CHAPITRE II
Principes généraux de la Gnomonique.
Soit MN un plan quelconque, et PS un style ou gnomon elevé perpendiculairement sur ce plan. PS, prolongé jusqu’à la sphère céleste, y marquera un point Z qui sera le zénil de ce plan. Soit CZAB un grand cercle qui passe par le zénit Z; ce cercle sera perpendiculaire au plan mn, et par conséquent à MN ; il sera un vertical de mn.
Ce cercle sera vu du point S, sommet du style, comme la droite cT^nb taugente au point Z; l’arc ZA sera vu comme sa tangente Z «, ZB comme sa tangente Z b, ZC comme Z c. Tous ces arcs seront vus comme leurs tangentes, et Tare entier comme une ligne droite.
Menez ZSP, aSa, bSb', cSc', etc.; a P sera la projection de l’arc Z A, y p celle de Varc ZB, c'P celle.de l’arc ZC ; et ainsi de tout autre.
Le point P, ou le pied du style, sera la projection du zénit ou de
l’arc o.
Les triangles ZS a et PSa' seront semblables; leurs côtés homologues seront proportionnels.
.Vous aurez
a'P = PS fangZA , £'P = PS tangZB, c'P = PS tang ZC.
(1) Vous remarquerez d’abord que toutes ces projections seront rerrversées, et que les arcs qui sont à droite ont leurs projections a gauche , et réciproquement.
(2) Que tout arc ayant son origine au zénit du plan, a pour projection PS. tangente de l’arc.
Supposons maintenant un grand cercle qui ne passe pas par le zénit, et qui, par conséquent, ne sera pas un vertical du plan; on pourra toujours concevoir un vertical qui lui soit perpendiculaire.
(3) Imaginons par exemple un cercle dont le rayon soit SA, et qui soit perpendiculaire au plan de la figure , c’est-à-dire perpendiculaire au vertical ZA« * réciproquement le vertical ZArc sera perpendiculaire au cercle SA; le point À sera le point culminant de ce cercle, c’est-à-dire le point le plus voisin du zénit Z du plan.
(4) Le point culminant A aura sa projection en a! et a'P=PS tang ZA = PS tang N = tangN.
(5) Du rayon Sa' et du centre S imaginez un cercle perpendiculaire en a au plan du papier ; les arcs du cercle SA auront leurs projections sur une droite perpendiculaire en a' au plan de la figure et à la droite MN.
Le rayon Sa' = sécZA = sec du point culminant du cercle SA.
(6) Soit n un arc quelconque commençant au point A; sa projection sera Sa' tang n = se'cN tang» = séc distance zénitale du point culminant tang de l’arc dont l'origine est au point culminant.
Cette expression est générale et sans aucune exception.
Imaginez encore que le plan cZBS tourne autour de la verticale ZSP; les points a, A et a! décriront simultanément des arcs semblables; il en sera de même de b , B et b', c, G et c etc.
(7) Il en résulte que les angles autour de P, sur la projection, sont les mêmes que les angles, dans le ciel, autour de Z; ainsi, deux arcs qui s’entrecoupent au ze'nit sous un angle quelconque X, auront pour projections des droites qui s’entrecoupent pareillément sous l’angle X.
(8) Si l’on connaît sur la projection une ombre ou tangP#'=PStangN, on en conclura tang N =
On connaît toujours le style PS que 1 on prend pour unité; P a exprimé en parties décimales de cette unité sera donc la tangente de l’arc... N = ZA = distance zénitale du point qui a sa projection en a'.
(9) Une ligne quelconque étant donnée sur la projection, on pourra toujours y conduire une perpendiculaire du pied du style. Celle perpendiculaire sera la tangente de la distance zénitale du point culminant; elle déterminera, sur la ligne donnée, le zéro ou la projection du point culminant; les parties de cette ligne, commençant au point zéro, seront secN tang». Soit p une de ces projections; on aura
/? = sécN lang/î, et tang» = p cosN.
On connaît N par sa tangente ou par la perpendiculaire; on aura donc tang» et l’arc dont cette droite est la projection.
