CH

Ptr c°s — cos-^ , sin C = , sin B

COS EH — cos ££ sjn AC 9 sin CH

^ PE — DH — EH, et les trois angles sont connus par cinq ana-

sin C =

sin EH

sin DH sin BH 1

RÉGIOMONTAN. 3i3

logies. Pour les côtés par les angles, daus les deux triangles rectangles en D et en E ,

siti H cos DH = cos DBH = — cos ABC = — cos B , sin H cos HE = cos C ,

— cosB:cosC :: cosDH :cosHE ,

— cosB-f-cosC :-4-cosB-f-cosC :: cosHE-f-cosDH:cosHE — cosDH, asiu j(B — C)sin^(B+C) I 2COs|(B — C)cos|(B-f-C)

:: 2cos^(DH+HE)cos^(HD — HE)*.2sin^(DH — HE)sinj(DH4-HE), col J(B-f-C)cot|(B — C)=tang^(DH-f-HE) tang~(DH — HE) , cot i(B+C)cot£(B—C) cot i A= tangKDH+HE)

= lang£ (DE-}-2HE)=tang(HE 4-ï A) , DII=A+HE=A+(HE+i A)— iA=iA+(HE+iA) sioBH= .

sin CH=^— ; BH — CH=BC, smBD=cosAB = lang DU cotDBII, sin CE = cos AC = cot C tangEH, cos H = tangDHcol BH ,

ainsi la solution de Régiomontan , sauf quelques modifications introduites par l’usage des tangentes, est la même au fond que la solution des modernes; il est vrai cependant de dire que la formule qui sert de fondement à ces solutions, et qui est de Néper, n’aurait jamais été trouvée, si l’on s’était borné, comme les Grecs et Régiomontan à prendre la somme ou la différence des termes de chaque rapport; il fallait prendre à la fois la somme et la différence.

En prolongeant les côtés , on change le triangle obliquangle en deux triangles rectangles qui ont un angle commun; luu des angles se change en son supplément , lautre reste le même ; l'autre se change en un arc qui lui sert de mesure; deux côtés se changent en leurs complemens, le troisième est la différence des deux hypoténuses ou des segmens de la base. Les angles verticaux se changent en deux arcs qui lesmesureut; la perpendiculaire se change en un angle qui en est le complément. Cette méthode est tombée dans l’oubli, mais elle était ingénieuse.

Problème 5. Étant donné les deux angles et la somme des côtés opposés, trouver le reste,

i, , sin À : sin À' :: sin C : sin C',

a ou 7

ï(A + A') : tang j (A — A') : : tang 1 (C -h C') : tang ^ (C — C>

Rcgiomontanus emploie un principe de Ptolémée qu’il a démontré

]l 'problème 6. Etant donnés les deux angles et la différence des deux cités, on trouvera la somme parla formule précédente. Régiomontan se sert encore d'un théorème de Ptolémee.

Problème 7. Si un arc divise en deux également 1 angle au sommet , les sinus des segmens de la base seront entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent 1 angle. Je ne me souviens pas davou ^u cette proposition chez les Grecs, mais ils avaient le théorème analogue pour les triangles rectilignes.

Problème 8. Si vous avez deux triangles rectangles ABC, DEC(fig. 70) quiaient l’angle h la base égal elconnu, et que la différence AD deshypoténuses soit égale à la différence BE des bases, vous pourrez en déduire tout le reste, si vous connaissez encore un côté quelconque.

Dans un opuscule intitulé Fundamenta Operationuni quœ per labulam généraient fiunt, Régiomontan s’est proposé ce problème, trouver les arcs de l’écliptique qui sont égaux à leurs arcs correspondans sur l’équateur

tang A — cos o> tang L j A __ A=COSa> (tangL' — tang L) ,

tang A = cos ca tang L J * ,

sin (A' — A) cos U cos A cos A" cos "

âüT(L' — L) cos L cos L' cos D cos D' 9

car cos L = cos A cos D, et cos L' = cos A' cos D'.

Régiomontan, au problème 1 du livre Y démontre synthétiquement

sin (A'— A) cos*

1 équation — cosD'cosD* .

g-iA, A = L' L, on a cos D cos D' = cos ca ; ainsi 1 un des cotés

£ jy __ ab étant connu, on aura l’autre; avec les deux décli¬

naisons on aura les deux longitudes et les deux ascensions droites. Si l’une des longitudes est connue, on aura l’une des deux déclinaisons, d’où l’on conclura l’autre, les deux longitudes et les deux ascensions droites. Eufin si l’une des deux ascensions droites est donnée, on aura la déclinaison correspondante, l’autre déclinaison , les deux longitudes et l’autre ascension droite.

Soient R et R' les deux réductions à l’équateur ,

A-=L'Ir'Î (A' — A)=(L' — L)— R' — R , R'-R=(I.'-L)-(A'-A)=o;

donc ^

RÉGIOMONTAN. 3‘5

t tangL — tang R .

lang (L — R) = cos a. tang L = r+tangLtangl > lang L — tang R = cos co tang L -f* cos co tang9 L tang R , tang L — cos co tang L = tang R 4* cos co tang* L tang R ,

t> tangL 2 s in1 i *tang Lfco^lL a^ina { a sia L cos L

tang n = - ■ , .... ■■«t = l /-r,c « sin1 1 .

i4-cos«tangaX — cos9 L + cos # sina L cosa L + sina L — 2 sin9 \ $> sin9 L sin9 >sinaL si°s i - sin aL

' /I— COS2LN 1 — sin9 ^*4- sin9 i* i— asin*>^ - - - )

tang9£* sinaL

cosaL

i -f- tang9 cos aL ’

c’est l’expression générale que j’ai donnée pour la réduction; mais si R = R', on a

tang9 J* sin aL' -‘j lang9 £ 0 sin aL

i q- tang1 1 m cos aL' sin aL'

i -f- tang9 0 cos 2Lj sin 2L

j | tang9 ^ 0 côs aL' 1 -f- tang9 ^ 0 cos 2L »

sin 2L'4~ lang9 \co sin 2L/ cos 2L = sin 2L/4“tang*Tû) sin 2L cos 2L', sin 2L' — sin 2L = — tang*^ «(sin 2L' cos 2L — sin 2L cos 2L/) ,

2 sin (L' — L) cos (L' 4- L) = — lang9 \ co sin (2L' — 2L)

= — 2 tang9 \ co sin (L/ — L) cos (L/ — L) , et cos (L/ + L) = — tang9 £ co cos (L/ — L) ;

cette expression nous permet de prendre pour (L' — L) une quantité arbitraire quelconque, et d’en déduire la valeur correspondante (L'4“L) et par suite L' et L. L' — L = o est la limite qu’on ne peut atteindre ; car, si L' = L, ou a de même D'=D et A' = A. Les deux poiuls où la réduction est égale n’eu font plus qu un seul; cest ce qui auive avec l’obliquité 25° 28', quand

cos(L'4-L) = — tang9 ^«==cos 92° 28' 20*, L'=L=46° 1// 10 »

i-cos(L'4-L)=2sin9j(L/4“L):=2sin9£L'=2siu9L=i4“lang*ïû>=séc9i« ,

sin L' = sin L =

séc > y/^

y/ a cos { 0

sin 45° cos l 0*

cos (L' 4- L) sera toujours une petite fraction; car

cos(L' 4-L)= — tang9 \ «cos(L' — L)=— sin 2^28' ao"cos (L7 — L) ,

k'4-L a pour limites 92“ 28' 20", et 87° 3i'.40,/; et dans l’autre moitié de 1 écliptique, 272° 28' 20'7, et 267° 3 1' 40". L' — L étaut donué, ou v°*1

comment on peut calculer une table des valeurs de (L' + L) qui , pour chaque supposition de (L' — L), donnerait les deux valeurs de L et de L', c’est-à-dire quatre nombres pour chaque supposition.

Si (L' — L) = go% cos (L' + L) = o = cos go*, L' = go» et L=o,

cos (L' + L) cos L'cosL— sinL'sin I. i —tangL' tangL — tang* I a — ^j7zrî7) = cmUcos L +-3inL'»ioL ~ r+taagL tangL»

. i -f tanga£ a i

d ou tang L tang L = 7^.taug»7- — ^ >

et cosatangL'=cotL=langA'; donc A'=90° — L, et L=90*— A', et cosa>tangL:=colL'=tangA; donc A = 9<>0 — L', et L'=go° — A,

f - , tans; A

L étant donné, on aura donc A' = go° — L, tangL, — cos-, > et

^ __QO* L'; on peut donc faire une table qui, pour chaque valeur de

I, donnera L', (L' — L) = (A' — A). J’avais calculé cette table, niais je l’ai supprimée comme peu utile. J’en avais fait une autre qui ,pour chaque valeur de (L' — L) = (A' — A)", donnait les deux valeurs de L/ et les

deux valeurs de L. , , .

Cette quadruple solution se trouve de même dans la formule de Regio-

montan cos D' = ^. D étant donné, on en conclut D'; mais D' appartient à V et à 180 — V ; supposez — D , vous aurez — D' qui appartient

à 180° 4- L' el 56o8 — L'. . , , ,

Régiomonlan, sans tangentes, ne pouva.t trouver ces heoremes qui sont certainement la partie la plus curieuse de son problème. 11 s est borné à l’équation cos D' eos D = cos a ; mais quand (L' — L) = o, on a L' = L et D'==D, cos D cos D' = cos* D = cos a> ; celle formule pourrait n’être pas assez précise dans la pratique. Mais .

asinaT« ^ c

sin*D = i — cos*D=i —cos &>= 2sin1£a>, et tang* D = Ces for¬

mules donneront plus d’exactitude. .

Quand Régiomonlan a calculé la déclinaison D qui a heu a la plus grande réduction, il décrit du pôle de l’équateur à la distance 90° D , le parallèle qui coupe î’écliplique au point de la plus grande réduction. Ce procédé pratique est simple; mais il est encore bien plus court et plus exact de calculer cos 2L=— tang* 70.

RÉGIOMONTAN. 5*7

Mais 2L = 180* — 2 A , L — A = R = réduction la plus grande , L = ç)o0 — A = go° — L-f-R, 2L=go° + R, L = 450H-ïR; ainsi la longitude L à la plus grande réduction R, est égale à 45°-+“îR* C’ascension droite qui en est le complément sera donc =45°— ^R* Ce sont les formules que j’ai données, il y a plus de 3o ans.

— tang* ~ co = cos 2L = sin R ; c’est encore la formule que j'ai donnée pour la plus graude réduction; prenez pour &> l’inclinaison d'une planète, et R sera la plus grande réduction à l’écliptique, et .

tangR = — ^5-^"sin— la réduction à l’écliptique; on aura donc en 53 1 H-tangaii»co3 2L 7 1 1

général

tang*i»sin2L fang* £ •» sin , tang6; «sin 6T.1

sin 3"

Le premier terme suffira ordinairement pour les planètes.

Le problème de Régiomontan , considéré plus généralement, peut s’exprimer ainsi : 'Trouver la relation entre les côtés d’un triangle sphérique , lorsque le troisième côté est égal à V angle opposé.

Dans ce cas, la formule devient sinC sinC' = cos û>; mais dans ce cas

aussi cos où = sinus perpendiculaire abaissée sur le troisième coté .

= sin P = sin C sin C' = sin Gsin A' = sinC' sin A ; A' et A étant alors

les deux angles sur la base, sin A = 4^-^ , sin A' = ; mais l’un des

0 7 sin C 7 sin C

deux angles peut être obtus. La solution est double ou même quadruple. Cette manière de considérer le problème mène exactement aux mêmes formules; il est inutile de la développer davantage.

La table générale dont il est question au problème 8, est construite sur la formule sin A = sinBsinC; elle est à deux entrées. Deux de ces arcs étant donnés, elle sert à trouver le troisième. L’auteur a donne en 58 articles la solution de plus de 60 problèmes d’Astronomie sphérique, qu’il résout par des opérations plus ou moins nombreuses; c’est une espèce de Trigonométrie par les sinus, sans mélange d’autres lignes. Nous retrouverons ailleurs ce qu’elle renferme de curieux. Problème 9. Connaissant (C — C'), sinC sinC', trouver C et C'.- Nous ferions

cos (C — C') = cos C cos C' -f- sin C sin C', cos (C — G') — sin C sin C' = cos C cos C'y

nous aurons donc cos C cos C',

cos (C •+■ C') = cos C cos C' — sin C sia C ; nous connaîtrons donc (C + C'),C et C'.

On voit par la solution de Régiomontan et par tout le reste de son livre, qu’il ne connaissait aucune des formules

sin (A d= B) s= sin A cos B ± cos A sin B , cos (A ± B) = cos A cos B ap sin A sin B ,

cependant ces formules sont dans Ptolémee. Régiomontan avait ^lK ' ' et commenté la Syntaxe mathématique ; on pourrait soupçonner qu il veut, dans ces divers problèmes, tirer tout de son propre londs, et ne rien devoir aux autres, (fîg. 70).

Problème 10. Si deux triangles ont un angle commun et connu C , que la différence AD des hypoténuses soit connue ainsi que la différence des bases, on trouvera tous les côtés. Nous aurons par ce qui précédé

sin (CB — CE) cas Cb cos CE

oosCsin (AC-CD) sin (CB -CE) coyBCco.CE - ^TAC^TCD ~ » Sin (AC — CD) cos C cos AC cos CD

Le premier membre est tout connu, le second est donc une quantité connue, ou pour abréger

sin BE sin AD cos C

cos BC cos CE cos BC cos CE . . * ^ ^ .

