I VIII

soustyl. , — q.48

verticale.: — 43- 1 3

2,a3ai

ÏT0299

Le cadran étant renversé, les ombres les plus longues auront lieu en hiver, parce que le Soleil sera plus éloigné du pôle du cadran; c’était le contraire dans l’exemple précédent, où le centre était en haut. L’inspection de ce tableau prouve qu’il faudra diminuer les dimensions et les réduire à moitié. C’est ainsi que j’ai tracé la figure 142.

Il n’y a jamais qu’un point de l’axe qui puisse envoyer son ombre sur l’arc du signe, et cet arc change chaque jour; le point qui marque les signes est le sommet du style, on est maître du style; mais quand sa longueur est déterminée sa place est marquée; et réciproquement.

On peut vérifier tous ces calculs , eu considérant le cadran incliné déclinant comme un cadran horizontal qui conviendrait au parallèle dont la hauteur du pôle serait h = 34° 211 , et la différence du méridien serait

cT= 1 70 2' 7", afin de faire marquer au cadran les heures du lieu véritable au lieu de celles du lieu fictif.

Pour le cadran horizontal, la formule des angles au centre se trouve en faisant tangC = sin/i tangP, et cela quelque soit P ; ainsi, pour avoir les heures du lieu, nous ferons P'=(P+cf) pour le soir, et (P — pour le matin : nous aurons ainsi

Soir.

Angles

soustylaires.

Angles

méridiens.

Matin.

Soustylairc.

Méridien.

ÎO

g3.36.io

Ici nous avons calculé en secondes que nous avions négligées par l'autre méthode. Nous retrouvons tous nos angles.

J'ai recalculé de même les points des hyperboles des signes , et je les ai retrouvées les mêmes.

Tant que l’ombre On n’est pas négative, le Soleil éclaire le plan, mais il faut voir s’il n’en éclaire pas la partie qui est sous l’horizon.

CosO/z = o marque le passage du Soleil par le plan. 11 en résulte cos(P — cf) = taug h langrif = arc semi - nocturne , pour le matin, et cos( — P — ■ eT) = tang h tanga?, pour l’autre arc semi-uoclurne. En général , cos (P zb cT) = tang h tang d.

Tang*/ est négative pour une déclinaison australe.

Par cette formule , qui est générale , on a les arcs semi-diurnes du plan, d’où l’on conclut les momens où il commence ou cesse detre éclairé. Si l’aDgle P qu’on en déduit est plus petit que l’arc semi-nocturne du lieu, le cadran ne saurait marquer l’heure indiquée par P. U faut pour que le cadran marque la réunion de ces 4eux conditions, que le Soleil soit élevé sur ce plan , et qu’il soit élevé sur l’horizon du lieu. Cos O/z positif prouve que ce plan est éclairé -, mais si à cette heure le

Soleil est couché, le cadran ne marque rien. Mais on a line réglé plus simple. Dans la construction, on rejette les angles qui donnent à 1 ombre «ne direction qui passe au-dessus de 1 horizontale, menée par le pied du style. On ne tracera donc aucune ligne inutile.

Nos formules sont générales; elles se simplifient considérablement pour les cadrans plus ordinaires.

Cadran équinoxial.

Ainsi pour le cadran équinoxial, le plus régulier de tous, il faudra supposer I = H , parce que le plan de l’équateur est éloigné du zénit d’un angle égal à la latitude. 11 faut faire D = o, parce que le plan du cadran coupe l’horizon aux points est et ouest.

L équation sin l langD = tangMa = o nous montre que la verticale se confond avec la méridienne.

TanglsécD devient tangH ; le plan du cadran est le plan de l’équateur.

CosI sinD = o nous fait voir que le plan du cadran coupe le méridien à angles droits.

Orp = 9o° — M=90° — 90* =o nous dit que le pied du style est sur la méridienne.

— cosDcotI= — cot H== o uous montre que le style fait un angle go° — El avec l’horizon, et qu'il est perpendiculaire au plan.

Cot cOr = o fait voir que la ligne de 6* est à angles droits sur la

méridienne. f

Sin h = cos*H + sin* H = i dit que le pôle est éleve de 90* sur le plan.

SinD cos 1 = 0, que la différence des méridiens est nulle.

