CO
sinacosA" — sinA"cosa
sin(a*— A") cÔsa
Il n’y a plus qu’une inconnue, elle est dégagée; elle devient connue ; on aura n — (æ — A*) = A ' et A' = cf -f- A .
Ainsi, par des voies bien connues aux Arabes, nous arrivons à une solution conforme en tous points aux préceptes d Ebn Jounis; il n est donc pas douteux que nous avons retrouve la démonstration qu il a supprimée ; elle nous prouve que les Arabes devaient avoir, sinon une notation algébrique, du moins quelques abréviations dont, à la vérité, il ne reste aucun vestige, mais qui leur étaient indispensables pour arriver à dégager une inconnue aussi embarrassée.
Ce problème nous paraît, sinon un des plus utiles, au moins un des plus curieux que nous ayons rencontrés dans les auteurs arabes, et l’un des plus propres à nous donner une idée très favorable de leur habileté dans le calcul.
Dans le chapitre XXIV, l’auteur enseigne à trouver la méridienne d’après la hauteur dont l’azimnt est de 3o° ( fig. 35).
L’azimut est toujours compté du point est de l’horizon. Soit donc jtqç __ 30»^ OC l’ombre observée à l’instant où J’on sait par le calcul et par une bonne horloge, que l’amplitude sera de 5o°; la distance à Ja méridienne sera de 6o°. D’un rayon arbitraire O a} décrivez un arc de
E BN JOUNIS.
cercle aniD; sur cet arc , portez de a vers D le rayon 0^ = corde de 6o°, et vous aurez le point m de la méridienne OM.
L’auteur ajoute qu’on peut trouver la méridienne par d’autres hauteurs dont les azimuts pourront être déterminés j il dit de plus quils sont au nombre de dix.
Avec une table des cordes, on peut les déterminer tous, et le problème a une infinité de solutions; mais si Ton se borne aux cordes primitives qui servaient à calculer toutes les autres, on aura les cordes de 56°, de 45°, de 60% de 720 et celle de go°, ce qui ne fait que ciuq; on peut y ajouter les cordes supplémentaires de 108, 120, i35, i44 et *80°, on en aura dix ; mais on ne peut employer à cet usage que celles qui sont au-dessous de 120% du moins à la latitude du Caire. 11 n’en resterait que cinq; mais chacune peut s’employer de deux manières. Ainsi suppose» EOC=6o°, COM sera de 3o" ; portez la corde de 6o° de a en D, l’arc moitié de l’arc «D = 6o% sera de 3o% et vous aurez le point m. Supposez EOC = 45°, vous prendrez aD de go°, EOC = 54% COM = 36°, et «D = 72°; EOC = 72% COM= 180 et flD = 36°,
Je ne sais si c’est là le sens de l’auteur, mais son problème ne mérite pas un plus long commentaire ; peut-être a-t-il voulu dire qu'il y avait cinq azimuts pour le malin et cinq pour le soir, ce qui ferait dix.
Le chapitre XXV manque dans le manuscrit. Il devait traiter des hauteurs correspondantes , pour servir à trouver la méridienne.
Les Indiens prenaient les ombres correspondantes, en traçant sur le sable un cercle autour du pied du gnomou. Il paraît qu’Ebn Jounis traçait le sien sur un marbre blanc très poli, afin d’avoir des ombres plus distinctes et mieux terminées. On appelait encore cercle indien une espèce d’astrolabe plan dont M. Sédillot nous fait espérer la description , et qui probablement servait à observer la hauteur du Soleil.
Chapitre XXVI. Déterminer la longueur de l’ombre et son azimut sur le cadran oriental. Ce titre est assez équivoque ; les formules de l’auteur en fixeront le vrai sens. Faites ( fig. 36)
sin A = sin haut, sur le plan = sin angle hor. sin déclin. =sinPcosD.
Soit EZP le plan du méridien, qui est aussi celui du cadran oriental; Ï*S le cercle de déclinaison du Soleil; il est clair que sinSM=sinPcosD; ainsi la hauteur du Soleil sur le plan est l’arc perpendiculaire abaissé centre du Soleil sur le plan.
>3o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Le triangle rectangle SMP donne encore cos PS =cos SM. cosMP
d’où
C0sPS md sinD . T,
~ gAT = cos MP = — r = sin R :
cos SM cos h
c estla seconde formule de Fauteur’ ainsi
sinR=cosPM=cos(PZ-f-ZrM)=:cos(90— H + ZM)=sin(H— ZM>
= sin ME,
MËe=H — ZM et ZM = H — ME =H — K ,
MR=sin ZM= AQ ,
sera l’amplitude mesurée sur la ligne horizontale OAQ du cadran.
Si la déclinaison était australe, sinK = ^î changerait de signe comme sin D.
Si K se trouve plus grand que H, il est évident que ZM = H — K changerait de signe, et que l’amplitude ou l’azimut AQ, suivant le langage de Fauteur, serait entre le premier vertical et le norJ.