êôi AC cos CD “ " ce» BCcos AB . cos CE cos DE cos AB cos DE *

cos AD= cos P sin PA sin PD + cos PA cos PD

= cos BE cos AB cos DE 4- sin AB siu DE , . , , S daADcqlÇ , sia AB sin DE

par la formule(«) = cos J5L sin be ~

= cotBE sin AD cos C sin AB sin DE, cos AD — cot BE sin AD cos C = sin AB sin DE;

, , , 11» 1 sin AD cos C

ajoute* eos ABcos DE d un cote, et de 1 autre sa valeur — ,

co.BE.inADcosC .iaADc™Ç^ eQS Ag cos DE + sill AB si„ D£ COS AU— -T- sin BE

= cos (AB — DE) ,

,n p *t\ 1 a sin AD cos C sina \ BE

cos AD - ^ 1 & sin ~ BE cos i BE

==c os AD + sin AD cos C tang^BE = cos (AB — DE);

RÉGIOMONTAN. 5ig

vous aurez donc (AB — DE); mais, par son cosinus, ce qui peut n'èlre pas assez précis; au lieu de prendre la somme des deux équations, prenez-en la différence

ainADcosC j sin AD cos C cos BE

sin BE ' sin BE

= cos (AB -4- DE);

ain AD cos C.g cosa^BE 2, sin * BE cos j BE

-cos AD =cos AB cos DE — sin AB sinDE

2“4^(l+cosBE)-cosAD,

cos AD = sin AD cos C cot - BE — cos AD = cos (AB -H DE);

vous aurez donc pour l’écliptique

cos (D'-f- D) = cos a sin (L' — L) co t i (,4V — ,R) — cos (V — L) , cos(D' — D)=cos(L' — L)+cos&>sin(L' — L)tang j(JR/— AR.) ;

relations générales qui font trouver les déclinaisons par les différences de longitudes et d’ascensions droites , les ascensions droites par les différences de déclinaisons et de longitudes, enfin les lougitudes par les différences de déclinaison et d’ascension droite. La somme de ces deux

équations donne cosD' cos D= , qui se réduit à. . .

cos D' cos D = cos ça , quand (L' — L) = (AK — Ai) .

11 serait difficile de tirer ces relations générales delà solution plus embarrassée de Régiomontan.

Problème ii. Soit donné a= — ,.fl,51f »A, A==tano^A- on

sin A asin^Acus^A o 1 UIt

aura donc l are A par le rapport de son sinus verse à son sinus droit.

Au lieu de cette solution si simple , par les tangentes, ou même au lieu

de faire comme les Grecs 0= —7— et a* = — — - — ,-À-, Régiomontan

cos j a 1 — asm 7 A 0

prend de longs détours qui prouvent qu’il n’avait pas senti toute l’utilité des tangentes.

Problème 12. Si dans les équations du problème 10, vous prenez pour inconnue BE, vous la déterminerez en renversant nos formules. Régiomonlan, faute de tangentes, y emploie des sinus et des sinus verses et le calcul est bien plus pénible.

Problème i5. Connaissant (C — C') et (sinC — sin C'), faites

sin (C — C') = 2 sin ± (C — C') cos { (C — C'), b = siu G — sin C' = 2 sin ± (C — C') cos *(C-f- C') ,•

a cos | {C — C')

vous aurez j = ~i(C + <r) ,

COS ï (C + C') = COS V (C — C') — Vin (C— C') cos * (*"

„ cos ^ (C — C/) j(sinC — sinC)

= (sin C — sjn C ) a5j„T(C C>03 CC— C') — sln^C-C) ’

Regiomontanus prend de longs détours, mais ici ce n’est pas pour éviter

les tangentes. . ,

Problème 14. Il démontre d’une manière nouvelle, et qui n est pas plus facile, le théorème cos A'=cos C' sin A qu'il a démontré plus haut par les triangles complémentaires. Nous avons vu que Géber est 1 auteur de ce théorème très utile et qui manquait aux Grecs.

Problème i5. Circonscrire un cercle à un triangle spbénque donne. Des trois cordes seront aiin*C, asiniC', asiniC"; cherchez les trois angles , vous aurez rsin^A=sin^C, rsin^A' — sin^C , rsinaA sin . ,

vous aurez trois formules pour trouver la distance polaire A, en faisant sin i C sin j C sin J C"

Slll A — r — Sâi ain ï ^ sin | A"* .

La solution de Régiomonlan est toute sphérique. Vous connaissez les trois côtés, vous aurez l’angle C (fig. 71 ); snr le milieu de BC élevez la perpendiculaire FE, vous aurez FE, car IangFE= tangCsin |BC ,

cos E = sin C cos j BC et lang CE = > Prenez CG = vAC,

GE = CE — CG = CE — ■; AC , tang HG = lang E siu CE , cos CH=cos jAC cosHG; H est le pôle, HC la distance polaire du

coi cîe à dé ' ’ agaisscr la perpendiculaire AD dont il

Réffiomonlan commence par abaisser ia ^ f

ne parle plus et qui est inutile; il n’emplo.e que les sinus, ce qui allonge les calculs.

Celte construction exige cinq analogies assez simples; mais ou peut trouver CH par deux analogies connues (fig. 72).

On demande le pôle du triangle A A' A"; soit P ce pôle, il sera à égale distance des trois sommets A, A', A"; PA=PA' = PA ; les trois triangles APA', A'PA", A'PA seront isoscèles.

Abaissez les trois perpendiculaires Va , Va', Va'; elles partageront en deux également les côtés C, G' et C .

Vous aurez

tang AV = tang PA" cos P AV, ou tang ^ C' = tang A cos r , tang A'tf = lang PAf cos VA." a , ou tang^C = tang A cosx,

RÊGIOMONTÀN. 3a i

tang t C' *. tang 7 C :: cosjr ! cos .r ;

tang IC'4- tang { C : tang f C' — tang C : : cos y + cos x \ cos/ — COS x , sia i (C' H-C) : si» (C' — C) :: 3 cos i (x —j) cos ± (x -f /)

: 2 sin i (x — f) sin | (*■ -+-j) :: ■

: tangi(x— r)laagï(x4-y)=:

- i n ; (C' — C) Smi(C' + cy

tanglfx-

» sin,

’ (0/ — C)cot i (r4-j)

sin^ (C'-f-C)

siu ^ sin l

(C'-fC) cola A

’=tangj(A' — A)

ainsi

Jf =ï

{A' + ïA-

^ A tang^C ___ tang î C tang | C/ tang ^ C

cos .c cou (r— A) cos^ cos (»■ — A')

Ces formules sont bien simples, mais on peut éliminer les côtés ou les angles; ainsi (Astr., t. I,p. 175 )

/ - COSrCOa(ff- — A) / cour

^an§ y cos(*-— A')cos(9-— A")cos’(9- — A) V cos(^ — A)cos(c- — A')cos(<p— A")

- COSS-

( — COS<r) COs(r — A)COS (r— A')C0S (<T — A" ) a

formule élégante que M. Sorlin m’a communiquée sans démonstration.4

- COS o- x - COS a

- COS <r X - cos r

tan0 A — cosa-cos (<r — A) cos (ir — A')cos(»- — A") ^sina C"sina A sina A'

(Astr., t. I, p. 175).

Jsin\AsinaC,sinaC"=sinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S — C') (Astr., 1. 1, p. 1 73), ■5-sinaA'sinaCsin*C'=sinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S— C*) , ^sinaAsiu\A'sinaC" . ^smaCsin*C'sinaC"

=[sinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S — C")]*,'

^sia,Asiti*A,sin‘Cl,==^inS3in^SVC7S'M('S~f 'l.^"<^—-^-(^sfr. , 1. 1 , p. 232) ,

jSin*Gsin*L sin G N

tanpiA — cosj-X — cosg-X'sinaCs»n»C/8inaCl>

° fsinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S— C")]a

( ^sin*Csin*C,sin8C4/sinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S — C")\

4cosaiCcos‘iG'cosa£C"

fsinSsin(S — C)sin(S — G')siu(S— -C'')]!

/sina^Ccosa^C . ^inHC'cos'ïC' .^n^C'cpa^C"

\ 4cos*ïCcos*±C'cosajC"

fsinSsi n (S — C)sin (S — C )sin(S — C ")}

■ — - __ 4s'u#iCsin*;C,sin*jC<r

L^inSain^S — C)sili(S — C')sin(S— C")]] »

flsin^CsiniC'sinjC"

7, formule de Lexell.

tangA=- .

fsinSsin (S — C)sin (S — C')sin (S — C")3 4

Voilà donc trois formules directes et faciles pour les cas oui on connaît deux côtés et l’angle compris, trois angles ou trois côtés.

Pour inscrire un petit cercle au triangle, on partagera les trois angles en deux moitiés, et l’on mènera les trois perpendiculaires Va, Va, P#' (%• 72)>

tang P a! = sin A*' a! tang £ A" = sin A a! lang } A, sin A "a1 l sin A a :: tang \ A : tang 7 A", sinA"«'-|-sinA«':sinAV— sinAa' :: tang^A-f-tang^A": tang^A — tang^A",. tang ^(Af/rt-}- Art') : tang \{Al'a! — Ad ') :: sin7(A-j-A").'sin£(A — A") , ..... ... sin^fA — A^tan£TfA"a4-Aa^) sia^A— A") %n„n i rr>\

tangKAV-Aaj= .i^À+T) - =^T(Â+ÂÔ lan8 » ^ >

=tanSÎ(C — C'), i(AV-A«') = i(C-C"),

AV = ;C' + ;C i C" = i C -t- j C' C" — C" = (S C") r

A a' =IC' — iC + iC» = iC + iC'-KC" — C = (S — C ) , lang A— sin(S — C#)tang^ A"=sin (S — C) tang-j A’

• /c n\ . /&* (S ~ C') sin (S “ C '

=sm(S C) y 9inSsin(S cy-

^/sin S sin (S — C) sin (S — C') sin (S C j> ^

sin S

sinSsiofS— OstafS— C')sia(S— C')iiiî!Alü£^C ro ,SaV

tang A = - si^s — Sin‘s

mais

. . • COS<rCO.s(^ — À')COs(<r— A)C0s(<r— A")]a ,

ï sin* A' sin’ C sin C — - pn^X^ÂWA7' - ’

donc

A — *COSrtOs(<r — A)cos(r— A')cOs(*— A”)

£sinAâwA/sinA"sinS

— C0S<TC03(<r — A)C0s(<r — A')cOfi(r — A*)

. r-COS«Os(«r-A)cOs(a-A')COsC<r-A" )]*

sin^Acosi A . flsinJÀ cosi A 2sin5A cos 5 A - ETiïïp^îÂ'siniA"

r— cnwCMf»— AIc°»C— A>o»C»— A*)y r 23,.

2cos \ AcosjA^cos j A 1 ? v r b * '

Ces formules sont analogues à celles du cercle circonscrit; elles sont

RÉGIOMONTAN. 325

plus curieuses que vraiment utiles. Ce problème est le dernier du livre de Régiomontan sur les triangles. Cet ouvrage doit être un tableau assez complet de ce qu’on savait alors de Trigonométrie rectiligne et sphérique. Les découvertes de l’auteur ne sont pas bien importantes; elles se bornent à quelques théorèmes de détail que nous avons fait remarquer à mesure qu’ils se sont rencontrés; il nous reste a extraire quatre ouvrages posthumes son Calendrier, le Recueil qui contient ses observations, son petit Traité de la Comète , et ses Lettres.

Kalendariwn magistri Joannis de Monte-Eegioviriperitissimi. Ce même titre est exactement répété à la fin , où de plus on lit : explicit féliciter Erhardi Tiatdolt viri solertis eximiâ indus tria et mira imprimendi arte quâ nuperV enetiis nwic Augustæ vindelicorum excellit nominatissimus , i499*

Ce calendrier était destiné aux années 1 47^ , *494 et i5i3, dont l’intervalle est de 19 ans ou d’un cycle entier. Dans une seconde édition, on a laissé en blanc la colonne de l’àn 1475 devenue inutile. Chaque mois tient deux pages. On y voit les phases de la Lune, les fours du mois, les noms des saints, les longitudes du Soleil, celles de la Lune et de son nœud, la figure des éclipses qui devaient avoir lieu depuis 1483 jusqu’à x53o.

On trouve ensuite une explication succincte des articles de ce calendrier, des tables de la demi-durée du jour pour les latitudes depuis 36 jusqu’à 55°, et pour tons les degrés de la longitude du Soleil, de trois en trois.

A la suite, un procédé graphique pour faciliter la description du cadran horizontal à une hauteur du pôle quelconque; un autre pour tracer une méridienne.

L’auteur vient ensuite à la description de son carré horaire ( quadra lum horariwn ), dont voici la traduction littérale.

En quelque habitation que vous soyez, vous trouverez les heures du jour parle carré horaire inséré dans ce livre (fig. 73), si vous commencez par bien examiner l’oflice de chacune des parties de l’instrument. L échelle des latitudes est formée de lignes qui se croisent; celles qui sont parallèles entre elles, font connaître les élévations du pôle par les chiffres qui en sont les plus voisins à droite. Celles qui descendent en convergeant, marquent les signes du zodiaque et leurs degrés de 10 en 10 , indiqués par les symboles des signes.

