EM
Icos M
EM 2sîn* ^IfsinD
Gl MZ sin(H 4- D)
sin(H-fD) sin fi cosD
asina;HtangT> asin* ; H tangD j jj lang D .
sin H 2sin jll cos j H
„ tang 'z H tangD sinP
tang Z i — tang ^ jj tang y cosp *
AE» =AMZ — Z=i 8o° — ZME — «Z. = (i 8o*— P — Z) ,
Aû)E = 1 8o° — MAûi — AEo)= 1 8o° — A — 1 8o°-f- P -h Z = (P-f- Z À)
enfin, ce triangle nous donne
sin«: AE::sînAE« : A u> =
AE sin AE* __ (sec II - 1) sin (P +Z)
sin Aû)E sin (P 4- Z — A)
tang H tang \ H sin (P 4" Z)
sin (P 4- Z — A)
Da solution de Munster revient donc aux formules
tang A:
et
tt t^ . rw tang i H tangD sin P
: COSlItaogP , tongZ =* r^tangTaTauglTcTsE* tang H tang î H sin (P 4- Z),
A“= — aîff+î=Â) — *
s°Zr boréale on changcrail le signe de langD, 2, clian-
Se«ait de signe, et l’on aurait
et
tangA = cos H tanefP; tanffZ = Ün£jJ^tangD sinP
i “■f“tang » H taugD cosD* Aù) =5 tangHtang à H sin (p Z ) sin (P — Z — A)
r.e calcul de ces formules serait tien plus court que l'opération graphique, laquelle exige qu’on décrive subsidiairement autant de cercles quon veut tracer d'hyperboles, qu’on divise tous ces cercles au moins 6,1 ,5°, et qu’on tire les lignes EZai.
puissionsîa' comparer.S°^Ut,0n * d,erCh°US-en unc autre à ^quelle "«US
Soit AB la méridienne. A» la ligne horaire, AX l’axe, et supposons le Ulangle BAX releve’ perpendiculairement sur la figure.
tangh!0Ur dU P°inl A ’ COmra° CCUtre ’ form0,,s un triangle sphérique rec-
L’arc opposé à l’angle BAX = 9o”H; l’arc opposé à l’angle A vau- «i'a cet angle. °
vrl!l'rr0,:Sl“ de,,x,cVles comprendront l’angle droit. Nous trouverons 1 hypoténuse en faisant
cos A' = coshypolén. = cos (9o« — H) cos A = s,’n H cos A ;
cette hypoténuse mesurera l’angle entre AC el A». Alors, dans le triante ALa, nous aurons °
Sin AC» : AC :: sinC : A» = — tans H ,inO°* — ?2
siu Xail sin (A' -j- C)
— tang H cos P tang H co- D
sin (A' +90 — D) cos (U — A')'
On aura donc les trois formules
tangA = cosH tangP, cos A'=sinH cos A , et A r„ — tang
cos(A' — D) '
on changerait le signe de D pour une déclinaison boréale, et
tang H cos D
Acü' =
cos (A' -f- D) '
Il est aisé de
prouver que les deux solutions sont identiques.
tang H tang £H sin (P + Z) __ tang; H tang ^ H (si,, P ers Z 4- cos P sin Z) Aca sin (P — A -f- Z) sin (^P — A) cos Z 4- cos (P A) sin Z
tang H tang \ H (sin P -f-cosP tangZ)
’ sin (P — A) -f- cos(P — A) tangZ
/ T, tang ï H tanfi D sin P \
tangH tan g i H^sin P-J-cosP , tanoTH tang D cos VJ
”7 71 777 tang r h tang D sin P ^
sln CP-^ A) + cos(P - - -4) (rirènTÎHlSiDlMPy
tangH tang II (sin P — tang^H tang D cos P sin P 4- tangjHtangDsinP cosP)
— sin"(P — A) — ^tàng ± H tangD cosP s in (P — A) -f- tang i H tangDsinP cos(P — A)
tangH tanzl H sin P tangH tang j 11 sin P
sia(P — A)+ tang^H tangDsinA. sinP cos A — cosP &inA-j-tang j HtangD sinA
tang H tang \ H sec A sin P ' sinP — cos P tang A -f- tang^ H tangD tang A tangH tang 5 H séc A
' i — cotP tang A -f tang t H tangD costcP tang A
tang H tang \ II séc A
i — cot P cos H tang P 4- tang â II tang D coséc P cos II tang P
/tangH tang;-H\ A
tang H tang | H séc A \ 2sina l II /
: i — cosH + tang I H cosll tangD sécP , /tang^ H eo^Hx t D sécP
\ 2sina^II /
/2sin l H cos \ H tang £ HS ,
\ ï H cos H / s^c H sec A
7” sin i H cos H \ T\ > Tj 1 + cot H séc P tang D’
+W;H^H)tan6P8ecP Ainsi développée, la solution de Munster devient plus simple que la méthode trigonométrique, qui va elle-même nous conduire a la meme formule.
tangH cos D tang H
Am :
cos D cos A* + sin D sin A tangH
" côs A' 4- tang D sin A' tang H
séc H fée A
= cosA'O'+t^ngDtangA') cosAsinH (14- tangD tang A') 1 -f tangD tang A'*
Or,
cos A' = cos Asinîl, cos* A' = cos* A sin* H ,
s^c« A'=séc‘A'cosécaH=i +tang*A', tang* A'=séc* A coséc*H — 1, tang9 A,=coséc*H(i 4- tang* A) — 1 = coséc*II — 1 -f- coséc“H tang* A = COt“H -f- coséc'H cos*Htang* P = cot*H-|-col*U tang*P
— cot* H séc* P,
, „ A sécll séc A
tang A' = cot II sec P, Aa — , +tangD cotjjsécP’
comme ci-dessus.
Les deux solutions sont donc identiques, puisqu’elles conduisent à une ttente expression. Pour rendre cette expression plus generale, supposons ia déclinaison boreale, et nous aurons
A ^ c H séc A ,
1 coi H ta i g D séc V cos H cos A — cos HcoFïftung D cos A séc P’
Tout est connu dans cette expression quand les lignes horaires sont tracées; on n a plus de préparation , de combinaisons d’angles à faire. ,e double signe du dénominateur donne deux points à chaque calcul. Ainsi le problème est réduit à ses moindres termes, et voilà une obligation nue nous aurons à Munster, qui pourtant 11e s’en est jamais douté.
Ces formules se transporteraient aux cadrans liorizoutaux , en mettant cosec H et tang H au lieu de séc H et de cotH.
On les transporterait au cadrai, déclinant et au cadran incliné déclinant, en prenant pour A l’angle entre la soustraire et la ligne horaire et pour P l’angle horaire , corrigé de la différence des méridiens
Donnons un exemple de ces diverses formules, pour qu’on en voie encore mieux l’exactitude et l’identité.
Soit H = 49% t H = 24“ 3o', P = 60° et D = ± a3\
