PURBACH ET RÉGIOMONT AN

Au lieu du triangle BCD, vous pouvez faire un usage pareil des triangles NFB ou AFC ; vous aurez trois calculs diffère ns qui doivent donner les mêmes valeurs pour les deux inconnues.

Dans la proposition 20, il résout ce problème : Etant données deux observations entre lesquelles le mouvement vrai se trouve égal au mouvement moyen, trouver 'réquation pour les deux instans.

Ces équations seront égales, ce qui est évident, puisque les deux angles sont égaux. Us seront à la circonférence d’un même cercle dont l'excentricité sera une corde. Décrivez donc sur l'excentricité un cercle qui passe par les deux points de l’excentrique et par les centres du monde et de l’épicycle.

Soit u et il les deux anomalies vraies, les équations sont égales; donc e sin u = e sin u ; donc 1/= 180 — uy u'~t-u=. 180, iè! — « = A; donc 2w'=i8o4-A et m == 90° H- i A , 2W= 180 — A, « = 90° — JA; il n’était pour cela besoin d’aucune ligure , ni de grandes recherches, ni de raisonnemens pénibles comme ceux de l’auteur; mais sa solution a pu donner à Nonius l’idée du cercle au moyen duquel il détermine le maximum de l’équation de Prosneuse.

On peut rapprocher autant qu’on veut les deux intersections, en diminuant A. Si A = o, les deux arcs 90-f-o et 90 — o n’en feront qu’un. Plus les points se rapprocheront, plus le cercle diminuera. S’ils se confondent , le cercle sera tangent intérieurement à l’écliptique. Plus le cercle aura diminué , plus l’angle à la circonférence sera grand , puisque la corde sur laquelle il s’appuie est constante ; ainsi le maximum aura lieu au point de contact. Ces reflexions viennent naturellement à la vue de la figure de Purbach ou plutôt de Regiomontan.

Connaissant A, u et u1, vous aurez l’équation

E = e sin (90 -f- £ A) = e sin (90 — £ A) ;

celte ligne est plus claire et en dit plus que la démonstration pénible de l’auteur.

Prop. 25. Déterminer l’arc de l’écliptique où la réduction à l’équateur est la plus grande.

Sa solution revient à faire le cosinus de la déclinaison de ce point où cosD=(cos a)7, cosD=cosû>, sinaD = i — cos &>= 2sin*^ v.

Mais soit L la longueur de l’arc de l’écliptique ;

sinD=sina>sinL , siu,D = siu4û0sin*L==4sin'i«cos*|&sinaL==2S‘°*iû,,>

donc

2 cos* £ ça sin* L = i , sin* L = »

i \/ \ sin 45°

Slll L = ÿ^'CosLf,, COSJÛ» COS 5 V

c’est la formule à laquelle je suis arrive par une autre voie, Astr. , t. I, p. 25. L’auteur ne dit pas comment il y est parvenu, il démontre seulement que la réduction sera la plus grande au point ainsi détermine ; il le trouve par une construction. Sa solution n’est ni si complète ni si méthodique que la mienne; mais elle est curieuse. Il ajoute , propos. 26, que 1 arc L avec l’arc correspondant A de l’equateur, fait une somme de 9°’? ü trouve la plus grande réduction 2°j. Nous aurons par mon théorème sin 2°oo/=tang*|® et *=25° 35' 34"; c’est l’obliquité

qu’a dû supposer l’auteur, pouravoir 20 3o' bien juste. L obliquité 23^28 qu’il suppose, p. 22, donnerait sin réduct. = tang* 1 i°44,==s^n^0:2^ 20 ,5; mais l’auteur n’a sans doute calculé qu’en minutes, et il n obtient ce résultat qu’indirectement. Je crois ces 26 propositions de Régiomontan.

Delà jusqu a la fin du sixième livre , je n’ai rien remarqué de nouveau.