Une ligne quelconque étant donnée, on aura donc toujours facilement la distance zénitale N du cercle dont elle est la projection, et la sécante de Cette distance N, qui est le rayon diviseur de cette ligne; c’est ainsi qu on appelle Sa' rayon du cercle, dont les tangentes sont les parties de
la droite donnée. On connaîtra le zéro ou la projection du point culminant, les tangentes qui y prennent leur origine, et les arcs qu’elles représentent.
Les formules (8) et (9) renferment toute la théorie des centres et des rayons diviseurs, dont tous les gnomonistes font un usage fréquent et par fois assez obscur.
Naturellement le centre diviseur est au sommet du style ; mais , pour plus de commodité, on fait tourner le rayon diviseur autour de la ligne à laquelle il est perpendiculaire, jusqu’à ce qu’il soit couche sur le plan du cadran.
(10) Dans cette projection, les triangles sphériques sont représentés par des triangles rectilignes dont les trois angles font constamment une somme de 1800; la somme des trois angles sphériques est variable et toujours plus grande que 180*. Les angles sphériques sont donc altérés sur la projection, à moins qu’ils n’aient leur sommet au zénit du plan et au pied du style (7).
Il y a une autre exception; elle a lieu pour le point culminant, où la projection est perpendiculaire au rayon diviseur et à la ligne menée du pied du style, c’est-à-dire que les projections des arcs n sont perpendiculaires à la tangN et à la sécante N. De là ce principe, qu’on lit dans toutes les Gnomoniques : quand deux cercles sont perpendiculaires entre eux, et que l’un deux est perpendiculaire au plan de la projection , les projections des deux cercles sont perpendiculaires entre elles.
(n) Dans ce cas, il suffit de connaître l’un des deux angles obliques rectilignes ; l’angle oblique qui a son sommet au zénit, n est pas dénaturé sur la projection ; l’autre y est diminué de manière a devenir le complément du premier.
Après avoir exposé les principes fondamentaux, voyons le parti qu’on en peut tirer pour résoudre les problèmes particuliers, et construire tous les cadrans qu’on peut décrire sur des plans. Nous établirons nos formules pour le cas le plus général et le plus compliqué que présente la Gnomonique; tous les autres cas s’en déduiront par des réductions faciles.
Soit RZPR' (%• 139) le méridien, Z le zénit, P le pôle élevé , EQ l’équateur, PQ le cercle de 6‘, RR' l’horizon, ZQ le premier vertical, Ma: un grand cercle quelconque, représentant le plan sur lequel on veut tracer un cadran.
(12) Z AO le vertical perpendiculaire au plan Mx, Za sera la plus
courte distance du plan au zénit, rLa marquera de combien le plan s’est écarté du zénit pour arriver à la position Ma:, Z a mesurera l'inclinaison. Nous ferons Z a = I.
(i3) Qx sera l’amplitude du plan Ma:, ou la quantité dont il décline, °u s’est éloigné du premier vertical. Nous ferons
Qx = RA = D = déclinaison du plan.
Les angles a et A sont droits, x est le pôle de ZaAO,
Ax = go° = QR , d’où Qx = RA.
(i4) PR'= hauteur du pôle = H.
H, D, I sont les trois données du problème; ce sont elles qui déterminent la position du cercle Ma:.
Soit aO = 90°; nous aurons AO = Za = I ; O sera le pôle du cadran et du cercle Ma*.
Oe = OM = O a = OL = OR = Or = go*.
Tous ces arcs sont perpendiculaires à Ma:.
Soit PR perpendiculaire sur Ma:;
PK = h = hauteur du pôle sur le plan.
PR prolongé passera par les pôles O et O' de Mjc;
OGZO' = i8o° = ORO';
OR = go0 = OF4-FK = FK + PR; donc OF==PR = /,.
O est le point du ciel où aboutirait un style droit planté au centre de Ux ; car ce style ferait partie de Taxe 00'.
L’azimut du pôle O du cadran = RZO = RA =Qx = D.
L’intersection commune des plans Ma: et ZaO sera la verticale du plan ; cette verticale passe par le point a. L’intersection commune des plans Ma? et OPO' sera la méridienne du plan ; le cercle OPO', qui passe par les pôles du plan et par ceux; du monde , sera le méridien du plan, comme le cercle RZR', qui passe par les pôles de l’horizon et par ceux du monde, est le méridien de l’horizon RQR'.
