CHAPITRE PREMIER
Arabes.
Nous ayons vu par plusieurs chapitres d’Albategnius et d’Ebn Jounis, que leur système gnomonique était le même que celui des Grecs, sans aucune altération qui soit de la moindre importance. Nous verrons, dans Aboul-Hhasan, ce qui est dû plus spécialement aqx Arabes. La Trigonométrie étant entièrement transformée par les sinus d’Albategnius et les tangentes d’Aboul Wéfa , il est tout simple que les opérations numériques ne soient pas tout-h-fait les mêmes; mais elles conduisent aux mêmes résultats, et la description du cadran n’a pas changé. Les Arabes, en étudiant l’Analemme de Ptolémée , y ont trouvé des moyens de simplifier encore et de diversifier les solutions. Jamais peuple, sans aucun doute, na mis plus d importance à la Gnomonique. Quand on n'avait guere d autre moyen de savoir 1’lieure, les cadrans devaieut être en grand honneur. Celte vogue a beaucoup diminué, ce qui était assez naturel, sur-tout dans les climats septentrionaux , où l’on a si rarement la faculté de consulter un cadran ; ce qui les a fait passer de mode presque entièrement, c’est la multiplication des horloges publiques et particulières, qui font que jamais on n’a su l’heure aussi bien, ni si commodément, et l’on est devenu tout-à-fait indifférent sur la théorie qui la fait connaître. Cette théorie est tout-à-fait moderne. Nous avons rejeté les heures temporaires si peu commodes d’une part, et qu’il est si difficile de faire marquer à nos horloges, qu’en aucun tems on ne l’a même tenté. Depuis l invention du pendule, la difficulté ne serait pas insurmontable; mais il faut avouer qu’on se donnerait une peine assez inutile. Nous avons dit, en parlant des Grecs , comment on aurait pu joindre les heures égales aux heures temporaires sur le même cadran ; aucun auteur n’eu fait la moindre mention; cependant nous verrons qu’Aboul- Hhasan introduisit le premier les heures égales chez les Arabes; il indique en passant la manière Ce *es tpacer sur ses cadrans, mais il n’en fait que peu d'usage, et il ne dit pas que son invention ait été accueillie; il est encore l’auteur d’une manière nouvelle de tracer les arcs des parallèles : ce n’est ni celle des
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Grecs, ni celle des modernes. Cet auteur, venu 3oo ans après Ebn Jounis et Aboul Wéfa, va nous apprendre quels changemens s’étaient opérés dans l’intervalle; il est un des écrivains les plus modernes de cette nation. Nous verrons dans son ouvrage tous les progrès que la science avait faits chez les Arabes.
Nous avons extrait ci-dessus son livre premier, qui traite uniquement des calculs. Il commence le second parla construction du hliaphir, pour une latitude donnée. Le mot khaphir signifie le sabot d’un cheval. Nous en avons déjà dit un mot ci-dessus.
La latitude doit être moindre que le complément de l’obliquité, c’està-dire que le lieu ne doit pas être dans la zone glaciale. Celle restriction n’était pas indispensable.
On calcule les ombres horizontales , c’est-à-dire les tangentes des distances zénilales, pour toutes les heures et pour tous les degrés de l’écliptique, de io en io. On fait une table de ces ombres pour un gnomon donné.
On décrit un cercle que Ton divise en trente-six arcs égaux; à tous les points de division on mène des rayons , sur lesquels ou marque la longueur des ombres pour chacune des six heures temporaires.
Par tous les points d’une même heure, on fait passer une courbe qui sera la ligne horaire; à l’ombre méridienne on ajoute la longueur du gnomon; la ligne courbe, qui joindra tous ces nouveaux points, sera la ligne horaire du commencement de Yashre ; ajoutez une seconde longueur, et vous aurez la ligne de la fin de 1 ashre.
Au centre ou à l’origine de toutes les ombres, on plante le style droit pour lequel on a fait des calculs; les lignes horaires et celles de 1 ashre seront des espèces d ovales ou courbes alongées ; de là sans doute la dénomination de sabot.
Chacun des rayons sert pendant dix jours environ, et la différence des ombres variant peu dans l’intervalle, l’erreur n’est pas sensible; mais il serait possible de diviser le cercle en 36o° ou même en 565, et l'on aurait encore plus d'exactitude.