Au commencement du livre 9 , on voit qu’Alpetragius mettait Vénus entre le Soleil, Mars et Mercure entre le Soleil et laTerre. Régiomontan prouve que Vénus sur le Soleil n’y produirait pas une éclipse sensible. Je n’ai rien vu , dans le reste du commentaire , que des developpemens des théories de Ptolémée, qui seraient toul-à-fait superflus, après ceux que nous ayons donnés nous-même. Cet extrait, commun aux deux auteurs, fera la transition de l’article de Purbach à celui de Régiomontan.

Régiomontan.

Joanms de Monte Regio , mathematici clarissimï, Tabulœ Directionurn , Profeclionumque non tam Astrologiæ judiciariæ quant Tabulis instrumentisque innumeris fabricandis utiles ac necessariœ. Jf ittebergœ , i584.

Accesserunt his Tabulœ ascensionum obliquarum a 60 0 gradu elevatioms poli usque ad Jinem quadrantis , per Erasmum Reinholdum supputatœ.

On est bien aise de voir, dans ce titre , que l’éditeur paraît rougir un peu de la faiblesse que Regiomontanus avait eue de travailler pour les astrologues. Il a soin d’annoncer que ces tables sont utiles à bien d’autres usages , et cela peut être vrai pour une partie de ces tables; mais celles de direction et de profection proprement dites, ne sont plus que des

RÉGIOMONTAN. 289

monumens qui prouvent à quel point ces erreurs étaient accréditées. Les mots soulignés ne sont pas dans les éditions plus anciennes, et notamment dans celle desGiunti, Venise, i5a4*

Dans sa préface, l’auteur se nomme Joannes Germanus deRegiomontc ; il y professe sa confiance dans l’Astrologie. Quid autem commodi nanciscemur si generalis quœdam artis directoriœ promptitudo nobis illata fuerit , ex libris judicum abunde collige tur} ubi tempora futuroruni accidentium omnium per directiones potissimum investigari soient , tantam igitur utili tatem, etc. Ces juges sont les auteurs qui ont traité de l’Astrologie judiciaire. 11 dédie ces Tables à un archevêque de Strigonie, légat, qui les avait désirées; il le prie d’agréer ces prémices de ses travaux; il parait donc que c’était son premier ouvrage. Il était né en i436: son nom était Muller ; Kœnisberg ou Regius-Mons son pays.

11 suppose l’obliquité 23* 30’; sa raison est que les observations modernes n’en admettent pas une plus grande.

Sa première table est celle des déclinaisons des planètes ou étoiles zodiacales pour tous les degrés de l’écliptique, et pour les huit premiers degrés de latitude, tant australe que septentrionale. Celte table pouvait en effet être fort utile; on en fait encore de ce genre pour abréger le calcul des éphémérides.

Cette table est suivie d’une autre d'un usage général , quelle que soit la latitude de l’astre.

Soit L la latitude de l’étoile, A celle du point de l’équateur qui a la même longitude; on aura sin D==sin(L +A) si n angle qne fait (L-f-A) avec l’équateur; la table donne le sinus naturel de cet angle. Il ne reste donc qu’une multiplication à faire pour avoir la déclinaison ; mais soit A cet angle, sin D = ÿcos (L-{-A — A) — ^ cos (L -}- A-f- A) ; ou aurait donc pu éviter cette multiplication. Régiomontan avait pris l’idée de sa table dans Albategni.

Ensuite on trouve sa T able féconde ou des tangentes pour tous les degrés du quart de cercle et pour un rayon de 100000. Cette table n’est pas de la dernière exactitude ; dans les 4$ premiers degrés , l’erreur ne passe guère deux unités; dans l’autre moitié, elle va jusqu’à n parties et même à go pour la tangente de 8ge. Nous verrons plus loin l’usage <iue l’auteur faisait de celte table, qui ne méritait guère alors son titre de fécondé. S’il en avait senti tous les avantages , il l’eût sans doute étendue à toutes les minutes du quart de cercle comme celle des sinus.

