COS CO

ou ta’ng (à sînL' = sin A' ; il ferait donc un sinus de ce qui est une tangente, ce qui pourrait être corrigé par la suite du calcul; mais il

donne aussitôt sin AB = A' > ce qui n a Pas de sens; je lis

sin (Ca •+- «Bl sin D' sin (Ca -f- aB) sin « cos L .

— - __L - — — i — -±- — — - , et ] efface cos co qui est au

cos D cos D 7 1 n

dénominateur; alors sin «cosL=sin A' sera le sinus de ma déclinaisonD'.

Chapitre XL1V. Trouver le point de l’écliptique qui se lève ou se couche avec une étoile donnée. Ce problème a été résolu pour la première fois par Hipparque, dont la solution ne laissait à désirer qu’un peu plus de facilité et de brièveté.

Si l’étoile a une latitude, Ebn Jounis prescrit de chercher d’abord l’ascension droite du degré qui passe au méridien avec elle, parle problème précédent. Ajoutez 90% vous aurez le point de l’équateur à l’horizon pour le moment où l’étoile est au méridien. De cette ascension droite, retranchez l’arc semi-diurne, le reste sera l’ascension droite du point de l’écliptique qui se lève avec 1 étoile ; avec celte ascension droite , vous aurez le point de 1 écliptique.

Pour abréger ces opérations, à l’ascension droite du point qui médie avec l’étoile, il ajoute ou retranche la différence ascensionnelle, ce qui lui donne l’ascension oblique qui lui fait trouver dans les tables le point cherché de l’écliptique.

Pour connaître le point de l’écliptique qui se couche avec l’étoile, h l’ascension droite du point de l’équateurqui se lève avec elle, ajoutez l’arc diurne de l’étoile, la somme sera l’ascension droite du nadhir (ou point opposé) du point de coucher. Avec ce nadhir, cherchez, dans la table, Je poiut de l’écliptique qui se lève; prenez-en le nadhir (c’est-à-dire ajoutez 180°), vous aurez le poiut qui se couche.

EBN JOUNTS.

CeBe mclhode était déjà fort ancienne ; en voici une autre :

Soit yîV le point de l’équateur qui passe au méridien avec l’étoile ;

-A l’arc semi- diurne de l’étoile :

— A sera le degré qui culminera au moment du lever de l’étoile ;

le point qui se lèvera avec l’étoile, alors la Table des ascensions obliques vous donnera le point de l’écliptique; yïV-f- A =AV" sera le point qui médie au coucher de l’étoile;

sera Ie point de l’équateur qui se trouve à l’horizon au même moment.

Avec ce dernier point , la Table des ascensions obliques du lieu vous donnera le point de 1 écliptique qui se lève; vous y ajouterez i8o° pour avoir le point qui se couche avec l’étoile.

Ces tables et cette doctrine sont eu entier des inventions d’IIipparque.

Le chapitre XL V manque; il paraît une suite du précédent, puisqu’il traite du lever des étoiles, pour savoir si elles se lèvent de jour ou de nuit. A tout ce qu’on vient de lire il suffit d’ajouter la connaissauce du lieu du Soleil pour l’instant du calcul.

Chapitre XL\I. Détermiuer l’ascendant par la hauteur d’une étoile fixe. Nous avons vu , dans les chapitres précédens , comment les Arabes calculent 1 angle horaire de l’étoile et le dayer ( ou la partie écoulée du jour), par la hauteur de l’étoile; on connaîtra donc l’ascension droite du milieu du ciel et le point ascendant de 1 écliptique. Hippaïque avait résolu ce problème, mais les Arabes en ont abrégé le calcul par leurs nouvelles règles trigonométriques et par l’usage qu’ils ont fait du théorème fondamental de notre Trigonométrie moderne.

Deuxième méthode. Déterminez d’abord le dayer, ajoutez-Ie a l’ascension oblique du nadhir du Soleil dans le lieu donné, vous aurez l’ascension oblique de l’ascendant, et, avec cette ascension, les Tables vous donneront l’ascendant.

Aujourd’hui la hauteur nous donne l’angle horaire; en le comparant à l’ascension droite de l’étoile, on aurait celle du milieu du ciel, d’où l’on conclurait aussitôt l’ascendant par une seule règle. L’embarras pour les Grecs et les Arabes, était de réduire le problème en tables pour e rnetlre à la portée des astrologues. Aujourd’hui que uos tangentes nuisa lo^anl^mes onl simplifié le calcul, il est devenu totalement inutile, i , j eureusement il n’y a plus d’astrologues; mais on peut se çonce qu ils ont été autrefois en si grand nombre. Sans ëux

l’Aslronomie serait née beaucoup plus tard, puisqu’il paraît constant que les premiers astronomes n'ont guère été que des astrologues , et qu’ils ont fourni des matériaux précieux à Hipparque.

