C.cos(A' — D).. . 0,09712 C. cos (A'-f- D

Ao, = 1,3244 1,12199 Ao>' = 8,8064 o^9448Ôv

La formule trigonométrique est plus courte sans contredit.

Formule analytique .

SeC^ . o, i83o6 tangD.. 9,6278s

secA . o, 1 8004 cotH... 9,95916

sëcHsécA . o;365 10 sécP--- o,5oio3

Aa>" = 2,3073 0,73797 9,86804

i,/3797 = dénominateur austral- 0,26203 = dénominateur boréal.

séc H séc À .

Acù = 1,3276

Au> = 8,8o54

Aa>" = 2,3073

0,9797 = Aù>' - A a), 6,4981 = A»' - A*".

** méthode est encore plus courte et plus directe, et n’a nas besoin de A'.

, Supposons que le centre soit hors du cadran, et cherchons les distances a l’équinoxiale.

Aa'— Aa>"=-

,éc» nie A , * — -f-sécHcotHtangDséc AsécP

sécH sécA

-cotH tangï) sécP

. sécHsccA = -

X — cotHtangDsécP

= cosHta^gHcotbcnsAcosF — co»HcotHtangUcotDtangL)cüsAcosPsécP

— ’ sin H cot D cos A cos P — cos H cos A

formule à la fois plus simple et plus commode dans la pratique.

sin II . 9>87778

cos P . 9>69897

cos A . 9>8l99^

cotD ±. . .. o,372i5

A en" — ka>'

cos A... 9>8l996

— cosH — 9,81694 o,4534i — 9,63690

db 0,5875o Compl. log. Nombres.

Aw — - ka>' = 6,4982.

Nous retrouvons nos distances h l'équateur telles que par les méthodes ventes - on a toujours l’équinoxiale et son inlersect.on avec toutes Us lignes; d’ailleurs on aurait A»" = sécH sécA et le point « étant rouvé on aurait et .V par la dernière formule; ,1 suffit de prendre H somme et la différence des deux termes du dénominateur, et de chercheTcompUment arithmétique de la somme et de la différence; on a les* logari th mes des deux distances à l’équinoxiale. Celte méthode, que,e

.•a ™ -»« p-. -» f"“ u f “nür ïrsrc

il faut se souvenir qu on y prend pou y * l’ordi-

teur, dont la valeur est coséc H ; ainsi, quand on voudia, comme

, paire, le style pour unité, on fera

coséc II

A»' — A c*>" î= sin II c6t D cos A cos P — cos H cos À

7=2 sin* H cot D cos A coT P — ^ » cos H cos A

pour le cadran horizontal on mettrait cos*H au premier terme, il n’y aurait rien à changer au second; on aurait donc

Aol' — A»'1 = cos’ H cot U CM A cos r — sin H cos H c°s A

Nous avons vu que le cadran incliné déclinant pouvait être traité comme pu cadran horizontal pour lahau.eur du pôle h, pourvu que tousles angles

MUNSTER. 5g,

fussent rapportés à la me'ridienne du plan, c’est-à-dire à la soustylaire ; on aura doue ainsi pour tous les cadrans

À»' — Aco'= - r - 7 I .

cos-* h cot d cos A cos P — sin h cos h cos A*

Je mets ici d pour distinguer la de'clinaison du Soleil de la déclinaison du plan , que j’ai nommée D, dans mes formules générales.

Non content de cette solution, Munster en donne une seconde complètement oubliée aujourd’hui , mais qui se trouve répétée et modifiée par les auteurs qui lont suivi plus immédiatement; nous ignorons si Munster en est le premier auteur (fig. i5o).

I1 ailes un cercle d une grandeur passable, que vous diviserez en quatre arcs égaux par les diamètres BT et AQ; de part et d autre de BT prenez quatre arcs de i5% MT, TL, BN, BK; menez les parallèles MN, LK , divisez le quart AT en ses 90° de A en T, menez CD, qui fasse l’an«le FCD=9o° — H et ACE=H; prenez, sur le diamètre BT de C vers T*et vers B, les tangentes de i5, 3o, 45, 60 et 75°; par les extrémités de ce» tangentes menez des perpendiculaires de la ligne MN à la ligne LR décrivez le cercle du rayon CF = CH.

Si vous prenez CF pour uuité, vous aurez

FE = tanglî, CF = se'cII, FD = cotn et CD = cosécFT.

