PH= 5,3252 .. 0,7263385 PH
pz= 5,7640 P 1,6789665 pz = 45,44s
jc’= o,4388 .. 9,6422666 a* =25,906
px =. 20,943 .. i,32i 253i pxz=z 1256,4 •••• 3,0921659
x% 9,2845332 xx . 2,8268008
*~-xx = 0,244 .. 9,3872062
ci-dessus = 4>^047 .
:i-dessus= 45,64*
différence= 0,0027
différ. = o,o36
On ne peut désirer plus d’accord avec des ombres qui ne sont calculées qu'en centièmes de pouces, et des angles qui ne sont calculés qu’en miuules.
Un avantage de ces formules, c’est qu’elles servent à calculer les deux hyperboles à la fois , sans rien connaître que le grand axe et ses deux extrémités. Le grand axe est toujours sur la méridienne du plan.
Supposons x = 10, . x
1 ,0000000 ,8, 423go55
\op = px . . . 2,6787665
2r = 49,i52 est la largeur de l’hyperbole pour .r= 10; la double abaisse surpasse déjà le paramètre qui n’est que de 47,727.
C’est par des calculs semblables que j’ai formé la table suivante :
Diff. ir«»
Diff. a««.
0,000 7,000 io,oa6 l a , 433 i4,5a8
21 ,5lO a3,o54 24,575 |
7,oco
o,6iq
0, 134 0,oq5 0,078 0,oÉ>2 0,043
De 8 à io les différences secondes sont si petites que les différences premières sont presque constantes ; en les supposant nulles , on pourra continuer la courbe en ligne droite.
En tout , le calcul est très facile et assez court pour qu’on puisse multiplier les déterminations autant qu’on le jugera à propos.
Les deux hyperboles opposées étant égales, puisqu’elles ont même grand axe et même paramètre, il sufîit d’en calculer une pour chacune des déclinaisons dont on voudra l’hyperbole.
Ce moyen , pour calculer les arcs des signes , nous parait préférable à tout ce que nous avons lu en ce genre, à tout ce que nous avons donné, et h tout ce que nous pourrons donner par la suite.
Pour diviser les courbes en heures, il suffit d’avoir la longueur des ombres comptées du pied du style, ou la longueur des ligues horaires comptées du centre.
Dans ce dernier cas, il suffira d’une seule longueur pour chaque heure; avec celte longueur, et du centre du cadran, on marquera sur un arc hyperbolique un point de section; ce point et le centre donneront la ligne horaire, qui divisera toutes les hyperboles.
Dans le premier cas, il faudra deux longueurs d’ombre et deux poiuts d’intersection pour avoir la ligne horaire.
11 est étonnant sans doute qu’aucun auteur n’ait encore songé à disposer 1 équation aux sections coniques pour l’usage de la Gnomonique; il est vrai qu il était difficile de prévoir que l’expression du paramètre et celle de j- seraient d’une simplicité si remarquable.
Voulons-nous savoir, dans notre hyperbole, à quelle abscisse répon-
54a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
dra y = i p = 23,8655. La simple inspection du tableau nous montre
que x différera peu de g, 5.
log ^ = 0,1026720, log - = o,o5 1 o36o = log tang g = 48 22 42 > .r = mséce' — m = m( sécg' — 1) = m tangg' tangos'.
log COS g' . 9,8223046 Îog/Tî . 1,2750642
log séc g' . 0,1776952 tang g' = 22' /\2 o,ooi336o
' logm = 11,839275 1,2750642 tangis' = 24.11.21 9, 6524506
m séc e' = 28,3635 2,4527694 2: = 9,52420 0,9788508
C’est donc à une distance du centre ni sec & que 1 ordonnée y ——7 P » ou , à une distance du sommet, = m tang g' tang 76' = abscisse.
Dans l’ellipse
-=cosg 1 — — = sin*£, sin g = e = excentricité de l’ellipse. m ’ m*
Le demi-paramètre de l’ellipse est l’ordonnée qui répond à la distance
sin g du centre. ' i
Le demi-paramètre de l’hyperbole est lordonnee qui répond a... x= tang g' tang g' ou à la distance séc g' du centre.
Nous supposons ici m = 1. , , .
Dans la parabole nous avons vu que le paramétré répond a 1 abscisse
Le paramètre est donc une ordonnée très remarquable de la courbe, et non pas une quantité étrangère comme on le croirait en lisant Apollonius. , j » 1
La formule 7?= 2G colD = 2cotD, quand on prend le style pour unité fait qu’on Peul calcu^er une table de tous les paramètres qui serviront pour tous les cadrans et h toutes les latitudes. Les gnomonistes, qui ont donné tant de tables subsidiaires pour la construction des cadrans, auraient sûrement calculé cette table des paramètres, s’ils eu eussent connu la formule.
Paramètres.
Paramètres.
On voit que le plus petit de tous les paramètres est encore égal à 4,6 fois la hauteur du style.
On voit que quand la déclinaison est très petite les hyperboles sont fort aplaties.
m diminue avec la déclinaison, il est nul à l’équateur.
= tangg' augmente avec la déclinaison. mséce' diminue, quoique séce' augmente.
Le centre de l’hyperbole se rapproche du pied du style jusqu’à ce que D = o, alors le centre est sur l’équinoxiale.
Formules usuelles pour Vhyperbole.
p = 2C0tD , en supposant G = i.
Grande ombre = tang (H -f- D) ,
Petite ombre == tang (H — D) , Demi-axer=i[(ang(H+D) — tang(H — D)] = ^nDcosT)
tang e' = [C0*(H 4- O) cos(H — D)]-
sin D
cos(H 4-D) cos(H — D) " e = m séc g'.
y* = ( 2 cot D ) x -f- ( tang g' . .r )•.
