PURBACH ET REINHOLD

prolixes aujourd’hui, que nous avons renfermé cette théorie dans quelques formules générales. Il avait refait cette partie pour une seconde édition ; mais la mort vint l’interrompre, et Gaspard Peucerus lui succéda pour la terminer.

Dans le chapitre de la Lune, on remarque sur-tout la figure où fl a tracé l’orbite ovale ou lenticulaire qui résulte de la théorie de Ptolémée, et celle où il explique la théorie des parties proportionnelles de la Lune. 11 en donne ensuite une semblable pour Mercure , dont il représente aussi l’orbite qui a beaucoup d’analogie avec celle de la Lune; mais ce qu’il y a de plus remarquable, c’est la note sur la trépidation des étoiles.

Voici ce qu’il dit de cette période de 49°oo ans, fruit de l'imagination de quelques juifs superstitieux.

J'ai été fort long-tems à comprendre pourquoi les Alphonsins avaient choisi des périodes aussi longues que 7000 et 49000 ans; pourquoi ces périodes des mouvemens de la huitième et de la neuvième sphère , étaient dans un rapport si simple et si remarquable. Je voyais encore que le mouvement annuel de la neuvième, était précisément le meme que le mouvement moyen du Soleil dans l’espace de tems qu ils ont re— tranché des six heures qui ont produit l’intercalation julienne. En effet , ils supposent l’année de 365^ — io'44f,> ce qu* est un peu plus que ~ d’heure. Pendant ce tems, suivant les tables, le mouvement du Soleil est de 26" 26'" 54,T, etc. ; c’est le mouvement annuel de leur neuvième sphère.

Je n’étais pas moins étonné qu’ils n’eussent exposé, dans aucun écrit,* les fondemens de leurs hypothèses. Tout cela semble fort suspect. Je trouvai enfin, dans l’ouvrage d’Augustin Riccius, que cette idée n’est qu’un délire né d’une interprétation superstitieuse de la loi mosaïque. Moyse a voulu que la septième année fût une année de repos, et que la cinquantième fut jubilée. Les juifs ont appliqué ce precepte aux mouvemens célestes. Alors j’ai compris pourquoi ils avaient donné leurs tables sans aucune explication. Je soupçonne encore que ces auteurs n’ont appuyé sur aucune observation, la longueur qu’ils donnent à l’année; mais que, guidés par leurs idées superstitieuses, ils ont choisi le nombre qui cadrait le mieux avec leur système.

Ï1 reproche encore aux Alphonsins de n’assigner aucun point certain aux centres de leurs petits cercles, de manière que l’obliquité étaut de 23°, par exemple , l’obliquité apparente pourrait être de 32° ou de *4*

j74 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

seulement. Ils sont donc ineptes et ridicules , quand ils disent que cette

recherche serait fort oiseuse.

Benevenlanus pensait que la tête d’Ariès delà neuvième sphère, en i5i9, était en 28° 8' des Poissons; mais Pighius soutient 1 opinion commune, qui est qu’en l’an de l'incarnation , les centres des cercles étaient près des sections vernales, comme suivant les tables, la tète. dAriès était 16 ans plus tard au point le plus boréal du petit cercle.

On peut consulter, si l’on veut, les différentes figures par lesquelles il explique la variation ; mais le commeniaire de Nouius est plus géométrique , et il donne la facilité de réduire eu équations toute celte théorie qui n’en vaut guère la peine.

Au total, le commentaire de Reinhold pourrait n’ètre pas inutile pour l’intelligence de plusieurs passages de la Syntaxe, et il supplée en partie aux réticences de Purbabh.

Pour terminer tout ce qui concerne la trépidation, voyons, sans consulter l’ordre des lems, le commentaire de INonius.

Cet opuscule porte pour titre :

In lheoricas G. Purin ch li annotaliones aliquot , per Pelrum Nonium salaciensem. Son objet est d’éclaircir ce qui lui paraîtra douteux ou obscur dans Purbach, et de montrer en quoi les Tables de Plolemée et d’Alphonse s’écartent des observations.

11 prend, dans la Table de Pitatus, l'intervalle de tems entre le solstice et les deux équinoxes; il en conclut l’excentricité à la manière d’Hipparque , en n’employant que les sinus. Il trouve 1 excentricité 0.03781 et 910 28' pour l’apogée; en recommençant ses calculs , je trouve 0.037807 et 910 3o'. Ce n’est pas tout-à-fuit l’apogée de Pitatus; il y a donc quelque incohérence dans les calculs des Alphonsins.

