Livre III. Trigonométrie sphérique
Tout ce troisième livre est dans le genre de Théodose ou de Ménélaüs. 11 serait difficile de décider, d’après ce livre entier et le commencement du quatrième, si Régiomonlan était plus avancé que les Grecs.
Les théorèmes 5, 6, 7, 8, donnent les règles connues pour l'espèce des angles. Ces règles n’ont point été données par les Grecs; elles sont peut-être de Régiomontan.
Théorème 9. Si un triangle a ses trois angles aigus, il aura les trois côtés de même :
cos A" -f- cos A cos A' = cos C" sin A sin A'; cette formule moderne sert à démontrer ce théorème , qu’elle rend à peu près inutile.
Théorème 12. Si un triangle a sur la base deux angles aigus, le côté opposé au petit angle sera aigu. La démonstration de l'auteur est fort simple; sur la base élevez deux arcs perpendiculaires qui se réuniront à son pôle. Ces deux arcs enfermeront le triangle ; donc les deux autres côtés formeront une somme moindre que de 1800; ainsi l'un des côtés sera nécessairement au-dessous de 1800.
Dans la formule cotC" = --n 'Vc°' — -f- cos A' cot C , le premier terme est nécessairement positif, si A" <90*;. si de plus A' > A", ce terme positif est le plus grand des deux, car -Aç > cot C et sin A' cot A"
— sm A' cos - > COS A" et cos A" > cos A'; ainsi, quel que puisse être
sin A
C, aigu ou obtus, C" est aigu.
Théorème i3. Si les deux angles à la base sont obtus, le côté opposé au plus grand angle surpasse 90°. En effet, les deux termes de la formule seront négatifs et C " obtus, dans le cas où C est aigu. S’il est obtus,
nous aurons > 1 , car sin A' sera plus grand que sin A",
• T» ^~~r > c°t C et cos A" > cos A'.
ein A sm C ^
Régiomontan le démontre par les deux perpendiculaires qui , dans ce cas, se réuniront dans l’intérieur du triangle.
Régiomontan demande de l’indulgence pour la longueur et l'obscurité de son i5e théorème, qui n’est rien au fond que l’expression sin déclin. = sin obliquité- sin longitude.
UÉGIOMONTAN. 3o9
Le théorème 16 est la formule ^ qui était connue
des Grecs j la démonstration tient trois pages et emploie trois figures.
Théorème 18. cos A' = sin A cos C'; c’est un des deux théorèmes des triangles rectangles qui étaient inconnus aux Grecs et aux Arabes jusqu’à Géber. La démonstration, quoique très-longue, est cependant curieuse, en ce qu'on y voit les triangles complémentaires qui se trouvent bien au moins implicitement dans les figures de Ptolémée, mais dont il n’avait pas su tirer tout le parti possible.
Le théorème 19, cos C” = cosC cos C' était connu depuis long-tems. Régiomontan se félicite de sa démonstration qui est simple, au lieu que l’ancienne considérait trois cas differens.
Théorème 20. Dans tout triangle partagé par une perpendiculaire en deux rectangles, les sinus des angles verticaux sont entre eux comme les cosinus des angles à la base. C’est un corollaire fort simple du théorème 18. La démonstration est longue, et l’auleur y emploie deux triangles complémentaires dont on n’a fait depuis aucun usage, et qui étaient inutiles.
Les théorèmes 21 , 22 , 2*3, 24, avaient été donnés par Ptolémée, dont les démonstrations étaient même plus simples ; Régiomontan a la bonne foi d'en convenir.
Dans ses règles pour les triangles rectangles, il n’emploie que les sinus et les cosinus; il est un peu plus avancé que les Grecs, puisqu’il avait son théorème 18; mais il ignorait toutes les formules dans lesquelles il entre des tangentes; il est souvent obligé de faire deux analogies au lieu d’une qui nous suffit toujours.
Théorème 28. Connaissant deux côtés et l’angle compris, trouver le reste. 11 abaisse la perpendiculaire , il la calcule aussi bien que le segment, et trouve le reste par les sinus elles cosinus.
Théorème 29 et 3o. Deux côtés et un angle opposé ne suffisent pas pour trouver le reste; il faut de plus savoir si la perpendiculaire tombe en dedans ou en dehors. 11 calcule la perpendiculaire et les segmens.
Théorème 3 1. Deux angles étant donnés sur un côté connu , il calcule de même la perpendiculaire dont nous savons aujourd’hui nous passer, et les segmens qui suffisent toujours.
Théorème 32 : il est pour les angles ce que le 5o* est pour les côtés.
Théorème 35. Les trois angles donnés, trouver les trois côtés. Les sinus des angles verticaux sont comme les cosinus des angles à la base.;
3io ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
on a la raison des sinus et la somme des deux angles ; on peut donc connaître ces deux angles.
On a beaucoup mieux aujourd’hui.
Théorème 34. Les trois côtés étant connus, trouver les trois angles ; la solution emploie six figures et tient trois pages. La démonstration , quoique longue, est facile; il réduit le problème à trouver l’angle au centre de la sphère entre deux lignes dont il donne les expressions; ainsi il substitue un triangle plan à un triangle sphérique; c’est une projection orthographique qui n’est pas l’analemme; sa règle n’est ni celle de Ptoléniéc, ni celle des Arabes, qui donnaient l’équivalent de la formule moderne. .