L intersection de RZR' avec le plan Mjc sera la méridienne du lieu; elle passera par le point M.
L angle MPK sera la différence des méridiens. MPR = <?•
Gela posé, le reste n’est plus qu’un problème de Trigonométrie sphé-
55o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
rique. Nos trois données vont nous fournir des moyens pour calculer
tous les arcs, et tous les angles de la figure , et pour les représenter
ensuite sur le cadran, par la projection dont nous avons exposé les
règles.
On peut se représenter Mr par un cercle décrit d’un rayon arbitraire autour du pied du suie pris pour centre.
(15) Le triangle rectangle ZMA donne
tangMrt = sin T.a langMZ« = sinI tangD = tangMOZ.
Celte formule donne l’angle que forment, au pied du style, la verticale et une parallèle a la méridienne; en effet, la projection de l’arc OM sera cette parallèle, et celle de Tare Oa sera la verticale; l’arc M a mesurera l'inclinaison de ces lignes. Cette formule est d’un grand usage.
La tangente de OM et celle de O a sont infinies, puisque les arcs sont de 90°; on ne peut qu'en tracer la direction sur le plan; rien ne les borne ; mais la. projection de OZ = tangOZ tang(QO° -f- 1)= col I.
Le point Z se projettera donc sur la verticale, a une distance cotl, au-dessus du pied du style, puisque la cotangente est négative, car si elle était positive elle serait au-dessous, puisque la projection renverse, Mx = Ma -f- ax = Ma -f- 90° ; car x est le pôle de ZaAO,
(16) Le même triangle donnç
tan» ZM = = tang I sécO.
iaug cos MZa cosD b
ZM est l'arc du méridien compris entre le plan M et le zémtZ. MP = MZ -f- PZ est l’arc du méridien entre le plan et le pôle.
__ - . tang PZ -f- tang ZM
tang MP = (PZ-+-ZM)— TZ^gPZtang ZM
c^tH -f- tangl sécD
1 — tangl sec D cot H 9
ME=ZE — ZM, langME
tang ZE — tang ZM 1 -f- tang ZE tang ZM
tang H — tangl sécD 1 4- tang I séç D tang H*
(19) Enfin le même triangle donne
cosM = COsZa sin Z = cos l sinD = cosPRsinMPR = cos/isiucT. ZM0 = MH-9<>o, et TMO =? 90° — M.
Soit OT perpendiculaire abaissée sur le méridien i
sinOT =sînZsinZO=slnDsin(90# +l)=sinD cosl=cos M=cosOQ, OQ = M — rs, TO = Qr, sR' = RT = ZM,
OT =9o° — M=TMü ; d’où MT=M0=90% €t RT=ZM.
OT est la plus courte distance du méridien au pôle du plan ; taugOT sera la projection de cet arc, et la plus courte distance du pied du style à la méridienne; scc OT sera le rayon diviseur de la méridienne ; f le point T sera le point culminant ou le zéro des arcs du méridien.
MT 90% ZT = 9®° H- ZM.
11 suffit donc d'ajouter 90° à ZM trouvé ci-dessus, pour avoir le zéro T.
(20) tangZT = cosZ laogOZ=cosD lang(9o-f-l) = — cosDcotl
— — cotZM,
(21) cotTOZ = tangZ cosZO=tangDcos(90°-bI) = — sinl tangD
= — tan g Mn, TOZ= 90° -p- Mrt.
TOZ est l’angle entre la verticale et la plus courte distance du pied du style h la méridienne. Ce triangle pouvait se conclure du triangle MZ a, dont il est un complémentaire.
Tang TO.tang TOZ = col M coi Mrt sera la projection de la partie TZ du méridien.
C’est ainsi qu’on pourra déterminer par le calcul, tout ce que les gnomcnistes déterminent par des opérations graphiques* moins susceptibles de précision.
Ce triangle EeM rectangle en e donne
sinEe = sinMEsinM= cos EO = sinMsin (H— ZM).
(22) Mais le triangle ZEO donne
cosEO==cosZ sinZO sinZE -f-cos ZO cos ZE . - =cosD sin(9o°-M) sinH + cos(9o° + I) cosH,
0,1 cosOE = sinll cosD cosl — cos H sin 1 = cos h cos d',
Par le triangle POE.