Portez CE de FI en I et CD de F en G, des centres I et G menez des sécantes à toutes les divisions de MN et de LK; vous aurez le cadrait vertical et le cadran horizontal; les lignes de VI heures seront parallèles à BT.

Munster donne toutes ces pratiques sans nous dire ce qu’elles font trouver. Il appelle cette figure le fondement des cadrans. On pourrait dire que ce sont les cadrans eux-mêmes; il 11’y manque que le style et les arcs des signes.

Sur la ligne AG (fig. i5.) décrivez le trigone des signes, en sorte que son axe couvre la droite AG; sur AG menez la perpendiculaire ABII

Prenez sur la figure i5o l'intervalle DF, et portez-le deAenBsur Apprenez de même l’intervalle CF, et faites-en AC (fig. x5,j. l’hypoténuse BC sera la méridienne du cadran horizontal.

EA sera le style et BAlaxe. Ainsi l’ou voit que le sommet du trigone est au sommet du style.

Prenez (fig. iS0 )

la sécante de V, en partant de C , et portez-la sur AG de À en C',

la sécante de 2h . de A en C",

la sécante de 3A . de A en C'",

la sécante de 4* • • • * . . de A en C'v,

la sécante de . . de A en CT,

la sécante de Gh sera parallèle à AG.

(Le peu d’espace entre les lignes m’a empêché de placer les lettres C' et C ').

Pour les lignes suivantes vous prendrez les complémens à 12*, et vous porterez leurs sécantes sur le prolongement de GA au-dessus de A.

A tous les points ainsi trouvés, vous mènerez de B des droites qui seront les lignes horaires.

Venons aux signes. Le point C de la ligne AG est le point équinoxial de la méridienne; Cd et C12 lesdistanccs des tropiques ; les lignes intermédiaires du trigone indiquent les points des autres signes; les lignes du trigone indiqueront de même les signes sur les autres ligues horaires.

Une perpendiculaire menée sur AG, par le point C, sera 1 équinoxiale, ce qui nous fait voir que le plan BAG , qui est aussi celui du trigone, est ceusé perpendiculaire sur le plan du papier, au lieu qu’il paraît couché dessus.

Si au lieu de faire AB = cotH. vous le faisiez = tang II, le cadran serait vertical, BG serait de même la méridienne, EA le style, et le trigone serait accroché au sommet du style.

Pour le cadran vertical vous aurez pour construction.

tang ACB = ^ = = UngH , tang CBA = col H.

B A est donc l’axe du cadran vertical, BEC la méridienne , et C le point équinoxial; une perpendiculaire en G sera l’équinoxiale, et le trigone divisera la méridienne en signes; tout cela est clair. Voyons ce qu’il en peut être pour les autres lignes.

Prenons au hazard la ligne de 8*, dont l’angle horaire P est de 60% et considérons le triangle BC8 ou BAj:, en nous représentant la ligne Ax qui manque sur la figure.

L’an"le AB x sera l’angle A' au centre du cadran, en faisant... * cos A' = cos A sin H , comme ci-dessus.

L’angle BA# sera (c)0o~f-D), déclinaison étant boréale.

munster.

U’angle x = 1 8o* — À' — 90* — D = 90" — A' D.

sin x : AB :: sinA : = =

sinx

Comme ci-dessus.

tangH cosD C0S (À' -u D) >

Celle seconde méthode de Munster est donc celle qu’on trouve dans les livres de Gnomonique; mais au lieu d’une construction mécanique on y applique aujourd’hui le calcul, ce qui est beaucoup plus clair et plus faiçile. Pour comprendre Munster on est obligé de se représenter que le plan du tngone, perpendiculaire à midi sur le plan, s’incline successivement de maniéré à passer par le plan de tous les cercles horaires, en tournant autour de 1 axe. Il est certain que le sommet du trigone restant fixé au sommet du style, ses diûerens rayons ne peuvent arriver tous à la fois sur une meme ligne horaire, le rayon du milieu étant sur 1 équinoxiale, sans que es autres rayons marqueut sur la ligne les intersections des arcs des signes. La plus grande difficulté de ces sortes de solutions consiste à savoir se représenter clairement ce qui n’est montré par la figure que d’une manière très imparfaite, et qui trompe le plus souvent; mais ayez un cadran véritable, un trigone réel, toutes les obscurités se dissiperont, et vous serez étonné de voir qu'il ny a plus véritablement de problème; mais si le procédé devient plus intelligible on voit en même lems qu'il u est que dune pression bien médiocre dans la pratique, et la formule définitive que nous aurons tirée des deux constructions différentes, pour avoir les distances à l’équinoxiale sur chacune des lignes, est bien plus expeditive et bien plus sûre.

