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Ozanam n’emploie ce théorème que pour trouver la ligne de cinq heures

LA HIRE. 6$r

par celle de quaire, quand l’ëquinoxiale est d’une longueur incommode; mais, pour ce cas, il nous fournit lui-même la pratique suivante, dont la démonstration est bien facile :

Tracez une parallèle à f équinoxiale, aussi près du centre que l’exigera la petitesse du plan; sur celte parallèle prenez l’intervalle entre les lignes de neuf heures et de trois heures; portez celte longueur sur la même ligne, à la suite du point de quatre heures, vous aurez celui de cinq heures. En effet.

m lang angle de 5* — m tang . angle de 4* . TT -TT. r . msinHsini5*

— m smH ,a,’g75" — m smH taDg6o‘ = CM7yco36o.=

m sin H sfn 1 5 ain lô^sin 3o*

= 2 m siuH = 2m sin H tang4^* = deux fois la distance de la ligne de trois heures à la méridienne.

m est la partie de la méridienne comprise entre le centre et la nouvelle équinoxiale.

Nouvelle méthode pour calculer la méridienne du tems moyen j et les cadrans sans centre .

La méridienne du tems moyen, imaginée par Grandjean de Fouchi, appartient à la Gnomonique moderne; mais pour ne pas revenir sur un sujet presque entièrement épuisé, nous allons montrer comment on peut la calculer d’une manière exacte et commode, par notre formule de la Page 591.

Soit (figr 169) AS la soustylaire, A le centre du cadran. Sa l'équinoxiale, A af une ligne horaire quelconque de tems vrai, correspondant à une heure de tems moyen, h la hauteur du pôle sur le plan. S' la différence des méridiens, d la déclinaison du Soleil, et P l’angle horaire du plan corrigé de l’équation du tems, G la hauteur du style. La formule de la page 5gi nous donne ,

eos A (co s* h cot d coa P — ain h cos h) *

Soit cù'a perpendiculaire à l’équinoxiale et par conséquent parallèle à la soustylaire.

r=» a=û)V'sinû)f'=aVcosÀ= — -r — — -- — — > — r—fa),

J cotfh cotd cosP — amncoah ' y7

aï' a = co a tan g«'= o/a tang A= a' a si ah tang P

G ain a tang P

’ co s?/t cot d cos P — si u h coa h’ * *

Sa — AS Ung A = G (col* -+- tang/i) »in h tangl*

GimAtan6P=GsëcA tangp ......... (4),

sia h cos h 0

Sa/'- f- 0)'a = Srt = . . - • • *

X sera l’abscisse de la courbe, comptée de la soustylaire sur l'équinoxiale. y sera l’ordonnée perpendiculaire à l’équinoxiale.

Ces formulée sont pour le cadran vertical, en supposant la déclinaison boréale; si elle était australe, coid serait négative, le dénominateur serait tout entier négatif, */ deviendrait a>, (*'a serait ub , oj'u deviendrait c*>"b , les deux coordonnées changeraient de signe, y serait au-dessus^de 1 équinoxiale au lieu d’être au-dessous , S b serait plus courte que Sa/.

Nous avons dope éliminé cos A et même le centre A, ce qui était à désirer, puisque le centre est toujours hors du plan, dans les grands cadrans, tels que ceux ou l’on trace la méridienne du tems moyen.

11 reste à déterminer P, angle horaire du plan. Soit Q l’équation du tems prise dans une Éphéméride ou dans les Tables astronomiques, et convertie en degrés, «T la différence des méridiens, que nous supposerons entre les lignes du matin ; nous aurons

p —J' Q=eT — 1 5 équat. du tems ==cT — ^équat. du tems (6).

Si cT était parmi les lignes du soir, nous aurions P=z — «T — Q.

On commencera donc par faire une table de l’angle P pour tous les degrés de la longitude du Soleil de 3 en 3° ou de 5 en 5°, ou, si l’on veut , de degré en degré.

Dans la colonne suivante, on mettra log cot^ avec le signe -h pour la partie boréale et — * pour l’australe.

Daus les deux colonnes suivantes, on mettra log cos P et log tangP. Cela posé, le calcul est extrêmement facile.

Exemple pris dansBédos. Soit <f=5a° 3i' i5" parmi les lignes du matin 5 hauteur du pôle, 44° 5o'; hauteur du pôle sur le plan, 3iA 28' 4"=/^ et 0=2069,8.

