal à cos A" sin C sinC'-f- cosC cosC.
Nous allons voir qu’il est aussi l’auteur delà plupart des solutions qui s’appellent astronomiques, pour les distinguer des formules analytiques.
Soit (fig. 124) B AD un triangle sphérique quelconque, avec sa perpendiculaire AC = P.
sécBAC : sécDAC :: tangAB : langAD,
00 cos D AC : cosBAC :: tangAB : tang AD,
séc CB : sécCD séc AB : séc AD, ou cos AB : cos AD :: cosBC ; cos CD,
sin CD : sin BC :: tang B : tang B, sin BAC : sin D AC :: sécD : séc B :: cos B : cosD.
Ce sont, comme on voit, les règles devenues vulgaires. Parla, Vièteévité le calcul de la perpendiculaire P, dont on ne pouvait se dispenser avant 1 introduction des tangentes. Ici Viète a été plus loin que les Arabes; du moins nous ignorons encore ce qu’avait fait Aboul Wéfa pour les
triangles obliquangles et pour les rectangles mêmes; il ignorait ce théorème de Viète, qui nous a appris que le cosinus de 1 hypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques. Nous pouvons donc réclamer pour Viète le système complet de Trignomélrie que suivent aujonrd hui tous les astronomes. Ce- système est devenu plus simple et plus facile à retenir, depuis que nous nous bornons aux sinus, aux cosinus, aux tangentes et aux cotangentes ; mais avant l’invention des logarithmes , les sécantes avaient leur utilité pour changer les divisions en multiplications, ce qui n’était pas à dédaigner.
Pour exemple (fig. ia5), il donne le triangle rectangle ACB, dont voici les angles et les côtés :
C = 90°, A =41% B = 55°i'36", AB = 3o°o'o", AC = 23° 3o'4o% BC= 1 90 8' 5b".
Il y ajoute trois remplissages (fig. 1 26) , xar ctvettfhrfuo'iv , c est-a-dire qu’il prolonge chacun des trois côtés, de part et d’autre, jusqu’à i8o°> ce qui lui donne trois fuseaux, dont le triangle primitif est la partie commune; dans les trois triangles nouveaux qu’il forme de celle manière, les côtés et les angles sont ou égaux à ceux du triangle primitif, ou leurs supplémens à 180°; les angles sont égaux quand ils sont opposés au sommet ou aux deux bouts d’un même fuseau ; ils sont supplémentaires quand ils sont des angles de suite; les côtés sont égaux quand ils sont commuus à deux triangles, et supplémens quand ils sont les prolongemens des côtés donnés.
Des trois angles de son triangle rectangle, il fait les trois cotes d’un, triangle rectilatère.
Les angles seront i5o° . . . 23° 32 4° *9° 8 56,
Viète donne.... i5o. • • . 23 . 32 .40 et 19. 8.58;
mais dans la figure, plusieurs de ces nombres sont altérés, et par suite leurs supplémens.
Jusqu’ici l’on ne voit pas trop à quoi servent ces remplissages et ces cbangemens d’angles en côtés.
Son triangle suivant est obliquangle ; il en suppose les côtés en nombres
