A = £ (OS + OS' + SS

sin- i (OS'S) = srn (A — SS’) sin(A OS’) .

siu SS' .sin OS' . *

Dans le triangle SPS' vous connaissez SS', PS et PS'; soit

B = 7 (PS + PS' -f* SS') ;

sin* i ( SPS' ) =

J sin PS sin PS7 V'*- . C6)*

PS et PS' sont lès complémens des deux déclinaisons du Soleil, qui différeront peu , mais qu’il n’est pas nécessaire de supposer égales. Cet angle SPS' doit être égal à quinze fois l’intervalle de vos deux observations; il sera une vérification des opérations précédentes; mais on peut se dispenser d’en faire le calcul. Faites ensuite

sin* 5 PS'S = 8i° (B-~PS')sin(B^SS')

sin PS' sin SS'

et vous aurez

os'p = oss' -i- pss'. . v. . . .(8).

Dans le triangle OPS' vous avez OS' et PS'; avec l’angle OS'P vous aurez 9

cos OP = cosOS'P sin PS' sin OS' -f- cos PS' cos OS

= cos (PS' — OS') — 2sinPS' sin OS. sin* ^ OS'P. . .(9).

Si OP surpasse 90-, c’est-à-dire si cos OP es. négatif, vous aurez FR = OP — 90% et le pôle boréal P sera au-dessous du plan- le pôle austral sera élevé au-dessus du plan, et le centre sera au haut du cadran.

Si OP < 90% vous aurez

PR = 9°" — OP = hauteur du pôle boréal sur le plan , et alors le centre sera au bas du cadran. Soit h h llauleur du pôle> h — OP — 90% ou h =± 90° — OP.

Cette dernière formule suffira; h sera négatif si OP surpasse 90V Dans R triangle PS'O, soit C = ' (PO 4- PS' + OS') ; alors

65o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

OPS' sera la différence des méridiens, si le point S' est vraiment dans

Je méridien.

. . . Tnf-n sin {C — PO) si» (C 05T>

sm* J (POS ) = - ^înPÔsmOS^

POS sera l’angle au pied du style, entre la souslylaire et l’ombre O' du point S'. Dans tous les cas, vous aurez ainsi la direction de la souslylaire, dont vous avez déjà un point qui est le pied du style; vous auriez de même

sin i (POS) =

sin (C — PO) sin(C— -OS) sin PO sin OS

et POS serait l’angle entre la souslylaire et l’ombre OS; ce qui fournirait une vérification de la bonté du calcul. . ,

Avec h et cP = OPS' vous aurez tout ce qui est nécessaire pour décrire le cadran ; mais si le point S' n’est pas vraiment dans le méridien , et que vous sachiez que le point d’ombre a été pris une minute avant midi, vous auriez OPS' 4-15' = /; et, en général, <T = OPS'± i5 fois le nom re de minutes dont le point d’ombre S' a précédé ou suivi le midi vrai.

G col h sera la distance du centre au pied du style sur la souslylaire;

G tang h sera la distance du pied du style à l’équinoxiale.

Le pied du style est toujours entre le centre et l’équinoxiale.

G séc h sera le rayon diviseur de l’équinoxiale.

Le cadran sera construit sans coonnailre ni la déclinaison, ni 1 inclinaison; l'exactitude dépendra entièrement de la précision avec laquelle on aura marqué les deux points de la lumière, et mesure les trois distances O . O' et N , et la hauteur du style G.

On peut varier le calcul de bien des manières. Nous avons choisi la plus uniforme, et celle qui n’offre aucune ambiguité sur 1 espece des

angles el des côtés. .

La réfraction, qu’on néglige communément en Gnomomque, altéré fort peu les résultats. Au méridien elle est peu de chose, et se porte toute entière sur PS', qu’elle diminue de quelques secondes; h trois heures du méridien elle est un peu plus forte, mais ne se porte qu en partie sur PS qu’elle diminue à peu près de la même quantité; elle doit changer eu l’angle SOS' des deux ombres, et la distance N des deux points mais de quantités qui échappent à l’observation. On ne doit pas s’attendre à trouver h ni ef à la minute. Bédos dit, page i4g, que quinze minutes d’erreur sur la décliuaison pourraient produire sur quelques bgues

LA HIRE. 63r

horaires des erreurs de sept à huit minutes de teins. J’ai fait varier les trois élëmens H, I et D tous à la fois, en les augmentant de quinze minutes chacun; l’erreur la plus grande n’apasélë de deux minutes, et le plus souvent elle était de quelques secondes. Il est donc inutile de s’appliquer à trouver une précision toujours impossible.

Si l’on voulait connaître l’inclinaison et la déclinaison du plan , on les calculerait par les quatre formules

cos h sin = cos M , tang h séc. cf= tangPM, ZM=:PZ — PM, cosZMlangM = cotD, sin7iM sinM = sinl.

Pour essayer toutes ces formules, j’ai supposé D = 3o* et 1= io#; j’ai calculé, pour midi et neuf heures du matin, les ombres que j'ai trouvées, O = o?63i3 et O' = 0,9070, pour un gnomon G = 0,48 y j’en ai conclu M = 0,6896. Prenant ces quantités pour des observations, j’ai trouvé les quantités ci-jointes :