AB = 70% BC == 54% AG
J’en conclus les angles
VlÈTË.
Cssa^g'n', A=21°I1,9,/ et Viète fait .
La somme ne serait que de.. . . = 1 58. 45. 53,
et elle doit être plus forte que 180°; le sinus de B est aussi celui de 220 45' SS"; au lieu d’en prendre le supplément Yiète aura ajouté 90°. La même faute s’est glissée dans les remplissages.
Des côtés 70% 54% 1200, Yiète fait les angles 7o°54° et 6o°, dont la somme est 184°. Je trouve les côtés 24° 4ÿ 1 l% 22°45'34", 210 n'9*. Deux de ces côtés sont les angles du triaugle primitif; celui du milieu est le supplément de l’angle primitif. Serait-ce là ce que Yiète appelle son triangle réciproque ? En prolongeant les côtés jusqu’à 90% l’arc compris et décrit du sommet comme pôle, sera la mesure de l’angle. Les trois côtés ainsi trouvés, pourront former un triangle, mais ce triangle ne nous apprendra rien.
Sur des côtés donnés on pourra élever des arcs perpendiculaires, les angles au pôle auront la même valeur que les côtés; ces trois angles pourront être ceux d’un triangle, pourvu que leur somme surpasse 180°.
Viète prend un autre triangle dont les côtés sont 70°, 45° et 36°.
Il trouve les angles i23° 36' 20", 38° 48' 3or et 3i° 23' 49".
Je trouve . . 123.36. 21, 38.48.3o et 3i.23.44»
11 en donne encore les remplissages , qui ne sont pas plus utiles que les précédens.
Des trois côtés, il fait encore trois angles , mais leur somme ne serait que de i5i°; il change 36° en son supplément i44°*
Yiète trouve pour les angles 1480 36' 1 2", 1 23° 36' 20" et 58° 45' 3o'\ Je trouve.. ............. . i48.36.i2, 123. 36. 21 et 38.48. 3o.
Deux de ces angles sont les anciens côtés, l’autre est le supplément de 1 ancien angle ; il est opposé au côté dont on a pris le supplément.
Yoilà tous les exemples numériques de Viète; on n’y voit rien qui ressemble au triangle vraiment supplémentaire. Les triangles dont il a changé les côtés en angles, sont probablement ce qu’il appelle triangles réciproques, et ils ne sont qu’une spéculation assez oiseuse. Quand il a pro ongé ses côtés jusqu’à 90°, et que des trois sommets comme pôles il a décrit des arcs de grands cercle, il a trois arcs; mais les arcs ne
forment point un triangle ; on peut en former un triangle , si deux quelconques de ces trois arcs surpassent le troisième; les trois angles ne sont pas assujétis à cette loi; l’un des angles peut surpasser la somme des deux autres , et nous en avons un exemple dans le dernier triangle où l’un des angles était de i44% et la somme des deux autres n était que de 1 15°. On peut supposer sur une base, deux angles aussi petits qu’on voudra, le troisième surpassera le supplément de la somme des deux petits angles, et surpassera de beaucoup leur somme. 11 résulte de cet examen, que Vièle n’a aucun droit à l’idée d’un triangle supplémentaire; nous verrons que cette idée appartient à Snellius, qui s est énonce de manière à ne laisser aucun doute.
La définition dn triangle réciproque, donnée par Viète , page 4*8 > n° 10, si sub apicibus singulis propositi tripleui'i sphærici , describcintur maximi circuit, tripleumm ita description tripleuri primùrn proposai, late~ ribus et angulis est reciprocum , est incomplète de toute manière, et le hasard fait quelle convient beaucoup mieux à un triangle auquel Viète ne pensait pas, et qui a été imaginé long-tems après. Il aurait dû nous dire en quoi consistait cette réciprocité des angles et des côtés. Le sens le plus naturel à donner à ces mots , était que les angles du premier triangle devenaient les côtés de l’autre, et réciproquement : ce qui n’est pas vrai. Cette réciprocité a lieu dans les échanges pleurogoniques (En~ allage 7rXevfoyu)vixr) dont il nous a donné des exemples numériques; mais dans ces échanges de côtés en angles, il est obligé de substituer le supplément au côté lui-mème, pour que le nouveau triangle soit possible. C’est une chose dont il n’avertissait pourtant pas dans sa définition. Heureusement il a donné des exemples sans lesquels on ne l’eut jamais compris; et l’on pourrait, avec quelque vraisemblance, soutenir qu'il a eu l’idée du véritable triangle supplémentaire. Cet exemple doit nous rendre très circonspects dans les interprétations que nous donnons quelquefois à des passages obscurs, pour attribuer à quelque ancien une découverte à laquelle il n’a jamais songé. Si Viète avait eu l’idée de ce triangle supplémentaire, aurait-il négligé d’en expliquer les propriétés et les facilités qu’il offre pour les démonstrations de certains théorèmes? il donne lui-mème quelques lumières sur ses véritables intentions, p. 4*8, n° i2. Et si quidem in iis rectangulis proponatur angulus aliquis obtusus aliquodve latus majus quadrante , invertitur triangulum xctT wetTrXifœriv et cum idem triangulum quatuor modis vanari possit.. .. ehgitur adsequendti ea species quœ angulos , qui acuti sunt, exhibe t, et lalera quadrante mi*
nom. Eâ enim adseculâ , de specie proposita licet judicium facere et ratio cinari. Ainsi, tous ces remplissages 3 et les conversions de triangles, n’ont d’autre objet que d’éviter les angles ou les côtés qui surpassent go°, pour raisonner plus sûrement sur l’espèce de l’inconnue. Ce sont des préparations dont nous n’avons plus besoin aujourd’hui.