On multipliera tout par G, si l’on ne fait pas G= 1, ce qui serait le plus commode.
Revenons aux Arabes.
Voici en dernier résultat ce que leur doit la Gnomonique.
Le pied du style est la projection du zénit du plan; les Grecs le savaient déjà. Les Arabes ont imaginé de placer sur leurs cadrans le zemt de la Mecque; ils ont imaginé les lignes du commencement et de la lin de Tashre, dont nous n’avons aucun besoin; ils ont des cadrans cylindriques qu’on ne voit pas chez les Grecs , et qui ne sont pas d’un usage bien sûr; ils ont, comme les Grecs, des cadrans coniques qui doivent être un peu moins mauvais; ils ont des cadrans sphériques. ou Hia san se faisait un honneur de toutes ces inventions, et les Grecs, qui avaient la plus passable de toutes, pouvaient avoir également toutes les autres : je 11e parle pas de la balance horaire, qui me parait une m vention plus bizarre qu’utile. Ils ont eu la première idée des cadrans qui marquent les heures équinoxiales , les seules dont les modernes font usage; ils ont connu la projection du pôle, qui est le centre du cadran et le point commun des intersections des lignes horaires équinoxiales; mais ils n’ont pas su tirer un parti bien avantageux de cette remarque heureuse; ils nont connu ni les rayons, ni les centres diviseurs des différentes lignes horaires; ils ont imaginé de décrire les arcs des signes d’après les propriétés générales des sections coniques. Ils ont donne des règles générales pour calculer le paramètre des trois sections; leurs réglés ne dépendent que de la hauteur du pôle, de la déclinaison et de la hauteur du gnomon. Ces règles étaient beaucoup trop longues à calculer : il est inutile d’y faire entrer la hauteur du pôle. Ces règles ne se déduisent pas immédiatement des théorèmes d’Apollonius. Elle appartiennent donc aux Arabes, qui n’ont pas su les simplifier.
Nous n'avons trouvé chez eux aucun vestige du cadran universel de Régiomontan, non plus que des cadrans analemmatiques qui donnent l'heure par la hauteur du Soleil ; ils n’avaient aucune idee des angles au centre des divers cadrans.
Nous trouverons ces angles et diverses autres nouveautés, dans les premiers auteurs européens qui ont écrit sur la Gnomonique; mais ces geomètres ne se donnent pas pour les inventeurs de ces innovations heureuses. H y a donc dans l’histoire de la Gnomonique une lacune qu il nous a été impossible de remplir. Nous voyons des progrès marqués, sans savoir précisément à qui nous en avons obligation. Ces découvertes ont précédé probablement l’invention de l’Imprimerie. Les ouvrages originaux se seront perdus; la tradition nous a transmis ce qu’ils renfermaient de plus utile. Les plus anciens d’entre ces auteurs , Munster et Schoner ontaflecté d'imiter les Arabes, en supprimant toutes les dur
monstrations; comme Albategnius et Ebn-Jounis, ils se sont bornés à donner des constructions reposant sur des principes qui n’ont été exposés nulle part; il en résulte une obscurité qu’il n’est pas aisé de dissiper.
Pour trouver le mot de toutes ces énigmes , il nous a donc paru convenable de placer ici les principes généraux de notre Gnomonique ; ils serviront à démontrer les pratiques obscures de nos premiers auteurs.
Note sur les arcs des signes .
Nous avons donné, page 537, l’idée d’une Table des ordonnées pour les arcs de» signes , dont la formule serait y = x (£+’ y> eHe aurait cet avantage, qu’en
un très petit nombre de pages, on y trouverait à vue, pour tous les lieux et pour tous les cadrans possibles, les ordonnées qui n’excèdent pas les limites du plan; en sorte que la description des arcs des signes , si longue et si compliquée chez tous les auteurs, deviendrait la partie la plus aisée de la Gnomonique.
Après avoir marqué sur la soustylaire les sommets des hyperboles opposées, par les longueurs tang(/i^:D), on prendrait sur cette même ligne et en partant de ces sommets , les abscisses aliquotes décimales du gnomon , et aux extrémités de ces abscisses on élèverait des perpendiculaires égales aux y de la table. On obtiendrait aussi , par une seule opération , les deux branches de la première hyperbole , et l’hyperbole conjuguée s’en déduirait par la simple superposition.
J’ai calculé cette table pour toutes les valeurs.de h, de degré en degré, depuis o jusqu’à 90°, et je me suis assuré que cette étendue était suffisante , parce qu’un degré de plus ou de moins sur la hauteur du pôle ne produit dans l’ordonnée que des variations très légères. Quelle que soit la courbe , l’opération est toujours la même , si ce n’est que pour le cercle il suffit du rayon , qui est aussi le demi-paramètre.
On aura donc les arcs des signes, sans avoir encore les lignes horaires ; pour celles-ci, voyez page 5^1 . Si pourtant l’on est curieux de savoir à quelle heure appartiennent les sommets des y , on songera que
y = [cot h -f- tan g (h D) rpar] tang A = [cot h 4- tang {h if D) + afj sin h tangP ,
A étant l’angle au centre du cadran , entre la soustylaire et une ligne, horaire quelconque, h la hauteur du pôle sur le plan, et P l’angle au pôle pour l’heure du plan; d’où
tangP =r
y'coséc/i
cot h -{- tang (h zp D) zpx*
Nos x et nos y supposent le gnomon =1 ; s’il avait une valeur quelconque G , on commencerait par prendre dans la table les x et les y tels qu’elle les donne, apres quoi on les multiplierait par G; l’abscisse serait G. x, et l’ordonnée serait G.y.