Pour pluS de clarté, nommons zodiaque de l'habitation chacune des lignes parallèles. Chacun de ces zodiaque est divisé eu signes cl eu degrés

g*/ ASTRONOMIE DU MOYEN AGE;

par les lignés qui descendent en convergeant. Sous cette e'clielle des latitudes, on trouve deux suites de nombres horaires. La rangée supérieure sert pour les heures avant midi; la rangée inférieure, pour les heures après midi. Chaque ligne est accompagnée de son numéro. A la dernière de ces heures, c’est-à-dire à celle de midi ou i2h, on a joint une échelle divisée en certains espaces dont chacun représente io . Ces signes et ces degrés sont également accompagnés de leurs symboles. Cette dernière échelle pourrait , sans impropriété , s’appeler le zodiaque du midi . Au-dessus de la première est attaché par un bout un bras mobile qui se plie sous tous les angles possibles -, appelons main l’extrémité de ce bras; cette main porte un fil à plomb; le long de ce fil peut glisser un nœud qui doit servir à montrer les heures. Sur la dernière et la plu» élevée des lignes de latitude, ou sur le dernier zodiaque, il faut placer à gauche un corps opaque tel qu’une boule de cire qui puisse jeter un ombre en arrière, quand on le présente au Soleil.

En quelque habitation, c’est-à-dire sur quelque parallèle que vous soyez, choisissez votre zodiaque r conduisez-y la main du bras mobile, arrètez-la sur le degré que le Soleil occupe pour le moment; et laissant pendre librement le fil à plomb, conduisez ce fil au degré du Soleil sur le zodiaque de midi ; amenez le nœud ( ou la perle ) sur le degré du Soleil. Tout étant ainsi disposé, présentez au Soleil le côté gauche de l'instrument , en sorte que l’ombre de la boule de cire s’étende le long de la dernière ligne de latitude ; tout aussitôt la situation du petit nœud, entreles lignes horaires, vous indiquera l’heure que vous cherchez.

Régiomontan n’en dit pas davantage. On voit que son carré horaire est l’analemme rectiligne universel; mais, dans la figure qui est au bout du livre, les latitudes ne passent pas 54°, et les heures voisines de minuit ne passent guère celle de 4k du matin et de huit heures du soir. Les degrés de latitude ne sont marqués que de trois en trois; les zodiaques sont divisés de 10 en ro°; le bras mobile est composé d’une règle de cuivre coudée qui peut s’allonger et se raccourcir. L’extrémité qu’il ap1pell emain est plus étroite ; l’extrémité opposée tourne autour d’un boulon qui s’attache au milieu d’une règle de cuivre fixée par trois vis au-dessus de la dernière ligne de latitude. La figure porte pour titre : Quad/'atum horarium generale .

La construction est assez détaillée pour que l’on puisse exactement imiter la figure sur des dimensions plus grandes, pour en mieux concevoir le jeu. Du reste aucun détail sur la manière de placer et d’espacer

RÉGIOMONTAN. 325

les lignes horaires; mais c'est encore ce qui était le plus aisé à deviner; l’inspection des deux échelles indique aussitôt deux trigones des signes.

Rien 11e montre à quelle distance il faut les placer; on voit que les lignes de chaque latitude doivent être fonctions de cette latitude, mais on ne dit pas quelle fonclion. Les zodiaques particuliers doivent dépendre de la latitude et de la déclinaison, mais rien ne dit que leurs points de division doivent se marquer par la formule tang H tang D. Pour tout le reste, il faut absolument deviner. 11 n’est donc pas bien étonnant que la démonstration ait été long-tems omise et sans doute ignorée de tous les auteurs de Gnomonique. Régiomontan ne s'attribue pas cette invention; il n’en nomme point l'auteur, mais l’étude particulière qu’il avait faite des livres arabes nous persuade qu'il tenait cette invention d’un auteur de celte nation. En attendant , rien n’empêche qu’on ne la donne à Régiomontan, par qui nous la connaissons, jusqu’à ce que nous la retrouvions dans un livre plus ancien que son Calendrier, dont l’édition que j'ai entre les mains est de 1499; mais il est visible que l'ouvrage devait paraître avant 1 47^ ? j’ignore la cause qui l'avait retardée, et à quelle époque précisément il faut rapporter les dernières pages de ce volume où se trouve la description que nous venons de traduire. L’auteur est mort en 1476:

L’auteur parle ensuite des heures temporaires, car son carré est pour les heures égales. Pour convertir ces dernières en heures inégales, il donne une figure aisée à imaginer. Elle suppose la connaissance de l’arc semi-diurne, après quoi il ne resterait à faire qu’une règle de trois.

L’arc diurne : 1800 li le nombre des heures égales : celui des heures inégales.

Enfin, comme on lui demande quelquefois les lems les plus favorables à la saignée , et que la Lune, suivant qu’elle occupe tel ou tel signe du. zodiaque, peut avoir en cela une très grande influence, il expose les qualités diverses de ces signes et les parties du corps humain sur lesquelles ils exercent leur empire; et non content des règles générales qu’il donne en cet endroit, il promet un traité tout exprès sur ce sujet important. Ce n’est pas la première preuve que nous avons de sa crédulité ; mais nous croyons devoir rapporter ces traits de faiblesse dont les meilleurs esprits n’étaient pas exempts alors.

j ouvrage est terminé par dès réflexions sur l’anticipation des équii.oxes et sUr le désordre qui en i*ésulle dans la célébration de la Pâque. H $st tems d entreprendre une réforme qui nous mette à l’abri des reproches

3a6 ASTRONOMIE du MOYEN AGE.

et des plaisanteries des Juifs. 11 donne une table qui s’étend de i477 “

. 5S , et qui montre en quel jour l’usage romain a fait célébrer la Paque ,

L en quel jour on aurait dit la célébrer selon les décrets. Dans ce court intervalle, l’erreur a été sept fois de 35 jours, cinq fois de 28 jours, et le reste du tems, de sept jours dont la Pâque a ete relar ee.

Aureus lue liber est, c’est ainsi que commence une p.eee de vers qui est au verso du frontispice. 11 jouit au moins d un succès qu. > ■ « bien mérité. Il est des premiers tems de l’imprimerie ; nous voyons meme dans la Bibliographie de Lalande, qu'en 1472 ou 1473, il avait paru une édition du poème de Manilius, ex officind Joanms de Regiomonle Imbiianlis in Nurembergâ. • .

Lalande dit encore à l’an i4y4, que les éphémendes de Regiomontan sont les premières qui aient été publiées , et pour ainsi dire les premières qui aient été faites, ce qui doit s'entendre de l'Europe.

Bailly dit que chaque exemplaire se vendit douze ecus dor, et que l'empereur, à qui elles étaient dédiées, avait donne 1200 ecus dor à

i “ ne quitterons pas le calendrier de Régiomontan sans avoir donné le mot de l’énigme qu’il a proposée aux auteurs de Gnomon, que dans la construction de son carré horaire, plus connu depuis sous le nom d'an*lemme rectiligne universel. En lisant l’ouvrage d’Aboul-Hassan sur la G noconique, traduit par M. Sédillot, il m'avait paru que les Arabes avaient des instrumens qui leur donnaient l’heure sans calcul par une seule ombre du Soleil. J’avais cherché quelle pouvait être la construction de 1 instrument des Arabes, et comment on pourrait remonter au principe de ranalemme universel, exposé par tous les auteurs sans aucune démons-

^Le^roblème général à résoudre pour trouver la construction de cet analemme, se compose de trois parties distinctes.

i°. De tracer et espacer convenablement les lignes horaires.

20. De trouver le point de suspension, ou le lieu de la main qui porte Je fil, pour parler comme Regiomontan. Ce point de suspension doit varier avec la hauteur du pôle du monde et avec la déclinaison du Soleil.

5° De déterminer pour chaque déclinaison et pour chaque hauteur du 61e à quelle distance du point de suspension , la perle où le nœud mobile doit être arrêté pour marquer l’heure pendant la journée. A la eur cette distance doit varier à chaque instant avec la déclinaison; mîis cette variation est lente; en sorte que le plus souvent on pourrait

RÉCIOMONTAN. 327

employer la déclinaison qui a lieu à midi, ou enfin la déclinaison pour l’heure à peu près connue, ce qui suffira toujours. Dans tous les cas, on ferait avec cette déclinaison une première observation pour avoir 1 heure à fort peu près, alors on connaîtrait la déclinaison dont on devrait se servir.

Pour observer l’heure, on dirige au Soleil une alidade fixe garnie de deux pinnules; ce qui vaut un peu mieux que la boule de cire de Régiomontan.

A 1 instant du lever, l’alidade dirigée au Soleil est horizontale; le fil a plomb, dont la situation est toujours verticale, couvre nécessairement une ligue perpendiculaire à l'alidade. Nommons ligne de foi cette ligne verticale. Il est inutile quelle soit tracée sur l’instrument, il suffit de l’imaginer.

A mesure que le Soleil s’élève, on est obligé, pour viser à cet astre ,’ d incliner l’alidade; la ligne de foi tourne avec l’alidade à laquelle elle est perpendiculaire; elle s’éloigne du fil à plomb, qui conserve invariablement sa position verticale; l’angle qu’elle fait avec ce fil est égal à la hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon.

Soit /• la distance de la perle au point de suspension; eTla distance de la perle à la ligne de foi et h la hauteur du Soleil; on aura

f = rsirx h . . (,).

Soit H la hauteur du pôle, D la déclinaison du Soleil, P l’angle horaire compté de midi ;

6T=r(sinHsinD+cosHcosDcosP)=/’COsHcosD(langIItangD-J-cosP)...(2).

Soit /’= séc Hséc D, en prenant pour unité le rayon des tables ,

<r=sécHsécDcosHcosD(langHlaügD+cosP)=tangHtangIH-cosP;

mais à l’horizon = o = tang H tang D -f- cos P ,

ou cos P = — tang H tang D = cos arc semi-diurne;

h Gh cos P=o, alors £ = -f- tang H tang D =/' . (3)-

h midi cos P= ,, <T = tang II tang D+i;

mua cos P = — I? et eT = tang H tang D — 1,

cettQ consli uclion, qui est saus doute celle deRegiomoxitanus.

D’uu rayon arbitraire que vous prendrez pour unité, décrivez un cercle occulte qui représentera l’équateur ( fig-74)*

Dans ce cercle, tracez un diamètre horizontal, c’est-à-dire de gauche adroite; aux deux extrémités de ce diamètre, menez deux tangentes indéfinies; marquez 12* la tangente à droite et minuit , 24* ou o la tangente à gauche.

Par le centre même menez une perpendiculaire indéfinie qui sera la ligne de 6h ; cette ligne, comme toutes les autres lignes horaires, doit s’étendre au-dessus et au-dessous du diamètre horizontal à des distances faciles à déterminer, d’après ce qui va suivre.

Sur le diamètre horizontal prenez, à partir du centre, tant à gauche .quà droite, des distances = cos P, d’heure en heure, si le cercle est petit, de 10 en 10', s’il est assez grand.

Par tous ces points, menez des parallèles aux lignes de midi, de 6* et de minuit; vous aurez toutes les lignes horaires, et la première partie du problème sera construite.

Pour la seconde, qui doit déterminer les zodiaques d’habitation , marquez sur la ligne de 6h, dans la partie supérieure, et à partir du centre, des distances = tang H autant que vous pourrez.

Mais si H = 90% la tangente est infinie; on ne peut donc en aucun cas marquer celte tangente. Il est même tout-à-fait inutile de passer H = 66' 32' = 90° — 23° 28' = 90° — obliquité = 90° — a.

En effet , la plus grande valeur de D est .

tang H tang D =3 tang (90° — ai) tang ac=co t a tang = 1 = cos 1 8o°= cos arc semi-diurne de 12*; et quand l’arc semi-diurne est de 180°, le Soleil cesse de se coucher et de se lever.

Prenez donc sur la ligne de 6A la distance cot a, et à cette distance menez à angles droils un diamètre égal à celui du cercle et terminé aux deux lignes de minuit et de midi.

Du centre du cercle menez aux deux extrémités de ce diamètre deux hypoténuses qui seront = cose'c a ; vous aurez un triangle

isoscèle, élevé perpendiculairement sur la pointe, et qui sera partagé en deux triangles égaux et rectangles par la ligne de 6\

Dans ce triangle, vous formerez le trigone des signes, en prenant sur la base, de part et d’autre de 6h, tous les points de déclinaison aux distances cota tangD.

A tous ces poiuls de déclinaison , vous mènerez des hypoténuses dont

RÉCIOMONTAN.

l’expression générale sera

=s séc D tang II. . . . (4)*

cos D

Enfin par tous les points tang H de la ligne de 6*, menez des parallèles au diamètre horizontal ; toutes ces parallèles se termineront aux deux hypoténuses extrêmes coséc ce.

Ces parallèles sont les lignes de latitudes, ou, selon Régiomontan, les zodiaques d’habitation. Elles seront les lieux des points de suspension pour l’année.

La seconde partie du problème sera construite; il ne restera plus qu a trouver la distance de la perle au point de suspension =r=séc H sécD.

Or sécDsécH= sécD(i-f-lang*H)ï=(séc*D-l-sécaDtang*H)a = hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés seront séc D et séc D tang H. INous avons déjà le côté"séc D tang H ( formule 4), c’est une des hypoténuses du trigone ; il reste à trouver sécD, ce qui n’est pas difficile.

