COS U COS
DI = DH=DB sin DBII = !g£gJgLC(js = lîn,H CQS D
cos <* cos* 9
D/i sinD cos« tangD -, , .
Dî — cos* * sinHcosD ImE *=lailgangle de la méridienne avec
soustylaire.
la
Celle construction est donc parfaitement d’accord avec nos formules modernes ; on peut donc la regarder comme démontrée.
Tout cela est exact; mais comment y était-on parvenu ? A-t-on employé la Trigonométrie sphérique? s’est-on contenté de la Trigonométrie rectiligne? Essayons ce dernier moyen comme plus naturel.
Quand un plan est tourné directement vers le midi, l'ombre du stylé droit, à l’instant du midi , est toute entière sur la méridienne; la distance du sommet du style à la méridienne est égale à la longueur du style, et la partie de la méridienne comprise entre l'horizontale et le centre du cadran , est égale à la tangente de la hauteur du pôle ( fig. 147).
Supposons que le plan AB vienne à tourner d'un angle AT«= D; le style TS tournera de la même quantité et deviendra TS'.
L’ombre de S', à midi, tombera en m , S'm étant parallèle à ST ; elle tombera sur la verticale qui passe par le point m, et non plus sur celle qui passe par le pied T du style; la verticale qui passe par m est la méridienne, car à midi l'ombre tombe sur /«, et la méridienne des cadrans ^verticaux est toujours verticale ; S'T ne sera plus la distance à la méri* dxenne, ce sera S'/n; on aura
"iT = S'"> *inmS'T = S'm cosTmS' = S'm sinmTA =H S'm sin D,
S'T = S ’m cos mS'T = S ’m cos D, mT__ S'm sin iP __ ,an„D>
S'T~"“ S'm coa D °
Ainsi, quand on aura mesuré la distance horizontale des deux verticales du pied du style et de midi, on connaîtra la déclinaison D , dont
l distance mesurée „
a tangente — jonglieur gty|e droit*
Plus l’angle D augmentera, plus mT sera grand; il en sera de meme de S'm.
Si D = o, mT = o, S'T = S'm = ST; c’est ce qui a lieu quand le plan regarde exactement le midi.
Quand D sera=go*, S'm sera parallèle àmT; S'm = mT=oo, l’ombre à. midi est infinie; c’est ce qui a lieu pour le cadran oriental et pour le ’cadran occidental.
Si l’on prend S'm pour unité, on aura
mT = sin D, et TS'=:cosD.
La ligne S'm étant toujours horizontale et dans le plan du méridien , la hauteur du centre, au-dessus de m, sera toujours tang H ; car H est l’angle que fait l’axe avec le plan de l’horizon.
Ainsi, en prenant S'm pour rayon, on aura toujours, TS'= cos D, ■et ensuite (fig. 146) >
AD = sinD, GD = cosD = TS',
tangABD = ^ = i^~ï = sinD cotH=±tang angle de la méridienne avec la ligne horaire qui passe par le pied du style.
On connaîtra donc l’équinoxiale EQ, qui doit toujours êrre perpendiculaire à la soustylaire ; on peut la faire passer par le point D, on peut la faire passer plus haut ou plus bas; mais son rayon diviseur sera d autant moindre qu’on la portera plus haut.
Connaissant le pied D dn style, et sa hauteur cos D, on aura la position de l’axe.
Du pied du style abaissez la perpendiculaire DH , H sera le centre de l’équateur; car ce centre est nécessairement dans l’axe, et l’équateur est perpendiculaire à l’axe; DH sera le rayon de l’équateur; HDG sera l’inclinaison de lequateur sur l’horizon du plan , car le style DG est hori-
eonlaî ; HGD :=2QO* — HDG sera l’élévation du pôle sur cet horizon, et GBD la hauteur du pôle austral sur le plan.
Pour diviser l’équinoxiale il faut que le rayon DH soit perpendiculaire en D sur cette ligne ; le plus simple est de le porter de D en I.
En prenant DH pour rayon de l’équateur, nous transportons réellement le pied du style en T ; mais peu nous importe, puisque c’est l’axe qui nous donnera l’ombre et non le style. Ordinairement on ne fait pas passer l’équinoxiale par le pied du style ; mais on la détermine par la perpendiculaire HD menée à l’axe, du sommet du style à la soustylaire. Après avoir pris DG = cos D = style , il aurait dû, pour ne rien confondre, mener la perpendiculaire GV à la soustylaire, faire passer Téqui-* noxiale par le point V, et prendre VG pour rayon diviseur.