On voit que ce sabot aurait pu tout aussi bien s’appeler le disque , à cause des cercles extérieurs sur lesquels étaient marqués les jours de l’année ou les degrés de la longitude du Soleil.
On ne voit rien de semblable chez les Grecs, du moins on est réduit aux conjectures; mais les Grecs avaient toutes les connaissances nécessaires pour cette facile construction.
GNOMONIQUE. 5i7
Au lieu de diviser le cercle en trentç-six décans on le divise en dixhuit parties seulement, et chaque ligne sert pour deux degrés correspondans ou également éloignés du solstice; alors, au lieu d’être ovales, les lignes horaires sont des hélices.
On peut faire des sabots ou des hélices pour les heures égales plus aisément encore que pour les heures temporaires.
Au lien de la table des ombres horizontales, qui sont les tangentes des distances au zénit, calculez les ombres verticales, qui sont les tangentes des hauteurs pour un gnomon horizontal; divisez en trente-six décans les circonférences des deux bases d'un cylindre ; joignez les points correspondans de division, par des lignes droites verticales; sur ces lignes marquez, en partant du sommet, les longueurs des ombres à toutes les heures, vous aurez le cadran cylindrique; le gnomon sera horizontal et attaché à un chapiteau, qui sera mobile sur la base supérieure, pour qu’il puisse être amené à la ligne du degré de l'écliptique occupé par le -Soleil.
L’auteur nous dit qu’il faut aussi marquer l’ashre sur le cadran cyliudrique; le moyen n’est pas difficile à trouver. En général,
ombre verticale = -g™ du gnomon , b*Y -
ombre flonzoutate ombre bonzontal-e
donc
ombre verticale de l’ashre = — z — — - — = — -
ombre horiz. -f- 13 îû.tangN -f- ia
= (,7^-377) = i2Colang<p.
J’ai vérifié par ces formules plusieurs termes de la table des ombres de l’ashre, et je les ai trouvés fort exacts.
Cadran cylindrique propre à toutes les latitudes. L’auteur prend pour argument la hauteur méridienne; mais il ne paraît guère possible de ramener la longueur des ombres à ne dépendre que de la hauteur méridienne. En effet,
sin h = cos (FI — D) — 2sina^P.cosH cosD
= cos (H — D) — cos (H — D) siu'^P — cos(H-f-D) sin* jP = cos (FI — D) cos* ^P — cos (II -f-D) siu‘^P.
y a donc toujours un terme qui dépend de cos (Fî -f-D), c’est-àdire de la hauteur méridienne de la saison opposée, et si vous supposez donnés (H -b D) el (jq — D); H et D sont dès-lors déterminés, et le calcul ne conviendra qu’à une seule latitude.
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Soit H' = H -f « et D' = D-|- tz; nous aurons
H' — D' = H -f- w — U — rc = (H — D).
Tout va bien jusqu’ici; mais
H' -f- D' = H 4“ n -f- D n = (H + D) + nn.
D’ailleurs les heures temporaires n’aurODl pas les mêmes valeurs sur les parallèles H et H + n ; les cos \ P et sin P seront différens pour les deux lieux. Il est donc clair que la solution ne peut être qu’approximative, et ne sera passablement exacte que dans le cas où les différences n de latitude seront peu de chose. Cependant Aboul-Hhasan donne sans restriction la solution pratique du problème. Dans la suite de son Traité, il convient lui-même que cette solution n’est pas rigoureusement exacte; mais il aurait dû en avertir plutôt ou ne faire aucune mention d’un procédé qui n’était pas digne de figurer dans son ouvrage.
Quoique la démonstration ne laisse rien à désirer, j’ai été curieux de chercher par le fait quelle serait l’erreur de l’hypothèse, en passant d’une latitude à une autre; j’ai fait les suppositions suivantes, en portant tout à l’extrême.
Le cadran étant calculé pour la latitude i9°3o', la hauteur de l’équaleur sera 70°3o'; au solstice d’hiver, la hauteur méridienne sera 70°3o'
23«3o/=47°; au solstice d’hiver, l’heure temporaire sera de i3°3i'25"
en degrés; au cercle polaire, la hauteur de l’équateur étant de a3°3o', la hauteur, au solstice d’été, sera de 47° o', et l’heure temporaire vaudra 3o°, parce que le Soleil, à minuit, ne fait que raser l’horizon%
La hauteur méridienne sera donc la même; nous trouverons cependant des différences très sensibles dans les ombres verticales. Voici les résultats du calcul :
5ig
Première supposition.
