COS P' — COS P

La même difficulté subsiste. Mais supposez H et D connus et non pas inconnus, vous pourrez calculer P et P' par les trois côtés; vous aurez l’angle P' — P qui mesurera la révolution cherchée. Je crois donc qu’il y a quelques mots omis dans le manuscrit où M. Caussin a pris ce titre.

Chapitre XXXI\ . Déterminer Y ascension (ou le coascendant de l’azim.). ascension, ou coascendant de l'azimut, est l’arc de l’équateur qui traverse l’horizon pendant le tems que le centre du Soleil emploie à passer de l’horizon à un azimut donné. Voilà ce qu’on ne pouvait devineç; car cette définition ne se trouve dans aucun traité moderne. Pour comprendre la solution arabe, il ne sera pas inutile de la chercher d’abord par nos méthodes.

EBN JOUNIS. ï3$

Souvenons-nous que l’azimut pour les Arabes, était ce que nous nommons amplitude.

Mettant donc A=90° — Z dans nos formules, nous aurons

si n D = sin A cos H cos h -f- sin II sin h.

Nous avons vu (page 126) comment Ebn Jounis résout les équations de ce genre, où l’inconnue est repre'sente'e par son sinus et son cosinus.

II nous prescrit de chercher la hauteur h qui convient à l’amplitude donnée; il suppose la déclinaison connue; la hauteur étant de'terminée f an a

cos D.'eos A :: cos h: sin angle hor. = -sA.^sj s;n q .

0 cosD *

c’est la formule de l’auteur.

A présent, pour connaître l’ascension ou l’arc de révolution de la sphère , depuis le lever, nous chercherions

cos arc semi-diurne = — tang II tang D.

C’est encore un précepte d’Ebn Jounis. Nous aurons donc

arc semi-diurne — C = arc de révolution = ascension.

Le problème n’est pas aussi simple qu’il le paraît. L’angle horaire C sc trouve par son sinus; il peut être obtus aussi bien qu’aigu, du moins à certaines heures de la journée, dans les signes septentrionaux. Les

tables donneront dans ce cas C' = i8o° C.

Ea formule, dans ce cas, devient

arc semi-diurne — (180° — C')=arcsem.-{-C' — 180°.

11 faut connaître si l’angle est aigu ou obtus. C’est à 6* que l’angle est droit ; en conséquence, l’auteur cherche la hauteur dq Soleil à l’instant où

I angle C est droit, c’est-à-dire quand le Soleil est dans le cercle de 6\

II ne donne pas la règle, mais elle est bien simple. Soit AB cette hauteur;

AB = sin li! = QA sin PQO = sin D sin II ( fig. 40 ).

C’est le dernier terme de sin//=cosPcosHcosD-f-sinDsinII.

nm"7' ==rinDsin11’ Pa,-Ce <Iue cosP=o. Aboul Hassan, dans sa Cno- AvaUC’ U l usa£e fréquent de cette hauteur, cas, la liauleur h ou Ef sera moindre que h! ; dans ce

îS6 . ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

s\h<C.h'9 il est évident que EPO (qu’il appelle «sc.)=arc semi-d.-f-C' — 180% si h=h' , 0=90*, l’angle APO = arc semi-d. — 90° = différence ascens. , si h>h'y 1 angle horaire ZPG sera aigu, tel que le donnent les tables, et OPG = ascension = arc semi-diurne — C;

voilà pour le matin. Pour le soir, l’ascension sera = arc semi-d. -f- G, tant que h>hr ;

si h=h', l’angle horaire est de 90% ascension =arc semi-diurne -*1-90% si h < h', l’angle est obtus , asc. = arc semi-diurne -f- 1800 — C; voilà les six règles de 1 auteur pour les signes septentrionaux; elles se simplifient à l’équateur où D=o. TangÆ=sinAcosH et sinC=cosAcos/i $ et comme Parc semi-diurne est de 90% la formule devient asc. =9o°=p:C.

Ce sont encore les préceptes de l’auteur.

Pour les arcs méridionaux, C est toujours aigu; ainsi ascension = arc semi-diurne C.

La solution de l’auteur est donc identique à la nôtre. Son moyen pour savoir si l’angle est obtus ou aigu, est fort simple. Nous pourrions calculer C par sa cotangenle avec l’azimut, la hauteur et la latitude du lieu, mais ce moyen serait plus long.

Chapitre XXXV. Le gnomon d’un cadran horizontal étant perdu, et la latitude du lieu inconnue, déterminer cette latitude et retrouver la hauteur du gnomon.

Ce titre nous promet des renseignemens sur la Gnomonique des Arabes.

Décrivez autour du centre du gnomon ( du pied du style ) un cercle que vous diviserez en ses 36o°. L’auteur dit un cercle égal à l’un des cercles divisés qui sont sur le destour ; c’est sans doute une espèce de rapporteur j et rappelez-vous qu’à toute latitude , l’arc diurne équinoxial et de 1800, et chaque heure de i5°.

