L. ombre bLt s’appelle ombre employée

Balance Khorarie ou Fézarie. Prenez un solide d’un bois dur ou de métal , dont la longueur soit de sept fois environ son épaisseur ; que les quatre faces les plus longues de ce parallélépipède soient planes et rectangulaires.

Sur la première face décrivez un rectangle, en laissant aux deux bouts la place nécessaire pour y marquer les signes de l’écliptique ou autres symboles de ce genre; dans ce rectangle, menez parallèlement aux grands cotés des lignes droites, pour tous les commeucemens des signes; divisez ces lignes en doigts, c est-n-dire en douzièmes du gnomon; sur ces lignes, cherchez les longueurs des ombres des différentes heures, selon la déclinaison du signe; marquez par des points les extrémités de ces ombres horizontales, et par tous les points d’une même heure, tracez une ligne qui sera presque droite, vu la petitesse de l’échelle; plantez le gnomon à l’une des extrémités du quadrilatère, et quand vous voudrez savoir l’heure, placez la règle dans l’azimut du Soleil; en sorte que 1 ombre soit parallèle aux côtés de la règle, l’extrémité de cette ombre , prise sur la ligne du signe, vous donnera l’heure comme par les cadrans précedens. Pour celte observation, on soutient la règle par un fil qui passe par son centre de gravité; il paraîtrait plus sûr de la placer sur un plan bien horizontal , car le moindre vent ferait osciller la machine et rendrait l’observation fort douteuse. C’est apparemment ce genre de suspension qui a fait donner à l'instrument le nom de Balance, d autant plus que 1 on s assure de 1 horizontalité de la règle par le môme moyen qui indique celle du bras d’une balance.

Mais comme l’ombre horizontale pourrait être incommode par sa longueur, en face du gnomon et à l’autre extrémité de la règle, on place,

dans une autre rainure, un plan vertical, qui reçoit 1 ombre verticale du gnomon, laquelle sera d’autant plus petite que l’ombre horizontale sera plus longue.

La théorie de cette balance est la même, au fond, que celle de tons les cadrans qui marquent les heures par la seule longueur de l’ombre ; on y marque aussi les lignes de l’ashre. Ce cadran est sans contredit un des plus bizarres et des moins sûrs qu’on ait jamais imaginés. On avait sans doute voulu le rendre portatif, mais on aurait aussi bien fait e e tracer sur une longue canne qu’un fil-à-plomb aurait fait placer verticalement; le gnomon aurait pu se fermer comme un couteau, et se replier dans l’épaisseur de la canne.

Les trois autres faces portent aussi leurs divisions, que l’auteur expose fort longuement sans parvenir à les rendre fort claires. 11 annonce qu’on trouvera , dans la suite de l’ouvrage, Implication des usages nombreux de celte balance en cinquante articles, que nous n’avons pas vus et qui ne pourraient nous intéresser au’en raison de la singularité. Cette méthode d’accabler le lecteur de details obscurs, et de garder le plus profond silence sur le fond des choses, serait bonne tout au plus pour des ouvriers chargés d’exécuter l’instrument, sans etre en état dy rien comprendre, et trop souvent l’ouvrage paraît destiné à celte sorte de lecteurs. Nous avons fait la même réflexion aux articles de Théon, d’Albategnius et d'Ebn Jounis, qui, le plus souvent, paraissent avoir rédigé leurs notices pour des astrologues ignorons; peut-être aussi n’a-t-il pas voulu tout dire pour qu'on fût obligé d’aller à ses leçons ; et c’est une précaution qui parait avoir été prise par beaucoup d’astronomes connus principalement comme professeurs.