L’auge en i552 était en 91*28' suivant les Alphonsins ,

1420 ans auparavant en 65. 3o suivant Ptolémée,

Mouvemens en 1420 ans 25.58.

JSonius dit environ 26% et ce mouvement n’a pu être celui de la huitième Sphère, ni selon Ptolémée, ni selon les Alphonsins, ni selon Albategni.

Si vous préférez les observations d’Àlbategnius auxquelles Alphonse a du avoir égard pour établir son mouvement de la huitième sphère, vous aurez , d’après Alphonse, 88.40

suivant Albategni. . . 82**7

mouvement en 377 ans . 6.23,

et vous trouverez à la huitième sphère un mouvement plus lent, soit que vous suiviez le calcul d’Alpbonse, ou les observations d Alhategm.

Si vous comparez les étoiles d’Alphonse a celles dÀlbategni, vous ne trouverez que 5° 38' et non 6° 23'. Ainsi les Alphousins ne pourront expliquer pourquoi ils donnent à l’auge du Soleil le meme mouvement qu’à la huitième sphère.

Il n’est pas moins étonnant qu’Alphonse ait placé l’auge du Soleil en fj 2° au tems de J.-C., tandis que Ptolémée , i32 ans plus tard, ne l’a mise qu’en 65° 30'.

Vous trouverez aussi peu d’accord entre Arzacbel et Albategni; car celui-ci plaçait l’aug^en 82°, et Arzacbel, venu après, la plaçait en 77 • Ce peu d’accord, dit Nonius, peut venir de la difficulté de déterminer le moment du solstice; il est plus sûr de déterminer l’auge par l’équinoxe.

On voit, par ces détails, et c’est ce qui nous les a fait transcrire, quelle incertitude régnait alors dans un des points fondamentaux de la science, et le peu de fonds qu’on peut faire sur les théories de ce tems.

Nonius nous dit ensuite que si le mouvement vrai a paru égal au mouvement moyen entre deux observations , on en peut conclure que le mouvement moyen aura eu lieu dans le milieu de 1 intervalle. En eftet, dans les théories d’alors

v z=m -j-esin A ) , , f/., tN ,a, , n

sinA'j P P5=OT esini(A — A)cosT(A + A).

Mais si v — i/=m' — m , on en conclut 2sin-j(A' — A)cosj(A'-f-A)=o, ou sin£(À' — A) ne peut être o; donc cos £ (A' -f- A) = o *, doue .1 (A'-f- A) = 90% ce qui est le lieu du moyen mouvement.

11 résulte de là que si vous prenez deux longitudes quelconques également éloignées de 90% que l’une soit (90 — x)y et I autre (90° -{- a;) , vous aurez, eu désignant l’apogée par la lettre A,

90 r=m 11(90 x A) | ar==m'. — m-f-2esin;(qo-px — 90°-4-.r)coSi(i8o— 2A) 90-px=m'+esin(30+jr— A) J

—m — m — 2esin|-(Qx)cosi(t8o — 9,A)z=.m' — m.

Nonius démontre ces remarques curieuses d’une manière synthétique un peu longue.

A l’article de la Lune, il appelle équation du centre l’arc de 1 épicycle entre l’auge vraie et l’auge moyenne. 11 détermine le point où cette équation <*st ia pius grande. UOus avons, dans nos remarques sur Ptolémée, donné la formule de cette équation.

Nonîus ne donne qu’une solution graphique dont la démonstration est fort longue; le tout revient au procédé et aux formules suivantes:

Soit F le centre du zodiaque ( fig. 57) et le lieu de la Terre; E le centre de l’excentrique CRV, AEC la ligne de l’apogée, R le centre de l’épicycle, G le centre de direction; GR sera la ligne de l’apogée moyen de l’épicycle , FR la ligne de l’apogée apparent, FRG l’angle de correction d’anomalie. Parles points FGR, décrivez un cercle dont le centre sera nécessairement sur la ligne TR perpendiculaire sur le milieu de FG ; si R est le centre du cercle, vous aurez RG=RF=RR ; puisque ce sont trois rayons du même cercle. FRG=ïarcFG==îjfFRG=FRT; je dis que dans ce cas, FRG sera un maximum , ou le plus grand possible.