Sur le diamètre horizontal, formez un second trigoue des signes dont le sommet sera le centre du cercle, et la base 2 tang o> sera prise sur la ligne de midi.

Sur cette base, prenez des distances tangD, tant au-dessus qu’audessous du diamètre horizontal; à tous les points ainsi marqués sur la base, menez des hypoténuses qui seroul toutes séc D.

Ce second trigone est parfaitement égal à la partie inférieure du premier trigone, à cette partie qui a pour sommet le centre du cercle et pour base la ligue de latitude 45°»

Les hypoténuses correspondantes des deux trigones seront entre elles des angles droits. Cela est évident pour les axes mêmes des deux trigones; cela n’est pas moins clair pour les autres hypoténuses qui formeut sur leurs axes et du même côté des angles égaux à la (Inclinaison.

Çhaque couple d’hypoténuses correspondantes, c’esl-à-dirp appartenant à la même déclinaison , offrira donc les deux côtés d’un triangle rectangle; les deux côtés seront sécD et séc D tang H; l'hypoténuse .sera

(séc*D-4-séc4DtangaH)a = (séc*Dséc*H)a=sécDsécH=r.

Ainsi , quand le fil sera arrêté par un bout au point de suspension , dont la distance à 6A est tangH tangD, conduisez ce fil au zodiaque de midi ^ au point de la déclinaison D; arrêtez la perle à ce poiut ; l'instrument sera préparé pour l’observation.

53a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Nous avons encore à parler de l’alidade et de ses pinnules. Cette alidade doit être un peu au-dessus de la base 2 cotwtanga = 2 du premier trigone, et lui être parallèle.

11 faut, sur le milieu de cette base et sur la ligue de 6\ attacher le bras au moyen d’un boulon, autour duquel il pourra tourner.

Ainsi nous avons démontre et complété la construction donnée par Régiomontan. Tel est l’analemme rectiligne universel, tel qu il est décrit par tous les auteurs depuis Munster jusqu’à Ozanam. Il parait, par un. passage d'Oronce-Finée, que Régiomontan Ta fait connaître le premier, du moins en Europe. 11 est possible que cette construction tienne des Arabes; c’est du moins une manière de concevoir l’opération qui leur donnait l'heure sans calcul. Mais rien ne nous assure que cet analemme soit en effet le moyen qu’ils mettaient en usage; car notre équation générale est susceptible de plusieurs constructions. Nous en indiquerons bientôt une autre.

Tous les auteurs qui ont parlé de l’analenime universel , tels que Munster, Oronce, plusieurs autres, et Clavius même, lui qui démontre tout si longuement, tous se sont contentés de donner la description, sans descendre , dit Ozanam, jusqu! à la démonstration ; de quoi Von ne doit pas être surpris, vu qu'elle repose sur des principes très cachés d'une théorie très profonde , en sorte quil semble quil était réservé à notre auteur ( Dechalles ) d’en pouvoir pénétrer V obscw'ité.

Cette démonstration ignorée de tant d’auteurs , semble prouver que l’analemme est une invention étrangère à l’Europe , et nous ne voyons que les Arabes à qui nous puissions en faire honneur.

La démonstration de Dechalles emploie l’analemme ordinaire; elle est

longue, pénible et indirecte, en ce quelle prouve bien la légitimité de la construction, sans donner la moindre lumière sur la voie par laquelle on a pu y être conduit dans l’origine. Dechalles passe par tous les cas qui peuvent se rencontrer , en allant du plus simple au plus composé; tandis qu’à l’aide d’une formule très connue, nous arrivons tout d’un coup à l’équation générale du problème.

Nous avons dit que cette équation est susceptible de diverses constructions. En voici une seconde, elle est du jésuite St.-Rigaud, qui l’a publiée sous le titre $ Analemma novwn ( fîg. .75).

Décrivez comme ci-dessus le cercle occulte avec son diamètre , ses deux tangentes et toutes ses lignes horaires. Sur la ligne dô minuit et sur celle de midi, prenez au-dessous du diamètre les distances lang H.

RÉGIOMONTAN. 55i

A côté de tous ces points, sur la ligne de midi, marquez lês nombres H , et vis-à-vis, sur la ligne de minuit, les nombres go° — H. Ces nombres se placeront au-debors de la figure.

Sur les lignes de minuit et de midi, prenez de meme, tant en dessus qu'en dessous du diamètre horizontal, des distances tangD , C est-à-dire construisez deux zodiaques , l’un de midi et 1 autre de minuit . Joignez les points correspondans de décliuaison par des parallèles au diamètre horizontal.

Les déclinaisons australes seront dans la partie supérieure, les déclinaisons boréales dans la partie inférieure.

Vous placerez les deuxpinnules sur le diamètre horizontal ; la pinnule oculaire près de la ligne de midi, la pinnule objective près de la ligue de minuit.

L'instrument sera construit. Voici le moyen de s’en servir.

Étendei le fil en travers du cercle , de manière qu’il le coupe diamé-* tralement, et qu’il passe en même tems sur le point H de la ligne de minuit; on se souvient que ce point H appartient véritablement à (90e— H); le fil fera au centre, au-dessous du diamètre horizontal, un angle = 90* — H ; il fera, avec la ligne de 6fc, un angle = H. Dans cette position, il coupera toutes les parallèles horizontales à des distances tangD tangH de la ligne de 6A; il marquera le point de suspension pour la hauteur du pôle H et la déclinaison D. Le point d’intersection sera à gauche au-dessous du diamètre, si la déclinaison est boréale; il sera au-dessus et à droite, si la déclinaison est australe.

La distance du point de suspension à la ligne de midi sera .

(1 dh tang H tang D) ; le signe + pour les déclinaisons boréales, le signe — pour les déclinaisons australes.'*

La partie de la ligne de midi comprise entre le point de latitude H et le point de déclinaison D sera (tang H =p tangD); le signe ip pour les déclinaisons boréales, le signe -{- pour les déclinaisons australes.

Ces deux lignes sont réciproquement perpendiculaires; elles seront les côtés d’un triangle rectangle dont 1 hypoténuse sera

[( i dt tang H tang D)* + (tang II± tangD)']7, ou

(* =i=alangIItangD-t-tangaH tang*DH-t*ug*Hsfî2tangDungH+taug"D)* = (i4-lang*H-|-tang*D -f-tangaIItang*D)r= (séc*D-h tang*H séc*D)

— (séc*Dséc,H)*=sécHsécD==r=dist. de la perle au .point de suspens.

Ainsi, le fil étant arrêté au point de suspension , amenez-le par l'autre bout sur le point H de la ligne de midi, vous connaître?: la place de la perle; arrêtez la perle sur ce point, et tout sera préparé pour 1 observation.

Comme dans la première construction, vous aurez tanglliang D pour distance du point de suspension à la ligne de 6h, et r = sécH séc D ; et cette construction nouvelle a cet avantage, qu’on épargne les hypoténuses de deux trigones qui se réduisent à un rectangle divisé en plusieurs bandes.

Les symboles des signes pour les déclinaisons ou pour les longitudes du Soleil, se placent intérieurement entre les lignes de u et i2h, d’un côté, et les lignes de 23 et 24*, de l’autre, en cet ordre :

CéÀj

fl .

. tt

Les lignes ^ , % , etc., représentent les parallèles qui divisent le rectangle.

Les lignes horaires s’étendent depuis la parallèle % % , au-dessous de Falidade , jusqu’à une distance = sécH sécD -f- tang D.

Il est évident que, pour l’usage ordinaire, tant de points différens de latitude sont inutiles; les Arabes pouvaient se borner aux latitudes depuis i5 ou 20° jusqu à 5o ou 55*, ec q.ui permettait un plus grand rayon et promettait plus de précision.

On pouvait, pour un observatoire donné, se borner à une latitude unique, ce qui abrégeait encore la construction. On pouvait supprimer les heures qui précèdent le lever, au plus long jour, et ne marquer que celles où le Soleil pouvait être visible au lieu de l’observation.

Dans ce cas, sur la ligne de 6A prenez en remontant tangH, et du point ainsi trouvé menez à la ligue de midi une droite qui sera séc H.

Faites de sécH l’axe d’un Irigone des signes; en divisant la perpendiculaire à sécH, en distances sécIItangD; cette base sera le lieu des points de suspension pendant toute l’année, et le mécanisme de la suspension sera beaucoup simplifié et plus susceptible de précision : yous plaiderez l'alidade sur celle base ( fig. 76).

RÊCIOMONTAN. 555'

Toutes les hypoténuses sécH sécD du trigonese réunissent au sommet du trigone , c’est-à-dire au point de midi, qui sera physiquement le même toute l’année.

Les arcs décrits en un jour par la perle, seront des arcs de cercle qui, partant du point unique de midi, iront se terminer sur la ligne horaire du lever, en toutes saisons.

Vous pourriez supprimer la perle , car le fil marquerait l’heure par son intersection avèc l’arc de signe.

Cet analemme particulier est connu sous le nom de capucin, parce que les arcs de signes forment ensemble une figure qui ressemble assez à un capuchon. Sur la ligne des levers, dessinez un profil; vous croirez voir une tète qui sort du capuchon. Ce cadran du capucin n’est qu’une plaisanterie, quand on le dessine sur une carte à jouer; mais tracez-le sur un plan d’une certaine étendue, supprimez les arcs de signes, qui ne sont bons qu a créer la confusion; conservez la perle ou le nœud qui glisse le long du fil , et vous aurez l’un des meilleurs moyens que pussent avoir les Arabes, pour trouver l'heure d’un phénomène sans aucun calcul.

Ce moyen, comme tous ceux qui emploient la hauteur du Soleil, sera fort incertain aux environs de midi, parce que la hauteur varie alors fort lentement; mais depuis le lever jusqu’à io ou 11* du matin, et depuis i Ou 2h jusqu au coucher, on aurait l’heure le plus souvent à la minute, ce que n’ont jamais eu les Grecs, ni même les Arabes, au tems d’Ebu Jounis.

Les Arabes avaient l’équivalant de notre formule

sin h £= sinlIsinD -f- cos II cosD cosP;

ils avaient des" tangentes et des sécantes, qu ils avaient introduites nonseulement dans la Gnomonique, mais même dans la Trigonométrie; ils avaient plus de moyens que Régiomontan pour imaginer l’analemme universel; et si Régiomontan est le premier qui l’ait fait connaître aux Européens, il a pu le tenir des Arabes, dont il avait étudié les ouvrages. 11 est possible cpi’un de ces analemmes lui soit tombé entre les mains, et qu il lait reçu d’Espagne, où les Arabes l’avaient apporté; il en aura donne la figure et les usages, sans peut-être se donner la peine d'en Chercher la démonstration!

n tt ou\e encore dans les livres de Gnomonique un . Cadran portatif Siéent dans un quart de cercle. Montucla, tom. IJÏ, p. 2G2 de ses Rc-

créations Mathématiques , en donne une description fort claire et fort simple* Ce cadran suppose une latitude déterminée et une table des hauteurs du Soleil, pour toutes les heures ou fractions d heures, pendant toute l’année. Ce cadran parait aussi nous venir des Arabes. Tous les arcs des signes sont des arcs de cercle divisés en heures, au moyen de la table des hauteurs. L’ordre de ces cercles est arbitraire ; on peut mettre en haut l’arc du Capricorne ou celui du Cancer ; mais ces arcs , qui ont tous un même centre, sont nécessairement de grandeur inégale; le cadran ne peut avoir la même précision en hiver et en été. Par tous les points des différens arcs qui répondent à la même heure, on fait passer une courbe qui est la ligne horaire , et qui a la forme d’un s à peu près. On ne peut nier que la construction n’en soit extrêmement simple, niais on n’en peut espérer une précision aussi grande ( fig. 77).

Pour estimer celle qu’on peut attendre de l’analemme, supposons que le rayon du cercle soit un pied, ou i44bgnesî i44Il’C0Sï> sera distance à 6‘; donc, pour l’espace d’une minute,

i44 sinP sin (IP = 144 sin 1 5' sinP = ofi,63 sinP.

Si le rayon est un mètre, la minute vaudra 4<mn*'>63 sinP , ce qui donne la table ci-dessous, où l’on voit que si le rayon est seulement d’un pied, on pourra toujours espérer la précision d’une ou deux minutes, pour peu que l’angle horaire soit de une heure ou deux.

— sin A sécH sécD

pouvait fournir deux tables commodes pour trouver sin verse P en deu* parties; une troisième table aurait donné l’heure par sin verse P. 11 aurait suffi d’une hauteur du Soleil observée avec un quart de cercle ; mais

RÉGIOMONTAN. 535

ce serait changer la nature du problème, qui ne veut ni tables, ni calculs.

Cœli et siderum in eo errantium obseivationes Ilassiacæ illusirissinu principis Willhelmi Hassiœ lantgravii auspiciis quondam institutœ et spi • cilegium biennale , ex observationibus Bokemicis J • N. Tjrçhoms Brahe, nunc primum publiante Wdlebrordo Snellio , quibus accesserunt Joanms Kegiomontani et Bevnardi Waliheri obsewationes Noribergicœ. Lugduni Batavorum , 1618. Ce dernier article, et le Livre delà Comète, qui appartiennent à Régiomontau , nous ont décidé à placer ici l’extrait de cet ouvrage, et nous ne séparerons pas ce qu’il a réuni ; nous suivrons même l’ordre des pages.