(23) cot ZOE = c-ot H ^ t,°°+ 1} — cos (90- + 1) cotD
s*= cosl cosécD colH -f- sinl cotD.
2-OE est l’angle au pied du style , entre la verticale et la droite menée au point équinoxial de la méridienne.
55i ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Tang OE sera cette ligne ; elle nous donnera un point qui appartient à la méridienne et à l’équinoxiale ; prolongez -PQ jusqu en t à la rencontre de OE ; EQ = 90», EQ t = 90", donc E(Q = 90% donc E est le pôle de Q< ou dePQt cercle de 6' ; donc Et = 90-; doncO«=90°— OE ; tangOt sera la plus courte distance à la ligne de 6‘, et sécOt le rayon diviseur de cette ligne.
OT = 90° OQ ; tangOQ = cotOT nous donnera donc un autre
point de l’équinoxiale ; c’est celui qui appartient aussi à l’horizon.
cotZEO = - cosH cot D
= — tangï sin H cosécD — cosH cotD.
(24) cotTEO = tangOEQ =-}-tangI coséc DsinH+cosH cotD,
cos EQ = o = cosOE cosOQ -f- sin OE sin OQ cos EOQ ;
(a5) cos EOQ = — cot OE cot OQ = — tang O* . tang OT .
EOQ est l’angle au pied du style entre les points de lequinoxiale sur la méridienne et sur la ligne de 6*.
* tang A Q cot D
(26) tang ZOQ = tang AOQ = -j-gg — --f .
cot ZOQ = sin I tang D = tang Ma = cot ZOr; donc Ma H -ar= 90° = M> = ar-f- rpc ,
donc
rx =M a.
cot EOQ =
eoq = eoz+zoq,
1 — tang EOZ . tang ZOQ __ ^otZOQ-^ngEOZ tang EOZ + tang ZOQ tang EOZ cot ZOQ -+• 1
cot ZOQ cotEOZ 1 — cot eQr = cot er cot ZOQ -P cot EOZ
sinl tang P (cosl cosécP cot H -t-s*nI cotD) — 1 /2§ sin I tang D + cos I coséc D cot H -f- sin I cot D '
sinl cosl sécD cotH -4-sin* I— ■ 1
COter=COt(eM + gO ; — sinI tangD + cos I coséc D cot H sinl cotD sinl cosl séc D cot H — cosaI sin I sec D cot H cos I
sinl (tangD-pcotD) -f-cosIcosécDcotïî “tanglsécDcosécD-hcosécDcotH
sinl tangD cotH — cos IsiftD sinHang D — cosl sin D tangH
==: - tangTsécU-f*cot H ~ 1 + tangï sécDtangH ’
O étant le pôle de *Mr, il est visible que
EOQ = eOr= e/ = eM + Mr= eM + 90*.
cos OR == cos AO cos AR = cosl cosD.
Le triangle OPR ,
cosOR= cosZPO sinPR sinPO -f* cosPR cosPO
= coseT sinH cos A -f- cosH sin h = cosï cosD, coseT cos h + siu/i cotH = cosI cosD cosécH.
TangOR sera la distance du pied du style au point horizontal de la méridienne.
(29) tang ARO = = cosécD tang I = cot ORT,
car ART = 90°.
(3o) tang AOR = = coséc I tangD.
0 sin AO sinl b
(5i) tang TOR = tang RT tang ZM tang I sécP
V 0 sinO'i’ sinOT sin D cosl
= tang I sécl sécD cosécD.
(32) cosORT=cosORtangTOR = cosI cosD tanglsécD sécIcosécD == tangl coséc D = tang ARO ;
MO =90% MT = 90% MTO = MOT=9o*.
Projection de TR = tangOT tang TOR = tang TOR
sin DcosI tanglsécIsécDcosécD tanglsécD
cos OT sin M
Projection de TE = tangOT. tangTOE = tangOT colEOM = tangOT coteM.
Projection de TM est infinie comme tangOM.
Projection de TZ = tangOT tang TOZ =tangOT tang (9o*-j-MO Z) = tangOTlang(9o°4-]VIa:).
Projection de TP = tangOT tangTOP^=tangOTtang(TOM+MOP) = tang OT taûg (90 -f- MK).