FE=FG=^=sin£, ER=i, FT=ie, soit RF =/• et TR==r, KF=RT-|-FT,9 K^(H-Î «)&■-- i«) >

mais

ER=ER — RR=ER — r=(i — r); donc RE=? i ■— ar-f-r* ?=/•*-}- ae*;

donc

r=î — <?*=si n*45 — sin*é=si n (45 — «)si n(45-H) = si n45 — g)cos(45 — «) s=^sin(90° — 2 )=3C0S2€=sin27°i i'io'—o .456882 ,

. T7. . FT isini sin * • .

smFKT=smR=iCp=r^=--=sin i3 8 6 ,

c’est le maximum ; AFR = i o3° 8' 6".

ER =TI — r = sin go° — sin r= 2 si n i (90 — r) cos \ (90 + r)

= asin(45 — {r) sin (45 — \ r)=asin*(45 — îr)=2sin'(45*— 13°35'35#) = 2sin*3i°24,25"=o.543i2 ,

EKicosR :: ae:sinERG=

ae cos R

2,ln,C05,3;|i'=sm48-7'36"

' EK 2sin‘3i"Q4' =

:RRG4-K.GR=2RGR, KGR= 24“ 3' 48* FRG = i3. 8. 6

KFR=ERF= io.55.43

El’ G — 76.51.54

RFG= 65.56.17 AFR =114. 3.4»

AFR = 1 14° 3' 4&* est le lieu du maximum , qui répond ainsi à. .... .

2(C — 0)=n4°3'48", ou à (C — 0) = 57*i,54,#,

Ce qui s’accorde parfaitement avec la table que j’ai calculée dans mon extrait de Ptolëme'e, tom. Il , pag. 204.

La solution de Nouius est donc démontrée par le fait.

Supposez une valeur plus grande à 7% ER augmentera ainsi que RG; ER-j-RG sera >ER; le cercle coupera donc l'excentrique en deux points. Le rayon RG étant augmenté et la corde FG demeurant la même, l’arc FG sera diminué; l’angle à la circonférence FRG qui s’appuie sur cetle corde, et qui a pour mesure la moitié de l’arc FG, sera donc diminué pour l’un comme pour l’autre des deux points d’intersection R. Les deux angles en R seront égaux, puisqu’ils sont tous deux à la circonférence, et s’appuient sur la même corde; mais ces angles seront plus petits que l’angle qui a lieu , lorsque les points d’intersection se réunissent en un seul. Ce point unique est donc celui du maximum pour l’angle FRG.

Plus on augmentera 7*, plus l’angle FRG diminuera. D’une autre part, on ne peut diminuer^, car alors le cercle mené par les deux points F et G n’atteindrait plus l’excentrique.

La solution de Nonius occupe onze pages in-folio. Nos quatre formules sont renfermées implicitement dans sa construction, et rendent tout le reste inutile. Le problème n’a plus d’objet aujourd’hui ; nous n’avons plus aucun intérêt à déterminer le point de la circonférence qui voit sous le plus grand angle une portion donnée d’un diamètre. Mais, comme question de maximum , il est d’autant plus curieux que le Calcul différentiel ne peut s’y appliquer d’une manière commode, vu la quantité de variables qui entrent dans l’expression de langFRG.

Nonius avait commencé par réfuter une idée de Jean Baptiste, ancien commentateur de Ptolémée; cet auteur nous est inconnu. Plolémée s’était contenté de dire que le maximum était un peu au-dessus de la perpendiculaire, et sa table rendait à cet égard toute explication inutile.

Nonius passe ensuite aux planètes supérieures; il fait quelques remarques sur les axes des excentriques et de l’écliptique qui s’enlrecoupent pour Mars seulement et nullement pour les autres planètes. Cette remarque ne peut concerner que les commentateurs, car Ptolémée ne statue rien sur les distances.

Plus ^0,n, il démontre une erreur de Purbach sur le point pour lequel calculées les équations du centre , et auquel répond le zéro des p es proportionnelles. 11 fait voir que dans l’hypothèse de Vénus, le

cenlre de Fé pi cycle n’esl pas toujours exactement dans la meme ligne que le lieu moyen du Soleil; mais la différence est légère et on la néglige.