Mais de cette manière d opérer il ne résulte aucuu inconvénient réel; Ct seulement un peu d’obscurité.
Cette démonstration du procédé de Munster me parait très simple; elle ne suppose que des principes connus long-tems auparavant. Je ne répondrais pourtant pas quelle nous montrât bien sûrement la marche de 1 inventeur. Cet inventeur n’est pas Munster; car il cite une construction qui est au fond la même, qui n’en diffère que par quelques modifications très peu importantes, et qui se démontrerait absolument de même.
11 est singulier qu’un changement total se soit opéré dans la Gnomon nique sans qu’on en puisse indiquer l’auteur, et tout aussi singulier que le premier auteur, qui imprime une Gnomonique, donne toutes ces pratiques sans aucune démonstration.
On a substitué les heures équinoxiales aux heures temporaires on a donné un centre aux cadrans, on a substitué l’axe au style droit, on a imaginé les centres et les rayons diviseurs; tous ces changemens n’ont pu etre faits que par un géomètre habile : aussi voyons nous que Montucla nous dit que ceux qui se sont occupés de la Gnomonique, en ces premiers tems, étaient des astronomes habiles et considérés, qui, sans doute, auront bien voulu donner quelques leçons et quelques avis, et qui peutêtre ont dédaigné d’écrire pour l'instruction de ceux qui font métier de construire des cadrans.
Nous avons vu comment l’on pouvait tirer des méthodes de Ptolémée, la déterminatiou du centre et celle des heures équinoxiales; et c’était en supposant ]’e'quateur divisé par les méthodes de l’analemme; mais il n'etait pas ai01cile de trouver un autre mode de division. Ce qui rendait la chose un peu .plus longue, c’est qu’on ignorait l’usage des tan-
58o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
genles;nousneles avons pas supposées dans la démonstration précédente;
car à tang H on pourrait substituer et quant à la déclinaison du
mT
plan , on pouvait la trouver. par son sinus, en faisant sinD =
Munster nous avertit que ce qu?il appelle déclinaison du mur, d autres l’appelaient inclinaison; aujourd’hui ce dernier mot signifie l’angle que le mur fait avec l’horizon, ou avec un vertical qui aurait meme base. Munster ne fait aucune mention des cadrans qu’on appelle inclines; H suppose tous les murs verticaux, c’est-à-dire formant des angles droits avec l’horizon.
Dans le chapitre suivant , qui est le dix-septiéme de la seconde édition , il nous dit qu’on peut toujours mettre le pied du style sur la méridienne, p moins que la déclinaison ne soit très grande ; on en était quitte pour le rendre oblique au plan, au lieu de l’y planter perpendiculairement, et pour le soutenir par des supports; dans ce cas, il ny avait pas de soustylaire; on pliait le style jusqu’à ce que son cmbre, à midi, tombât sur 3a méridienne. Il fallait , nous dit-il encore, qu’il fût éloigné de la méridienne autant que l’équinoxiale s’élève au-dessus de 1 horizon ; mais sa première construction était bien plus sûre et bien plus commode.
Il enseigne à diviserl’équinoxialeau moyen d’un cercle partage en heures de i5% dont on place le centre au sômmet du style perpendiculairement à l’axe; de ce centre on tendait un fil qui, passant par les divisions horaires, allait aboutir successivement aux divers points horaires de 1 équinoxiale.
Pour les arcs des signes, il se sert du tfigone; sa méthode est purement graphique y mais cette méthode, malgré sa longueur et sa complication, mérite d’èlre connue; car, si elle est prolixe, elle est ingénieuse , et peut se renfermer dans des formules assez simples.
Soit un cercle décrit autour du centre C (fig. *4$) '5 centre C menez Je rayon vertical CF ; prenez de part et d’autre les arcs FA = FB=» u; menez la corde AB = 2DA = 2DB = 2si n&.
Sur cette corde décrivez le cerleAGB, divisez ce cercle en douze arcs ^craux, qui seront de 3o* chacun; par les points de division correspondons menez des parallèles occultes au rayon CF ; elles diviseront en sinus le diamètre ADB ; ainsi DE, par exemple, sera le sinus de 3o* dans le petit cercle AGB; nous aurons ainsi DE = DB sin 3ocscsin a> sin5o# = sm déclinaison à 3o°; et ainsi des autres.
Ces mêmes parallèles diviseront l’arc AFB en arcs inégalement crois-
ïSans, qui seront les déclinaisons des points de l’écliptique à 5o, 60 et 90° du point équinoxial.