Pout tiouver l’ascension droite, il donne dans une autre table ce qu il

29o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

eu appelle la racine; c’est l’arc de l'équateur qui a même longitude que l’ëtoile. A côté de cette racine, on trouve un facteur, qui n’est autre que la cotangente de l’angle Aci-dessus; cette cot. multipliée par la tangente de la déclinaison, donne le sinus de la différence de l’ascension droite de l’astre et l’arc de l’équateur, ou l’arc de l’équateur compris entre (L + à) et le cercle ‘de déclinaison; c’est encore la méthode d’Albategni.

Cette Table générale des médiations ou des ascensions droites est précédée d’une table pour les étoiles zodiacales dont la latitude n’excède pas =b 8°.

La Table des points culminans n'a rien de particulier, non plus que la table générale des ascensions obliques. Le sinus de la différence ascensionnelle est égal au produit des tangentes de la déclinaison et de la hauteur du pôle; les deux tangentes se prennent dans la Table féconde; on voit que celle-ci n’a été pour lui qu une table subsidiaire qui abrégeait le calcul des autres tables, et voilà pourquoi il l’a bornée aux simples degrés. U n’en a jamais fait usage dans la Trigonométrie.

Jusqu’ici tout est véritablement astronomique. L’astrologie judiciaire va l’occuper à son tour.

Il y a trois manières de concevoir et de résoudre le problème de la distribution du ciel en douze maisons. Dans la première, on partage en trois parties égales lare de l’équateur qui mesure 1 arc semi-diurne ou semi-nocturne du point orient de l’écliptique; par les pôles du monde et les divisions de l’équateur on mène? des demi-cercles ; mais cette méthode donne des maisons trop inégales.

Campanus opère celte division par des demi - cercles qui, passant par les points nord et sud de l'horizon, partagent le premier vertical en douze parties égales. Par là toutes les maisons sont parfaitement égales, mais les portious de l’écliptique qui s’y trouvent comprises sont inégales.

Regiomontanus trouve que cette manière est contraire aux idées des anciens , et d’ailleurs très futile en ce que le vertical na aucune vertu . il la rejette donc sans plus de détail.

La troisième méthode tient le milieu entre les deux autres; elle partage en trois parties égales chacun des quatre quarts du zodiaque, par des cercles qui vont se réunir aux points nord et sud de l’horizon. Les maisons sont à la vérité inégales, mais chacune d’elle conserve toujours la même valeur.

U renvoie, pour le développement de ses motifs, au livre deux des

RÉGIOMONTAN. >9*

problèmes de l’Almagesle, où il a exposé toute sa doctrine astrologicotrigonométrique; il se borne à l’explication de ses tables. Nous n’avons pas encore trouvé le livre auquel il renvoie son lecteur; mais nous trouverons, à l’article Magini, les moyens trigonométriques par lesquels on calcule ces tables; pour ne pas nous répéter, nous n’en dirons pas plus pour le présent.

Les astronomes considèrent trois espèces de conjonctions ; l’une sur le même cercle de latitude; la seconde, sur un même cercle de déclinaison; la troisième, sur un même cercle de position. On appelle de position les cercles qui sont les limites des douze maisons.

Régiomontan se propose ce problème : Deux étoiles données se trouveront-elles dans un même jour naturel en conjonction sur un cercle de position? (fig. 60).

Soit P le pôle, A, B les deux étoiles; par les deux étoiles, menez le demi-cercle HO, l’arc perpendiculaire PQ sera la hauteur du pôle sur ce cercle, ou la hauteur du pôle dans le lieu dont le demi-cercle HQO est l’horizon ; on voit que AB ne doit pas surpasser 1800 ,

= sinPOQ; PQ doit être plus petit que PO.

cosPO langPOQ=cotOPQ , OPQ— QPB=OPB, OPB-*-BPA=OPA ; les deux étoiles données, on connaît tout le triangle APB; on connaît PO, PQ; on peut calculer toutes ces formules. Les Tables de Régiomontan dispensent de ces calculs, mais elles ne donnent qu’une solution indirecte et qui ne peut avoir la même précision que le calcul.

Diriger n’est rien autre chose que tourner la sphère jusqu'à ce que le lieu qui était le second vienne occuper la place du premier; le second est celui qu’on fait mouvoir ; le pi'emier s’appelle signi/icateur; le second , promisseur.