A propos des déclinaisons et des latitudes des étoiles, il renvoie au chapitre IY de son livre des observations et des instrumens, où il parle

aussi de la trépidation. ^

Après ce que nous avons dit sur cet article ,11 ne nous reste qn a donner les formules qui résultent de sa construction, à laquelle n tus n avons fait que de légers changemens.

Soit (fig. 56 ) 0 T % l’écliptique fixe, ErQ l’équateur, A le point équinoxiaf moyen, fl le point équinoxial mobile qui parcourt son petit cercle d’un mouvement continu , de A' en a,d ; de sorte que jamais il ne se trouve dans l’équateur, si ce n’est dans les points opposés .z et

r dad! l’écliptique mobile.

Supposons que ce pointait parcouru Tare A'a = m; le colure aura pris la position pap\ l'écliptique coupera l'équateur au point L, et l'angle

en L sera l’obliquité apparente.

Le triangle rectangle flYK donne

sin aK = sin d = sin A a sin ab = sin r cos m .

tang AR = tang A a cos ab = tang ;• sin m .

cot A«R = cos Aa tanga^=cosr cot/7i ou tangAaL = cos/’COtw. .

Le triaDgle TL d' donne ^

cos TL d' = cos T d sin d' sia d\ TL — cos d' cos dTL ,

ou

cosL=cos^cos^TL-sin^sin^TLcoST<3?'=cosrfcos^-siiWsina)sinAR.(4),

sin L t sin r.' :: sindtsin rL = = siu AL . (5),

sioL:cosAK::slnrfAL:sin<fL=coSflL = ^p-‘ . (6),

mais aL étant un petit arc, le cosinus ne donnera pas assez de précision. Le triangle LA a donne

. , . . T sin r sin (qo° — * -f- sin rcos (» —

sinL:sinAa::sinLAa:sinaL= - -r^ - - ÜHX

nous aurions de même

sin r sin AaL

k T sin r sin aol

sin LT sin ri: sin a: sin AL — .

. , v , cot AaL sin (90 — «1 -f- m)

cot AL = cot r cos (90 - a, + m) H - - ^7- -

. . » cot AaL cos ( « — m)

=5 cot r sm (ai — m) -1- — - — — — * .

sia r

aînsile problème est complètement résolu de la manière la plus generale.

INous connaîtrons «K. = platitude du point mobile sur l’ecliplique

fixe ( formule i ). '

AK = D d, correction des points solsliliaux et équinoxiaux sur 1 écliptique fixe ( formule 2).

Artla = angle de An avec l'écliptique mobile ( formule 3 ).

L v- obliquité apparente de l’écliptique ( formule 4).

AL = arc de 1 equateur entre l’équinoxe moyen et 1 equinoxe appa¬

rent ( 8 et 9). ,

nL = dist. du point mobile à 1 equinoxe apparent sur 1 echptique

mobile ( form. 6 et 7 ).

La table suivante suppose le zéro à la partie supérieure du petit cercle , à la conjonction de la tète d’Ariès de l’écliptique mobile avec celle de l’écliptique- Le point a est pour lors à son plus grand éloignement en latitude au-dessus de l’écliptique fixe. Cette déclinaison va ensuite en diminuant, devient australe à 90“ jusqu’à 270", puis redevient boréale croissante.

AK qui vient ensuite, est l’éloignement ou l’arc de 1 écliptique entre le point A et le point mobile. Cette équation des points équinoxiaux et solstiliaux sur l’écliptique fixe, est additive dans ia première moitié, soustractive dans la seconde.

L’angle du rayon A a avec l’écliptique, est compté suivant l’ordre des signes; il commence par être droit, et va devenir obtus; quand ni — qo° cet angle = i8o°. 11 diminue ensuite, et il est toujours ouvert du côté de l’écliptique fixe, d’abord en dessous, puis en dessus. A .80- de m, il redevient droit ou de 90”, aigu et enfin » à 270% puis aigu; mais toujours ouvert vers les poiuls suivans fTT fl-.a. de 1 echptique fixe.

Ces trois colonnes au reste n’ont d’autre utilité qoe de servir au calcul des colonnes suivantes. La dernière donne l’obliquité apparente L qui commence par différer peu du maximum. Elle augmente jusque vers 2V A, diminue jusqu’à 1 i3*4o', augmente jusqu’à 205.40, diminue jusqu’à 2i3”4o', d’où elle va augmentant jusqu’à la fin.

