CIE-|-CID=A'+B'=B AC+ABC

donc

7(CIE — CID)=Î(BAC — ABC); donc CIE — C1D= BAC— ABC ,

donc 2CIE =2BAC et CIE=BAC ,

donc 2CID =2ABC et CID=ABC*

90° — CID = BCI = 90° — ABC ; prolongez CI en F,

DC1 = BCF = 90* — ABC = 90* — FBC ; donc BCF -f FBC = 90°; donc BFC = go°; donc CF est la troisième perpendiculaire.

On peut varier ces démonstrations de plusieurs manières, mais toutes trigonométriques; elles emploient toutes des tangentes. La démonstration de Régiomontan n’était donc aucune des précédentes. En voici une qui n’emploie aucune formule trigonométrique.

La perpendiculaire IF du triangle BIA donne

(AF 4- FB) (AF — FB) = (AI -h BI) (AI — BI) ;

c’est un théorème de Ptolémée.

Ou

AF — FB = ÂL — ~BI= (ÂË+lE) — (BD+DÏ) =ÂE 4-ÏË— BD— DÎ* = ÂË 4-CÏ — CE— BD— CI*-f- CD= ÂË — CË+ CD — BD* =(CDa— BD) — (CE — ÂË) = (TC— ÂB) — (BC— AB)