Ces remarques sont Fabrégé des préceptes que Fauteur donne pour les diflérens cas qui peuvent se rencontrer. 11 nous dit que personne n’avait encore parlé delà solution qu’on vient de voir. Elle n’était ni d une grande importance, ni d’une grande difficulté. Il ajoute que si le Soleil est dans 1 equateur, 1 ombre décrira une ligne droite, dont l’inclinaison avec 1 ho* rizontale sera go° — H; ce qui est évident, car la projection de l’équateur est le diamètre QE. Celte inclinaison, Fauteur la nomme azimut ;
et pour ce cas , il nous dit que l’ombre sera cot P, c’est-à-dire . niais
... Sin P 7
al nous avertit que cette ombre est celle du centre du Soleil.
Si le Soleil était dans l’équateur en S', l’arc S'E serait en même tems la mesure de l’angle horaire et Je complément du dayer ou de la partie écoulée du jour. Alors aussi l’ombre de 3* après le lever, serait égale au
module ou à la hauteur du style; car cot P serait cot 45° = == T
^ sm 45° *
ce qui servirait à retrouver le style, s’il était perdu. Nous avons fait usage de ce moyen et de beaucoup d’autres, pour retrouver le style des cadrans d’Athènes ( voyez le tome II de notre Hist. de VAstr. anc. ).
Soit EM la déclinaison du Soleil; M sera le point où se trouvera le Soleil à midi ; MSQ sera le rayon solaire dirige’ au pied du style, l ombre sera sur le prolongement de MQ.
Au lever du Soleil, l’ombre est la tangente de l’amplitude QB. Mais,
EBN JOUNIS. ™
pour avoir la longueur exacte de cette ombre, il prescrit d’ajouter a l’amplitude lé demi-diamètre du Soleil. Ces notions sont anjourd hui très vulgaires; ce chapitre nous prouve qu’Ebn Jounis en était en pleine possession; mais comme elles étaient alors , ou tout-h-fait nouvelles, ou peu répandues, il croit utile d’éclaircir tousses préceptes par des exemples que nous nous dispenserons de rapporter.
SM étant la hauteur du Soleil sur le plan, QS sera la distance du Soleil au zénit de ce plan, l’ombre sera
„ « , -Tri cosMS
tang QS = cotMS==-M^
cos h sin h'
Remarquez qu’Ebn Jounis ne fait ici aucun usage de sa Table des tangentes.
Quand QS sera de 45% l’ombre sera égale au style. J’ignore si les Musulmans avaient quelque devoir religieux h remplir quand l’ombre était égale au style, c’est-à-dire vers le quart du jour; mais on voit plusieurs vestiges de l’importance qu’ils attachaient à cette égalité, que les gnomonistes modernes négligent entièrement.
• • sin
Si QS = 45% on aura cos/i=sinZe=sinPcosD = sin45° et sin P=^—
ainsi, pour un jour quelconque, ou pour une longitude quelconque du Soleil , on aurait sin D = sin œ sin O; sin P = ~~ donnerait l'heure où l’ombre serait égale au style ;
sin EM =
sin D sin 45°
sin u sin 0 sin 4^°
L’auteur, dont nous resserrons ici les préceptes, a calcule une table de EM pour tous les degrés de longitude de l’écliptique. J’en ai vérifié une douzaine de termes, d après cette formule, et je les ai trouvés fort exacts. On y trouve donc pour tous les jours de l’année l’angle de l'ombre avec le rayon équatorial QE, à l’instant où la longueur du style est égale à celle de l’ombre; cet angle est désigné sous le nom générique $ azimut.
Aces préceptes, qui conviennent exclusivement au cadran oriental ou occidental, il ajoute les règles suivantes pour tout cadran vertical dont Ja déclinaison sera connue ( fig. 37 ).
Loisque le centre du Soleil est à l’horizon eu A, sa hauteur sur le
rS2 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
plan déclinant ZB est égale à AB = QB — QA = déclin, du plan — amplitude orlive = J\ Soit O le pôle du plan, BO = 90°; AO est la distance du Soleil levant au pôle du plan; L'ombre sera
tang OA = col OB = cot cf =
Quatid le Soleil aura une hauteur C S=zh' sur l'horizon, sa distance aix plan sera Sx et sinS.r=:sihZSsin SZx=cos/t'sincf' = sin Zt ; et pour ce
moment, la longueur de l’ombre sera tang SO = cot Sx = cot h =
Si l’on a mesuré celle ombre, on connaîtra Sjc, et Ton aura
ES = ÊJ' = si“ = sin ? = ««r (CZQ + QZB) ,
étant là différence entre l’azimut du moment et le plan du cadran^ ou la somme de la déclinaison du cadran et de l’azimut actuel, compté- /du point est.
C’est ainsi qu’il faut interpréter cette partie équivoque du chapitre, pour lui donner un sens raisonnable.