De l’extrémité de l’ombre d’une heure quelconque de 1 équinoxial menez une droite occulte au centre du gnomon; marquez le point où celte ligne coupe le cercle; posez sur cette marque une des pointes du compas et 1 autre pointe à 1 intersection de la ligne méridienne et du cercle; puis conservant la même ouverture de compas, transporlez-la sur le destour , et notez le nombre de degrés compris entre les deux points , ce sera la valeur en degrés de l’angle compris entre l’ombre et la méridienne ( c’està-dire l’azimut de cette ombre). Soit d cet azimut, C le complément de l’angle horaire compté du lever, ou 1 angle horaire compté de midi ;

sinC j . sin h

EBN JOÜNIS. i37

la hauteur du pôle étant connue, vous déterminerez la hauteur pour une heure quelconque et la longueur du gnomon.

Pour entendre cette construction, cherchons-la par nos formules.

Sur le cadran horizontal , les angles des ombres avec la méridienne sont les angles azimutaux du Soleil. Soit O le pied du style, EQ 1 équinoxiale, OQ une ligne horaire quelconque, ou l’ombre de cette heure;

= sin O ( fig. 40.

Connaissant l’azimut O, vous aurez

. . ^ , sinPcosD sinP sinP /OQ\ • t»

sinZ:sinP :: cosD : cosfc= z-=3l^= = (^) smP ; tous pou

vez mesurer EQ et OQ, vous connaissez sinP par le choix de l’heure; vous aurez donc cos h) maisOQ = = G cot h, q étant le gno-

mon perdu ; donc G=OQ ; enfin à l’équateur, sin h — cos P cos fl

et cos Le problème est donc résolu.

Au lieu de faire = sin Z = sin O , l’auteur cherche sur un rapporteur l’angle O ou eq. Cela revient au même. Pour trouver la hauteur h , il fait comme nous cos h = puisque son angle C, complément de

l’angle horaire compté du lever équinoxial, est encore notre angle P. Il fait comme nous cosH=^p, et nous dit simplement que la hauteur du gnomon se déduira de la longueur de l’ombre; cest dire assez quil fait encore comme nous , G = OQ tang h.

Il résulte de ce chapitre, que les Arabes faisaient marquer a leurs cadrans les heures temporaires, ce que nous savions d’ailleurs, et que ces cadrans n’avaient qu’un simple style droit au lieu d’axe , ce que nous savions également. On trouve un autre problème de gnomonique dans le chapitre XXVIII; il s’agit de marquer sur le cadran le zénit de la Mecque; il se trouve dans Albalegni. Le problème du chapitre XXVII sy trouve pareillement.

Le chapitre XXXVI est intitulé : étant donnés deux points de l’écliptique dont la hauteur est égale, déterminer cette hauteur, si l’on connaît la hauteur du pôle.

Si ces deux points ont même hauteur, ils sont à distance égale du nonagésime; le nonagésime sera donc connu, puisqu’il sera le milieu de l’arc qui va de l'un à l'autre point.

Le complément de la hauteur demandée sera l’hypoténuse d'un triangle rectangle dont la base sera £(L — L'), et l’autre côté sera 90° — angle de 1 écliptique et de l'horizon, ou distance zénitale nonagésime; ainsi sin/i = cos~(L — L')sinO; il restera donc à trouver sinO = sin angle de 1 écliptique avec l'horizon.

Le nonagésime sera L' + iL — ± L' = - (L -f- L') ,

le point orient 7(L-j-L,)-f-9o* = { (L-j-L'-f- i8o*)=ascend.

Soit A la longitude de l’ascendant

cosAsinojsinO — cosacosO= — cosHou cosH=cosOcos« — sinasinOcosA;

on aura donc l’angle O et par conséquent h. Mais O est dans le cas ambigu, l’équation est du second degré, et le calcul sera long; d’ailleurs les Arabes n’avaient pas cette formule qui sert à trouver le troisième angle.

Soit (fig. 42) Y“QR l’équateur, 'Y* AO l’écliptique, N le nonagésime;

TN=KL+L'), rO=^(L-fL')+9o% Z A=ZB=9o° — // , sin//==cosZA=cosZNcosNA=cosx(L — L')cosZN=cos|(L — L')sinO, sinOR=siiiasinTO, sinQR= — langHlangOR, tangTRnrcoscütangTO , TQ==TR — QR, sin TO:cosH :: sinTQisinTOQ;

toutes ces formules étaient bien connues des Arabes et même des Grecs ; ainsi ce problème n’annonce rien de nouveau en Trigonométrie; mais il est possible que l’auteur ait trouvé des moyens qui ne fussent qu’à lui.