Par l’un de ces points comme e , correspondant à E, menez sur CF la perpendiculaire ea ; vous aurez eu = e'a ' = DE = sin D , donc l’arc eF=D; menez la sécante indéfinie Ce, vous aurez FCe=:Ee = D.
Soit CM = taogH, et menez la perpendiculaire NMQO.
MQ = CM tangD = tangH tangDs= cos arc semi-diurne.
Nous avons fait usage de cette formule, en démontrant le ffuadratum horarium de Régiomontan. Cette construction est plus ancienne que Munster. Abaissez QR perpendiculaire sur TV, CR = MQ = cos P, l’arc Vu sera lare semi-diurne, si la déclinaison est australe; ce sera Tu si elle est boréale.
Prenez CSs=.MO= tangH tango), menez O jcS; Vx sera l’arc seminocturne , et Tx l’arc semi-diurne au solstice d été.
Quand le calcul trigonométrique , par les sinus naturels était si Ion<* on aimait beaucoup ces constructions, qu’on indique presque toujours sans les démontrer. Il y a toute apparence qu’on les devait aux Arabes; le germe en était dans la méthode dTIipparque et de Plolémée, pour Calculer la différence ascensionnelle.
Munster nous donne tout cela d une manière assez obscure. 11 n 'inscrit les arcs semi-diurnes que d’une manière approximative. Il aurait pu être plus clair et plus exact, et tout démontrer sans être plus long. Cette figure est communément appelée trigone; il l’appelle aussi déclinatoire , parce quelle donne les déclinaisons du Soleil ; il l’emploie pour marquer sur chacune des lignes horaires, le point de chaque signe, ainsi qu’on le ■voit dans toutes les Gnomoniques plus modernes, et il joint tous ces point* par des courbes.
Suivons l’opération graphique de Munster, pour mieux saisir l’esprit ues méthodes de ces premiers teras.
Soit AB la méridienne (fig. 149), A le centre du cadran ; menez AX, en sorte que BAX soit la hauteur de l’équateur ; sur cette dernière ligne prenez un point C, et menez la perpendiculaire BC qui coupera la méridienne en B ; B sera le point de l’équinoxiale. Le cadran n’a pas de déclinaison. L’équinoxiale sera la perpendiculaire rBX, BXA sera la hauteur du pôle, et AX sera l’axe; en C placez le centre du trigone des signes, de Manière que le rayon équatorial CD prolongé arrive en B; par les points de divisions du trigone, tirez du CCnlfÇ C des lignes occultes, ou tendez des
58a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
fils , qui rencontreront la méridienne aux points F, G, H> L, et
la méridienne sera divisée en signes. La raison en est évidente.
Prenez BE = BC = rayon diviseur de l’équinoxiale ; du point E décrivez un cercle occulte Bx, parlagez-le, non pas seulement en arcs.de i5% mais en arcs de 5% pour avoir un plus grand nombre d’heures et de points des arcs des diffërens signes ; par tous ces points divisez equi noxiale, et tracez ensuite toutes les lignes horaires de 20 en 20 heures. Il ne manquera plus que les signes à ce cadran.
Prenez la plus courte distance de F à 1 axe, ou la perpendiculaire > 0
portez-la de F en M.
Portez de même les perpendiculaires des autres points, de G en N , de H en O, de I en P, de K. en Q, de L en R; du rayon FM décrivez un cercle occulte FT, que vous diviserez de même en arcs de 5*.
Placez une règle sur le centre E d’une part, et de l’autre, sur les divisions du cercle occulte, menez de E une ligne occulte à chacune des divisions du cercle, et prolongez ces lignes jusqu» la ligne horaire voisine ; le point où cette ligne coupera la ligne horaire sera le point du
signe.
Vous ferez une opération semblable pour chaque ligne horaire, et vous aurez tous les points de Tare du Capricorne; vous les joindrez par une courbe, qui sera d’autant plus facile h tracer que vous aurez un nombre de points triple de celui qu’on prend ordinairement.
Ce que vous avez fait pour FM, répétez-le pour GN, HO, IF, et LR, et vous aurez tous les arcs des signes.
L’opération est extrêmement longue, mais facile; il est meme assez aisé d’en sentir la raison ; cependant Munster aurait mieux fait de ne pas
la supprimer. ,
Pour ne pas compliquer inutilement l’explication, nous ne parlerons
que de FM = FV et de l’arc du Capricorne; ce que nous aurons démontré pour cet arc s’appliquera naturellement à tous les autres.
