Chapitre LVI. Déterminer la distance de la Lune au centre de la Terre

Soit

Q'= e sin 2 ((C — O), Q*=<?cos2(C — O),

e — I op 1 9', />= 49p 4 1 ' y R = 0*a ~ Q'O 4 = (/ 4- Q') (/— Q')‘ y V' = R -f* Q" = distance cherchée.

Il remarque que Q" devient négatif avec cosinus 2(C — G); ce calcul est pareil à celui qu’il a fait pour le Soleil, à la réserve du signe de Q"; on voit qu’il connaissait la formule générale A9 — Ba=(A-f-B)(A — B). Les valeurs 10' 19' et 49P 41' sonl ceUes de Ptolémée.

Y' est la distance du centre de l’épicycle au centre de la Terre. Pour avoir la distance des centres de la Lune et de la Terre, il suit un pro-* jcéUé tout semblable. / est le rayon de l’épicycle =5'' \ i4"a3'";

Qm — ÿ sin anom. corrigée, Q1T = /' cos anom. corr.,

Qlf devient négatif avec le cosinus ; V" sera la distance des centres de la Lune et de la Terre; V" la distance évaluée en demi-diamètres de la Terre.

Il ajoute que cette distance est celle qui sert à calculer les parallaxes; il suit en cela l’exemple de Ptolémée, qui prend 5g pour distance moyenne. Nous yoyons au reste qu’Ebn Jounis ne fait d’ailleurs aucun changer

EBN JOUNIS. ï5i

ment à la théorie de Ptolémée, d’où il résulte que ses parallaxes et ses diamètres apparens auront l’inexactitude que Copernic a reconnue le premier.

Seconde méthode pour le centre de Tépicycle.

Faites sinK' = — , et R = /»cosR'j alors V' = K4-Q"; Q" change

de signe avec le cosinus; voyez nos formules, tome II, p. igy.

Dans ce calcul, on voit encore un nombre de 1 1 chiffres écrit en caractères indiens; et comme probablement on était alors peu familiarisé avec cette Arithmétique, Ebn Jounis prend le soin de nommer successivement tous les chiflres qui composent ce grand nombre, en commençant par les unités.

Troisième méthode , dite de Y ombre sexagésimale (c’est-à-dire de la tangente.)

Faites QT = V'-f-Q,T et ^ = tang/?. Cherchez l’arc h dans la Table des ombres sexagésimales ; alors V" = et V = V" En effet

=Q'"séck=-SHr:

COS h

Nous ne ferions pas autrement aujourd’hui. Voilà donc un arc Subsidiaire trouvé par sa tangente, et un biuome converti en une sécante, et puis en un cosinus. C’est le premier exemple que je trouve d’un artifice de calcul si curieux. V oyez cependant pag. in, 114 et 126, des formules auxquelles il n’a pu arriver que par ce meme moyeu.

L’auteur expose ensuite la construction et 1 usage des tables qu’il a calculées pour faciliter ces diverses opérations. La première est celle de 2 op 19' sin argument, qui donne également iop 19' cos argument.

La seconde a pour formule 49/4l*s^Qar£umenk Nous avons eu ci-dessus

R=(fa~ Q'*)‘==f (ï— y )‘ ■ = /(i— sin‘^= f\ cosp^sinfoo— <p) ,

Y = sin<p; d’où Q' = /» sin <p = 49P 4 1 ' sin

Cheicîiez, dans la table, à quel arc <p répond la quantité Q’, qui ne peut jamais passer 10*19'; prenez-en le complément (90° — tp), lequel vous servira a trouver dans la même table R = / sin (90 — p).

ï5a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

- Cet artifice de calcul est tout au moins aussi adroit que le précédent. Je n'en connais aucun autre exemple ni ancien ni moderne. Nulle part je n’ai vu une table servir à trouver la quantité qui doit ensuite lui servir d’argument.