Pour sou IriaDgle réciproque voici comment il aura pu y parvenir, et comment il aura senti la nécessité de changer un côté en son supplément avant que d’en faire un angle.
Pour trouver un angle par les trois côtés , il calculait -- C ~~gps c cos c' ° 7 sin C sin C/ *
et il avait le cosinus de l’angle opposé à C"j en faisant des angles de C,
C'et C", sans en changer les valeurs numériques, l'expression fractionnaire
restait la même, mais elle ne donnait pas le cosinus du côté opposé,
dont l’expression véritable est — ~-.~*\co.s ^i:os C
r sm C su C *
Au lieu de C" mettons i8o® — C", la première expression deviendra
— cos C" — cos C cos C' cos C" 4- cos C cos €'
sinClbC? - Sb C sin C - ’ Ce Sera Ia Vâleur du c°smus
du côte, opposé à (180' — C") ; le cosinus sera négatif et le côté plus grand que 90°. °
Conservons C" en le changeant en angle, et mettons (180* — C) ou
( 1 808 — C' ) au lieu de C ou de C', l’expression deviendra 008 cH-cosC cosC'
sin C sin C' *
ce sera celle du cosinus du côté opposé à C", mais le cosinus sera positif.
Voilà donc sans doute le véritable triangle réciproque de Viète. Ce changement de C ou de C' en (1800 — C) ou (180° — C'') introduisait un angle obtus qu’il changeait en un angle supplémentaire aigu, par l’une de ses quatre anapléroses. Celte explication est parfaitement conforme à tous les exemples numériques, et aux passages cités de Viète.
Ailleurs il se propose ce problème, dans le genre a peu près de plusieurs qui ont été résolus par Régiomontan.
Dans le triangle rectiligne ABE ffig. 127), on connaît l’angle au sommet A, le cote opposé BE = C avec ses deux segmens DE = £ et BD = c% de sorte que b + cz= C ; on connaît de plus la ligne AD = <7, qui va du
o mm e t au point de section D de la base. On demande les deux autres cotes elles angles opposés.
A r°Ut est ioscriptible au cercle; ainsi, la base BE est la corde
üe lare 15HE — 2 A. §oit r jç rayon inconnu cju cercte
FA=FB = FE = r; BG=GE = i(i + c) = siu A ; FG = rcosA =^^pi=i(4 + c)c°tA; DG = BG — BD = j (£+ e) — c ^b+ic-c^W-c); tangFDG=^=i<f±^=(|±f)cotA;
DG ...i(*-0.
cos FDG cos F DG ,
dans le triangle ADF, nous avons
nous aurons donc l’angle ADF ; nous aurons
ADG = ADF+FDG, ADB = i8o9— ADF — FDG;
avec l’angle ADB et les côtés BD = c et AD=« nous aurons les angles DBA, B AD, et par conséquent DAE et E; mais il suffit de DBA et de BAE pour avoir BEA ; nous aurons donc les trois angles ; avec le côté BE , nous aurons B A et AE; le problème sera complètement résolu par la recherche de 2 1 logarithmes.
La solution analytique serait plus longue et moins commode; la solution graphique serait bien simple.
Sur le milieu de BE élevez la perpendiculaire indéfinie GF,
Menez BF, qui fasse GBF = 90° — BFG=go° — A, vous aurez en F le centre du cercle, vous aurez le rayon FA; décrivez le cercle.