Le premier chapitre du livre III prouve, un peu longuement, que la marche de l’ombre doit être une ligne droite aux équinoxes, une hyperbole toutes les fois que le Soleil peut se coucher, une parabole quand il ne fait que raser l'horizon , une ellipse en été dans la zone glaciale, ou enfin un cercle quand l’observateur est au pôle. Je n’ai vu celle doctrine dans aucun auteur plus ancien; il est à croire cependant quelle n est pas d’Aboul-Hhasan, puisqu’il ne dit pas comme il fait en plusieurs endroits, que personne encore n’en a parlé et qu’il en a eu la première

Chapitre II. On peut tracer la marche de l’ombre sur des surfaces planes, cylindriques, coniques ou sphériques. Aboul-Hhasan ajoute que personne avant lui n’avait employé d’autre surface que la plane; il est

GNOMONIQUE. 5a3

donc Lien mal informé, ou il ne parle que des Arabes; car, sans parler de Bérose, ni d’Aristarque de Samos, nous avons dans Vitruve et Stuart, la preuve qu’on avait fait des cadrans sur des surfaces coniques. Il va donc donner des pratiques pour les cadrans de toute espèce. Je dis des pratiques, car il nous a donné déjà ses idées théoriques, il est vrai que c est sans les démontrer.

Chapitre III. Cadran horizontal. Il suppose qu’on a des tables des hauteurs et des azinmts, et ne donne ses instructions qu'à des manœuvres; sa théorie est celle de Ptolémée; il n’y ajoute que l’ashre; cependant, au beu d’employer directement l’azimut , il multiplie l’ombre par le sinus de cet azimut; il a de cette manière l'ordonnée de la courbe : il en a de même l’abscisse en multipliant l'ombre par le cosinus. Je n’ai vu jusqu’ici ce précepte dans aucun auteur plus ancien. Ce qu’il y a do particulier dans ses constructions, c’est qu’il suppose données les dimensions du plan; qu’il y assujélit l’ombre la plus longue, et calcule le reste en conséquence. Il serait plus court de calculer tout avec un gnomon pris pour unité, et quand on aurait toutes ses lignes, ou pourrait chercher, pour la hauteur du gnomon, le nombre qui renfermerait l’ombre la plus grande dans les dimensions données. Sa manière inverse d’attaquer le problème augmente la difficulté, soit pour exécuter, soit pour comprendre.

Après avoir tracé les heures temporaires, il dit brièvement ce qu’il faut faire pour avoir les heures égales. Il parlera plus loin de la propriété qu’a le pôle, qui est de fournir un point commun à toutes ces lignes, en sorte qu'il suflit de trouver un second point, soit sur un tropique, soit sur l’équinoxiale. 11 paraît donc que ce centre est une inventiou qui appartient aux Arabes et probablement à Aboul-Hhasan. Nous verrons que les plus anciens d'entre nos gnomonistes en parlent comme d une chose vulgaire, et qui n’a pas besoin d’être prouvée. Ce centre n'existe pas pour lts heures temporaires, qui même ne sont pas rectilignes; au reste, sans rien prononcer sur la nature de ces lignes, Aboul-Hhasan , qui les décrit par points , recommande souvent de déterminer un point pour chaque signe pour plus d’exactitude.

Pour la hauteur du pôle, qui serait le complément de l’obliquité, il trouve que le cadran est impossible à décrire- complètement. Il s arrête au point où l’ombre est la plus longue que l’on puisse construire; il ne calcule qu une partie de l are solstitial d’été, et trace d autres parallèles en nombre suffisant pour avoir des lignes horaires les plus exactes. Ou

peut voir ce que nous avons dit de ce cadran du cercle polaire, tome II,

pages 479 et vij, avant que M. Sédillot nous eût confié sa traduction

d’Aboul-Hhasan.

Au total rien de vraiment neufsur les cadrans horizontaux, si ce n’est la mention des heures égales, et du point où toutes les lignes se réunissent.

Cadrans oriental et occidental sur le plan du méridien. 11 emploie encore la méthode grecque; mais il ajoute quelle est peu connue; il calcule les abscisses et les ordonnées de ses lignes ; il donne aux abscisses le nom d 'ombres employées. Ainsi , la théorie est toujours la même , et l'on il ’y voil qu’une modification très légère.