Imaginons le triangle LAX relevé perpendiculairement sur la figure çt sur la méridienne; le plan de ce triangle tout entier, et par conséquent le trigone et le quadrilatère CBFV, tout sera dans le plan
du méridien; on voit que le trigone divisera la méridienne en signes.
Imaginons maintenant que le quadrilatère BFVC , entraînant avec lui le trigone vienne à tourner autour de l’axe, de manière à passer successivement par tous les cercles horaires; le trigone et ses fils tendus diviseront chacune des lignes en signes , comme ils ont divisé la meri-
dienne, et l’opération serait achevée; mais cette manière d’opérer en l’air aurait trop d’inconvénient et trop peu de sûreté; il suffit qu’on l’ait bien conçue pour entendre ce que l’auteur y substitue.
pans ce mouvement du trigone entraînant le quadrilatère BCVF , les points B, F, et tous les autres qui touchaient le plan à midi, s’élèveront au-dessus du plan, et s’en écarteront de plus en plus en décrivant de* cercles; le point B décrira autour de C le cercle dont le rayon est CB • Je point F décrira simultanément le cercle dont le rayon est VF, et ainsi de tous les autres ; il faudra allonger ces rayons par des fils tendus pour aller rencontrer et diviser les lignes horaires.
L’auteur prend le parti de coucher sur le plan tous ces cercles parais leles et également inclinés au plan de la figure.
B porte BC en BE , et du centre E il décrit le cercle B.r.
Il porte FV en FM, et décrit de M le cercle FZT; et ainsi des autre* successivement.
Ne considérons que le cercle FZT.
Ce cercle, dont le rayon est FV, est réellement un parallèle à 1 équateur, et, comme l'équateur, il est divisé de i5 en i5° par les cercles horaires ; ainsi, à cinq heures, le rayon VF se sera avancé de 7 5* de F en Z, le rayon CF du trigone se sera avancé en Z avec le point F, mais Je point Z est au-dessus du plan; pour atteindre la ligne de cinq heures sur le plan, il faudra prolonger ce rayon CF ou CZ jusqu’en », qui marquera le point du Capricorne.
Imaginez la droite Ba> , elle sera toute dans le plan du cadran ; à présent couchez l’équateur et le parallèle sur le plan; B*> n eprouverl aucun déplacement, les deux rayons qui se croisent en Z arriveront ensemble sur le plan, le point C tombera en E, le point V en M, la droite EZa> sera la projection du rayon CF prolongé jusqu’au plan.
Ainsi, pour obtenir le point u> du Capricorne, sur la ligne de cinq heures, il faut coucher FV sur FM, décrire uncercledu rayon MF=VF prendre sur ce cercle un arc de 7 5*, coucher BC en BÊ, et, par le point Z de l’arc de 75% mener EZa> jusqu'à la ligne de cinq heures. Appliquons le calcul à cette construction un peu obscure.
FM ==T V= BC— B/= BC — BFcosFBC == 1— BFcosH 1 —
ain(H+Dy
en prenant pour unité' CB, rayon diviseur de l’équateur; car le triangle EFC donne 0
^ __ BC.sinD siriD
smBFC : BC :: smFCB : BF — ^(iîqpD) — sImpl^O),’
sinD cos H sinH cos D -f- cos H sin D — sin D cos H sin ll cosD .
F^I 1 sin(H-j- D) sia (H -f- D) siu(H-i-D)*
en supposant la déclinaison australe.
^ . xt sin D sin H
CV j= F/ = BF sin H 3= ^n+î)) ’
EM = BM — BE= BF +FM — i = BF+F V— i = BF + 1 — BF cosH-
- • . tt 2sinD«inaïTI
= BF (i — cos H) = 2BF sm*7 H — Tî^u 4. d) *
EM a sin D sin* i H sin (H 4~ T>) as'in^H^, «sin* ’ II { , ^
2sin j H cos £ H b *
a sin D sin* 5 II sin (H -4~D) 2sin*
"CŸ s== sin (H + D) * sin D sin II sin H
Dans le triangle MEZ nous connaissons l'angle EMZ c= P :
Nous avons .
smH cosD
MZ = FV =
nous avons
nous aurons
sin (H 4- D) ’ 2sin? |H sinD
r, 2sm: x ix siuj^
EM=-sin.CH4 -Dp
tang Z :
donc
EM sin M
'MZ — EM coa M"