La direction est donc le mouvement de la sphère ou l’arc de l’équateur qui mesure ce mouvement. La direction se fait suivant ou contre l’ordre des signes.

La direction est la différence des deux ascensions obliques comptée sur le premier des deux cercles de position; le problème considéré trigonométriquement n’est pas difficile.

Au 39* problème, Regiomon tamis s'avoue astrologue, en déclarant qu 1 travaille pour les amateurs de son art. V iris studiosis artis nostrœ amatoribu*.

La profection est un mouvement égal et régulier du signiücateui’, selon l’ordre des signes. Les aspects ou radiations seront expliqués à l’article Magini qui était aussi un amateur, et qui a développé la doctrine de Régiomontan avec plus de soin que lui-même.

La Table des ascensions obliques pour toutes les latitudes par Régiomonlan et Reinhold, peut servir à dresser des tables de climats, de mois, de jours , d’heures et de quarts d heure si 1 on veut. E e peut n'ètre pas inutile pour quelques problèmes astronomiques où Ion ne chercherait pas une grande précision.

Dans l’explication de ses tables, il promet un autre ouvrage où il traitera plus à fond des différens problèmes astrologiques; nous ignorons si cet ouvrage a vu le jour.

Dans l’édition de i524, Gauric a ajouté des Tables de sinus de^ io en io; pour un rayon de 100000; des Tables astrologiques et des labiés du Soleil d’une forme usuelle et abrégée.

Joannis Regiomontam , mathemaüci præstantissimi , de Triangulis plams et sphæncis libri quinque , unâ cum tabulis sinuum. Basdeœ , i56i.

L'éditeur de celte œuvre posthume, Daniel Santbech , nous dit dans sa préface que Purbach et Régiomonlan avaient été les restaurateurs de la science astronomique, du moins en Allemagne; qu’ils s’étaient attachés à éclaircir et commenter Ptolémée; qu’aucun auteur n’avait traite la Trigonométrie d’une manière plus complète que Régiomontan; mais qu’une mort prématurée (en 1476) l’avait empêché de mettre la dernière main à son livre des triangles , et que Jean Schoner avait termine ce qui était resté imparfait. On doit croire, d’après ce récit, que Regiomonlan a mis dans cet ouvrage toutes ses connaissances et ses dermeres idées; on est donc fort surpris de n’y trouver aucune mention des tangentes qu’il a cependant la réputation d’avoir introduites dans le calcul astronomique. Ebn Jounis , long-lems avant lui , avait fait beaucoup davantage, et nous avons vu qu’Aboul Wéfa, vers l’an 1000, avait encore été beaucoup plus loin; nous avons dit quel usage Régiomontan a fait de sa Table féconde pour la différence ascensionnelle et le calcul de quelques tables ; c’est à cela qu’il s’est borné ; Ebn Jounis avait fait précisément les mêmes choses cinq cents ans auparavant, et il avait en outre imaginé des artifices de cjrfcul bien plus remarquables. Dans aucun des problèmes qu’il a résolus dans ses divers ouvrages , Régiomontan n’a fait entrer aucune tangente ni aucune sécante. 11 n’emploie.

RÉGIOMONTAN .

comme ses prédécesseurs , que les sinus et les cosinus. 11 s’élail borne aux simples degrés dans sa Table féconde, qui ne contient réellement que 89 tangentes; c’était trop peu sans doute pour les calculs les plus ordinaires. Reinhold, qui a étendu celte table à toutes les minutes du quart de cercle , est probablement celui qui a rendu à la Trigonométrie européenne ce service qui a singulièrement abrégé les calculs; mais avait-il trouvé les formules trigonomé triques qui dépendent des tangentes, ou s’est-il contenté de les écrire dans les formules où elles se présentaient d’elles-

memes, a la place des expressions ) ou y se ,rouvent

partout dans Régiomontan comme dans Ptolémée et Albategnius; c’est ce que nous ne pouvons encore décider.

Dans sa proposition 28, Régiomontan détermine les angles du triangle rectangle, d’après le rapport des côtés; aujourd'hui nous dirions :