Le triangle PZO donne
cos PO = cosPZO sinZO sinZP -f- cosZO cosZP
= — cosD sin(90°-f-I) cosH-f- cos(go° + I) sinH, ços (go°4- h)=. — cosD cosl cos H — sinl sinH,
(33) et sin h = -f- cosD cosl cosH -f- sinl sinH; formule importante.
h est la hauteur du pôle sur la surface supérieure, ou son abaissement sous la face inférieure du plan.
(34) Le même triangle donne
cotZPO = sinH cotD — tangl coséc D cosH = cot «P — cotdiffér. des méridiens.
(35) cotZOP = langH cosl cosécD — sinl cotD=cotGOF = cotalv = cot angle de la verticale et de la soustylaire ; c’est ainsi qu’on appelle la méridienne du plan, parce qu’elle passe toujours par le pied du style.
L’angle GOF n’est pas altéré sur la projection , non plus que GFO ; OGF devient le complément de GOF, et ce complément est l’angle de la verticale et de l’équinoxiale.
MK = M a -f- aK, tangMK
ou bien
tang Ma -f- tang aK 1 — tang Ma tang «K. 9
tangMK = sinPK tang ZPK = sin h tang cT
= sin I sin H -4- cos I cos H cosD ( -7—r= - — T - tA
1 \sinHcosD — tangl cos 11/
rvc\ k -TifiT sinlsinHsinD+cosIcosIlainDcosD sinl tangD -f-cosl -inDcotH
(3o) tang MK sinH cosD — tang l cos H 1 — tang I séc D cot H
On aurait trouvé la même chose en mettant, dans la valeur ci-dessus, les expressions de Ma et aK.
Kes projections de OM et de TM sont toutes deux infinies, toutes deux perpendiculaires à la projection de OT ; elles sont donc parallèles et font le même angle avec la soustylaire. MOK est donc l’angle au pied du style entre la soustylaire et une parallèle à la méridienne, et par conséquent aussi l’angle au centre du cadran entre la soustylaire et la méridieune.
(37) tang EOF = = coséc h . langj' ;
on peut remplacer sin k et tang ^ par leurs valeurs cirdessus,
tang FQ cos
tang FOQ = 4(Jf “ sînfc"
tangJ"^ cm i'
(38)tangEO(^.ang(EOF+POQ)=;!^^î^F=^|^
1 sin*ft
coséc h (tan g ^-f- coté')
séch (— \cc
’sin ^ cos è sin ï)
tcos i' ~
- coséc1* h
séch fjfÿfrpV \ sin d cos «T
cotaÆ
cotée* h — i
(Vojéz 27).
(5g) tang AG = sin AQ tang AQG = cos D cot H. (4°) tang GG = lang(OA-{- Âti)
coséc h tang" h ___ tang h séc h
sin «T'cos ^ Tin «T1 wJ ?
tang I -f- cos D cot H
1 — tangl cos D cot H 1
OG est la partie de la verticale entre le pied du style et l’équinoxiale.
Projection de FG = tangOF tangFOG=tang/?. lang«K.
Projection de FE = tangOF tangFOE= lang/icosécAlangJ—séc/dangcT. Projection de FQ = tang OF tangFOQ= taug/tcoi J coséc/i ^séc/icotJ.
On aura ainsi les parties de l'équinoxiale comprises eulre la méri¬
dienne et la ligne de G*.
(40 ‘a”gQG = = cosecH colD-
(42) cos AGQ = cos H sinD.
(43) tangrtL = sin I coiD.
(44) cos L = cosl cos D.
«') '™SÎX = = Sîl = “"Si «»*■>■
«O) «»-o=£sÿ*)+as»— «
On voit d’abord que pour un meme cadran, cette formule 11’a d’autre variable que COtMPJ, ou l’angle horaire ; elle fait voir aussi que Mx peut être considéré comme un cadran vertical, pour le lieu dont le zénit serait en M, ou la latitude EM = (H — ZM), et dont la déclinaison serait PMjt; que, dans ce cas, Md serait l’angle de la ligne horaire avec la méridienne. C’est ainsi que, dans mon Astronomie, j’ai considéré le cadran incliné déclinant, pour en faire un cadran déclinant non incliné, fit simplifier les solutions.