Cot MJ se réduit à cot P; les angles des lignes horaires avec la méridienne sont les angles au pôle et des multiples exacts de i5°.

CosOra = sin J ; tang Orc = cot J.

Les arcs des signes sont des cercles dont le rayon = cot J; le cadran consistera donc en un certain nombre de cercles concentriques; le style sera planté au centre, les cercles divisés en arcs de le zéro étant sur la méridienne.

Le Soleil est moitié de l’année au-dessus et l’autre moitié au-dessous du plan; le cadran aura deux faces, dont l’une servira pour les signes septentrionaux, et l'autre pour les signes méridionaux.

Cadran horizontal.

Pour le cadran horizontal, D sera o, puisque le plan se confondant

CNOMONIQUE. g&f

avec l’horizon, ne pourra le couper en aucun point'; ainsi point d’iutersection, point de déclinaison; 1 = 90°.

^ = 9°V Ie méridien est perpendiculaire au plan; la méridienne, la verticale et la soustylaire se confondent.

Le pied du style est sur la méridienne, a une distance cotH de 1 équinoxiale, et tang H du centre du cadran.

La hauteur du style = sinH = sin/z. La ligne de 6‘ est perpendiculaire à la méridienne ,

cotMJ = , taug Mc? = sinH tangP.

CosOn cos H cos d cos P -f- sinH siod, et tangO/z la distance du Pied du style aux arcs des signes sur les lignes horaires.

^oit cos 0/2=0; vous aurez cos P = — 1 tangH langé/, c’est-à-dire que le cadran est toujours éclairé, depuis le lever jusqu’au coucher du Soleil.

Cadran vertical non déclinant.

Pour le cadran vertical non déclinant, I = o, D=o.

La verticale , la soustylaire et la méridienne se confondent; la distance

.IrJnto S,?rle ? 1 *quino*iale e6t “"’gH ; la distance au centre du cadran est co.H; la hauteur du pôle sur le plan est 90" - H.

langangles des lignes hor. avec la mérid. = çosfl tangP

CosOn = sinHcosrf cos P cosH sinrf, et tangOn la distance anx ^rcs des signes.

CosOn = o donne cos P = + cotH tangrfj le cadran est éclairé pendant iaA tout au plus.

Cadran vertical déclinant.

Si le cadran décline, D conserve une valeur positive, si la déclinai- Ji vers lest; négative, si la déclinaison «1 1„ . .

cadran décliné, D conserve une valeur positive, si la déclinaison est du midi vers lest; négative, si la déclinaison est vers l'ouest ami langD = o nous dit que la méridienne est verticale - lannlè du plan avec le méridien est 90"— D; la distance du pied du style à la dieridienne est tang D. ^

CiisOE — cos D sinH; tangOE sera la distance du pied du style à equiuoxiale.

— sm D tang II = cot angle entre la méridienne et la ligne de 6* = première constante des angles horaires,

CosOR=:cosD, tangOR = tangD, et le style sera sur l’horizontale.

Sin/* = cos D cos H = sin haut, du pôle sur le plan.

CoteT = sin H cotD donnera la différence des méridiens.

TangHcosécD, la tangente de l’angle entre la verticale et la soustylaire.

SiuDcolH, la tangente de l’angle de la soustylaire avec la méridieune.

Cot Md = sinDtangH -f- (3^7^) cot P*

CosO/î = cosD sinH cos^cosP + sinD cosrfsinP — cosHcosDsinrf, tangO/i à l’ordinaire.

Cos Ow = o donne

cos P + 0^®) sinP = cotHtang<i> cosPcosf -+• sinipsinP = cos(P— ip) = cos? colH tangrf.

Cadran oriental.

Pour le cadran vertical oriental, l = o, D=go*.

TangMfl = o. 00. L’expression ne signifie rien, parce que dans ce cadran la méridienne change tous les jours.

TangZM = o.a> présente la même indécision. Le plan ne coupe nulle part le méridien, avec lequel il se confond.

Aussi M=o; sinOT = 1 = sinOE = sinOZ = sinOP nous montre que le style est planté au milieu du cadran.

OQ = o nous dit, de plus, qu’il est sur l’équinoxiale.

CosOE = o = cos/i cos «T nous dit que la différence des méridiens est de 6‘, que la méridienne du plan ou la soustylaire est la ligne de 6\

Cot ZOE = cotH, ou ZOE= H, que l’équinoxiale fait avec la verticale un angle H.