Du point D, avec le rayon AD, marquez le point A, lirez AB et AE, le problème sera résolu géométriquement.
Adrien Romain avait proposé aux géomètres de son tems la solution d’un problème du 45; degré. Viète, qui s’était beaucoup occupé des sections angulaires, reconnut en trois heures que 1 inconnue oc du problème
était la corde d’un arc = B étant Tare dont la corde A serait le terme tout connu de l’équation.
Dans sa réponse , Viète, après avoir plaisanté Adrien Romain, lui corrigea son problème, en expliqua la solution, en donna la construction, à laquelle il ajouta , sans démonstration , plusieurs théorèmes qui conduisent à donner les expressions des cordes des arcs multiples en séries ordonnées selon les puissances de la corde de l’arc simple; il donna quelques exemples delusage de ses formules, en y ajoutant quelques petits théorèmes pour les sinus des arcs multiples et sous-multiples.
Parmi ces théorèmes, qui ne sont pas tous également utiles, Alexandre Anderson a rassemblé les plus importans, et les a démontrés synthétiquement. En les traduisant en langage moderne, on retrouve ou des propositions connues de tout tems, ou des expressions qu'il est aisé de ramener aux formules plus modernes des puissances des sinus en fonctions des sinus ou cosinus des arcs multiples, ou réciproquement.
Le premier se réduit à
sin A = sin (2 A -f B) cos(A + B) — cos(2 A 4- B)sin(A 4- B) , cos A = cos (2 A -j- B) cos (A -j- B) -f- sin (2 A + B) sin ( A -+* B).
Le second à
sin (2 A -+■ B) = sin (A + B) cos A 4- cos (A 4- B) sin A, cos^2 A -4- B) = cos(A4- B) cos A — sin (A H- B) sin A.
Ce n’était pas trop la peine de travestir ainsi deux théorèmes de Ptolémée ; ou du moins , en leur donnant cette forme, il fallait en montrer les usages particuliers.
Dans le troisième, il cherche les expressions de sîq2A, sin 3A, sin4A, etc.; cosaA, cos3A, cos4A, etc. Tout cela n’offre aujourd’hui rien que de bien connu, et les démonstrations qu’on en donue sont bien plus faciles.
Le theoreme quatrième est plus remarquable; mais pour le rendre intelligible je l’ai mis sous la forme suivante :
sm(n 4- 1) A=sin«A4“ [sinnA — sin (ji — i)A] — 4sm* £ A sinrcA ,
qui donne le moyen de calculer la table des sinus par les différences première et seconde, quand on a déterminé directement les sinus de o.A et 1 .A avec sin* £ A ; formule que j’ai trouvée il y a plus de 25 ans , sans avoir lu Viète, ni aucun des auteurs de ce tems, et que je n’avais pas aperçue d’abord dans le théorème obscur de Viète, qui ne l’a pas vue luimeme, car sans doute il n’aurait pas manqué d’indiquer un usage si remarquable. {Voyez tome I, page 458).
Voici , au reste l’énoncé de Viète :
lia1 ^ PUncto 9 *n Pe,'ipheria circuit, sumantur segmenta quotcwnque œqua~ cor, Ut "unima ad st-bi proximam, ita reliquarum quœvis à minimâ dein -
^L ^d 'SUrn,nani c^uarlim s*bi utrinque proximarum.
ka emonstration synthétique tient plus d’une demi-page in-folio.
48a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
On trouve ensuite ce problème : Prendre, sur une circonférence, deux arcs en raison mullipie qui soit aussi celle des carrés de leurs cordes. Soient A et nk ces deux arcs; on aura A . sin A :: sin A . sm n y
sin*nA
MfiaA ”
. sm*üA (asin A cos A)* ^h^cO^A — /par» A ^
Soit 71 = 2. 7Î^Â= - Jitf ain*A \
cos*A = ^=i, A = 45% 2 A = 90% sin* A = i, sin* 2 A — u
Le problème, dans ce cas, est bien simple. C’est l’exemple que Vièlc calcule. Pour toute autre valeur de n> le numérateur sina/*A serait bien plus compliqué.
Yiète se sert ailleurs de ce problème pour la quadrature des lunules. Le théorème cinq, en langage moderne, est
sin (n-f- i)A-}-sin nk = 2sin(ft+i) A cos \ A ,
asin i («-b 1 A cos 1 A= 2sin ^ A cos * A J siu (/H- ï)A— sin/iA = 2sini(«-{-i— «)Acosf (/i+i + /i)A s=2siiix A cos(/i+i A).
Cette seconde partie du théorème donne la différence première des sinus, comme le théorème quatre en donne les différences secondes.