L angle MCW au pied du style , sera donc le même que l’angle au
cenlre du cadran; ainsi, nous aurons tous les angles au centre, en calculant ceux qui ont lieu autour du style; les lignes menées du centre, et celles qui sont menées du pied du slyle, ne devant se rencontrer qu’à des distances infinies enM,fl,R,^, elles seront nécessairement parallèles et formeront les memes angles, soit qu’on les tire du centre ou du pied du style. ( Voyez d’ailleurs page 554 > 56).
Nous avons déterminé ci-dessus M et PM ; le calcul de la formule serait donc bien facile; mais on peut éliminer ces deux constantes.
, , . , r, -, rN cos I sin D (i — tangPZtangZM)
COsMcOlPM = cosl SinD col (PZ-f- ZM) — - tangPZ
T — cotTTtangTsécD^ rosi sin D — sinl tang D cotlï
cos sin ^cotH -j- tangl sécD/ cotH -f- tangl sécD
cosl sinD tangH — sinltangD
i -f- tangl sécD tangH
C’est la première constante; c’est aussi la valeur de cotMc/ pour. la ligne de 6A; car à 6* colP= o; c’est la cotangenle de M q. En effet,
langPM = tangM<7 cosM et colM^ = cosM cotPM,
Mq = 90° — qr = 90° — Me.
Le triangle Oeq est tri-rectangle et tri-rectilatère,
eq == 90% er > 90% M q < 90°.
sin M sin I pin t
sin PM sinZMsiu(PZ~+ ZM) sin ZM (sin PZ cosZM -f- cos PZ sinZM)
sinl sinj
— cosH sin ZM cosZM + si»H sin* ZM fcos9ZM (cosH tangZM -f sinll tangaZM)
sin I (1 -f- tang9 ZM) 3jn I -f sin I tang9 1 séc9 D
" cos H tangZM -f- sin H tang* ZM tangl sécD cos II -+- »in H tang9 1 séc9 D
sin I cos* D -P sin I tang9 I __ sinl(i — sin9 D -f tang9 I)
— tangl cosDcôsH + sin H tang9 1 tangl cos D cosll -f sin H tang9 1
sin I («éca I — sin*D) sinl(i — singD cos1!)
== tangl cos D cosH -f- sin H tang* I siu I cos I cos D cos H sin ïfsin2 1
1 — $in*Dcos9ï /'sin9M\
1 cos I coé> D cos H -f* sin I sin H \ sin h /
(46) Ainsi
, /cosl sinD tangH — sinl tangD\ , / 1 — sin* D cos* I \
COl ■ y 1 -f- tangl sécD tangH / ‘ \cosIsinD cosH — |- sinl sinH/
Supposez P = 9°% ce 9ui arrive à 6* ; le premier terme restera seul et sera la cotangente de l'angle horaire de 6*.
Cette formule générale donnera l'inclinaison d’une ligne horaire quel-
CNOMONIQUE. 557
conque sur la méridienne, dans les cadrans inclinés déclinans, et, par suite, dans tous les cadrans, en mettant pour I et D leurs valeurs, ainsi que nous verrons plus loin.
Sur le cercle horaire quelconque P*/9 abaissez Tare perpendiculaire 00.
(47) sin O0 = sin PO sin OP0 = sin (90° + /*) sin (P — . £ )
= cos h sin (P — cf) = cos h cosef sin P — cos h sincf cos P = (sinHcosDcosl — cosHsinl)sinP— cosMeosP (22 et 19} = (sinHcosDcosI)sinP — cosIsinDcosP= A sinP — B cosP.
(48) cot PO0 = cos PÔ tangOP0 = — cos h taug (P — J )
\i -+• tangP tang^y
On pourrait éliminer tang cf au moyen de la formule (34); mais en éliminant ensuite h par la formule (19) ou (22), on ferait rentrer et l’on ne gagnerait rien. Le plus court sera donc de s’en tenir à . . .
* — cosh tang (P — cf). Nous indiquerons plus loin un moyen fort simple pour obtenir PO0.
Avec tangO0 et tangPOO, on pourrait tracer une ligne horaire quelconque sans connaître le centre , qui se déterminerait par l'intersection de deux lignes horaires.