La troisième table donne les valeurs / sin argument et f cos argum. y c’est-à-dire Q'" et QtT; après quoi

V'M( V' + Q' ’)■ +Q'"*7 =Q’ [(— ÿ-)’ + 1 ] ‘ — Q ( i + 'ang* 4)'

^Q"sec4 = (r2 + ;

c’est ce qu’il a nommé ci-dessus méthode de ï ombre sexagésimale.

Les méthodes suivantes ont été ajoutées dans le manuscrit; elles sont d’une autre main, ce qui ne prouve pas qu’elles soient d’un auteur différent.

Quatrième méthode. Prenez l’équation de la Lune, que vous ajouterez ou retrancherez, suivant les cas, pour avoir le lieu vrai dans l'orbite inclinée.

Faites sin équation = sin I', et f sin G = sin 1"; G est le mquvement propre égalé , c’est-à-dire l’anomalie vraie ; puis V" =

Dans la théorie de Ptoïémée, l’équation du centre due à l’épicycle est d’autant plus grande, que la distance V" est plus petite; eu sorte que V" sin équation vraie = sin équat. moyenne ; d’où

yf/ sin équation moyenne

sin équation vraie 9

telle est, autant que j’ai pu voir, cette méthode, dont je ne garantirais

pas la parfaite exactitude.

Cinquième méthode. Soit A = 2 (Ç — 0),e= io' 19', f = 4y4i',

sinE=üA* A' = A — E ,

Y, çsm A v . ,

— sinÂ~ — .lsl* des centres de l’excentrique et de la Terre,

E' = équation de la Lune , Q' = f cos E', Q" == /* sin R",

R = (/>• — V* = R+Q', et v = (j|)v".

çes deux méthodes n’ont rien de bien curieux ; voyez nos formules tome », P- >97'

ËBN JÔÜNIS. i53

Sixième méthode pour les tems des conjonctions et des oppositions. Divisez le mouvement horaire vrai de la Lune par 3a' 35" 51'" 32,T, le quotient sera la distance cherchée; mais ou nous prévient qu’elle ne sera pas d’une grande précision.

Septième méthode par les observations.

Soit p la parallaxe de hauteur , sin p = -y-,,- , et V' =

Chapitre LVII. Déterminer la hauteur d’un astre qui a une latitude/ sans introduire la déclinaison de l’astre dans le calcul.

Soit H' la hauteur du pôle de l’écliptique, L la distance de l’astre au point orient ou couchant de l’écliptique ; faites

sin I' = sin L cos H' , puis sin 1" =: cos L cos H',

. , sin L cos H' sin L cos H' sin L cos H'

cm A = - - T?, — = — - t = - — - - - r

cos 1 (i — cosa L cosaH')“ (î — cos2 H'-f- sina L cosa H')a

sin L cos H' sin L cot H' __ tang; <p

. (sin5 II'+sina Lcos5H')* 0 -Hma L cota H')a (î + tang5 çÿ

= 7^ = tang a cos <p = sin <p ( fig. 38 ) ;

A est donc un angle auxiliaire. Le reste du chapitre manque, et l’on ne voit pas ce que l’auteur faisait de A. Mais sinLcotH'=tang^=tang latitude du point de l’horizon qui a même longitude que l’astre ; . . . sin I' = sin L cos H' serait le sinus de îa hauteur du point de l’écliptique qui a même longitude que 1 astre. La latitude <p du point de I horizon pourrait s’ajouter à la latitude de l’astre ; (p -f- X) serait alors la somme des deux latitudes, en supposant que X est boréal.

L’angle que (<p + X) ferait avec l’horizon, se trouverait en faisant cos L cos H' = cosB, et l’on aurait sin/i=sin (<p-{-Â)sinB; l’angle A de l’auteur serait donc notre p , 1" serait (900 — B).

Les préceptes que l’auteur donne pour former (<pzh A), suivant les cas, nous portent à croire que nous avons rétabli ce qui manque à la solution.

Le chapitre LV11I manque. Le litre était : Trouver la différence azimutale entre l’ascendant et un astre qui a une latitude. Ce problème n’a rien de difficile.

Le chapitre L1X manque de même. Il traitait du calcul de la conjouc* ll°” et l’opposition , matière qui ne promet rien de neuf.