On trouve les deux parties , en deux lignes de calcul , d apres uo principe connu de tout lems; Anderson y emploie une page de démonstration et deux figures. Comme nous le présentons, ce théorème est bien plus concis et plus facile à retenir; mais enfin, voilà deux formules utiles et qui étaient là comme ensevelies, en sorte quelles sont restées inconnues
pendant plus d’un siècle. . . r r
Le théorème six donne les cosinus de 2A, 3A, etc., eu fonctions de cos A. Viète indique la loi des séries. Il les destinait à faciliter la construction d une table de cosinus; mais ce moyen parait peu commode.
Le théorème sept donne des séries de même genre pour les cordes des arcs multiples. Nous les retrouverons, avec quelques éclaire isseme 11s insuffisans, dans l’ouvrage de Briggs.
Le théorème huit est encore bien plus compliqué et plus difficile a
énoncer. , . , „ .
Le théorème neuf donne encore des sériés de meme genre pour les
sinus et les cosinus des multiples d'un angle quelconque.
Le théorème dix servirait à sommer des cordes; problème assez inu-
tHe à TAstronomie. (Voyez Montucia, tome I, page 608). Viète ajoute :
Ces mystères, inconnus jusqu’ici, sont dévoiles par l’analyse des seçtions angulaires. Étant donné en nombre la raison de deux angles, on aura la raison des côtés, thèor. 3 ; on trouvera des angles qui seront entre eux comme nombre à nombre; on partagera un angle en 3, 5, 7 parties égalés; des arcs étant donnés en progression arithmétique, on aura les cordes, si l’on connaît la première et la seconde seulement, ou si l’on connaît la première et la dernière. On pourra donc construire et vérifier une table de sinus, et voici la marche qu’il indique :
Vous trouverez le sinus de 18° par la section du rayon en moyenne et extrême raison ; par la quinli-section vous en déduirez le sinus de 3° 56'; du sinus de 6o°, par la trisection, vous tirerez le sinus de 20% et par un autre trisection celui de 6°4o'; par la bisection, le sinus de 5° 20'; des siuus de 5° ,36/ et de 3° 20', vous tirerez le sinus de 16', puis ceux de 8', 4', 2' et 1'; et enfin par les cosiuus des arcs multiples, vous achèverez ce qui reste.
Dans tout cela , on ne lui voit faire aucun usage des théorèmes bien plus utiles des différences premières et secondes : utilité qu’il n’a pas Lien sentie lui-même.
Ces recherches, bien plus difficiles alors qu’elles ne le sonlaujourd’hui, marquent certainement un esprit éminemment analytique; mais la marche d’Euler , dans sa Théorie des sections angulaires, est aussi claire et aussi facile que celle de Viète est obscure et embarrassée. La notation ajoutait pour Viète, à la difficulté des problèmes; mais il aurait pu se rendre beaucoup plus accessible, et l’on est en droit de soupçonner qu’il était de son goût de ne parler qu’eu énigmes. 11 cherchait à étonner beaucoup plus qu’à instruire.
Viète mourut en i6o3; il était né en i54o, à Fontenai en Poitou. Il fut Maître des Requêtes de la reine Marguerite. Nous parlerons ailleurs de son Calendrier.
Magini .
A la suite de Viète nous pouvons placer Magini (Jean- Antoine) , professeur de Mathématiques à Bologne, commentateur de Plolémée , de Régiomontan et de Viète ; auteur de Tables volumineuses, et qui n’étaient pas alors sans utilité ; il composa des Épbémérides; il fut laborieux et savant, mais il n’a fait faire aucun progrès à la science. Il était, comme tous ses contemporains, grand admirateur de l’Astrologie judiciaire,
ainsi que nous le verrons par ses ouvrages. Né en i556, il mourut en 1617. Il était en correspondance avec Képler et Tycho, à qui il dédia un de ses nombreux ouvrages. Le plus considérable de tous ceux qu il a publiés a pour titre :
Primum mobile duodecim libris contentum, inquibus habentur Trigonometria Sphcericorurn , et Astronomica, Gnomonica , GeOgraphica quepro blemala ac prælerea magnus trigonometricus canon ac magna pi imi mobilis tabula. Bononiœ, 1609.
Le grand canon donne, pour toutes les minutes, les sinus, les sinus verses, les tangentes et les sécantes à sept décimales, et a côte des sinus l’arc dont le sinus est un dixième du sinus principal de la table; ainsi, vis-à-vis 2909 sinus de o° 1', on trouve l’arc 6", dont le sinus est 290,9.