Les observations du landgrave commencent au i3 avril i56i. Ce sont des hauteurs du Soleil avec les déclinaisons et les longitudes qui en résultent. L’éditeur ne les donne que comme de premiers essais. 11 en conclut l’obliquité a3* 3o', la hauteur 5i° i8'j on la suppose aujourd’hui de 5i* 19' W'. Un grand et un petit quart de cercle s’accordent à 2' près. Rothmann , mathématicien du prince, trouvait 5i° 20' ; Juste Byrge, qui construisait ses instrumens, ne trouvait que 5i° 19' 20". On remarque l’équinoxe de 1571 , arrivé le 10 mars r 2 2* Si7* Ces observations finissent en 1 58a.

Rothmann, en 1587, écrit que la veille des ides de juin la hauteur solslitiale était de 62“ n', d’où résulterait une obliquité de 23* 29', ou 23’ 3o',, ou enfin 23° 5o' 4°"«

Les observations suivantes sont de Juste Byrge, qui, à la qualité d’artiste , joignait celle de bon observateur et de calculateur. 11 avait eu l’idée des logarithmes, et il en avait commencé une table. 11 observait des distances d’ctoiles et de planètes.. Les distances, qui sont à peu près invariables, pourraient se comparer à celles que donuent les catalogues modernes. On verrait quelle confiance on peut accorder aux distances des planètes; mais on sait d’ailleurs que la réfraction a dù y produire des erreurs de plusieurs minutes. A la page G5, on trouve des distances de la Lune.

Les observations de Tycho commencent à la page 69, année 1^99, style grégorien. Nous avions eu d’abord l’idée de les renvoyer à l’article de ce grand astronome; mais elles ne nous fourniront que quelques lignes, et l’anachronisme sera tout-à-fait sans conséquence.

D après Tycho, la longitude de là citadelle Bénalique ( Benaticm arcîs in Bokérmâ') I, serait de 69* o'7 -ou de 39° 5o' ; et de 9' plus forte que celle

d’Uranibourg. La hauteur du pôle 5o* i&' 9 IQ,/> i5", 26', ou 3o". La latitude de Prague serait de 5o° 4 d autres la font de 5o 7 .

A la page 75, on trouve des hauteurs, des distances et des déclinaisons de Mercure, et l’on fait la remarque quelles s'accordent mieux avec les tables de Copernic qu’avec celles d’Alphonse; enfin beaucoup de distances de Vénus.

Le 26 février 1601 , Tycho vint à Prague habiter la maison de Curtius, que l'empereur avait achetée pour lui, de la veuve.

Le i3 octobre, Tycho dina avec M. de Mincowilz , chez M. de Rosenbergh ; on but beaucoup ; Tjclio sentait la tension de sa vessie ; mais il préféra la civilité à la santé. De retour chez lui, il ne put uriner; au commencement de sa maladie, la lune était en opposidon avec Saturne et en aspect quadrat avec Mars, dans le Taureau, et Mars au même lieu qu’à l’instant de sa naissance. On 11e dit pas si ce fut Py cho lui -meme qui eu fît la remarque. La rétentiou d’urine coudnuait et lui causait des douleurs très vives; de là les insomnies, la fièvre, le délire, ôn ne pouvait cependant obtenir de lui qu’il ne mangeât pas; enfin , le 24 octobre, le délire cessa pendant quelques heures, et Tycho expira doucement , 'entre les consolations, les prières et les larmes des siens. La nuit précédente, pendant son délire , il répéta plusieurs fois les mots* ne frustra vixisse viciear.

Dans un avis au lecteur, page 85, Snellius rapporte que Tycho avaU observé la réfraction à 3° de hauteur, de 12' seulement, quoiqu’il l’ait faite de 17' dans sa table ; onia suppose aujourd'hui de 14' 28". On voit donc que ses observations ne sont pas sures à 3' près. Snellius soupconnaît une minute d'incertitude dans 1a parallaxe du Soleil; .1 voulait quon allât sous le tropique, observer la plus grande déclinaison. 11 fait une dissertation sur l’obliquité de 1 écliptique , sur la manière d’observer les équinoxes, et il donne la préférence à celle de Régiomontan, qui consiste à observer plusieurs jours de suite la hauteur méridienne du Soleil, pour en conclure l'instant du passage par l’équateur. 11 en donne pour exemple l’équinoxe de x 571 , et trouve qu’il arriva le 10 mars ji 20ft 4^ J y d cherche eusuile l’apogée. Arzachel , 193 ans après Albatenius l'avait trouvé en 2S 170 5o'; nos tables ne donnent que 2S i59 19'. Tycho, en i577> trouva 5S 5°5o'. Arzachel avait employé trois longitudes comme Hipparque avait fait pour la Lune. Nous avons donne des formules générales pour appliquer cette méthode au Soleil. Juste Cyrge lirait de ses propres observations 3^ 5o° 53* 20", et l’excentricité o,o359i55, ce qui différait peu des conclusions de Tycho,

RÉGIOMON TAN. 35 7

Les observations de Régiomontan commencent à Rome , le 3 janvier 1462, et à Nüremberg, le 6 mars 1472; elles sont données en cordes de la distance zénilale, pour un rayon de 100000, on observait avec les règles parallactiques dePtolémée; elles finissent au 28 juillet i4 7^- Celles de Waltherus commencent au 2 août et finissent au 3 juin i5o^. On peut remarquer que plusieurs observations sont suivies de cette note :

V instrument vérifié par le gnomon . La Caille a fait usage de ces observalious pour ses Tables du Soleil.

On trouve ensuite un petit écrit de Schoner, sur le rayon astronomique. Cet auteur , ne en 147 7, est mort en 1 547 > ^ a <pielc[ues observations de Mercure, que Copernic emprunta de lui, pour composer ses Tables.

Ayez une règle quadrangulaire bien plane, de six coudées environ; vous la diviserez en parties égales ; le nombre de ces parties est arbitraire; l’auteur s'arrête à i3oo.

Ayez d’autres règles de diverses longueurs, comme de 10, 20, 5o, 4o*. .. .210 parties de la première; que ces règles soient percées d’un trou carré, pour qu’elles puissent glisser le long de la grande règle, et former toujours des angles droits; à chacun des bouts de la petite règle, plantez une aiguille, et metl'ez-en une pareille à l’un des bouts de la grande, pour marquer le lieu de l’œil, et l’instrument sera construit.

Adaptez à la grande règle celle d’entre les petites que vous croirez la plus convenable pour la distance que vous voulez mesurer; avancez la petite règle jusqu’à ce que les deux aiguilles extrêmes couvrent les points dont vous prenez la distance ; la moitié de la petite règle sera la sinus , et la partie interceptée de la grande sera ie cosinus de la demidistance.

La comparaison vous donnera ^^-2 = tang^D; vous aurez donc

la tangente de la demi-distance; vous la chercherez dans la Table de Purbacb; il ne parle ni de celle de Regiomontanus, ni de celle de Reinhold. Après cet opuscule, on en voit un autre dont voici le litre :

Joannis de Monte-Rcgio , Georgii Beurbachii , Bernardi JValteri ac aliorunij eclipsium} corne tarum , planetarum ac fixarum observationes . Magister G. Beurbachius et J. de Monte-Regio observaverunt in Mellico Austricc apud Viennam, anno D. 1457, eclipsin Lunœ universalem ; in oppositione verâ septembris. Scilicet die tertio mensisj post occasum Solis. Jlabuit auleni 9 in principio morœ , penultima ex Pleïadibus altitudincrn

ante meruiuinam 22 graduum et Solsecundum numerationem fuit infr 20* 48'. Injine autem morce altitudo ejusdem stellæ 36°. Ex his duabus obseivationibus eliciam lempus medium eclipsis per numéros subscriptos cum f gurat ione huic rei opportunâ.

Voici le calcul.

22' haut, du pôle. Déclin. 0=403 B; sîn « = 3g86a. 900— .H=4i .38 haut.de l’équat. Ce sinus suppose le rayon 600000, D=23.3o décl. de l’étoile. Comme dans la table de Régiomont.

90* — JI-f-D=65. 8 hauteur méridienne de l’étoile . sin . . . 544^7

sin haut, observée = 220 = sin h . 22476

sin(90° — H-j-D) — sin hz= cos(H — D) — sin h. , . 31961 .

11 calcule ensuite — 5^ — îHïA = ssin’ïPcosD, c’est-à-dire le

cos xi * 7

sinus verse de l’angle horaire sur le parallèle de l’étoile ; pour le réduire à l’équateur, il reste à diviser par cosD. En effet,

si h= cosPcosïIcosD -j-sinHsinD = cos(H — D) — 2sin*^PcosHcosD, et

2sin*îP

cos (H — D) — sin h

co s H cos D

c’est la méthode des Arabes. De l’angle de l’étoile il conclut l’asc, dr. du milieu du ciel et l’heure.

En 1460, dans la nuit du 3 au 4 juillet, 7* 16' après midi, commencement de l’éclipse; fin, 9*10'; quantité éclipsée, 2*56'. Telle était l’annonce. La hauteur de la Lune, corrigée de la parallaxe, lui donne la hauteur du nadir du Soleil. Le calcul des tables avançait de i* 10' sur l’observation.

Le 2 décembre 1461 , à Rome , au commencement de la nuit Régio mon tan vit Mars et Saturne, qui, suivant l’almanach, devaient être en conjonction; l’erreur des tables était de al

Le 14 décembre, Vénus et Saturne paraissaient en conjonction , ce qui s accordait fort bien avec les Tables Alphonsines.

Le 17 décembre, la Lune devait se lever éclipsée de 10 doigts; il n’en trouva que 8. Les tables marquaient la fin i* a' trop tard.

Dans la nuit du 11 au 12 juin, vers i5Ai5', la Lune fut éclipsée de 6* 34', suivant les tables. On ne put observer ni le commencement ni la fin, à cause des nuages; le milieu, estimé à 1 4A 48' ; les tables* le mettaient 27' trop tard

RÉGIOMOKTAN.

Au verso de la page 22, on trouve des observations de Mars, qui, comparées aux tables d'Alphonse, montrent des erreurs de 5o' et — 86 ', et Régiomontan ajoute ces mots : Quare vide ne nimiiun confidas inuni calculo et quasi somnio Alphonsino . Alphonsus etiam locis Jixarum plus aequo addidit in uno gradu et 55'.

On voit ensuite deux observations de la comète de 1672, et une observation de l'Ane boréal, qui allait être caché par la Lune.

Puis des distances d’étoiles et de planètes, mesurées avec le rayon astronomique, par Waltherus.

Année 1477. H a paru que Mars et Saturne allaient être en conjonction avec même latitude; il en conclut une erreur de i° 36' dans les tables.

O quanto ajjeclu eorum vidissem convention, quia verisimili conjectura unus eclipsabat allerum , ranssimus autem eventus ille.

Le ig février 1478, conjonction de Jupiter et de Vénus.

En 1481 , une conjonction de Mercure et de Saturne, qui ne s’accordait nullement avec les tables.

En 1482 , occultation de Saturne par la Lune. Les nuages nuisirent à l’observation.

En 1484 , j’ai vu Mercure à l’horizon; j’ai aussitôt appendu un poids à une roue horaire de 56 dents; elle fit un. tour entier et 55 dents, jusqu’au lever du Soleil. Mercure se levait donc 1* ff = 1* | =3= ih 35' après le Soleil, ce qui s’accorde assez bien avec le calcul. L’horloge était bien vérifiée , c’est-à-dire qu’elle faisait 24* Jusle entre deux passages du Soleil au méridien. 11 paraîtrait que c’est à l'horloge subsidiaire, qui était alors immobile, qu’il a attaché le poids qui l’a mise en mouvement.

En 1 485, 16 mars, éclipse de Soleil annoncée comme totale; elle ne fut que de 1 1 doigts.

En 1489, on trouve l’observation de réfraction la plus ancienne qui existe peut-être. Il est à remarquer, dit Waltherus, que les astres sont vus au-dessus de l’horizon, par des rayons brisés, lorsqu’ils sont encore sous terre. Sextus Empiricus l’avait dit dix siècles plus tôt, mais il ne l'avait pas observé. J ai souvent remarqué cet effet, ajoute l’auteur, bien avant que d’avoir lu Alhacen et Vitellion, où je l’ai vu clairement exposé. Waltherus cherchait à déterminer la longitude de par le Soleil et Vénus.

Pour éviter l’effet de cette réfraction, qui l’aurait empêché d'avoir le vi ai lieu de Vénus par le Soleil , il mesure cette distance près du méridien; ou bien s’il la voulait mesurer à l’horizon, il présentait au Soleil le point de l’écliptique qui marquait le lieu vrai.

Sans la refraction, l’ombre aurait du être dans le plan de 1 écliptique; mais à cause de la réfraction qui élevait le Soleil, 1 ombre était audessous du plan. 11 tendait un fil à plomb au milieu de l’ouverture ; ce fil marquait le vertical du Soleil; il tournait donc l’instrument jusqu a ce que le rayon solaire traversant la pinnule objective, vint couper le fil suspendu à la seconde pinnule oculaire. Alors le cercle de latitude, sur lequel tombait le point éclairé du fil, marquait le lieu apparent du Soleil, et le cercle de latitude dirigé à Vénus marquait la distance de Vénus au lieu apparent (fig. 78).

