EH = 90* — GE = 90* — GAE = 90° — FAC
Régiomonlan cherchait donc le complément du premier angle vertical; il eu concluait le second. Celle construction est abandonnée; nous avons mieux.
On peut simplifier ces solutions en y introduisant les tangentes
sinBD:sinCE :: siiiBHtsinCH,
lang;(BD-4-CE): tang((BD — CE) :: tang-j(BH-f-CH):tangî(BH — CH) , ,aDSï(9°* — AB+go’-— AC) : tang) (90”— AB— 90+AC)
:: tangi(BC-f-CH-f-CH):tangîBC ,
lang (90* — AC+AB); tangi(AC— AB) :: tang(iBC-(-CH):taogiBC
:: tang(BII — jBC):tangjBC, col v(AC-f-AB):tang )(AC — AB) :: tang(BH — )BC):tang jBC, lang (BH — i BC) == tang i BC cot ) (AC-+- AB) cot f (AC — AB) col (BH — ï BC) =cot ) BC tang-j (AC-f- AB) tang j( AC — AB) = tang f (x — y). Aslr., tome I, 171.
On connaît BH et CH, BD et CE; ou a cos DH == — = — n
— * m* Kl) «in An
cos EH =
cos CH _____ coj CH côTeE sin AC 9
sia C =
sin EII
jiu Cil 9
sia B =
sin DH sÏÎTBH 7
A. = DE = DPI — EH, et le# trois angles sont connus par cinq ana-
RÉGIOMONTAN. Si 5
Jogies. Pour les côtés par les angles , dans les deux triangles rectangles en D et en E ,
sin H cos DH = cos DBH = — cos ABC = — cos B , sin H cos HE = cos C ,
— cosB:cosC :: cosDH :cosHE ,
— cosB-f-cosC :-f-cosB-f-cosC :: cosHE+cosDHtcosHE — cosDH, asing(B— C)sini(B-+-C): acosî(B — C)cos;(B+C)
::acosKDII+HE)cos:(HD— HE):asini(DH— HE)sini(DH+IIE), cot j(B-j-C)cot|(B — C)=tangi(DH-|-HE)tang-|(DH — HE), cot |(B+C)coti(B— C) col J A= tangî(DH-f-HE)
—tangï (DE-f-aHE)=tang(HE+îA), DH=A4-HE=A+(HE-f | A)— iA=iA+{HE+ïA) sin BH=
sinCH=s-î~; BH— CH=BC, sinBD=cos AB=tang DII cot DBII, sin CE =cos AC = cot C laDgEH, cosII= tangDHcolBH ,
ainsi la solution de Régiomontan , sauf quelques modifications introduites par l'usage des tangentes, est la même au fond que la solution des modernes; il est vrai cependant de dire que la formule qui sert de fondement à ces solutions, et qui est de Néper, n’aurait jamais etc trouvée, si l’on s'était borné, comme les Grecs et Régiomontan à prendre la somme ou la différence des termes de chaque rapport; il fallait prendre à la fois la somme et la différence.
En prolongeant les côtés, on change le triangle obliquangle en deux triangles rectangles qui ont un angle commun; l'un des angles se change en son supplément, l’autre reste le même; l'autre se change en un arc qui lui sert de mesure; deux côtés se changent en leurs complémens, le troisième est la différence des deux hypoténuses ou des segmens de la base. Les angles verticaux se changent en deux arcs qui les mesurent; la perpendiculaire se change en un angle qui en est le complément. Cette méthode est tombée dans l’oubli, mais elle était ingénieuse.
Problème 5. Étant donné les deux angles et la somme des côtés opposés, trouver le reste,
sin A : sin A' :: sin G : sin C',
d’où •
Ung î (A 4- A') : tang i (A — AO :: tang i (C + CO : lang ï (C — CO-
3i4 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Regiomonlanus emploie un principe de Ptolémée qu’il a démontré liv. IV, p. 2 1 .
Problème 6. Etant donnés les deux angles et la différence des deux côtés, on trouvera la somme par la formule précédente. Régiomontan se sert encore d'un théorème de Ptolémee.
Problème 7. Si un arc divise en deux également l'angle au sommet , les sinus des segmens de la base seront entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent l’angle. Je ne me souviens pas d’avoir vu cette proposition clics les Grecs, mais ils avaient le théorème analogue pour les triangles rectilignes.
Problème 8. Si vous avez deux triangles rectangles ABC, DEC(fig. 70) qui aient l'angle à la base égal et connu, et que la différence AD deshypoténuses soit égale à la différence BE des bases, vous pourrez en déduire tout le reste, si vous connaissez encore un côté quelconque.
Dans un opuscule intitulé Fundamenta Operationum f]uœ per labulam généraient fumt , Régiomontan s’est proposé ce problème, trouver les arcs de l’écliptique qui sont égaux à leurs arcs correspondans sur l’équateur
siii (À' — A) cos # cos À cos A' cos «
sin (L/ — L) cos L cos L' cos D cos D' 9
car cos I* = cos A cos D , et cos L' = cos A' cos D\
Régiomontan, au problème 1 du livre V démontre synthétiquement
, . sin (A' — A) cos «
1 équation = ~ fr éoTD’
Si A' — A = L' — L, on a cos D cos D' = cos a ; ainsi l’un des côtés D — DE, D' = AB étant connu, on aura l’autre; avec les deux déclinaisons on aura les deux longitudes et les deux ascensions droites. Si l’une des longitudes est connue, on aura l’une des deux déeliiiaisoDS, d’où l’on conclura l’autre, les deux longitudes et les deux ascensions droites. Enfin si l’une des deux ascensions droites est donnée, on aura la déclinaison correspondante, l’autre déclinaison, les deux longitudes et l’autre ascension droite.