Nous avons supposé 23° 40' pour l’obliquité moyenne. Peu importe ; il s agit seulement de voir la marche de ces quantités.

aLou la distance du point mobile à l’équinoxe apparent sur 1 eclipliqufl mobile, va d abord en augmentant jusqu’à a5® /\o' 3 diminue jusqu à 1 1 ^ 4° >

où celle équation = o, Elle change de signe et va croissant jusqu’à 2o3#40,> diminuant jusqu’à agS'/fo', où elle est o; puis change de signe.

AL, ou la distance des deux équinoxes sur 1 équateur, suit une marche différente, va décroissant jusqu’à 90% où cette équation = 0; va en augmentant jusqu’à 180*, où elle est de nouveau au maximum ,* va diminuant jusqu’à 270% où elle est zéro; change de signe, et va croissant jusqu’à 36o°.

Les auteurs ont un peu varié sur les maxima , mais c est encore une chose assez peu importante.

Bailly, d’après Capuan , commentateur de Purbach , a donné une figure et une explication à peu près inintelligible de cette hypothèse.

Nonius fait AL = io° 45'; il suppose aa! perpendiculaire à x 7, lorsque /72 = o ou 180°; il dit que a L sera la plus grande équation de la huitième sphère, et cette équation a lieu 23° 40' plus loin; la ditïérence au reste n’est pas considérable, et Nonius savait bien qu’il commettait quelques petites inexactitudes. 11 a cru pouvoir se les permettre, et ses démonstrations, quoique assez longues, ne sont pas bien rigoureuses. M.dgie ces inexactitudes peu importantes, il est encore de tous les commentateurs de Purbach, celui qui était le plus géomètre et le plus soigneux; il est aussi le plus instructif.

Aux points x et y qui sont opposés diamétralement et sur l’équateur même , il ne s'en faut que de quelques secondes que 1 obliquité ne soit un minimum.

Régiomontan , dans son opuscule fundamenta operationum avait déjà remarqué la petite erreur que nous avons relevée ci-dessus, pag. 298, dans les Tables Alphonsines ; il avait indiqué des moyens exacts pour calculer dans l’hypothèse de Thébit, l’équation du point équinoxial sur l’écliptique et l’obliquité vraie L. Il y avait employé la Trigonométrie sphérique, mais sa solution était un peu moins complète que celle de Nonius , qui est elle-même fort améliorée dans la Table suivante.

Le mouvement de A' en a (fig. 56) est direct pour le point équinoxial; mais en faisant avancer l’équinoxe, il diminue les longitudes et fait 1 effet d’un mouvement rétrograde ; dans la partie inférieure , le mouvement est vraiment rétrograde. Mais l’équinoxe en rétrogradant augmente toutes les longitudes. Alpétrage avait déjà fait cette remarque, mais il ne l’avait pas suffisamment expliquée.

TABLE DE TREPIDATION.

Retournons à Purbach. A la suite des cinq livres des triangles par Régiomontan, on trouve un petit écrit où Purbach commente les propositions de Ptolémée sur les cordes. 11 définit les sinus, les sinus verses, la corde, l’arc et le kardaga, arc de i5° ou d une heure équinoxiale. Il

suppose le rapport du diamètre à la circonférence = g-- ^ a , c’esfr celui que suppose aussi Ptolémée.

Les Indiens disent que si l’on savait tirer la racine des carrés imparfaits, on aurait facilement ce rapport.

Selon eux, si le diamètre est i , la circonférence sera la racine de 10 ou 5. 162205 ; ce rapport est trop fort. Si le diamètre est 2, la circonférence sera la racine de 4° ou 5.1620, encore trop fort. Les Indiens n’étaient donc pas fort avancés.

Purbach prouve d’abord que le sinus de 3o° ou de deux kardagues , est 1; il calcule le sinus de 6o°, le sinus de 45*, le sinus verse de 3o° et le sinus de 1 5° = ^ (sin 3o° -f- sin verse de 3o) ;

sin 3o° — sin i5°= sin kardague ,2e = 2 sin 7°3o' cos 22°3o' == 2 sin 703o'sin 67° 3o' sin 4 5 — sin 3o = sin kardague 3* = 2 sin y.3o cos 37. 3o =2 sin 7.30 sin 52. 3o

sin 60 — sin 45 = sin kardague 4* = 2 sin 7 3o cos 52. 3o = a sin 7«3o sin 37. 3o

sin 75 — sin Go = sin kardague 5e = 2 sin 7.30 cos 67.30 =2 sin 7.30 sin 22. 3o

sin 30 — sin y 5 = sin kardague 6e = 2 sin 7.30 cos 82. 3o =2 310*7. 3o.