Ce passage, quoique long, n’est pas encore bien clair. Soit SNV l’écliptique, ZOS le vertical du Soleil; le Soleil est en S dans l’écliptique, la réfraction l’élève eu O, et la longitude apparente du Soleil est marquée par le cercle de latitude EON; l’ombre solaire, ou l’image qui a traversé -le trou de la pinnule, au lieu de tomber en S', a i8o° du lieu vrai, tombe en O' au-dessous de l’écliptique; le nadir apparent du Soleil est donc dans le cercle de latitude EN 'O, N' marque la longitude apparente du Soleil; mais le fil O S', qui est dans le vertical, est éclairé en O' et marque en S' le lieu vrai du Soleil; le cercle de latitude EV, mené par le lieu de Vénus, marque la longitude V, et l’arc S'V = 1800 — SV donnera la différence de longitude entre Vénus et le Soleil.

Ce moyen est ingénieux, il peut diminuer l’erreur de l’observation ; mais je n’oserais en garantir la bonté pratique.

Nous arrivons enfin au dernier ouvrage de Régiomontan , dont au reste ce qu’on vient de lire ne nous a pas long-tems détourne.

/. de Monte-Regio viri undequaqve doctissimi de cometœ magnitudinc ac de loco cjus vero P roblemcita XVI.

Le problème 1 donne l’idée de la parallaxe, d’après Ptoléme'e. Le second est celui dont nous verrons que Tycho a fait un usage fréquent dans scs recherches sur les comètes.

On a observé les deux hauteurs RO et RM (fig. 79), la première vers l’horizon et l’autre vers le méridien, avec les azimuts HZK et HZR; on connaît donc ZO, ZM et ZH; on calcule HO, ZHO et TiOH, c’est-à-dire le triangle ZHO tout entier.

Du pôle H, avec la distance polaire HO, décrivez le parallèle ON,, qui serait celui de l’astre sans la parallaxe.

Parle lieu vrai G, imaginez le parallèle GL.

KÊGIOMONTAN. H*

Dans la seconde observation, au lieu apparent M répond le lieu vrai L; imaginez HL = HG.

Soit LHN = G HO, HN = HO ; donc LN = GO; les deux triangles G HO et LHN sont parfaitement égaux. Le mouvement de la comète GHL =OHN; car GHL == LHN -H NHG == NHG 4- GHO ; ce sera le mouvement de la sphère dans l’intervalle, si le mouvement propre de la comète est nul ; au reste, il est aisé d’en tenir compte. Abaissez ZNP, et menez NM et LN; ZHN = ZHO — OHN ; on a ZH , et HN = HO; on en conclura ZN et les angles ZNH et NZH.

La seconde observation donne ZM et BZR, doù RZH; RZH— - NZH = MZN ; avec cet angle et les côtés ZM et ZN, vous aurez NM, MNZet NZM ; MNL = MNH — LNH = MNH — ZOH = MNZ -f*

ZNH ZOH; avec NM et les deux angles sur ce côté, vous aurez

les deux autres côte's ML et NL, qui sont les deux réfractions.

Cette solution est un peu longue, et par suite un peu obscure.

La première observation donne HO et tout le triangle ZHO.

La deuxième donne HM et le triangle MHZ.

Si (HO HM) est e'gal au mouvement de la comète en déclinaison

pendant l’intervalle , il n’y a point de parallaxe en déclinaison.

Si (ZHO — ZHM) est égal au mouvement du premier mobile, moinsle mouvement propre en ascension droite, il n’y a point de parallaxe d’ascension droite.

Le problème III cherche la même chose d’une autre manière.

Observez la hauteur, Tazimut, et notez l’instant de l’observation; déterminez l’instant du passage de la comète au méridien, ce que vous obtiendrez par une étoile connue; il ne s explique pas davantage, mais il n’y a pas grande difficulté.

Soit G le lieu vrai de la comète (fig. 80), O le lieu apparent. Menez les cercles de déclinaison HGK et HOL; vous connaîtrez l’angle horaire ZHG de la comète. Vous avez observé l’azimut GZH, vous avez deux angles connus sur un côté connu HZ, vous connaîtrez GH et GZ; vous avez mesuré OZ, vous aurez la différence OG parallaxe de hauteur. Pour bien connaître l angle horaire GHZ, vous observerez le mouvement de la comète en un tems donné; vous aurez, par une simple analogie, le mouvement en tout tems.

Ce moyen est celui qu’on a employé pour les réfractions comme pour la parallaxe ; aucun auteur jusqu’ici ne l’avait exposé.

Problème IV. Autres moyens. Le passage de la comète au méridien

54a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

a lieu souvent pendant le jour. Observez deux hauteurs égales, lune avant, l’autre après le passage, avec les azimuts correspondans. Soit G le lieu vrai (fîg. 81), O le lieu apparent dans le vertical ZGO, M le. second lieu vrai; N le lieu apparent; les deux triangles GZK, M7jK sont parfaitement égaux, GR = MK. Du pôle H menez les deux cercles de déclinaison HG , I1M, ils seront égaux; GHZ = MHZ, le passage au méridien sera au milieu entre ces deux angles; ce tems tiendra le milieu entre ceux des deux observations. Le tems écoulé vous donneia GHZ = i GHM. Vous connaissez GZK par l'observation; avec deux angles sur un trôlé connu, vous aurez HG et GZ.

Vous connaissez ZO , vous aurez OG. Avec l’angle H , vous aurez l’ascension droite de la comète; vous avez sa déclinaison, vous aurez sa longitude et sa latitude.

Voilà le premier germe des hauteurs correspondantes; mais cette solution suppose encore le mouvement insensible; il est vrai que souvent il ne passe guère l’erreur des observations de ce teins; mais la difficulté est d’obtenir ces deux hauteurs correspondantes.

Problème V. Trouver le lieu de la comète dans l’écliptique , au moyen d’un instrument. Observez la comète, quand elle est à go° du point orient; elle sera au nonagésime , toute la parallaxe sera en latitude; mais, comme il est difficile de faire cette observation, il croit devoir avertir que l’azimut du nonagésime est égal à l’amplitude du point orient. Guettez donc le moment où l’azimut de la comète sera égal à celle amplitude; alors, avec un instrument, vous trouverez, par une étoile quelconque, le lieu vrai de la comète. Il n’en dit pas d avantage.

Cétte solution est fort bonne sur le papier. Hipparque observait la Lune au nonagésime, pour éviter la parallaxe; mais quelques minutes avant ou après, la parallaxe était à peu près nulle, l’astrolabe lui donnait des différences exactes de longitude. Autre chose est de prendre la distance d’une étoile à la comète, qui peut avoir uue latitude considérable , et de supposer la comète exactement au nonagésime.

Problème VI. Trouver la parallaxe de longitude. Vous avez, par ce qui précède, la longitude de la comète; observez-la ensuite hors du nonagésime, vous aurez son lieu apparent. La différence d’avec la longitud^e vraie sera la parallaxe de longitude.

Problème VII. Trouver la latitude apparente. Vous l’obtiendrez par les moyens ordinaires, c’est-à-dire sans doute par les distances à deux étoiles connues qui feront trouver le lieu apparent. Ou bien, dit l’auteur ,

RÉGIOMONTAN.

observez la distance au zénit et l’azimut, et de plus la hauteur d’une étoile connue au même instant. Vous avez ZO, HZO, ZH ( fig. 62) , vous aurez OH, OHZ, HR = obliquité. Par la hauteur de l’étoile, vous avez son angle horaire, le lieu de l’écliptique qui est au méridien; RH prolongé, passe par la tête o‘ % ; vous aurez l’ascension droite du milieu du cieî, et celle du pôle R de l’écliptique, doù ZHK, OHK , la longitude et la latitude apparente.

Problème VIIÏ. Trouver autrement la parallaxe de hauteur.

Vous aurez GKO la parallaxe de longitude, ZOH , KOH et ZOK qui en est la différence. Dans le triangle GOK, vous aurez deux angles sur un côté connu, d’où GO parallaxe de hauteur.

Problème IX. Trouver le lieu de la comète, par la distance à deux étoiles; cela se trouve partout.

Problème X. Déterminer la distance de la comète au centre du monde et à l’œil de l'observateur.

Dans le triangle rectiligne entre la Lune, le centre delà terre et l’observateur, on connaît tous les angles et le rayon de la terre. Vous en concluerez les deux distances.

Problème XI. Pour exprimer ces distances en milles, il suffit d’avoir en milles le rayon de la terre.

Problème XII. Mesurer le diamètre de la comète. Régiomontan de'crit ici l'instrument dont nous avons parlé ci-dessus d’après une note de Schoncr. C’est donc avec le rayon astronomique qu’il mesure le diamètre apparent de la comète.

Problème XIII. Ce diamètre étant connu aussi bien que la distance, vous aurez le diamètre même par cette formule, diam.=a dist. sin '± diam.

Problème XIV. Trouver les volumes. Les sphères sont en raison triplée de leur rayon.

Problème XV. Trouver la longueur de la queue.

11 faut savoir, dit l’auteur, que la queue ne différé du corps que par la figure, et par le moins de densité, et par la légèreté qui la fait monter; d’où il résulte qu’une ligne menée du centre de la terre au centre de la comète, et prolongée au-delà, serait l’axe de la queue. 11 raisonne en supposant que la terre est le centre du monde. Dans la réalité, la queue serait sur le prolongement de la ligne menée du centre du Soleil , ainsi qu ou 1 a toujours observé depuis Apian. Mais d’après l’idée de Régiomontan , l’extrémité de la queue serait toujours dans le même vertical

que la comète, et un peu plus voisine du zéuit. V oyez la figure 85 , dont

le calcul serait extrêmement facile.

Problème XVI. Trouver le volume de la queue. La queue est cylindrique ou conique. Si elle est cylindrique, nous connaissons la base qui est le cercle de la tète, nous connaissons la longueur de l’axe, nous aurons la solidité du cylindre.

Si elle est conique, on sait que le cône est le tiers du cylindre.

L’éditeur remarque ici une faute grave dans le petit écrit de Schonei . nous n’avions pas remarqué cette faute , que nous avions corrigée sans l’apercevoir.

De ces 16 problèmes, il n’y a d’utiles que ceux qui étaient connus , sauf le second, dont nous verrons que Tycho a fait grand usage. Nous en modifierons la solution.

Lettres inédites de Régiomontan.

Ces lettres ont été publiées pour la première fois en 1766, par le .célèbre bibliographe Christophe Théopile de Murr, dans le recueil qu’il a intitulé :

Memorabilia Bibliothecarum publicarum Norimbengehs ium et Univers îtatis Altfordianœ , pars prima .

La Bibliothèque de Nuremberg possède quelques petits inslrumens qui ont appartenu à Régiomontan, et qui ont été achetés des héritiers de VValthcrus. Ce sont trois astrolabes de 10, de 5 et de 6 pouces de diamètre. Le dernier est arabe; les limbes y sont d’argent; enfin un instrument qu’on désigne Sous le nom d ’horoscopium parvum , sans autres détails.

On trouve dans la même Bibliothèque un globe céleste de 4 pieds, les étoiles y sont réduites à l’an i55o; un globe céleste et un globe terrestre de 11 pouces un torquetum d’Apian de f de doigt; un astrolabe de Werner de 6 pouces; un autre de 1 pied pouces; un cadran astronomique de 1 pied 7 pouces; un cube de 3 j pouces, portant cinq cadrans pour 4a latitude de Nuremberg ; un hémisphère concave de 2% pouces; une horloge solaire ronde et concave de 2 f pouces, et une autre horloge solaire de Hartmann, de 2 pouces en carré.

Le manuscrit du Commencement de la Sagesse d’Abenesra, livre astrologique dont ou dit que l’auteur vivait en 908.

Joutes ces curiosités sont assez peu intéressantes pour l’histoire de

RÉGIOMONTAN.

l’Astronomie, et nous n’en aurions fait aucune mention, sans les lettres deRégiomontan , qui nous offriront quelques problèmes curieux, et nous donneront une idée des différons objets qui se partageaient les goûts et le tems de l’auteur.

La première lettre est adressée à Blanchini, dont il a été question ci-dessus à l'occasion de ses Tables astronomiques. 11 lui propose divers problèmes pour essayer sa force et son habileté dans le calcul. Nous allons rapporter ceux qui ont quelque chose d astronomique et de trigonom étriqué.

Le 5 avril i463, 2*2 5' après minuit, la longitude du Soleil étant de et sa déclinaison 90 2 5', et l’obliquité 25°35'5o", à Ferrare, latitude 44° 4^' 4"> une étoile était dans le méridien à 5g° 16' de hauteur, et sa distance au point orient était de 32°. On demande la longitude et la latitude de l’étoile , sa déclinaison et l’arc semi-diurne ( fig. 54)*

L’heure et le lieu du Soleil donnent le milieu du ciel et le point orient de l’écliptique; la hauteur de l’étoile et la distance à l’orient, font que le triangle EHO est connu tout entier. On a même les trois côtés du triangle, car l’azimut du point orient donne HO; reste à savoir si ces données sont cohérentes, si HO et HE s’accorderont avec l’hypoténuse OE de 3a°.

On aura HC=HM — MC = liaut. équat. — déclin, du point culminant, CE = 39* 16' — HC , sin latit. = sin FE =sin CE sin C , C est l’angle de l’écliptique avec le méridien,

taugFC = langCEcosC; longit.^F=^C — CF ;

avec la longitude et la latitude, on aura la déclinaison et l’arc semidiurne.