A o° de longitude.

d = o , cot d = 00 , cù'a et af'a = o , yz=o,

X = Sa>' = G s éch tangP = G séc h tang 5o® i5* = 29^6;

car l’équation du tems = -f- 7' 36",

6° cos*/i. . 9,86184 *y o" cotrf. . 1,58069- 5.3o cos P.. 9,79801

sîû h.. 9,7*769 tangP. . o,o93o5

Gséch.. 3,385or tangP tyOgÜôf?

o* 3* cos*A. . 9,86184

, 1° 13 o" col d. . 1,67888

5o.5t.x5 cos P.. 9,80023

log 2 i,48p3 ...... 8,65995

sin/i.. 9,71769

comi

u> 'a =z -f- 61 . ,u . .. i<,7Ôag4 a>na=z

-cup-j 1 ia ê r Gséc&. . 5,385oi

**u;‘î!H« ta ; J'-.Ii»/' -taùgP.. 0,08937* rvrrrr. n Sa/ sa 2981 4j. 5,47438 •S&/=

js i* 3o4a • !> j: =»

Moyennant la table préparatoire, qui donne cote?, cosP et tangP, ou n’a que cinq logarithmes à‘ chercher pour1 chaque point de la courbe.

Pour les degrés suivans, le calcul ésl tout paréîl; a, VI^ la déclinaison rcdeVienl oy ainsi qüej* elo/Vz, X-==z Sa»"; apres quoi dx j et oJ*a deviennent négatifs. 1

lia courbe a deux branches qui se- croisent vers K et \x 40; Ja déclinaison et l’équatiou se trouvant les mêmes pour ces deux longitudes, la cbürbè ne peut avoir qu’un seul point.

Pour le cadran horizontal la courbe est renversée ^ les y sont au-dessus de l’équinoxiale en été, et au-dessous en hiver.

,X==;SV'-— 0)na en été, et Sa/' -f- o/'n. eu hiver. h est toujours la hauteur du pôle sur le plan;4=ï:o parce que la différence des méridiens est nulle; P s= — (~) équation du tems ; l'origine des abscisses est sur la méridienne, S»"=5=o, # = a/V*; x a le même signe que tangP; il va à l’orient quand l'équation est positive, à l'occident si elle est négative. -

Lp méthode vulgaire consiste à tracer les arcs des signes depuis les lignes de n‘ £ jusqu’à o*£; ce qui est une opération longue et fastidieuse , dans laquelle on se servirait avec avantage de notre cinquième méthode, page 600; sur £*es arcs de signes on prend, de part et d’autre de la méridienne, des parties proportionnelles à l’équation du tems, ce qui est encore uhe opération très minutieuse , qui même n’est pas rigou-. reusement exacte; car elle suppose la marche du point de lumière pro-

$4o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

porlionnelle au tems pendant plus d’une demi -heure , ce qui s’écarte de la vérité, sur-tout dans les cadrans verticaux dont la déclinaison est considérable. {Voyez Rivard et Bédos.) Notre calcul n’est pa> court, vu le grand nombre de points qu’il faut déterminer ; mais il a toute la simplicité dont le problème est susceptible, et chaque point se détermine par l'intersection de$ deux coordonnées qui se coupent à angles droits, c e.stà-dire avec toute la netteté possible.

La nouvelle méthode me parait donc plus courte et moins minutieuse, elle est rigoureusement exacte. Au reste, les méridiennes du tems moyen ne peuvent jamais être d’une grande précision, sin-toul si l’on Substitue le jour du mois à La longitude du Soleil ; 1 erreur peut aller a 1 5 , si 1 équation a été prise , pour l’année moyenne , entre deux bissextiles ; d’ailleurs l’équation varie avec l’excentricité du Soleil et l’obliquité de l’écliptique , ce qui peut encore causer une erreur de au bout de cent ans. On est forcé de négliger les perturbations planétaires, qui font encore de 2 à 3'. Au reste, les cadrans solaires n’ont jamais eu la destination de donner l’heure a la secoude ; l’inconvénient le plus réel est que la courbe embarrasse le milieu du cadran, et rend plus difficile 1 observation, soit du midi vrai , soit du midi moyen. Au total, ces courbes donnent plus de peine qu’elles ne valent. 11 est bien plus simple d observer le midi vrai et de prendre le midi moyen dans un almanach.

La même méthode, qui donne la méridienne du tems moyen , donnera celle du tems vrai, dont il suffira de déterminer les deux points solsiitiaux, puisqu’elle est une ligne droite; à l’angle P de la formule il suffira de substituer l’angle «T de la différences des méridiens.

On aurait de même une ligne horaire quelconque de tems vrai par les deux points solsliiiaux, c’est-à-dire le cadran tout entier, indépendamment du centre qui est hors du plan. Il suffirait de faire 1 5*),

sur quoi il est bon de remarquer que si la formule (î) donne un résultat négatif pour une déclinaison boréale, ou un résultat positif pour uue déclinaison australe, c’est que le Soleil sera derrière le plan.

£n effet, avant de changer de signe, a a>" doit avoir été infini. Or,

tt .QsécA.èéc'd G séc A »ée*d tangd G séc A séc*d tarigd ^

u ' coidcos? — tang/» cosP — tang /» fange/*""" cosP — cosP = o

cos P = tang h tang d ;

car, pour le lever sur le plan du cadran, cosP=:tang h tangd, par U formule commune à tous les astres à 1 horizon.