11 nous reste encore à marquer les arcs des signes. Le plus court serait dy employer l’hyperbole, par les moyens indiqués page 545.
Soit P/z la distance polaire du Soleil et d sa déclinaison.
Pm = 9°° — d — 9°° — déclin, boréale.
(49) cosOrt = cosOP/z sin PO sinP/z-f- cos PO cosP/z
= cos (P — <f) sin(9o°-f/z)cos^-f-cos(9o° + /i) si nd cos (P — cf) cos h cos d — sin h sinz/
= cos h cos z/ cos cf cos P4-cos/zcosz/sin<f sinP — sin /z sim/ = cosz/eosP(sinHeosDcosl — cosHsinl) (22) -f-cosz/sinPcoslsinD — sin/zsim/ (19)
— sin H cos D cos Icos</cosP — cos H sin I cos d cos P
-j-cosIsinDcoszfsinP — (coslcosDcosH-f-sinlsinH)sinz/.
Lorsque le Soleil est dans le plan, l’angle horaire se trouve par la formule generale des levers cos(P— «f)==— Ung/t langrf. Connaissant ainsi (P-/) , on en déduira P , c est-à-dire 1 heure à laquelle le Soleil se lèvera Sur le plan.
(r>o) Tang On sera la distance du pied du style à l’intersection de la igné horaire et de Tare du signe.
^es deux formules renferment toute la théorie des arcs des signes pour toutes sortes de cadraos plaus; elles supposent seulement que les lignes
horaires sont décrites, ou que l’angle POâ est calculé; avec POG et OG* on. aurait la ligne horaire qui est toujours perpendiculaire à OG, et Ion marquerait les points des arcs des signes par dé simples intersections.
Il n’est pas besoin d'un aussi grand nombre de formules pour tracer un cadran. Nous allons indiquer l’usage des plus importantes. Les autres nous donneront quelques lumières sur les pratiques obscures et non dé-* montrées des gnomonistes du XVIe siècle.
Construction du cadran.
Prenez une droite arbitraire pour méridienne , et sur cette droite un point arbitraire C pour le centre du cadran et la prbjecfion du pôle.
Voyez avant tout quel sera le pôle élevé sur le plan ; si la valeur de siuA est positive, le pôle austral se projettera au-dessus du style au point le plus haut du cadran.
Si l’expression de sia h est négative, le pôle boréal se projettera au point le plus bas (33).
Eh conséquence, vous placerez le centre C ou tout en haut ou tout en bas de la méridienne; autour de ce centre et d’un rayon arbitraire, mais le plus grand que vous pourrez, décrivez un cercle occulte.
Sur la circonférence de ce cercle portez, en parlant du point où elle coupe la méridienne, la corde de l’angle formé par la verticale ou la corde de l’arc Ma; par le centre et le point ainsi déterminé, menez une droite, qui sera la verticale (formule 1 5).
Dans la figure. Ma est en haut, à la droite de la méridienne M; dans la projection qui renverse, a sera en bas et à la gauche; si Ma était négative, il faudrait faire tout le contraire. Cette ligne est nécessaire pour placer exactement le cadran sur le qjur destiné à le recevoir.
Prenez de même la corde de MK. (35); la ligne menée du centre au point K sera la soustylaire; faites attention de même au signe de tang M.
La hauteur du style étant prise pour unité, ce style sera placé sur la soustylaire, à une distance du centrer cot h; c'est-à-dire en descendant si le centre est en haut, et en montant s’il est en bas.
L’équinoxiale, qui est toujours perpendiculaire à la soustylaire, la coupe en un point qui est à une distance tang A du pied du style, mais de l’autre côté ; en sorte que le pied du style est toujours entre le centre et l’équinoxiale.
Par le point trouvé par tang/*, menez une perpendiculaire, ce sera l’équinoxiale.
La distance col h, le style i, et Taxe coséc/t , forment toujours un triangle rectangle. Vous aurez donc Taxe qui doit être dans un plan perpendiculaire à la soustylaire , et formant avec elle, au centre du cadran, l’angle h de la hauteur du pôle.
On peut garder cette opération pour la dernière.