SinÆ=oj le pôle est dans le plan; cot cf = o.

CotZOP = tangH, tang ZOP = colH ; la soustylaire fait avec la verticale un angle = 90° — H.

CotM</ est k peu près inintelligible ; mais puisque le centre du cadran est à une distance infinie, toutes les lignes sont parallèles à la méridienne.

Sin 0Q = cosP , et langOÔ = cotP sera , sur lequinoxiale , la distance des lignes horaires au pied du style.

GNOMONIQUE. 56g

Car POÔ = 90% cos O// = sin P cos d; tang On est à l’ordinaire la distance du pied du style à l’intersection de l’arc du signe et de la ligne horaire Cos 0« = o donne sinP=o; c’est à midi que le plan cesse detre éclaire'.

A midi, le Soleil est dans le plan; les ombres sont infinies et font avec la verticale un angle (H — D). Voilà pourquoi j’ai dit, en commençant, que la méridienne est variable; mais elle passe toujours par le pied du style.

Cadran occidental.

Le cadran occidental est le même que le cadran oriental, vu en

transparent.

Cadran polaire.

Le cadran polaire est celui dont le plan se confond avec le cercle de 6*. Il en résulte qu'il n’est autre chose que le cadran oriental , auquel on a fait faire un quart de révolution autour de sa méridienne, qui était la ligne de 6h et qui devient celle de midi. La forme n’a éprouvé dans ce mouvement aucune variation; il n’y a rien à changer que les chiffres

horaires.

Dans ce cadran D = o et 1 = — (go® — H), ce qui est évident.

M/j = o ; la verticale et la méridienne se confondent.

ME = 90% M = 90®, OT = o; le style est sur la méridienne, et son pôle est dans le plan de l’équateur et du méridien ; h = o , «T = o, cotMJ = o -f- (£) cotP, expression qui n’apprend rien; mais le pôle est dans le plan, le cadran n’a pas de centre, toutes les lignes horaires sont parallèles, leur distance au pied du style est sinOÔ = cos hsin (P — cT) = sin(P — o) = sinP, et tangP sera la distance de la ligne à la méridienne. Dans le cadran oriental, cotP =dist. à la ligne de 6\ Ces distances, dans l’un et l’autre cadran , sont les tangentes de i5®, 5o°, etc.; c'est la même chose , mais i5 répond à une heure et il4, au lieu de 7 ou 5; cos 0/2 = cos P cos d, au lieu de sin P cos J pour la même Vaison.

Cos 0/2 = o donne cos P = o et P = 90®. C’est à 64 que le Soleil passe par le plan du cadran polaire.

On voit donc l’exactitude et la généralité de nos formules.

On ne fait plus guère que des cadrans horizontaux ou verticaux , mais décliuans, parce qu’il est rare de trouver un mur exactement tourné au nord ou à l’orient; mais il est rare aussi que les murs soient

57o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

véritablement verticaux; ils ont toujours une légère inclinaison; on la néglige le plus souvent ; mais nos formules permettent qu’on en tienne Compte.

Quand on a tracé toutes les lignes horaires , et que l’on connaît le pied et la hauteur du style , on peut , sans calcul , déterminer sur «chaque ligne horaire les points où passent les arcs des signes, par une opération graphique d’une grande simplicité.

Soit CO la soustylaire, O le pied du style et CS0 une ligne horaire quelconque (fig. i43). Abaissez sur cette ligne la perpendiculaire O0 , qui déterminera le zéro ou le point culminant. Du point 0 prenez sur la ligne horaire la hauteur du style 0S; prenez avec un compas l'ouverture SO, qui sera le rayon diviseur de cette ligne; portez SO de 8 en T, sur la perpendiculaire; T sera le centre diviseur. Menez TT à rinterseclion équinoxiale.

Faites les angles TT * , TT~, TTX, TTV, tTW et T T S égaux aux déclinaisons des signes; menez les droites occultes T^>, etc. ,

et vous aurez le point de chaque signe sur la ligne horaire.

La raison de cette construction est évidente. Au point O concevez le style G relevé perpendiculairement au plan de la figure, et du sommet de ce style l’hypoténuse u menée au point 9 ; nous aurons

donc