On voit que dans cette seconde construction l’unité est toujours le rayon diviseur de l'équateur, ce qui n’a aucun inconvénient quand on en est averti. .

I/auteur applique la même méthode au triangle oriental et occidental, INous ne le suivrons pas dans des détails qui ne nous apprcndraiout rien de nouveau.

11 marque sur ses cadrans, a chacun des arcs des signes, la durée du jour, et nous avons vu comment il la trouvait saus calcul, par sou trigone prolongé.

Nous passerons sous silence les additions très peu intéressantes pour la plupart, dont il a grossi sa seconde édition. Nous ne dirons que quelques mots de son cadran cylindrique.

Ayez une colonne bien travaillée au tour, dont la hauteur soit triple du diamètre; sur cette colonne placez un chapiteau, qui puisse tourner

5y8 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

cl présenter directement au Soleil un index , dont la saillie soit d’un diamètre ; développez la surface du cylindre , c’est-à-dire étendez une tode nui puisse le couvrir tout entier fort exactement ; partagez le cote supérieur en six parties, qui seront affectées aux divers signes du zodiaque; par les points de divisions laissez tomber des perpendiculaires sur lesquelles vous marquerez les tangentes des distances zemlales du Soleil aux différentes heures ; on joint par des courbes les extrémités des ombres ou des tangentes; après quoi on colle la toile ainsi d.viSee sur le cylindre. On voit que le cadran nommé le Jambon, n’est qu’une plaisanterie, dont l’idée a été fournie par le cadran cylindrique. ^

Il décrit ensuite un cadran sur la convexité (Tune sphere; il y trace l'horizon et le méridien, l’équateur et les deux tropiques, et autant de parallèles qu’on le jugera convenable; il les divise en heures égales et inégales, qu’il marque de différentes couleurs; pour les divisions, il se sert d une lame flexible qui puisse s’appliquer à la surface spbenque; il place le style au zénit, et le fait d’une longueur arbitraire. On conçoit que l’ombre marquera toujours l’azimut du Soleil, et que l’endroit ou elle traversera le parallèle du jour indiquera l’heure.

Immédiatement après on trouve le nocturnal , qui sert à connaître l’heure par les étoiles; il est composé d’un zodiaque divisé en ses 3Go*, d'un cercle des jours des douze mois; un autre cercle est divisé en douze heures; l'instrument est armé d’un manche pour le soutenir, et d’une alidade ; au centre est un trou par lequel on vise à l’étoile polaire, et en môme temps on dirige l’alidade sur une des gardes de la petite Ourse.

Pour se servir de cet instrument, on fait tourner la roue dentée jusqu’à ce que la dent de douze heures coïncide avec le jour de l’observalion , ou avec le degré qu’occupe le Soleil; on regarde lelode polaire par le centre, et l’on dirige l’alidade à l’autre étoile; la situation où elle arrivera montrera l’heure la nuit. Ces deux étoiles étaient alors en conjonction avec le Soleil au jour de Saint Simon et Saint Jude , le 27

octobre.

On peut voir la figure et les usages du nocturnal dans les Récréations mathématiques de Montucla , et dans nombre de Gnomoniquea. Munster donne aussi un instrument pour trouver l’heure par l’ombre de la Lune. C’est un cadran solaire universel, c’est-à-dire un équatorial, qu’on peut incliner selon le climat qu’on habite; un cercle intérieur porte le mois lunaire divisé en ses 29 i jours, un autre offre les 24 heures du jour. 11 faut donc connaître l’âge de la Lune. On amène 12 heures vis-à-vis le

Munster. 599

jour de l’observation ; on oriente l’instrument arec une boussole ou au tnoyen d’une méridienne, on élève l’équateur à la hauteur convenable, et I ombre d’un style droit placé au centre indique l’heure à peu près.

Quand la lune est pleine elle passe au méridien à minuit: ainsi son ombre marque aussi à peu près les heures: on ne pourrait pas se tromper d’une demi-heure.

Jacques Kobel avait publié, en i55o, une description d’une horloge naturelle, où il montrait à se servir des doigts de la main, et il avait niis en vers les usages de celte horloge. Sa poésie valait son instrument. Munster nous donne le commentaire de ces vers barbares, qui sont plus propres à rappeler ce qu’on a su qu’à expliquer clairement ce qui est à faire. Pour l'usage de cette horloge voyez Montucla, Récréations ma thématiques.