La seconde série donne le sinus verse, et ensuite Tare dont le sinus droit est égal à ce sinus verse; ainsi, le sinus verse de »• est i5a3, et c’est le sinus de o' 3 1".
La troisième série offre les tangentes pour toutes les minutes ; à cote de ces tangentes on voit l’arc dont le sinus est de la tangente; après quoi on trouve les arcs qui ont celte même tangente pour sinus.
La quatrième offre les sécantes pour toutes les minutes, et à côté de chaque sécante l’arc dont le sinus est — de cette même sécante.
La table va de o° à 90% chaque degré occupant une page; les complémens ne sont pas en regard.
Cette manière d’augmenter l’étendue de la table est simple en théorie, mais elle a dû exiger beaucoup de travail. ,
Magini appelle sinus second, tangente seconde, sécante seconde, ce qu’on appelle aujourd’hui cosinus, colangente et cosecante.
Il parle du triangle complémentaire, du complémentaire de ce premier complémentaire, de la continuation des côtés jusqu’à 180% du changement d’un triangle en un autre dont les deux premiers angles sont c<*aux à deux côtés du premier, et le troisième angle est le supplément du troisième côté; l’angle opposé au troisième côté se change en un côté q^ en est le supplément, et les deux autres angles en deux côtés qui les mesurent. Ce triangle est celui de Pitiscus, dont nous aurons occasion de parler par la suite.
Dans la définition de ce triangle, qu’il appelle réciproque > il copie plusieurs expressions de Viète; mais il s’exprime d’une manière plus claire et plus complète ; il commence par achever le cercle dont un des côtés fait partie; il prolonge les deux autres côtés, jusqu a leurs rencontres avec ce
MACINI. 485
cercle entier; alors des trois sommets du triangle donné comme pôle il décrit trois demi-cercles qui , par leurs intersections , forment le triangle réciproque où le troisième angle est le supplément du troisième côté, au lieu de lui être égal. Ce commentaire ne laisse plus aucun doute sur le triangle réciproque de Tiète.
Dans son second livre, il parle de la prostapkérèse des tangentes et des sécantes. Quand on a, par exemple, un produit tel que sin A tangB, ou trouve dans sa table tangB=i osinB'; en sorte que sin AtangB=iosiu AsinB', qui se change en-^[cos (A — B') — cos(A+B' )]. Si l’on a tangAtangB, on le change en
iosin A\ iosinB' = ioosinA' sinB' [cos(A'—B')— cos(A'-f.B)] ,
et ainsi des autres. Ainsi , avant l’invention des logarithmes, la table avait une utilité reelle. On a employé des artifices tout pareils dans des tables Subsidiaires très modernes.
Pour abréger encore les calculs, il forme des tables à double entrée; où l’on trouve tout faits les produits sin A sinB, sin A tangB, sinA sécB, et autres semblables. Nous avons vu que Régiomontan avait donné, sous le nom de Table générale , celle des produits sin A sinB. Ces tables sont devenues fort inutiles par l’invention des logarithmes.
Dans les huit livres suivans , il se propose la solution de tous les problèmes de 1 Astronomie sphérique. Nous ne parlerons que de ceux qui o tirent quelque chose de remarquable. Ainsi, au problème VIII , il cherche la longitude et l’ascension droite d’un point de lecliptique, quand on connaît la somme (L-f-^R).
La solution qu’il donne de ce problème revient à faire sin (L — >R) = tang'^ a> sin(L+JR),
Quand j’ai donné celte formule dans la préface de mes Tables du So* C,1 , je n’imaginais guère quelle fût si ancienne. Ces ouvrages, que personne ne lit aujourd’hui, peuvent renfermer des choses dont on pourratt aire un bon usage. Cette formule, au reste, est de celles qu’on rouve a l’instant où l’on en sent le besoin, et dont la découverte exi«e moins de tems qu on en mettrait h les chercher dans un livre où Ton se
mulesendrail de !eS aV°ir VUeS‘ 11 CSt Utile cePendantd<* reeneillir cesfor^- Ainsi il°U €U l*ie dt?s conséquences auxquelles on n’aurait pas songé. y i- , -1 es! ®y>dent que sin(L — Ai) est le sinus de la réduction de P Joe u 1 cquateur. Sin(L— - -R)= tang" û>sin(L-f-.R) nous dit que la
réduction à l’écliptique est la plus grande, quand (L -f- = 90e ou
== 900 — L, et tangy4R = cos ca tangL = cotL, et coscd = cot*L , ce qui donne L ebR pour l’instant de la plus grande réduction, sin.amplit. orlive = tang haut, du pôle sinhautèur O au premier vertical
XT sin D . sir? D
=u»s1I»H=s:ir
Magini de'monlre péniblement ces formules, que les Arabes démontraient si simplement par l’analçmme.