De ces diverses quantités, il déduit les sinus de tout le quart de cercle de 3° 45' en 3° 45', ce qui ressemble fort aux sinus des Indiens ( voyez les Mémoires de Calcutta').

Purbach ne dit pas à quoi servent ces sinus des kardagues ire, 2e, 3e, etc.^ qui ne sont dans le fait que des différences de sinus. Il nous avertit seulement que tout cela est tiré d’Arzachel.

Purbach avait construit des tables de sinus pour tout le quart de cercle, mais de io en io' seulement. Régiomor.tan , son disciple, les étendit à toutes les minutes. Leur rayon était de 6000000.

Les théorèmes dont ce dernier fait usage pour cette construction sont

cos* A = 1 — sin* A,

2 sin* 7 A = sin v. A = 1 — COS A ,

(sin A — sin B)* -f- (cos B — cos A)* = 4 sin* i (A. — B) ,

théorème curieux qui se démontre par le développement

[2 sin i ( A — B) cos HA 4- B)]1 H- [2 sin9 j (A — B) sin i (A -f- B)]* =4sm“i(A — B) [cos*f(A-}-B)-f-sin9]-(A-j-B)]=4siQ9i(A — B).

11 le démontre par une figure très simple et facile à imaginer.

PURBACH ET SANTBECH. a83

Ainsi , avec sin 36® et sin 54° et sin 5o®, qui sont connus, il a les sinus 24®, 12®, 6®, 3®, i“, 3o'; leurs cosinus, les sipus de leurs mot tes, des complémens de ces moitiés et ainsi de suite; il a ainsi tous les sinus de 45 en 45'. Arzachel s’était arrêté, comme les Indiens, au sinus de 5" 45', et s’était contenté d’ajouter qu’on arriverait ainsi jusqu’aux plus petites portions de la circonférence.

H prouve ensuite ce théorème de Théon, que si les arcs croissent également, les sinus croîtront inégalement et en moindre raison; d’où il conclut que si l’on prend pour le sinus de i°3o', le double du sinus de 45', 011 aura un sinus trop grand ; mais que si on fait le sin de i° 3o j sin 5 , on aura un sinus trop petit. Mais si ces sinus ne diffèrent que de deux parties, en prenant le milieu arithmétique, on aura un sinus suffisamment exact.

On pourra interpoler ensuite les sinus de i5 en i5', en prenant le tiers delà différence pour 45', et en les faisant un peu décroître. Vous partagerez en trois parties les différences pour i5', et vous aurez tous les sinus de 5 en 5'; enfin en partageant ces différences en cinq parties, vous aurez les sinus de minute en minute.

Dans un écrit de Santbech qui vient ensuite, on voit expliquée par une figure la manière publiée par Erasme Reinhold , pour observer les éclipses de Soleil. 11 cite les commentaires de cet astronome sur les théoriques de Purbach. Celte méthode consiste à recevoir l’image du Soleil sur un carton, dans une chambre obscure. On dessine sur ce carton le disque du Soleil avant le commencement de l’éclipse. Au milieu de l’éclipse, on mesure la largeur de la partie qui reste éclairée; il faut observer que le carton soit toujours à même distance du trou rond. C'est ainsi que Gemma Frisius observa l’éclipse du Soleil de janvier i544, à Louvain, le 9 des calendes , 8* 53' du matin plus ou moins. A la page 126, dans Fexplication des ombres droite et verse, Santbech divise uu sinus par un cosinus, sans dire que ce rapport soit une tangente. 11 n’est pas plus avancé à cet égard que les Grées , et moins que les Arabes et que Purbach lui-même, dont il va rapporter les idées (fig. 58).