Ce problème n’offre aucune difficulté; le calcul est uu peu long, quand on ignore l'usage des tangentes. On ne voit pas trop comment on a pu obtenir CO , si ce n’est par le calcul.

Le 17 juillet i463, près de Venise, une étoile s’est levée à 5* 25' après minuit; elle passa ensuite au méridien à 7*38'; son arc semi- diurne était donc de \h i5'; on avait donc sa déclinaison, puisque cos arc semidiurne. cot hauteur du pôle = tang déclin. On avait son ascension droite par l’heure de son passage. On aura donc la longitude et la latitude de l’étoile.

Le i3 juillet 1463, dans un lieu dont la latitude est inconnue, a 5“ de la nuit, une étoile avait 35° de hauteur, 2* d’angle horaire, et son

54ô ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

azimut 57* compté du méridien. On en conclut d’abord la déclinaison de l’étoile, puis la hauteur du pôle, l’ascension droite par 1 heure, le milieu du ciel et l’angle horaire; enfin la longitude et la latitude.

Le 9 août, à Venise, 3' 38' après minuit, une étoile avait 40* 19' de hauteur orientale. Sa distance polaire était de 83* 25' .On a les trois côtés ; on aura donc l’angle horaire et l’ascension droite; on aura la longitude £t la latitude.

Un astronome à qui l’on proposerait aujourd’hui de pareils problèmes,, croirait, avec quelque raison , qu'on se moquerait de lui. Mais il paiaît qu’en ce tems, la solution d’un triangle dont on a les trois côtés, passait pour une opération difficile. Pour les précédens, dont le calcul est plus long, les Grecs avaient tout ce qui est nécessaire pour les résoudre.

Blanchini, dans sa réponse, en proposa un plus facile encore. Celui de trouver la longitude et l’ascension droite d’une étode dont ou connaît la latitude et la déclinaison avec l’obliquité de l’écliptique.

En voici un plus simple de beaucoup

ociyn 5 i 8 , oc -f mjr — xy > x — b 9 e* y — 5 •

100 — aox -f- x“ -f- x%

1 00 — 20X -f- 2 JC* = 25ojc — 25x*, 1 00 — 27OJC + 27JC* = O

xa — I0JC = — -^T, X*— I0jr4-a5==25 —

5±v/25— ^=5dh5\/i — ^ = o,3852i , 10— *=9,61479,

somme des quotiens = 25,oooo65.

On croit bien que Régiomonlan résout ces petits problèmes. Dans sa réponse, il parle de i5 traités qui formeront un volume , qui doit être publié par ordre de son seigneur le cardinal Bessanon , dont il prend le titre de familiaris. Les deux premiers traités sont déjà terminés. J’ignore si le nombre i3 a quelque rapport à celui des livres de la Syntaxe ma~ thématique , ou si Fauteur avait eu en vue les i3 livres de Diophante , dont il avait retrouvé les six premiers à Venise.

Il donne la construction suivante à Blanchini , qui n’avait pas bien saisi le sens d’un de ses problèmes.

Si vous avez la longitude N et la latitude NO d’une étoile,.' vous aurez la déclinaison LO, ou la distance polaire PO et l’ascension droite M (fig. 85). ^ ~

Si vous avez la longitude N et celle du point M qui culmine avec l'étoile et NO* vous aurez cos OM = cos ON cos MN ........ *

RÉGIOMONTAN. 54?

L.M 4- MO = déclin. = 90° — PO 5 avec PO , OPE et PE , vous aurez le reste.

11 parle ici de son livre des triangles, et une note nous apprend qu’il le termina à Venise en 1463 ; Schoner publia cet ouvrage posthume sous le titre suivant :

Doctissimi et Mathematicarum disciplmarum eximii professons J oh. de Regiomonte , de Triangulis omnimodis libri V , qui bus explicantur re s ne cesser iœ cognitu, volentibus ad scient fan im A stronomicarum perfectionem devenire , quœ cum nusquam alibi hoc tempore expositœ hàbeantur , frustra sine harum instructione ad illam quisquam aspirabit. Accesserunt hue in calceD. Cusani de quadrature Circuli atquerecti ac curvi commensuratione. Itemque J oh. de Monte-Regio eâdem de re iMyyrr/LOL hac tenus à nerninc publicata.Omriia recens in lucem édita fide et ddigentiâ singulari; Norim bergœ, in œdibus Schonerij i533.

On peut être surpris qu’un traité si important alors n’ait été publié que 57 ans après la mort de l'auteur. Santbech en donna une édition nouvelle en i56o, à Bâle; c’est celle que nous avons extraite. On nous apprend encore que Régiomontan est auteur d’un Algorithme démontré , publié par Schoner en i534- On voit, par ses lettres, que son Algèbre a quelque analogie avec celle de Stévin.

On a mesuré les distances d’une étoile à deux étoiles connues qui n’ont aucune latitude; on demande la longitude et la latitude de l’étoile. On a les trois côtés du triangle, il s’agit de trouver la perpendiculaire et l’un des segmens de la base; nous ferions :

cos A'—cm c’5i7cSrc^~ » Uns c cos A" — «“g segmen* ,

et sin G sin A” = sin latitude.

On connaît les latitudes et la distance de deux étoiles; on demande la différence en longitude. 11 s’agit simplement de trouver l’angle au pôle entre les deux cercles de latitude.

Dans un cercle d’un rayon donné, est inscrit un quadrilatère dont les quatre côtés ont des rapports connus; 011 demande la surface du quadrilatère.

Soient a , ma, na et pa les quatre côtés, et A l’angle compris entre rtetwa; puisque le quadrilatère est inscrit au cercle, les angles opposés sont supplémens l’un de l’autre, ce qui donne

a% H- ni*a — 2ina * COS A = n‘a* -f- p*a% -j- 2 npa* COS A,

-f- /?* V — n*a% — p*a * = 2 (jn -f- pn)a ' cos A ,

COS A = Qi + mV-nV"PV __ 1 + —

2(m -+- pii)a% 2(/n 4- pn )

Connaissant Fangle compris et le rapport des côtés, on aura les deux angles et la perpendiculaire, et le troisième côté ; dans chacun des deux triangles, on aura la surface. Il est même inutile de connaître le rayon ; on prendra i pour le premier côté; on multipliera la surface par

Dans une sphère d’un rayon donné est inscrite une pyramide a base triangulaire. On a les rapports des six arêtes , on demande la solidité de la pyramide. Autres problèmes :

oc* ( jc — \^5)m = a5o. On demande quet est x?

XZ=Z71. 17 + l5 = 77Ï . 1 3, -f- I I =/? . IO + 3.

Quel est xl C’est un problème du genre de celui que j’ai résolu pour la période julienne, tome III, p. rjo^yAstr. Ces problèmes ont une infinité de solutions; mais on se borne au nombre le plus petit, qui satisfait aux trois conditions. On a tous les autres, en ajoutant les multiples du produit des trois facteurs connus de m9 n et p.

On connaît les latitudes DA et DB de deux étoiles, la longitude YL et la latitude LC d’une troisième étoile avec la distance CA à l’une des deux premières ( fîg. 86).

On cherchera P par les trois côtés dans le triangle APC, P = LD, VD= tL — LD; on en conclura, si l’on veut, les ascensions droites et les déclinaisons des trois étoiles.

Autre problème. = 4° > xz=z5=h

l’auteur indique rarement les solutions, à moins que son correspondant n’ait point résolu les questions; et par quelques-unes de ses solutions, il paraît qu’il employait encore la règle des six quantités de Ptolémée; mais c’était pour ne pas révéler ses propres méthodes; il désigne cette règle par le mot le secteur.

Le 6 octobre 1-463., on a vu à Ferrare une étoile à l’horizon avec 6o°3o' d’azimut du midi à l’est, et 3*56' avant le lever du Soleil. On* demande la longitude et la latitude de l'étoile ( fig. 87)?

OH et PH donneront PO et la déclinaison. On aura aussi OPH ; on a l’heure, on aura l’ascension droite du milieu du ciel et celle de l’étoile; on aura sa longitude et sa latitude.

Deux cercles se louchent intérieurement, on connaît leurs diamètres;.

RÊGIOMONTAX.

on demande la partie du plus grand qui se trouve couverte par le plus petit? C’est le problème des doigts de surface dans les éclipses.

Par les préceptes de Ptolémée, on ne peut arriver à la corde de i°. Il demande la corde de 20 ' qu’on peut calculer. Il reviendra plus loin sur le problème de la trisection de l’angle.

Blanchini avait fait des objections contre le problème des trois étoiles, dont deux n’ont aucune latitude. Il dépend d’un triangle dont on connaît les trois côtés; il paraît que ce cas était alors considéré comme très-difficile ; cependant la solution était dans l’ouvrage d’Albalegni.

Régiomonlan l’a résolu dans son livre IV des triangles, mais la solution était très pénible; il y revient dans son livre V. En attendant que son livre paraisse, il indique à Blanchini une règle qui emploie le secteur des Grecs, mais en y faisant entrer les sinus au lieu des cordes.

Ce morceau est curieux, en ce qu’il montre l’état des connaissances trigonométriques en Europe à cette époque ; nous allons le traduire en entier *( fig. 88).

Soit XQ une portion de l’écliptique; soit H le lieu de la premièrer é toile, R celui de la seconde; que la troisième soit en L, hors de l’écliptique, en sorte que LH = 6°i8' et LR=20°47'. De L comme pôle décrivons l’arc de grand cercle NOPQ, qui ira couper l’écliptique. Soit V le pôle de l’écliptique, VLXN sera le cercle de latitude de l’étoile L, et

LX sera la latitude. Continuez LH en O et LK en P,, vous aurez .

LN = LO = LP = 90% QN==QX = 9o°. Vous connaîtrez LX et la longitude du point X; vous aurez XN = 9o8 — LX. Suivant la règle du secteur, vous aurez

sin LN sin LO sin HQ

sin NX sinÔÎÏ ‘sin^X*

OU

cos a cos LH

sin HQ ,

. T1A cos LH ttv

ou sin I1Q == - = cos HX.

x COS- A

11 eut été plus court de dire sin HQ= , niais il a voulu que la

solution fût toute entière dans le style et la manière des Grecs.... HX = 90 — HQ; on aura donc la longitude du point H et celle du point R. On pourrait également se servir du secteur LNQR; on en tirerait QR et RX.

Si Ion connaît l’une des longitudes H ou R au lieu de X, la solution sera encore la meme. On ferait

sîn LN ____ sin LO sin IIQ sin NX £inÔÏI * «inQX*

1 1 sin HQ

cos a ços LH 1

OU

S5o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE

. T„ cos LH sin HO

et s,nHQ = -ï07r = lirQ--

Ici il annonce qu’on trouvera une autre solution dans son livre , alors ils auront , son correspondant et lui , ample matière à de plus longs entretiens.

Jusqu'ici il a supposé la connaissance des longitudes. Si 1 on ne connaît ni l’une ni l’autre, voici ce qu’il faudra faire, en supposant quou connaisse au moins X.

Dans le triangle LHK , on connaît les trois côtés. Si l’on connaissait seulement l’un des trois angles, on en conclurait les deux autres, d’où l’on déduirait LX etXH, et KX. 11 ajoute que dans le troisième livre de ses triangles, il a donné la solution du cas des trois côtés connus.

Mais tous ces moyens nous sont interdits ; voyons ce qui nous reste à faire.

11 est étonnant que Regiomontanus n’ait pas vu que celle solution ■était dans le livre d’Albategnius; mais l’auteur arabe fait son calcul en plusieurs parties, et Régiomontan n’a pas eu 1 idée de les rassembler. 11 paraît qu’il n’avait aucune connaissance des écrits d’Ebn Jounis , ni d’Aboul Wéfa, qui vivaient 45o ans auparavant, et qui étaient bien plus avancés que lui. 11 nous dit de considérer LOKQ, qui donne

sin LO sin LP sin KQ i * sin KQ

àînÔH ïïnPK * sïn QH * °U cos LU cos LK sin QH ’

cos LK sin KQ sin PK

ou cos LH — sïrTQH sin HO *’

il ne fallait pas tant de détours, puisque

sin PK = sin Q sin QK et sin HO = sin Q sin QII ,

sin PK sin QK

d’où — sin QII *

théorème connu des Grecs et des Arabes, On a donc le rapport on

a aussi la différence des deux arcs; on aura donc, d’après une règle de

Ptolémée, les arcs eux-mémes. Ou bien

sin IIQ sin (QK -f -a . . „

= — . „,7— = cos a -f- sin a cot Q K = n , sinQK sin QK ‘ x-

COt OK = n ~~ cos— = n coséc a — cot a.

K sin a

Mais Régiomontan ne savait pas se servir des tangentes.

sin LN sin LO sin HQ

sin XX. ~~ IlnÔH * âüïQX 9

Ensuite

ou

RLGIOMONTAN.

ï i sin HQ

^Î7a NX ~~ sin OH TÎ^QX 9

• t\t y 8111 UH

SinïNX= -r-T.-., sin HQ

et le problème est enfin résolu. Mais on voit combien l'opération est longue. La formule d’Albategni était plus courte, et n'exigeait pas une construction particulière.