Le livre IX traite des projections des rayons et des directions. Celte théorie est un des moyens de l’Astrologie judiciaire.
Voici la définition qu’il donne du mot direction : ce n’est rien autre chose qu’une détermination du tems que doit employer un sjgwJiccUetu' pour venir prendre la place d’un promisseur. C’est donc Tare de l'équateur qui passera par le méridien ou par l’horizon, en vertu du mouvement diurne, et cet arc s’exprime ou en heures temporaires , ou par les arcs de position qui passent par les sections de l'horizon et du méridien. Il y a doue deux formes de direction. La première, qu’on dit celle de Ploiemée , emploie les heures temporaires; l’autre, qui vient d’Abraham Avenesra , a depuis été renouvelée par Régiomontan, qui lui a donné le uom de rationnelle .
Malgré l’obscurité delà définition, on voit qu’il s’agit d’un problème d’ Astronomie sphérique, et c’est à.ce titre seul quelle peut nous intéresser* La suite la développera. (JP oyez ci-après, problème XVIlï).
Pour les radiations. Soit A (fîg. 128) une étoile dont la longitude soit TL, la latitude AL, l’ascension droite rB, etla déclinaison AB; EF étant l’équateur et CD l’écliptique.
Prenez les hypoténuses AE = AF = 6o° ; la radiation sur 1 equateur commencera au point E et finira au point F.
Pour la radiation trigone il faut que les hypoténuses soient de...
! 20° = 180° — 6o°. EA, prolongé jusqu a 1800, tombera sur l’équateur à 1800 de E; FA, prolongé de meme, tombera à 180° de F.
La radiation sur l’écliptique se trouvera de même en prenant..* — AD=6o° pour la radiation sextile, ou de 120® pour la radiation trigone, et toujours on aura
cos hypoténuse ___ C0S£B . COsBF , Cos déclinaison
cos hvDOténuse
= cos LC = cosLD.
Soit (fig. 129) OAH un cercle de position passant par l’astre connu A.
MAGINI. 487
On demande l’angle du cercle de position avec le méridien ou l’angle PHA.
On connaît PH et PA et l’angle APH , on aura l’angle PHA par sa cotangente.
cotPHA = tiîS?^ir- cosH cotP,
smP 7
1 angle P e'tant compté de minuit.
Connaissant PHA , on aura
sinPR es sinPH sin PHA sin hauteur du pôle sur le cercle IIAO.
Connaissant PR on aurait PHA = PHR en faisant
sin P1IR
sinPR sin H' «nPH w^ïP
Connaissant PR et PA, on aura
siuPAR = sin PAH =
sin PR sin PA
sin H' cos D*
PAR est ce quron appelait alors angle de position ; aujourd’hui l’angle de position est l'angle du vertical avec le cercle de déclinaison ou TAP.
Connaissant PH et ET, arc de l 'équateur entre le méridien et le cercle de position, trouver PR.
L’angle TRS est droit ainsi que TSR- donc T est le pôle de PRS;
donc
et
T = SR ~ go® — PR = 9o« — H', tang ET = sinEO tangEOT = cosH tang PIIÀ
tang PHA = tang ETH = — tangHTQ =
tan g ET b
cos il 7
— cotPR=-— tangETO
tangEQ cotll
sinET «in ET - COtH 7
tang Ip as sin ET tangH, ou sinET sa tangH' colH. Connaissant PR, I>A et IIPA , trouver ET.
HPA=QV, sinPAR = — S,
. cosD7
Sm AV tang A = tang T V = sin D tang A , ET = EV — TV ,
. „,vr, tang PR = tang PII COS IIPR ,
to.yb=cosHPR=tangPRcotPH=langH'coÜt=siuET:=si..C8o"-HPR).
Quand l’ëloile est en A, sur son cercle de position , elle est a 1 horizon d’un lieu dont la hauteur du pôle est PR = H', et pour ce lieu la diflé-r rence ascensionnelle est sin A A' = tang O tang H .
Quand elle est à l’horizon OBH du lieu de l’observateur, sa différence ascensionnelle se trouve
smAA = tangD langH;
d’oii
sin A A' : sin A.R:: langH': tang H, et sinA/R=sinA,HlangH'cotH.