Chapitre XXXVII. Trouver le degré du zodiaque qui passe au zénit à certaines latitudes. Ce problème se trouve dans Ptolémée.

Chapitre XXXVIII. Des latitudes. Il n’y est question que de la latitude de la Lune. Ce chapitre est principalement historique. La définition que donne 1 auteur de la plus grande latitude ou de l’inclinaison de la Lune est la même que celle de Ptolémée, ce qui est tout simple, puisqu’il n avait rien changé à cette théorie ; il ajoute que les anciens diffèrent entre eux sur celle latitude ; qu’Hipparque et Ptolémée la faisaient de 5°, et que les Persans né la disaient que de 4°3o'. Il est à remarquer que Chrysococca et Schahcholgius ont également omis de nous parler de l’inclinaison de l’orbite lunaire. En nommant les Persans après Hipparque

EBN JOUNIS. î3j

et Ptolémée, Ebn Jounis nous autorise à les croire plus modernes. Nous avons remarqué ( tome I, p. a3o ) que les Indiens ont toujours supposé 4°3o'; mais nous ignorons l’époque de cette mauvaise détermination. Léont-ils reçue des Persaus ou la leur ont-ils communiquée ? c’est ce qui paraît assez indifférent.

Aboul-Abbas al Fadhl ben Hàtem al Tebrizy (de Tauris ) dit que l’ayant calculée d’après les observations de Ahmed et Mohammed, fils de Mousa ben Schaker, il avait trouvé 4°4^'y ce qui se rapproche beaucoup de ce que donne Ahmed ben Abdalla, surnomme Habasb, d’après les auteurs de la Table vérifiée. Albategni rapporte que l’ayant mesurée, il avait trouvé 5° comme Hipparque et Ptolémée.

Aboul Hassan Aly ben Amajour dit qu’il l’a mesurée un grand nombre de fois, et qu’elle lui a paru souvent plus considérable que celle d’Hipparque ; et il ajoute qn 'il y a trouvé des différences très sensibles.

Voilà un passage digne de remarque; d’après les connaissances modernes, il est certain que la latitude varie de 5° à 5° y à fort peu près. Ainsi Aboul Hassan Aly ben Amajour paraît avoir suivi ces observations avec plus de soin et de succès que tous ses prédécesseurs sans aucune exception. Il est possible qu’Albategni , ayant retrouvé par hasard une latitude très peu différente de celle d’Hipparque , ait cru trop facilement cet élément bien constate, quoique la quantité qu’il lui assigne soit un minimum.

Quant à moi, dit Ebn Jounis , je l’ai mesurée moi-même plusieurs fois , et je l’ai trouvée de 5°3'. Il est singulier qu’il n’ait pas mieux profité de la remarque de Ben Amajour, et qu’il n’ait pas cherché à démêler ces différences très sensibles. Il est à croire qu’il aura toujours observé dans les mêmes circonstances, car s’il eût suivi la Lune un peu assidûment, il eût été comme impossible qu’il n’eût jamais aperçu une variation qui est de plus de 8' tant en plus qu’en moins. On voit par la suite de son récit que l’assertion de Ben Abdallah Ilabash, sur la détermination des auteurs de la Table vérifiée, est infirmée par Aboul-Thyb send ben Aly, qui a été présent aux deux observations faites à Bagdad et à Damas. Ses tables portent 5*; et si, par l’observation, il eût trouvé 4° 46', ou que ceux qui observaient en sa présence, eussent trouvé cette meme latitude, il s’ensuivrait qu’il ne l’aurait pas insérée dans ses tables elle qu elle aurait été observée, quoiqu’il y eût donné les moyens mouvemens déterminés par les auteurs de la Table. Mais, sur ces moyens ens* es* d’accord avec Yahia ben Abi Mansour; on peut donc , dit encore Ebn Jounis, adopter la latitude qu’il nous donne.

D’ailleurs Aboul Abbas alFadhl benHàtem alTebrizy n’a-t-il pas donné, dans ses Tables astronomiques, deux tables particulières de la latitude de ia Lune ? l’une, selon Hipparque et Ptolémée; l’autre, selon ce que dit Habash. S’il avait eu confiance en ce qu’on disait des auteurs de cette table, il n’aurait donne que la latitude qu’ils avaient trouvée, ainsi qu’il a fait pour les moyens mouvemens. Enfin , conclut Ebn Jounis , j’ai moi-mème plus de confiance en mes propres observations.

En effet, Ebn Jounis trouvant à très peu près la même latitude qu’Hipparque, Ptolémee et Albategoi , pouvait s’arrêtera ce résultat; de ce qu’il n’a point remarqué les différences indiquées par Ben Amajour, on serait tenté de conclure qu’il a moins bien observé; mais il faut songer que cette latitude doit être affectée des erreurs que l’on commettait sur la parallaxe; c’est ce qui fait l’incertitude de cet élément, et disculpe un peu les Arabes. Ajoutons encore que l’équation de 8' de Tycho pouvait aisément se perdre dans les erreurs des observations, lorsque celte équation était un peu loin de ses deux limites.