An COS C" COS C COS C'
sm C sinL
Ce quatrième livre renferme une Trigonométrie complète en son genre, différente à beaucoup d’égards de celle des Grecs, et plus commode, maigre les simplifications qu’il n’a pas trouvées. L’auteur paraît avoir fait tout ce qui était possible, quand on n’avait aucune idée des tangentes; mais il en avait la table, il l’avait appelée féconde , et il n’en a pas vu les usages. On ne peut cependant lui refuser de la sagacité et de l’attention. Le cinquième livre est le plus court.
Théorème 1 . Si deux triangles rectangles ont un angle commun, comme ABC et GBH, menez GN perpendiculaire sur AC (fig. 68); sinGN=sin AGsin A=sinPsinPG=sin HC cosGH= sin (BC — BH)cos GII
= sin (B A — BG) sin A = sin (B A — BG)
• 1 cos B ,
£ar *,nA = SSÂc« donc
sin (BA — BG) : sin (BC — BH) : : cos GH : : : cos GH cosAC : cos B ;
telle est au fond la démonstration de Régiomontan simplifiée.
Nous dirions aujourd’hui
lang BC = cos B tang AB, lang BH = cos B tang BG, tangBC lang BH=cosB (tang AB — tangBC)
sin (BC— BH) cos B sin (AB — BG)
cos BC cos BH cos AB cos BG *
sin (BC — BH) cos BC cos BH cos B cos B
sin (AB — BG) cos AB cos BG cos AC cÔTGÏÏ *
sin (Âi' — y&) cos obliquité
sin (L' — Lj cos D' cos D*
Ce théorème parait appartenir à Régiomontan ( voj. ci-dessus , p, 288. )
RÉGIOMONTAN. Su
Théorème 2. Dans tout triangle sphérique
sin y. A" ! sin v. CM — sin v. (C — G) 1 1 1 : sin C sin C' j
cette proposition est due aux Arabes. Elle se déduit facilement de la formule moderne.
Théorème 3. Les trois côtés étant donnés, trouver les trois angles. Il a résolu ce problème au livre 4j ^ y revient pour en donner une solution nouvelle.
Soit le triangle sealène ABC (fig. 69) dont les trois côtés sont connus. Prolongez AB et AC jusqu’à 90° en D et E ; du pôle A décrivez l’arc DEII, et prolongez BC jusqu’à la rencontre en H.
On demande
A = DE = DH — HE, ou HE = DH — DE.
Dans les deux triangles rectangles nous aurons
sin BD : sin CE : : sin BH : sin CH ;
le premier rapport est connu, le second lest donc aussi; on connaît BC = BH — HC , on aura donc BH et HC; avec HC et CE, on aura HE; IIB et BD donneront HD, et DE = DH — HE; ce qui se réduit, après les développemens, à trois analogies au lieu de deux qui suffisent actuellement.
Sur BC abaissez la perpendiculaire AF, prolongée jusqu’en G; elle y sera perpendiculaire, puisque A est le pôle de DE; les angles F et G sont donc de 90°, H sera le pôle deFG; iII=90=GH, FC=9o° CH; CH est le complément du premier segment FC; BH = 90°+ second segment. L’angle FHG est le complément de la perpendiculaire AF.
Ainsi Régiomontan , par sa construction, cherchait 1 équivalent d un segment de la base; H en concluait l'équivalent de l’autre segment: mais le calcul était plus long, parce qu’il n'avait pas de tangentes.
Mettez AB et AC au lieu de BD et CE dans l’analogie primitive; alors
cos AB : cos AC : : siu (BC -f* CH) : sin CH
:: sin BC cos CH -f- cos BC sin CH: sin CH :: sin BC cot CH -{- cos BC : 1 , sin BC col CH cos AC -f- cos AC cos BC = cos AB , sin BC cos AC cot CH = cos AB — cos AC cos BC ;
cot CH =
cos AB — COS AC cos BC
sin BC cos AC fcos AB— ros AC cos BC) 'tang AC
ou (multipliant par tang AC) = — “ ein BC sin AC *
cot CH = cos C tang AC ==. tang CF ;
la même construction donnera les trois cotés par les tiois angles. On auia
DBH == i8o° — ABC, ECU = ACB, cos (i8o° — ABC) = sin H cos DH , cos ACB = sin H cos EH , cos (180 — ABC) cosDB ___ oos (DE 4- EH) „
- - - - = - 5555 — cos EH
cos ACB
’ cos EH cos A cos EH — sin A sin EH
cos EH
cos EH
= cos A — sin A tang EH ;
sin EH
on aura doue EH et DH, sin EH = sin C sin CH, sinCH — on
aura CH ; sin BH = ; on aura BH et BH — CH = BC ,
EH = 900 — GE = go° — GAE = go° — FAC j Régiomonlan cherchait donc le complément du premier angle vertical; il en concluait le second. Celte construction est abandonnée; nous avorçs mieux»
On peut simplifier ces solutions eu y introduisant les tangentes sinBDlsinCE II sinBHlsinCH,
tangi(BD+CE):lang((BD— CE):: tangi(BH+CH) : tangKBH— ' CH) , langi(qo"— AB+90"— AC) : tang)(9o-— AB— 90+AC)
oAJ J : : tangi(BC+CH+CH) : tangJBC ,
tang (90* — -Ct— )•• langKAC— AE) :: tang (j BC + CH) : tang t BC
:: tang(BH — jBC):tang|BC, co4(AC-}-AB):tangï(AC — AB):: tang(BH — ^BC):tang|BC, tang (BH — j BC) = tang ) BC cot ; ( AC + AB) cot K AC — AB) cot (BH — i BC) = cot ! BC tang ( (AC + AB) tang j (AC — AB)
= tang 7 (jc — j). Jstr.y tome I, 17 1.
cos BH cos BH
On connaît BH et CH, BD et CE; on a cosDH —