Si ET est connu ,
tang OTE = tang HTQ = tang RS = cotH',
donc
sin AA' = sin AA cotH sinET tangH = sin Ail sinET = sindiffér. asc. du lieu, sin arc de position, tang PA cos APR= tangPR, cos APR = tang PR cot P A = tangH' langD = sin AA',
EPA = angle hor. de l’étoile = EP V =EV = ET -f- TV =ET -f- TS S Y =ET-f-go° — go°-f- Ail'=ET-f-Ail'.
Pour une étoile australe AA' changerait de signe, alors EPA = ET — AA.
Toutes ces formules sont les applications les plus simples de la Trigo^ nométrie sphérique ; Magini les démontre péniblement par la Trigonométrie rectiligne. Il se félicite beaucoup d’avoir trouvé ce moyen de construire une table qui pût servir pour tous les climats. Sa table, en effet, ne dépend que de l’arc de position ET et de AA, qui lui donne AA' = sin A A sin ET = tang D tangH sinET.
Il était dispensé par là de calculer des tables semblables pour diverses latitudes; mais il fallait que AA lui fût donnée par une autre table.
Cet arc de position, Magini l’appelle encore distance du significateur ou du promisseur au méridien.
Dans le problème XIII , il cherche l’arc ET par l’arc semi-diurne et l’angle horaire, qui est ET -f- AA. Or l’arc semi-diurne = go* + AA et aA= arc semi-diurne — go°. On a donc AA, et partant AA' ; d’où angie horaire — AA ; mais on peut trouver ET directement.
tangET=sin OE taD g 0 = cos H tang O , JangO = jp ,
MACIM.
col O = cos H cot ET, et cotET = !t2L2.
ços H'
n»is le triangle POA donne
cot PA = tang D = — colH cos P -+- ±1^212 tangDtangH=-cosP+— cot°JaDsH=-cosP+3-li£S2L°-,;aA3»
sinH ' C05H — MÜÜ4V)
sin A A -f- cos P = sin P cot ET, et cotET = cot P
sin P 1 r-
cîeayriSarrête 3 CeUe <ïu ^ déduit d’une des formules générales
COt ET = -n (arc 3emi~diurne — qo°) + cos P cos P — cos arc semi-diurne
sinP iïITp
__ cos P — cos A 2sin i (A — P) sin i (A -+- P)
sin P sin P
Or, ci-dessus , ET + AÀ\f = P ; donc aJV = P— ET
On aura donc AA' et l’ascension ou la descension oblique, par rapport au cercle de position, sans savoir quelle est la hauteur du pôle sur le cercle de position.
vousTrt AAl ar de P°S j-°n ET> et r“* semi-diurne du promise, vous au. ez A A=(arc sem.-d.ur.-90”) • vous ferez sin A A=sin AAsinET
laSCenSi°n ^ dU — — ’ P* "PPt aû
Le problème XVI donne le moyen de trouver si une étoile est dans un meme cercle de pos.t.on, avec une planète ou un sigmficateu,- quelconque. ^
Trouvez l’arc de position ET, ce qui suppose l’angle horaire de l’étoile et son arc semi-diurne. Avec ET et H vous aurez l’angle O du cercle de
pos, Uon avec le méridien ; vous comparerez ce cercle à celui du sienificateur, et vous verrez s’il en diffère. a
le dnÏtou feVüie Sig'’ifiCateUr t:‘anl pIac« da"s ■" quelconque,
ic üSrrv’-T des asiroiogues » <x *.<
liL , , a,‘j le zodla1ue> el promisseur, celui qui tient le second
Dsf?n lordre des signes.
la sphère S'gtU!le c,lerclier l'arc de l’équateur qui , par le mouvement de inier c’est fn ant ^ue Pr<>misseur sera transféré à la position du pre- 9 re du si8nîfica^r, passera par le méridien ou par l'ho-
4ç,o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
rizon, s’il est dans un de ces cercles, ou par le cercle de position du sîgnificateur, s'il décline de l’un de ces angles. Nous avons déjà vu que les astrologues comptaient quatre angles; l’angle de Varient et celui de Yoccident, celui du méridien supérieur et celui du méridien inférieur ; c’est-à-dire les deux points de l’écliptique qui sont à l’horizon et les deux qui sont au méridien. L’angle du méridien supérieur s’appelait aussi milieu du ciel , celui du méridien inférieur s’appelait encore las du ciel .
Ce problème, assez compliqué, ne dépend que des règles les plus ordinaires de la Trigonométrie sphérique.
Problème XVIII. En quelque lieu que soit le sîgnificateur , hors des a gles du méridien et de l'horizon , le conduire à un promisseur quelconque, suivant l’ordre des signes, par la voie rationnelle.