Après celte notice historique, que nous avons rapportée textuellement, malgré sa longueur, Ebn Jounis enseigne à calculer la latitude pour tous les points de l’orbite. Il faitL = inclinaison de l’orbite et

sinLsin((£— Q)

t sin total „ . , sinL

1 f)=<p> °“ aura *“*=—' *

c’est une division à faire au lieu d’une multiplication ; il semble qu’il eût été plus simple de faire Q~)=(p et sinA=«?)sin(C— £ ) ; mais c’est une vérification.

De cette équation, il tire

sin (C — Q)=

équations qui, selon les circonstances, font trouver la distance au noeud ou la plus grande latitude; mais il ne nous dit pas de quelle méthode il s’est servi pour trouver son inclinaison de 5* 3'.

Ce chapitre est terminé par une Table de la latitude, calculée de 10 en io' de distance au nœud, pour L = 5°3', et accompagnée d’une Table des différences pour i, 2, 3, 4 et 5'.

Le nœud ascendant s’appelle mègiaz al schumâl , passage du nord - le nœud descendant s’appelle mègias al génoub, passage du sud; ce sont des expressions analogues à Y anabibazon et au catabibazon des Grecs,

EBN JOUNIS. 141

Chapitre XXXIX. Déterminer la distance d’une étoile à l'équateur, quand elle a une latitude.

Pour avoir la déclinaison des étoiles ou des planètes , soit D cette déclinaison, d la déclinaison du point L de l’écliptique qui a même longitude, u> l'obliquité, A la latitude de l’étoile; faites

sin</cos A= sin A et sin A cos 00 = sîn B , sin D = sin A -f- sin B.

La formule moderne est sinD=sin«sinLcosÀ-f-cosa>sinX; mais sin dz=. sin co sin L; la méthode est donc identique à la nôtre; elle se déduit du théorème fondamental par une substitution bien simple qui suppose la longitude connue, sans quoi le problème serait indéterminé ; aucun triangle n’a pu donner directement sin dcos À, ni sinÀcosa>. Cet exemple seul démontrerait que les Arabes avaient le théorème qui donne le troisième côté par les deux autres et par l’angle compris ; mais nous en avons bien d’autres preuves.

L’auteur donne, pour les différens cas des déclinaisons d et D boréales Ou australes, des préceptes que notre règle des signes rend inutiles.

Autre méthode. Prenez la distance à l’équinoxe le plus voisin. Soit L cette distance et 90° — L son complément; cherchez les déclinaisons d et d' qui conviennent à ces deux arcs.

Nous avons trouvé ci-dessus, page 24, l’équation (3), de laquelle, par un simple renversement , on déduit

sin D

sin (p cos 0 sin (a -f- a') cos a

cos a' ' cos a'

X est la latitude de l’astre et A' la latitude du point .de l’équateur qui a la même longitude que l’astre ; cette formule est la règle de l’auteur. Pour trouver A', que nous aurions en faisant sinL tanga>=tangA', l’auteur, qui ne fait aucun usage des tangentes, est réduit à rejeter celte

équation qui lui est bien connue; il fait sin X1 = par un théorème

que nous avons démontré au chapitre XIII, et que nous retrouverons à l’article d’Aboul Wéfa. d ' est la déclinaison qui a lieu à 90° de L, et voilà pourquoi l’auteur prescrit d’abord de chercher les déclinaisons d ct d' des arcs L et 90° — L dans les Tables de l’écliptique.

à di1renSeigne * Se serv*r ces la^es) en changeant l’argument, c’eslen considérant la longitude donnée comme une ascension droite; a\ec cette ascension fictive , il apprend à trouver Ja longitude qui y cor-

respond; quand on a la longitude fictive, qui répond à l’ascension droite fictive, on prend, dans la table, la déclinaison qui lui convient, et cette déclinaison est la latitude du point de l’équateur qui a la même longitude que l’astre; cette même latitude est celle que nous appelons A'. Cet exemple , qui enseigne à prendre une longitude pour une ascension droite, est le plus ancien que je me souvienne d’avoir vu. Il est assez rare chez les modernes, et je ne connais guère que Mayer qui, pour s’épargner une table des angles de l’écliptique et du méridien, ait donné des préceptes de ce genre, pour trouver ces angles par la table des déclinaisons. Ici de même, l’auteur ayant besoin d’un angle, cherche la déclinaison à go* de là; le complément de cette déclinaison est l’angle dont il a besoin.

Cet usage des tables est ce que l’auteur donne comme une troisième méthode. Au fond, elle est identique à la seconde.