A la page i33, il expl^ue le gnomon de Purbach; c’est un triangle isoscèle rectangle, l’angle A est de qo°; les deux autres de 4^°»

CA est partagé en 1200 parties, parce que les anciens divisaient leurs gnomons en douze doigts. Soient DA = 600 , FA = 4005 demande les angles DBA, FBA. Purbach a donné une table de ces angles pour toutes les longueurs de FA; c’est une table inverse des tangentesi cs

tangentes croissent également, et l’on trouve, clans la seconde colonne, l’angle auquel elles appartiennent. Ainsi, toutes les fois que vous voudrez; connaître l’angle d’un triangle rectangle par ses deux côtés, sans connaître l’hypoténuse , vous direz le grand côté : petit côté :: 1200 : quatrième terme, avec lequel vous trouverez dans la table l’angle cherché. Voilà ce que les Arabes avaient fait long-tems avant Purbach ; ils avaient même composé des tables où l’on trouvait la tangente à côté de l’arc qui servait d’argument, et d’autres dans le genre de celle de Purbach. L’idée de ces tables est clairement exprimée dans Albategnius, où^urbach a pu la prendre. E11 rapportant celle de Purbach, Santbech dit expressément qu’elle est recommandable pour ses usages dans la Trigonométrie, pour la facilité avec laquelle elle fait trouver des angles qu’on trouverait avec beaucoup de peine par les tables ordinaires de sinus.

Régiomontan a depuis, d’après cette même idée, fait une table des tangentes pour tous les degrés du quart de cercle. Il l’appelle Table féconde ; cependant il n’en fait guère d’autre usage que celui de calculer le sinus de la différence ascensionnelle. Ce sinus = lang déclin, tang hauteur du pôle ; il suffisait donc de multiplier l’un par l’autre les deux nombres pris dans la Table féconde , pour avoir le sinus de la différence ascensionnelle. Nous avons vu qu’Ebn Jounis faisait usage des tangentes, pour chercher des arcs subsidiaires, et qu’AboulWéfa les avait réellement introduites dans les calculs Irigonomélriques; mais il paraît que leurs ouvrages n’avaient pas pénétré en Europe.

La Table féconde de Régiomontan a été étendue par Reinhold à toutes les minutes du quart de cercle. Rhéticus l’a étendue a toutes les dixaines de secondes; il y a joint la Table des sécantes, imaginée, dit-on, par Maurolycus , et c’est depuis Rhéticus que ces Tables ont été véritablement fécondes et très fécondes; car entre les mains de Purbach , elles ne servaient guère que pour la Gnomonique. Régiomontan lui-même paraît n’en avoir pas senti les avantages, puisqu’il n’en fait pas la moindre mention dans sa Trigonométrie. Remarquons encore que le nom de tangentes n'a été employé ni par Purbach , ni par Régiomontan, ni par les Arabes. Ceux-ci, à raison de leur origine, les désignaient par le mot ombres, parce que toute ombre est la tangente de la distance du Soleil au zénit du plan sur lequel on a établi un gnomon perpendiculaire ou style droit.

Il nous reste à parler d’un ouvrage commencé par Purbach , et terminé par son disciple Régiomontan. Il a pour litre :

PURBACH ET RÉGIOMONTAN. ^85

Joannis de Monte Regio et Georgii Purbachii epitome in C. Plolemœi magnam Composilionem , continens propositiones et annotaliones quibus totum Alniageslum , quod sua dijficultate etiam doctioiem , mgemoque pvœstantiore lectorem deterrere consueveral , dilucidâ et brève doc tri nâ , ita declaratur et exponitur , ut tnediocri quoque indole et eruditiorie prcediti s me negotio intelligere possint. Basileœ , apud H enneum Petruni, i543.

L’auteur, dans sa Préface, se plaint du peu d’encouragement que reçoit l’Astronomie, de l’esprit d’avarice qui fait qu’on s’applique à des professions moins ingrates ; il avoue cependant que la ditTiculté d’entendre les auteurs anciens, peut effrayer et écarter les lecteurs rebutés du style barbare des traducteurs. Ptolémée qui, dans la langue, a le mérite de la clarté et de l’élocution, ne se reconnaîtrait pas lui-même dans les traductions latines qu’on a données de sa grande Composition. 11 nous apprend que Bessarion en avait commencé une nouvelle version; mais les missions politiques dont il fut chargé l’empêchèrent d'exécuter son projet; il s’était adressé à Purbach pour en donner du moins un extrait plus exact et plus intelligible. Purbach n’en put composer que les six premiers livres; il fut enlevé par une mort prématurée à l’âge de 39 ans.' Il chargea en mourant son disciple Régiomontan de terminer l’ouvrage.