Cadrans sur le plan du premier vertical. Ce sont les cadrans verticaux du midi et du nord. Aux azimuts et aux longueurs des ombres, il substitue les ordonnées, qu'il appelle ombres employées , et les abscisses qu’il nomme distances; pour le cadran du nord, qu’il juge plus difficile, il calcule un plus grand nombre de points sur chaque ligne.

Cadran vertical déclinant et cadran incliné. C’est là qu il nous apprend que tout plan quelconque peut être considéré comme l’horizon d’un lieu dont on peut déterminer la longitude et la latitude.

Cadrans dont le gnomon au lieu d'être perpendiculaire au plan , est parallèle a l'horizon. Il suffit d’abaisser du sommet une perpendiculaire sur le plan : cette perpendiculaire sera le véritable gnomon, et les ombres commenceront du pied de cette perpendiculaire. C’est en effet le précepte de l’auteur, qui se livre à son ordinaire à des détails qui ne sont bons que pour-des ouvriers qui n’ont aucune théorie.

Cadrans parallèles à des horizons quelconques.

Cadran horizontal des heures égales , sans employer aucun azimut et sans autre parallèle que celui du Bélier. L’auteur nous dit ici que personne avant lui ne s'était occupé de ces heures, et que cette invention est le résultat de ses méditations et de ses réflexions; il ajoute que les cercles de ces heures passent par les pôles du monde, que leurs intersections avec des plans quelconques ne peuvent être que des lignes droites, qui passent par le point du pôle , et par les points des heures égales sur le pa~ rallèle du Bélier. Cette remarque a dû lui suggérer le moyen de simplifier la construction. Voici celle qu’il emploie : l’ombre méridienne de l’équilui donne un point de l’équinoxiale, et ce point suffit; car l'équinoxiale coupe la méridienne à angles droits; les ombres du matin ont leurs correspondantes parmi celles du soir; elles sont des obliques égales

deux à deux; il eu calcule les longueurs, et prenant le pied du style

pour centre, avec les longueurs pour rayons, il divise son équinoxiale par des points d’intersection. O11 voit qu’il ne connaît pas l’expressiou de la tangente de l’angle au centre du cadran; il sait seulement que la ligne de six heures est parallèle à l’équinoxiale.

Pour les autres parallèles il calcule la longueur des ombres; et comme d », par ce qui précède, les lignes horaires données de position, il suffit d’un point d’intersection sur chaque ligne, pour avoir successivement douze points du même arc.

Quand les arcs des parallèles sont tracés, on peut, par la même méthode, y marquer les points des heures inégales. On voit bien là un commencement de théorie, mais elle est loin d’être achevée.

11 suit la même méthode pour les cadrans verticaux.

11 fait

sin haut, du pôle sur le plan =sin A=cos haut, du pôlecos déclin, duplan ; alors col A est la distance du pôle au pied du gnomon.

Autre manière. Prenez la distance de la méridienne au pied du gnomon, mullipliez-la par elle-même; ajoutez à ce carré celui du gnomon; prenez la racine de la somme et multipliez-la par l’ombre verticale de la hauteur du pôle sur l’horizon du lieu, divisez le produit par 12, le quotient sera la distance verticale du pôle à l’horizontale; ce qui revient

à ^a*re “ éôsÜ- ' ^ eS* <îu’on suit encore aujourd’hui : elle nous

vient donc des Arabes, suivant toute apparence.

Pour les cadrans du nord, qui n’ont pas d’équinoxiale, il dit qu’on peut toujours déterminer cette ligne par les points de lever ou de coucher, et par celui de plus grande dépression, ce qui est évident, ajoutet-il, sans en donner d’autre explication. La chose, en effet, est incontestable. H n’a pas vu qu’on pouvait toujours déterminer celte ligne par les ombres. 11 n'est aucun besoiu que le Soleil éclaire effectivement celte face du mur. L’équinoxiale est la même pour le cadran du nord que pour celui du midi.

Limites des heures égales sur les plans inclinés non déclin ans*

Heures égales sur les plans inclinés déclinans. Rien à extraire.