Telle est, nous dit Ebn Jounis, la méthode des anciens; elle est -exacte peur l’azimut, mais pour l’ombre, il faudra avoir égard au demidiamètre du Soleil, comme il est dit au chapitre du cadran horizontal.
Les chapitres XXVII, XXV III, XXIX et XXX manquent dans le manuscrit d’Ebn Schathir.
Chapitre XXXI. Trouver l’ascendant sans le secours de l’ascension oblique ( fîg. 38 ).
SinTOQlsinTQ r: smT QO : sin T 0=sin ascend. = — COâ **
'cos asc, dr. milieu du ciel cos haut, du pôltr
sin angle de 1 écliptique avec l'horizon- T
règle connue depuis Hipparque ;
«in ZO : sin ZCO : : «in ZC : sin ZOC = cos COR—
gin ZC sin ZCO'
sin ZO
«os angle de lcclipt. «i de l’Iromon — — haut- Poinl culmina,lt • cos obliquité
cos déclin, du point culminant *
puis
• sin ne
sin OC = -r-5 ^ r sin ROC
OU
sinarc del’éclipt. compris entrelemer. etl’hor. = •
EBN JOUNIS.
iX5
et enfin
ascendan t = T O = TC -f- CO
— longit. point culm. -f-arc compris entrèle mérid. et l'horizon.'
Ces règles, connues depuis Hipparque, ont cela de remarquable que le triangle ZOC dispensait de connaître cos O = cos RC sin C que don-^ lierait le triangle RCO.
De même le triangle PTC donne sinPClsinPYC :: sinPr :«inC,7
ou cosD:cos&>:: i :sinC = --s-^.
cos JD’
Il eût été plus court de dire cos O = cos RC sin C,
-rv • /-, j» » • r* COs a» COS RC COS m
cosa> = cosDsin C , dou sinC = — — , et cosO = — — — .
* cosD 7 cos D
Rien ne nous dit quelle voie a prise Ebn Jounis; mais pour suivre la
seconde, il aurait fallu connaître et appliquer deux fois le théorème de
Géber; il est donc plus probable qu’Ebn Jounis a suivi la première.
. . . . cos M cos H .. cos YC .
Dans la première expression sin TO= — , mettons — — ^ pour
cos M, et cos H' pour sin O, nous aurons
cos YC ers H ‘ cos MG cos H" *
dernière expression d'Ebn Jounis. Rien de tout cela n’est nouveau.
Les chapitres XXXII et XXX11L manquent.
L’un enseignait à trouver le milieu du ciel par les ascensions de l’ascendant, lorsqu’on n’a pas les ascensions droites:
Ce titre est un de ceux qu’on ne peut entendre qu’après la lecture du chapitre. Si par ascension de l’ascendant il entend son ascension oblique, il n’y a véritablement pas de problème; car l’ascension oblique diminuée de go°, est l’ascension droite du milieu du ciel; d’où l’on conclut la longitude du point culminant, qu’il appelle le milieu du ciel.
S’il entend la différence ascensionnelle , on en conclura la déclinaison ; pourvu que l'on connaisse la hauteur du pôle, Ôti aura l’ascension droite et le reste : ce n’est pas encore véritablement un problème.
S’il entend par ascension le coascendant , tel qu’il le définit cbapure XXXIV , ce qui reviendrait à dire, si l?on connaît le tems écoulé c e?U18 1g ^fver> la solution du problème se trouvera par des formules eja onnées, et semblables à celles que nous allons retrouver.
L’autre chapitre enseignait à trouver Tare de révolution de la sphère entre deux hauteurs données, lorsque la latitude du lieu et le lieu du Soleil sont inconnus.
Le problème ainsi présenté parait insoluble. Eu effet, soient h et h' les deux hauteurs
et
sin/j =cosP cosHcosD-f-sinHsinD, sin/z'=cosP'cosHcosD-f-sinHsiüD, siu/i — sin/z'==cosHcosD(cosP — cosP')
= 2COsHcos D (sin“ j P' — 6ma4-P) ;=2CosHcosDsin^(P' — P)sin^(P'-j-P) ,
sin^P' — P)=
si nh — sin/é
2 co: Hcos Dsin^(P/-PP) r
— P serait lare de révoluîion de la sphère, mais il dépend de trois inconnues H, D et (P'-f-P) ; on trouverait la même chose par l’Analemrne ,
MA: NB :: sin hisin h' :: MO:NO(fig. 39) , sin h — sin h' : si n h:: MO — NO : MO ; : MN : MO ,
uy = Cinh~‘?n--) MO;
\ sia « / 9
or
donc
et
MA = sin h = MO cos II et UO = ~i
COS 11
MN
1 h — sin h'\
cosD
cos 1
)sin h /sin h — sin h'\
cos II \ côTIl J 9 sin h — sin h'
cos H ccs D