Ij ouvrage est terminé par des préceptes fort vulgaires Sur la division du cercle eu signes et en degrés, et sur la division d'une ligne donnée en certain nombre de parties égales qu’il donne comme un moyen connu alors de très peu de personnes, et faiblement des plus habiles mathématiciens ; il forme un carré qu’il divise par des parallèles en vingt rectangles égaux. Cela posé, voulez-vous diviser une ligne donnée en treiza parties, par exemple, couchez-la obliquement sur le carré, de manière qoe 1 une de ses extrémités étant placée à l’un des angles, l’autre aboutisse àlalignei3; votre ligne se trouvera divisée, par les parallèles, en treize parties égales. Il en sera de même si vous voulez la diviser en dix-sept ou dix-neuf parties. Ce moyen n était pas difficile à imaginer, mais il peut etre utile. Le compas de proportion de Calilée résout le problème d une mantère plus générale, mats plus longue, et quelquefois moins commode. Munster se croyait d abord le premier inventeur de cette pratique. Grynatus la lui montra dans le livre de Malhemalicis mpplemenlis de Charles Bovillus qui dit l’avoir imaginée; mais Munsler parait avoir un peu étendu 1 idee de Bovillus, comme il serait aisé d’étendre celle de Munster

T Sarrutf a" n ' * 20 Ie prinC,'Pe est ‘«’iours le même. A propos d un grand cadran qu il avait composé, et sur leaucl il

mallitude de dy», i, di d. 'Œ

pour rendre 1 equinoxe immobile; dans cettP i v

. i./ ceue vue, il propose divers

moyens d intercalation qui rendent les bissextiles plus rares et approchent plus ou moins du but.

Au premier coup-d’œil on jugera ce traité de Munster assez médiocre et assez obscur, malgré le soin qu’il dit s’être donné pour être partout

clair et intelligible; mais en se reportant au tems où il la compose, et en se démontrant, comme nous l’avons fait, toutes ses pratiques, on voit des choses remarquables et qui ont enrichi la science gnomomque. Tel est l’emploi qu’il fait du trigone des signes pour trouver les arcs semi-diurnes, sa construction du cadran vertical, enfin, sa manière de tracer les arcs des signes. Rien ne nous prouve bien incontestablement que ces inventions lui soient dues; mais il est le premier auteur qm les ait publiées; c’est donc à lui que nous les donnons, sauf à les îcstiluer au véritable père si nous acquerrons d’autres lumières par la suite.

Terminons cet article par quelques formules, qu’on ne trouve dans aucune gnomonique, et dont l’idée m’est venue en commentant Munster. Dans l’hyperbole, la distance du centre au foyer = m sec d, p. 542.

La distance du sommet au foyer = m séc d — mz=m tang d tang { e . La puissance de l’hyperbole (fig. i52)

- - a , , / COS H COS D Y t ...

AD = { m 9 sec é. — VJcô« (H-f-D) cos (H-~D)y ’

u sera l’abscisse comptée du centre, le long de l’asymptote “ — CF; t sera l’ordonnée parallèle à l’autre asymptote; t = FG.

Supposez une valeur à «, vous en conclurez t, et vous aurez deux points de la courbe, t fera sur u l’angle as' des asymptotes, cet angle est souvént obtus.Vous observerez la règle des signes pour cosae .

Soit

Ca = u’ = u -f- t cos = abscisse corrigée.

G az= t' = t sin 2e! = ordonnée orthogonale de 1 abscisse u ,

,„-Hr=(“+Ocoss' = CP; y = (“ - 0 ““ 6' = .

(m+x) = abscisse comptée du centre ; y = ordonnée ordinaire.

Soit tang 4, = \ ou y = “ tang 4 = m tang e' tang 4.

En prenant arbitrairement 4 ou/, vous aurez

/zi -f- x = m séc 4* et x = m tang 4 tang i 4> ou bien enfin sur labase 2m séc é'= distance entre les deux foyers; formez un triangle avec les deux côtés ( m séc d -f- m-\- z) , et ( m séc & m -t- z),

le sommet de ce triangle sera un point de la courbe.

Chaque supposition pour z, depuis z = o jusqu a z = co , donnera deux points de chacune des deux hyperboles opposées.

Cette cinquième méthode est la meilleure de toutes; elle n’exige au-; cun calcul. Voyez un de ces triangles en /H/' fig* i5a.

SCHONER.