Chapitre XXVI. Ce chapitre et les suivans , vont nous offrir une théolle qui ne se rencontre ni dans la Gnomonique des Grecs, ni dans celle

es modernes, ni même dans aucun des auteurs arabes que nous connaissons. Aboul-Hhasan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. A la vérité, Commandin et Clavius ont

aussi tracé leurs arcs des signes par des moyens tirés de la théorie de ces courbes; mais leurs procédés, assez obscurs d ailleurs, ne sont pas ceux de notre auteur. Les équations modernes des sections coniques ne nous

fournissent que des secours indirects ; elles sont d,s fonctions des axes,

du paramètre, de l’excentricité; on n’y voit aucune quantité angulaire; la Gnomonique, au contraire, n’emploie guère que des angles, et laisse indéterminé le lieu du foyer. On pense bien qu’Aboul Bhasan n’avait aucune connaissance de nos formules; mais il avait lu Apollonius , et pour trouver les démonstrations qu’il ne donne pas, c’est Apollonius que fai dû consulter. J’y ai trouvé la note suivante, que j'avais autrefois rédigée sans penser que jamais elle pût m’être utile ; et j’y ai rencontré la solution du problème dans une formule générale que je n’ai vue nulle part; elle démontrera les pratiques d’Aboul-Hhasan et les remplacera par une opération incomparablement plus simple et plus expéditive. Voici la note sur les constructions d’Apollonius.

Rien de moins naturel et de plus arbitraire en apparence que la manière dont Apollonius amène ce côté droit (Ofî'ta. , latus rectum), qui doit iouer un si grand rôle dans tout l’ouvrage, et qui cependant reste toujours en dehors de la section conique à laquelle il paraît étranger. Il était pourtant facile de montrer que celte ligne a une place marquée dans la aection, d’indiquer quelle est cette place, et comment on a pu la de-

couvrir. . . n . .

Soit (fig. i36) , dans un cône quelconque, le triangle BAL qui le

coupe suivant l’axe.

BDGE l’un des cercles parallèles à la base du cône, que nous supposons scalène pour plus de généralité. .

DZE la section du cône par un plan quelconque, mais perpendiculaire au plan du triangle. . 4

Par le sommet Z de la courbe menons la droite ZY parallèle à BG. Menons DHE, ordonnée commune au cercle et à la courbe. Prolongeons indéfiniment l’axe ZH, et sur cet axe abaissons, du sommet du cône, la perpendiculaire AP.

-- AZsinAZP = AZsin(BZîü) = AZsin(BA» -f- Aa»Z»)

«= asin(A — f— ce>) = (Afie>sina>) . . . .(i).

a sera donc la distance du sommet de la courbe au sommet du triangle et du cône.

Les angles BZw et a> seront les inclinaisons de Taxe de la courbe sur

les deux côtés du triangle.

GNOMONIQUE. 5a;

Z = (A-j-a>), ou A = Z — cûy et (A-j-»)= i8o4 — ÀZ«. . . .(2).

Cette construction va nous donner 1 équation générale des sections coniques, et cette équation s’appliquera naturellement aux problèmes de la Gnomonique, qui nous fournira les valeurs des angles Z, œ , a, etc.

x = Z Iï = abscisse de la courbe comptée du sommet . (3),

y = DH = ordonnée de la courbe . (4),

BG = «T = diamètre du cercle . (5).

Le cercle donne

r=DH=z B II . HG=BH(BG — BH) = — u) = cTw — u* . (6).

Le triangle BZH donne

sinB:BZHsin : : ZH : BH=a= ™ s.in^—

# sin(A -f- a

^ si n A'

sin A' m /sin*(A -f- «)\ ^ V, sin4 A' /

/.in(A-)-.)S , ,

V fin A y ’ V//'

Le triangle AZY donne

sinA1' : sin A :: AZ :ZY = g»î»A .

sinA sinA"

...fe).

Les

parallèles donnent

AZ

: ZY;;ab: bc <î?£»)zy (,+»