Chapitre XLV1I. Déterminer le dayer d’une étoile d’après la hauteur , et réciproquement.

Ce chapitre ne contient que des applications et des exemples numériques des règles données ci-dessus au chapitre XLII. L auteur continue de se servir d’Al Thaïr, qui lui a fourni ses exemples précédens.

Chapitre XLVIII. Calculer la longitude d’une étoile d’après sa latitude Ct sa déclinaison.

L’équation moderne serait sin D = sin co cos A sin L -f- cos co sin A ,

nouvelle preuve de l'emploi très fréquent du théorème fondamental de la Trigonométrie moderne.

Il explique tous les cas en détail, ce qui lui est d'autant plus necessaire, que sin L trouvé par ses moyens, peut appartenir aux quatre quarts différens du cercle; mais on voit que, malgré toutes ses règles, smL peut appartenir à un arc de plus ou de moins de 9o%- il ajoute donc que l’on connaîtra la longitude, si l’on sait d’avance en quel quart elle se trouve ; mais avec notre règle des signes , il suffit de savoir en quelle moitié elle se trouve.

La seconde méthode, qui est la même au fond, se présente sous unç forme plus extraordinaire.

L’auteur fait siu I' = sin (co zf. D) , et sinlr, = cos (azpD); puis

Q = (sin I' -f- sin A) cot co = [sin (co D) -f- sin A] cot co — (sin co cos D cos co sin D -f- sin A) cot co = cos co cos D qp cos co cot co sin D -J- sin A cot w;

ensuite

sînL

EBN JOUNIS.

gin r Q cos(* — D) — cos 0> cos D ± cos « cot u sîn D — sin A cot a»

COS A cos *

cos ti cos D ut sîn » sin O — cos u cos D — cos a> cot *> sin P — sin A cot u cos A

it sin u sin D di cos » cot a> sin D — sin A cot a cos A

± sin* « sin D d: cnsa « sin P — sin A cos « rh sin P — sin Acoso

: sin « cos A sin « cos A *

ce qui. est encore notre formule et la règle donnée par Àlbategni (p. 20) , pour un autre problème. Ebn Jounis supprime tous les développemens; mais il est certain que son calcul est identique au notre, quoiqu il en diffère un peu par la forme. J’aurais pu rejeter le double signe, et supposer la déclinaison boréale aussi bien que la latitude, sauf à changer le signe de sin D pour une déclinaison australe, et celui de sin A pour une latitude australe. Par là nous serons dispensés de suivre l’auteur dans l’énumération des divers cas qui peuvent se présenter. Tantôt il considère a, comme une déclinaison boréale, et tantôt comme une déclinaison australe; il distingue aussi les cas où o est plus petit ou plus grand que D. Nous aurions L avec moins d’embarras ; mais comme c’est par son sinus qu'on le trouve, il nous restera toujours l’incertitude entre L et (180° — L), mais nous saurons du moins dans quelle moitié de l’écliptique se trouvera l’étoile.

L’auteur calcule deux exemples, l’un pour Al Hàdi, Adébaran, dont la latitude est australe, et l’autre pour Al Thaïr, l’Aigle, dont la latitude est boréale. Les deux déclinaisons sont boréales ; la première est dans les signes septentrionaux, la seconde dans les signes méridionaux : ces deux «toiles reviennent souvent.

Chapitre XL1X. Calculer la longitude d’une étoile par sa déclinaison et par le point de l’écliptique qui culmine avec elle.

C’est le problème dont Albategni 110116 a donné une solution si étrange dans son chapitre XXV; voyez ci-dessus, p. 20.

Cherchez la déclinaison cT du point culminant; faites, suivant les cas, la somme ou la différence (DqrJ') des deux déclinaisons. [Nous mettrons en général (D— «T)]; cherchons sin (D — <T) et cos (D — ) ; nous aurons (fig. 5 et page 24)

sin A = sin (D — cT) sin B= sin (D — «f) =sin(D — tout est connu dans ces deux dernières expressions, fréquentes chez les Arabes. Ayant ainsi la latitude, la déclinaison et l’asceusion droite, qui

est la même que celle (lu point culminant, on aura la longitude par le chapitre précédent, ou plus simplement parla formule cos L c= — -•

C’est la seconde méthode de l’auteur, qui, suivant son usage, change cos L et cos vft en sinfgo* — L) et sin(go° — ^\), et compte ainsi les ascensions droites et les longitudes du colure voisin , au lieu de les compter de l'équinoxe; ce qui fait croire que les Arabes aimaient à chercher

I inconnue par son sinus plutôt que par son cosinus, parce qu’ils n avaient qu’une périphrase pour exprimer le cosinus.