Deuxième supposition.
Il haut, mérid. =47- °- 0
haut.mérid.= 47- 0
angle de
iA 3o. 0. 0
angle de ih 1 3°3 i'25"
gnomon. .
gnôiqon. . . 12. 0. 0
Heures tcnip.
Ombres.
Ombres.
Différence.
haut, mérid. = 65. 0. 0
angle de 1
Heures tcmp.
Ombres.
O ni lires.
Différence.
voit par cetle double e'preuve que les différences des ombres passent ) de la grandeur du gnomon, et qu’elles ne sont nulles qu'au Acridien où sin*£P = o, ou à l’horizon, où l’ombre verticale est nulle partout. On se tromperait donc d’une heure si l’on portait au cercle poaire le cadran construit pour 190 3o' de latitude, ou d’une demi-heure, si Ion portait à 5o° \ de latitude le cadran pour 3°^ de latitude.
n peut estimer que dans les pays voisins de l’Arabie, l’erreur 11e passait pas un quart d’heure, ce qui, dans ces tems, pouvait paraître une exactitude suffisante pour les usages civils.
Sakke al Jeradah ou la jambe de la Sauterelle, pour une latitude de-
terminée. , . ,
Imaginez le cadran cylindrique développe sur un plan et que le pied du gnomon puisse glisser pour être amené sur la ligne verticale du jour; alors vous aurez la jambe de Sauterelle de la première espèce. Voulez-vous que le gnomon soit fixe? la jambe de Sauterelle sera le cadran connu sous le nom du Jambon, à la réserve qu'au lieu de joindre tous les points d'une même ligne horaire par des lignes brisées, Aboul-Hhasan les joint par une courbe; ce qui est en effet plus exact , comme nous l’avons déjà remarqué en parlant de la théorie du Jambon, tome II, page 5i4.
Dans cette seconde construction le gnomon réel n’est pas le gnomon matériel qu’on voit aux angles du quadrilatère , mais bien 1 hypoténuse d'un triangle qui a pour côtés le gnomon matériel et la distance horizontale du pied de ce gnomon au sommet de la verticale du jour. L’ombre verticale, donnée pour cette hypoténuse, est ce que l’auteur appelle ombre employée . On a donc
ombre employée = (G* -+- D*)^ tang A = G(i +§:)* la,,S h = G (i + tang*?)1 tang h = (j|-) tang h;
D étant la distance du pied à la verticale du jour, h la hauteur du Soleil à l’heure supposée , et <p étant déterminée par la formule tang <p = (g)*
On voit ce qu’il faudrait faire pour avoir l’ombre de l’ashre. Le gnomon matériel, qui produit l'ombre, s’appelle de même gnomon employé ou corps de l’ombre employée; car le gnomon s appelle en general corps de l'ombre.
L’auteur construit ensuite une jambe de Sauterelle pour toutes les latitudes, ce qui donne lieu aux mêmes objections que nous avons faites à son cadran cylindrique.
Cadran tonique pour une latitude déterminée. Soit aX l’axe du cône (fïg. i55), AB le rayon de la base , ab le rayon de la base supérieure du cône tronqué j ce rayon sera aussi le rayon de la base du tronc ou du bandeau , qui pourra tourner autour de Taxe A a, et portera un gnomon horizontal saillant. Soit bh ce gnomon, SO le rayon solaire, l'ombre serait donc bO , sur la surface du cylindre Aabh1; elle sera IL sur la surface conique. Il s'agit de calculer bh.
«in L : bh
sin/«* bL — hh smIl= GsipÆ G sinft
sin L sin (Lh b Lb h) sin^/z-fgo0 — B6B')
G sin h G smh Gsinft
cos (/z — B6B') cos(/j — I) (cos h cosl —J- sin A sinl )
Gtang/z GsécItangA iOsécI
cos I -f- sin 1 tang h j 4-tangI tan g h 1 -j. tangl tang h *
h est la hauteur du Soleil, et I rinclinaison du côté du cône sur la verticale ôB'.
A cela près, le cadran sur un cône sera le môme que le cadran cylindrique, mais les ombres seront plus courtes; et telle est, fort probablement, la cause qui l’a fait imaginer.