L’opération, dit Magini, est très pénible. Il faut avoir l’ascension droite et la distance au méridien, tant du sîgnificateur que du promisseur; leurs déclinaisons et l’arc semi-diurne ou semi-nocturne, selon qu’il sera au-dessus ou au-dessous de l'horizon ; il faut chercher l’élévation du pôle sur le cercle de position et lare de position. Nous avons rapporté les formules nécessaires pour tous ces calculs. Alors
Soit S le sîgnificateur, R le promisseur (fîg. 1 3o), RZN la parallèle du promisseur, OR la différence des ascensions droites; R traversera le cercle de position ASC en Z ; KV sera le mouvement de l’équateur, qui mènera R au point Z; l’intervalle de terns sera donc mesuré par KV = KO — OT — T V = direction , sinEATcosAE = cosT = sina sinli. . .(i), tangD=tangSO==sinTO tangT ou sinTO=tangDcolT...(2), sinTV = tang VZ cotT = tangD' cotT. . .(3).
Si la déclinaison TO était boréale, OT changerait de signe; si RK était australe, TV changerait de signe. Ainsi, cette partie du problème n'est pas si effrayante que le dit Maginus; elle se résout par trois formules fort simples, ou quatre au plus, si l’on est obligé de chercher a = EAT 3= EAS par PEA , PS et l’angle APS.
Problème XIX. Trouver la distance entre deux étoiles qui sont dans un même cercle de position, par exemple eu Z et en S.
cos ZS = cos ( JV— ^R) cosD' cos D -f- sin D' sinD , cosT = cos AE sin EAS , ^sinSTi1 ~ = sinTZ, ZS = ST + TZ.
Ce serait la différence si les deux déclinaisons étaient de même nom.
MAGINI. 49i
j. Ces derniers problèmes mettent dans le plus grand jour la Théorie des j, ecll°ns. Cette théorie appartient exclusivement au moyen âge. 3Vul ne a expose'e aussi complètement que Magini. C’est ce qui nous a sur-tout e terminé a placer ici cet auteur, qui est postérieur à Copernic, et qui, pour ses systèmes et ses théories astronomiques, paraîtrait d’une époque plus ancienne.
Dans Je livre X, parmi beaucoup de problèmes d’ Astronomie sphénque qui se trouvent partout, on rencontre celui-ci, qui est moins commun; c’est le huitième.
1 îouver le tems qu’un arc donné de l’écliptique emploie à traverser le premier vertical.
Soit AB (fig. 101) 1 arc de l’écliptique, PA et PB les distances polaires des deux points extrêmes, AVE le parallèle du point A, qui coupe eu e premier vertical; le point A passera donc au premier vertical par le point V ; et quand le point B y sera à son tour en B, le point A sera parvenu en A à la distance ZPA du méridien.
tan g PZ lang P V cos VPZ ,
cosBPZ-co,BH^C° ^==COlHUU8l>— taD«D,anS^'— H>==sioAÆ>
APVwIpn^X^7=Jat'gD'Un«(9°" - H) = s- W
(APB BPV) — (A — Al) — BPV=(AV — Al) — 'Z, PB — ZPV) = ZPB + ZPV = (AV- ZPBWAtizPV)
=(av-aai')-<ai-aai); v 1
AAI et AAI' sont les différences ascensionnelles calculées pour la hauteur » pôle (go° — H); c’est-à-dire qu’il faut considérer le premier rertical B comme 1 horizon d’un lieu où la hauteur du pôle est égale à PZ; Z et BPZ sont les arcs semi-nocturnes des points A et B , ou les comrizTenlm/S diff^rences ascensionnelles; P est le pôle abaissé sous l’homier veriicll111^' ^ ^ d“ PaSSage ParCCl h°rizon subs au
tôtLnnPr°ibleme XV enS€ÎStie à trouver de combien le Soleil se lève plu- SoifUR r S°mmel *\ue Pour le Pîed ^iine moutagne ou d’une 'tour, tagne ° rùyoii de la terre , t/R la hauteur de la tour ou de la mon-
R -WR ndist.Oaunadiràl instant du lever pour lehautde lamontagne, R + dR — C0S«= cos abaissement du petit cercle où se lève le Soleil ;
mais a étant un petit angle , son cosinus donnera peu de précision.
R R 4. JR R dR
2siu*i« = I — cos« = i — r + jr — R + dR — -R-bé/R*
dR
sin* \ a ■— a(R -bdR)*
Soit
dR .= 2400 . 3,38o:m2