Après le commentaire que nous avons donné sur la Syntaxe mathématique, il nous sera permis de glisser légèrement sur l'extrait de Purbach. Nous n’en prendrons que les choses qui pourraient appartenir aux abréviateurs. Ainsi, à l'article de la double obliquité que Ptolémée faisait de 470 42' 4°", Purbach dit qu’il n’a trouvé que 65°6' — i80io'=46056'; d’où il conclut l’obliquité de 23° 28' pour son teins. 11 ne dit pas si l’obliquité diminue, ou si Ptolémée s’est trompé dans son observation, qui n’est que celle d’Eratoslhène.

Bans ses démonstrations, il substitue les sinus aux cordes.

A la proposition 9' du second livre, il démontre que si l’on a mesuré 1 ombre d’un gnomon, on aura cette proportion

sin hauteur : cos hauteur :: gnomon : ombre = — °n^ ' ;

° sin hauteur. 7

c’était le cas d'ajouter = gnomon cot hauteur. A cette proposition, il ajoute la définition de l’ombre verse, projetée sur un mur vertical par un gnomon horizontal, et qui serait la tangente de la hauteur, ^^proposition 22, quand il cherche le sinus de la différence aseenn® e> il emploie encore les sinus et les cosinus; ainsi Régiomontan

i: . , enco,'e trouvé sa Table féconde qui simplifie l’opération et 1 abrégé de moitié.

On est étonné que des auteurs qui lisaient Plolémée dans sa langue, écrivent sans cesse Hyparque au lieu dTlipparque, comme a fait depuis Bailly, qu’ils ont peut-être induit en erreur. A l’occasion de la longueur de l’année, il rapporte l’observation d’Albalegni et les conséquences qu’il en a tirées. Il dit aussi un mot de la trépidation de Thébith, et nous apprend que, dans celte hypothèse, il déterminait l’année sidérale de 565^ 6* 9' 12', ce qui est bien plus exact que les calculs de ses prédécesseurs.

A 1 article de l’excentricité du Soleil et de son apogee, outre les calculs d’Albategni , il rapporte aussi ceux d’Arzachel qui, sans rien changer à l’excentricité, quoiqu’il eût changé le moyen mouvement , trouvait 12° io' entre le point solsiilial et l’apogée, ce qui lui paraît étrange, vu qu’Arzachel est venu 193 ans après Albategni.

Pour expliquer ce mouvement rétrograde de 1 apogée, Arzachel le faisait tourner dans un petit cercle. Au lieu d'employer les équinoxes cl les solstices, Arzachel imagina d’observer les points intermédiaires. Nous trouverons cette méthode expliquée dans le livre de Nonius. Purbacli y substitua l’entrée du Soleil dans les deux signes voisins des équinoxes.

Ensuite résolvant le problème d’un manière plus générale , il suppose 3 lieux quelconques observés avec les intervalles des teins; il en conclut l’excentricité et le lieu de l’apogée; il avertit que la solution est pénible; mais on peut la simplifier, en la ramenant à des formules générales. Soit D la terre, F le centre de l’excentrique, A , B, C, les trois lieux observés. FK = le rayon de l’excentrique ( fig. 59).

On connaît les arcs AB, BC, AC, et par conséquent leurs cordes ouïes sinus de leurs moitiés; on a l'angle BAC = iBC, BCA=-jAB,

JLJ*tC = ^8o0 5 AB — ^BC. Dans le quadrilatère ADGB, on aies deux

angles ABC, ADC ; on connaît la somme des deux autres, il reste à connaître leur différence.

J’en ai donné le moyen dans la solution du problème dTlipparque pour l’excentricité de la Lune. Quand on a les angles avec deux côtés AB , BC , et l’une des diagonales du quadrilatère, on a les deux autres côtés DA , DC et l’autre diagonale BD. Dans le triangle isoscèle BFC , vous avez

gçp-.-go -fBC; vous aurez FCD=BCD — BCF =BCD-f-7BC — 90° ;

avec les côtés CF et CD et l’angle compris, vous calculerez les deux autres angles CFD = CFN=i8o° — RFC, le lieu R de l’apogée ou de N périgée, et enfin DF = excentricité.