Au second problème, Regiomontanus avoue qu'il a hasardé une supposition impossible. En effet les deux petits côtés de son triangle £°a6'4-8°45'= i8° ii', et le troisième est 55° 53'. 11 voulait éprouver si son correspondant avait lu le livre de Ménélaüs, qui a démontré que deux côtés quelconques sont toujours plus grands que le troisième, et il avoue qu’il avait eu de la peine à retrouver cette démonstration, parce que tous les manuscrits étaient altérés en cet endroit. On ne voit pas ce que cette démonstration avait de si difficile*

D’abord ( fig. 89)

cos AB = cos AD cos BD, donc cos AB < cos AD, donc AB]>AD;

cosBC=cosDCcosBD, donc cos BC<cosDC, donc BC>DC;

AB-f BC> AD-f-DC, ou >AC.

Voilà pour le cas où AB et BG sont aigus, et quand la perpendiculaire tombe dans le triangle.

Mais voici une démonstration générale. Supposons AB et BC constans, AC grandira avec l’angle B (fig. 90),

cos AC = cos B sin BC sin BA -f- cos BC cos B A ; soit

cos B = cos 0=1; cos AC =cos (AB — BC) , doncÀC == AB — BC;

cos B = cos 1 8o°= — 1 ; cos AC= cos (AB -j- BC), AC = AB -f~ BC ;

donc AC est toujours plus grand que la différence des deux autres côtés, et plus petit que leur somme, puisqu’il faut que les trois arcs soient dans le même plan pour atteindre l’une ou l’autre limite; et quand on a atteint l’une ou l’autre, il n’y a plus vraiment de triangle.

Regiomontanus démontre ensuite qu’étant données quatre lignes, telles que trois quelconques prises ensemble surpassent la quatrième, il sera toujours possible d’en former un quadrilatère inscriptible à un cercle.

Soient les quatre côtés C, C', C" et C'"; pour que le quadrilatère soit inscriptible, il faut ( fig. 91 ) que l’on puisse faire b=i8o° — a. Alors

C* 4- c'« -f- 2CC' cos *= C'a -f- C"/a — zC'C'" cos a,

( 2CC' 4- aC'C'") cos a = C C"s — C'* — C%

C"*4-C"*— C'‘Ca (Cw - O (C"+ O + (C." - O (Çg 4- Q .

cos a — 2(CC/ + C"C") — accc; C"C")

or ce cosinus aura une valeur possible, tant que le numérateur .

Cw*-f-C,/a C/a Ca ne surpassera pas le dénominateur 2(CC/+C,,CW).

a et b étant connus, on aura toujours les angles x et x\ y et y \ ou aura donc les arcs soutendus par les quatre cordes j car C = 2/’Sinj , C' = ar sin^ , C* = 2r sin x' et C" = 2r sin x.

Enua r — ” asm y 2 sinj' 2 sin a?' 2smx,

et le problème sera résolu.

Soient C = 5, C' = 4> C'=5 et C'" = 6;

cos * = 56 = I = H cos 64’57'a5-a’

tangi(«— ■ *')=(^?)co^a=(Tî)cot 3a*i8'4ï''5=,an857,f ’® a, ;

laDglCr-/)=(^éco‘Ti= © eot 57 -4> • >8.5

i(2:4-^')==57°41' ïCr+yr)= 52.18.41,5 %(jc — j/)= 8.10.46,5 ï (>-/)= 5. 9.40,5

fl =6 4.37.23 & = ll5.22.57

= ;in 65 . 62 ”5 — sin 49.3o.32 sin 37. 28. 22 31027.9.1 ' 7 '

*d-*'-hr +/'= 180 ;

nous avons donc satisfait à toutes les conditions, et la chose sera toujours possible, quand cos a ne surpassera pas l'imité qui donnerait fl=Z>= 180%

PtTaS- C'* 4- c"* — c* — O = aC"C' + aC'C ,

„„ C'* — 2C"'C + C"; — C* - aC'C - C‘ = o .

RÉCI0M0NT4N. 353

ou (C"' — C’)*=(C'+C)*, ou C — C''=C'+C, ou C"'=C«4-C'+C; le dernier côté sera égal à la somme des trois autres, le quadrilatère se réduit à la diagonale.

Si CW>G*-+-C'4-C, les quatre lignes ne pourront se joindre pour renfermer un espace. Régiomonlan , sans indiquer la solution, se contente de dire que le problème sera toujours possible, quand on aura C*<C"-+-C'-f-C.

C’est dans cette lettre, page i35, qu’il dit avoir’ trouvé à Venise le manuscrit non encore traduit ni même connu , des six premiers livres de Diophante. 11 ajoute que si l’on pouvait retrouver les sept autres, il s’occuperait à le mettre en latin, malgré la difficulté ; il parait même assez disposé à entreprendre celte version, pour peu qu’on le lui conseille.

Il parle assez brièvement de la méthode d’Albategni ( chap. XXV), et c’est pour la trouver défectueuse. Il ajoute pourtant qu’elle ne serait admissible que pour le colure des solstices où la déclinaison et la latitude

sont dans un même plan. Alors en effet ^ cos L'' = â = 1 > cependant,

à la manière dont il s’exprime, on serait tenté de croire que son manuscrit d’Albategni ne ressemblait guère aux éditions qu’on en a données.

Il propose ensuite ce problème. On a observé trois hauteurs et les deux différences d’azimut, on demande la hauteur du pôle et la déclinaison; il aurait pu ajouter les tems vrais des observations. Ce problème est celui de la rotation , d’après trois observations d’une même tache; nous retrouverons le problème de Régiomonlan dans l’ouvrage de Métius, avec la solution que Régiomonlan ne donne pas. En général, il ne donne que celles qui n’ont pu être trouvées par son correspondant.

On connaît l’ascension droite du milieu du ciel, 1 azimut du Soleil, l’angle de l’écliptique avec le vertical; il demande la hauteur du pôle, celle du Soleil et l’angle horaire.

On connaît l’angle de l’écliptique avec le méridien , l’angle quelle fait avec le vertical, l’azimut, c’est-à-dire l’angle du vertical avec le méridien, on a les trois angles du triangle; on aura donc les trois côtés; l’un donnera la hauteur du Soleil, l'autre conduira à la hauteur du pôle; alors on aura l’azimut, la distance zénitale et le complément de latitude; on aura la déclinaison et l’angle horaire. La principale difficulté consistait alors dans les trois angles qui devaient donner les trois côtés.

Pour rencontrer ce cas en Astronomie, il faut imaginer des problèmes

tout exprès , et voilà pourquoi sans doute les Grecs et les Arabes ne s en

étaient jamais occupés. . , ,

On a l’ascension droite d’une étoile, et Ion sait de plus que.... no* - latitude + 90» - déclin. = i8o*, c’est-à-dire que D+*=o; ainsi la déclinaison et la latitude sont égales, mais de signe contraire. L eto.le est en B (fig. ni) entre l’équateur et l’écliptique; menez TB, les triangles BAT et BCr seront parfaitement égaux et tous deux reclang es; a ongilude sera égale à Pascension droite ,

tang D = — tang X = sin Ai tang f « = siu L tang i <w : c’esl une remarque plus curieuse qu utile.

On connaît l’ascension droite du milieu du ciel, par consentent le point culminant, la déclinaison et l’angle de l’écliptique avec le méridien; ôn connaît de plus l’azimut de l’étoile qui se lève dans l’ecliptique ou l’azimut du point orient (fig. 9^)*

On en conclura

6inHC=tangHEcotC=tangZtangacosVC=tangZtang&jcosTMcosMC,

J£M=qo° — haut, du pôle =IIC — MC , cosCE=cosHCcosHE;

on aura donc le point orient, l’angle E et même la hauteur du Soleil.

On ne voit pas comment Régiomontan a cru pouvoir proposer ce problème à un professeur d’Astronomie.

Une étoile australe a une longitude = o. L’arc de son parallèle coupe l’écliptique au point dont la longitude est L ; sa déclinaison sera donc la même que celle du point L; ôn aura donc

sin D = sin a. sin L = cos a sin A, d’où sin X = tang a> sm L.

Un arc TA est de 3o% on demande à la suite de cet arc un arc AC tel, que la différence BD d’ascension soit égale à la différence AC de longitude; c'est un problème qu’il a résolu dans son livre des triangles. Voy. ci-dessus page 3i4*

On connaît (L + ^R.) , on demande L et JX;

tang Al = cos a tang L = (', ,atlg L »

tang Ai -f- tang* i tang Ai = tang L — tang* ' « tang L , tang L — tang Ai = tang* ^ « (tang L 4- tang ^R),

tang L — tang vR sin (L— Jt)

tang* ï « = L 4- tangÜ sin (L -f- Jt) ’ sin (L — = tang* ^ a> sin (L 4- ^l) ,

\ RÉGKWONTAN. S55

sans tangentes, Régiompnlau ne pouvait faire ce calcul , niais il aurait pu arriver à la njême formule par l’équation d Albategni

d’où

sin JR.

c9sAt °

sin L

cos L ’

sin JR. cos L = cos u> sin L cos Al — sin L cos JR — 2 sin* a sin L COS Al f sin L cos JR — sin JR cos JL = 2 sin* ^ co sin L cos Al

. . /sin (L + JR) 4* sin (L — At)\

.= 2 sin* > { - - - - j ,

sin (L — JR) = sin* { a sin (L -f- JR) 4- sin* { a> sin (L — Al) , sin ( L — JR) — sin* 7 a> sin (L — Al) = sin* 7 a> sin (L -f- Al) ,

sin (L JR) = 810 ÇL.4- __ tanga *. a sin (L -f- JR) = la rédaction à

l’écliptique qui sera la plus grande , quand on aura L 4- JR = 90° , ou Al = 90° — L , tang Al = cos ça tang L = cot L , et tang* L = séc a> , ou tang L = \/séc ù>.

Dans une éclipse de Lune, on demande la distance du point de contact aux deux points du disque qui sont dans le même vertical que le centre. 11 s’agit de trouver l’angle que la distance fait avec ce vertical.

L’éclipse étant de n doigts, déterminer la partie éclipsée de la surface. Voyez tome II, p. 232.

Trouver la prosneuse ; voyez mon Extrait du Commentaire de Théon,' tome II, p. 599. Pour le problème suivant, voyez la figure 94.

Deux astronomes ont observé le commencement de la même éclipse ; ils ont noté l’heure, la hauteur et l’azimut d’une même étoile. On sait de plus que la distance des deux lieux est d’un certain nombre de milles. On connaît ZE et ZE par les hauteurs, et ZZ' par la distance, on aura les trois angles ; on a PZE , on aura PZZ = PZE -J- X/.f . ; on a PZ'E, on aura PZ'Z = ZZ'E — PZE;

avec ZZ' et les deux angles sur ce côté, on aura PZ et PZ', c’est-à-dire les deux latitudes et la déclinaison par PE , et la différence des méridiens ZPZ'.

C’est un problème de fantaisie, qui ne peut se rencontrer que par un très grand hazard, qui n’offre aucune difficulté, et qui ne saurait être d’une grande précision.

On connaît le point de l’écliptique qui médie avec une etoile, et par conséquent l’ascension droite de cette étoile; on connaît la longitude de

l’étoile, et enfin l’angle du cercle de latitude et du cercle de déclinaison, c’est-à-dire que l’on connaît les trois angles du triangle, a letoile et aux deux pôles; on connaît même la distance de ces pôles ou 1 obliquité, cette dernière donnée est de trop; sans elle, on pourrait calculer la at.tude et la déclinaison. Mais, comment avoir l’angle de position, s, Ion ne

connaît la déclinaison ou la latitude ? . .

On connaît la somme des trois côtés de ce triangle, et c P ascen sion droite. Soit A=(go — D)-f-(ç)o0 — A)-f-o>, A &>=i8o A, . ..

D-j-A=i8o0’ — A-f-a>=B; on aura donc (D-J-A) et A=(B D); alors

sin A = cos a) sin D — sin a> cos D sin Æ. = sin B cos D — cos B sin D , cos a> tang D — sin a> sin Æ. = sin B — cos B lang D ,

sin B -4- sin o sin Jl

tang D (cos o> -f- cos B) = sin B -f" sm ® S1Q & y tan8 ^ — cos B 4- cos »

Soit un triangle ABC tel, que AB = i8, AC = a5 etBC = 2g(fig. g5> Prenez sur BC la partie BD telle, que menant AD, vous ayez

BD* -f- AD . AB = AB*,

trouvez BD et je vous donnerai la .corde de i*. On voit qu’il s’agit de la trisection de l’angle; l’auteur n’en dit pas davantage, et ne donne pas la solution.

Cherchons d’abord les trois angles par les trois cotes.

tang* i B = — • aa 22»

1 — tang* \ B * t: 7 1 ^

5B==7-Hta^lB""i+À aa + 7 29

On peut remarquer dans tous ces nombres les deux termes du rapport d’Archimède. Soit^r=y, cosB=^^, tang jB = -çp=; col 7 B =\/Ït ,

et B = 58*5i'9r.4 ; la vraie valeur de 7 r donne 58°5i'4^*

Nous aurons de meme

sin*i A = ^| — £y cos*7 A — a5> tan8* I T49

cosA=|, A = 83” 6' 28", 4.

RÉGIOMONTAN.

ta-tc=S,«..-iC =2S=e«ï

lang* J C = j?jg , C — 38* 2' aa",2.

L'équation BD+ AD . A B= AB*, ou BD==Afr— AD . AB=AB(AB — AD) ,

donne AB — AD = 2?.

Le triangle donne AD == AB -f- BD — 2 AB . BD cos B ,

ÂB~ÂD==(AB — AD)(AB-l-AD)=2AB.BDcosB— BD==fgAB.BD — BD^