Le rayon diviseur de l'équinoxiale est séç h. Nous pourrions donc diviser l’équinoxiale, comme tous les gnomonistes, et tirer du centre aux points de divisions, toutes les lignes horaires; mais Texaclitude de l'opération dépendrait trop du soin avec lequel on aurait mené la perpendiculaire qui est l’équinoxiale ; d’ailleurs celte ligne s’étend toujours de part ou d’autre à une distance incommode.
Calculez les angles horaires par la formule (46); portez les cordes de ces angles sur votre cercle , en partant toujours de la méridienne, et par les extrémités de ces cordes menez, du centre, des lignes droites qui seront les lignes horaires.
Aucune de ces lignes ne doit faire, avec la verticale, un angle de plus de 90°. Les lignes qui donneraient des angles obtus sont inutiles à tracer; l’angle obtus indique que le Soleil sera au-dessous de l’horizou. Voilà le cadran construit, à la réserve des arcs des signes.
Cette dernière opération n’est pas plus difficile que les précédentes; OU se servira des formules (49) et (5o), et, pour plus de brièveté, vous déterminerez cf (34)*
Nous n’aurons employé pour tout que les formules 1 5, 33, 54, S5, 46, 49 et 5o.
On peut varier cette construction de bien des manières.
On peut tracera l’extrémité de la méridienne, une perpendiculaire et prendre dessus les longueurs w.tangMJ, m étant la longueur de la méridienne.
On peut prendre les longueurs /cot MJ sur deux parallèles à la méridienne menées à une distance l
On feraiL la même chose pour la verticale et la soustylaire ; 011 éviterait le cercle et ses cordes, sans alonger le calcul , sur- tout si l'on prenait pour m et / , des multiples exacts du rayon ou du style.
On peut projeter sur la figure tous les triangles rectangles qui ont leur sommet au pied du style ; c’est-à-dire TOR, TOE, TOZ , TOP ; FOE, TOG, FOQj AOR, AOQ, dont 011 peut calculer tous les côtés; on peut calculer les triangles KOm , ou les intersections des lignes horaires, avec 1 horizontale R AOR'; mais celte ligne serait souvent plus incommode encore que l’équinoxiale.
(5») De triangle rectangle R'Pwi donnera les arcs R 'm, par la formule
sinH tangP = tangR'm,
(5a) P étant compté de minuit,
Am = (R'A — R'm) = (i8o* — D — R'm).
(53) cos O/n = cos AO cosAm, et tangO/n sera la distance du pied du style au point m de l'horizontale.
Toutes nos formules sont pour le cas où le plan Mx est descendu du zénit vers le sud-est; l’inclinaison I = Za y est supposée positive; la déclinaison positive D se compte en allant du midi à l’est pour le pôle O du plan, et de l’est au nord pour l’intersection x (fîg. iSg),
Si l’inclinaison était du zénit vers le nord-ouest, I serait négatif; il faudrait changer les signes de sinl, tangl, cotl, cosécl, dans toutes nos formules.
Si D surpassait 90% il faudrait changer les signes des cosD, des tangentes, cotangentes et des sécantes.
Si D était du sud à l’ouest, on ferait D négatif, et l’on changerait les signes de sinD, etc.
Notre figure 140 représente I négatif et >90°— H , en sorte que le plan Mx coupe le méridien au-dessous du pôle ; on voit que Ma, MK ont changé de position; les signes des formules en avertiraient; mais il 11 est pas inutile, pour se guider, de tracer grossièrement la figure d’après les données.
Le plan pourrait passer entre le zénit et le pôle I; I serait négatif, mais < 90° — H ; M serait sur PZ , et Ma changerait de signe.
Dans la figure 139, le centre du cadran serait en haut, parce que le pôle austral est élevé sur le plan ; il en serait de même si l’intersection M était sur PZ.
Dans la figure 140, c’est le pôle boréal qui est élevé sur le plan, le centre est au bas de la méridienne; la valeur et le signe de ZM ne laissent jamais là-dessus aucun doute ; mais il ne sera pas inutile de donner des exemples de ces constructions dont personne n’a encore
parlé.
Comme change de signe quand le plan passe par le zénit, MK en change cjuand il passe par le pôle.
Supposons d'abord H:
05) Ma =
(i 6) ZM =
ZF =