Soient R et R' les deux réductions àTcquateur,
A'=L'— R'j(A'-AML'— L)~R ~R . R' — R=(I-' — L) — (A’ — A)=o; donc R— R.
RÉGIOMONTAN. 3i5
lang (L — R) :
: cos ta lang L
tangL — lang B
i 4- tang L tang R * lang L — tang R = cos ta lang L cos « tang* L tang R , lang L — cos ai tang L = tang R ■+■ cos ai tang* L tang R ,
r, asin*4«tanaL asm*;«tangLcos*L a sin* j «sin Lcos L
taugn. — —
1 4- cos • tang' L cos*L 4*cos« sin*L cos*L4“sin*L — a sia*li»sin*L
sin»; «sin aL sin» ;«sinaL
. /i — cosnLN-- i — sin* V « 4- sin* j » cos aL i-as.n*;.^ à )
tang’i a sin al,
” ” 1 4- lang* cos aL '
c’est l’expression générale que j’ai dounée pour la réduction; mais si R = R', on a
tang* ; m sin aL* tang* j » sin aL
i 4-lang* J«cos aL' 14- lang* i » eos aL* gin aL' __ sin aL
U 1 4- tang* ; a cos aL' 1 4- tang* j « cos aL*
sin aL'+ lang* j ta sin 2L' cos aL=sin aL' 4- lang* ja sin aL cos aL', sin aL' — sin aL = — lang*j ai(sin aL' cos aL — sin aLcos aL') ,
2 sin (L' — L) cos (L' + L) = — tang* 7 ta sin (aL' — 2L)
= — 2 tang* j ta sin (L' — L) cos (L'— L) , et cos (L' 4- L) = — lang* £ ta cos (L' — L) ;
cette expression uous permet de prendre pour (L'—L) une quantité arbitraire quelconque, et d’en déduire la valeur correspondante (L -fl*) et par suite L' et L. L' — L=o est la limite qu’on ne peut atteindre ; car, si L' = L, on a de même D'=D et A'==A. Les deux points où la réduction est égale n’en font plus qu’un seul; c’est ce qui arrive avec l’obliquité 25* a8', quand
cos (L' -(- L) = — lang* -j ta =cos 92*28' 20*, L'=L=4G* 14' 10
i-C0s(L'+L)=asin*j(L'-t-L)=asin*;L'=2sin*L=t+tang*jai=séc*;ai ,
. , , • , SCC \ a »in
sin L = sm L = —7=- = -!-! i „
y a cos j» cos a »
cos (L' -f- L) sera toujours une petite fraction; car
cos (L' -f-L) = — tang* J « cos (L' — L)= — sin a* 28' ao" cos (L' — -L) ,
J.'+I, a pour limites 92* 28' 20", et 87*3i'4o''; et dans l’antre moitié de l’écliptique, 273*28' 20", et aG7*3i'4o". L' — L étant donné, on voit
comment on petit calculer une table des valeurs de (L'-f-L) qui , pour chaque supposition de (L' — I.), donnerait les deux valeurs de L et de L', c’est-à-dire quatre nombres pour chaque supposition.
Si (L' — L) = go“, cos (L'-}-L)=o:=:cosgo*, L' = go* et L=o,
— tang’i®
co» (L' ■+■ L) co» L' cosL— »in L'»in I.
co» (L' — L) cosL'co» L -f-sinL'sint.
1 — tang L' tang L i-t-taugL' tangL’
d’où
tang L' tang L
i +tang*l»
i — tang* J «
cos * *
et cos«tangL'=cotL=langA'; donc A'=go*— L, et L=go* — A', et cosatangLs^olL'srstangA; donc A=go* — L', et L'=go* — A,
L ' + L = go* — A -f- go* — A' = i8o*— (A' -f- A) ,
L' — L = go° — A — go* -+- A' = (A' A) ;
I, étant donne, on aura donc A' = go* — L, tang L' = , et
A = go* — L'; on peut donc faire une table qui, pour chaque valeur de L, donnera L', (L' — L) = (À' — A). J’avais calculé cette table, mais je l’ai supprimée comme pen utile. J’en avais fait une autre qui ,pour chaque valeur de (L1 — L) = (A'-— A), donnait les deux valeurs de L' et les deux valeurs de L.
Cette quadruple solution se tronve de même dans la formule de Régiomontan cos D' = ^p. D étant donné, on en conclut D'; mais D' appartient à 1/ et à 180 — L'; supposez — D , vous aurez — D' qui appartient à i8o“-(-L' et 56o* — L'.
Régiomontan, sans tangentes, ne pouvait trouver ces théorèmes qui sont certainement la partie la plus curieuse de son problème. 11 s’est borné à l'équation cos D ' cos D == cos u> ; mais quand (L' — L) = 0, on a L'=L et D' = D, cos D cos D' = cos* D = cos « ; cette formule pourrait n’ètre pas assez précise dans la pratique. Mais
sin*D=i — cos*D=i— >cosa=3sin‘;w, et tane*D= Ces for-
mules donneront plus d’exactitude.
Quand Régiomontan a calculé la déclinaison D qui a lieu à la plus grande réduction, il décrit du pôle de l’équateur à la distance go* — D, le parallèlè qui coupe l’écliptique au poiut de la plus grande réduction. Ce procédé pratique est simple ; mais il est encore bien plus court et plus exact de calculer cos sL=:— tang* f».
RÉGIOMONTAN. 517
Mais aL=i8o*— aA, L — A = R = réduction la plus grande, L = go“ — A =go° — L-f-R, aL=()o°+R, L=45° + 7 R; ainsi la longitude L à la plus grande réduction R, est égale à 45“-J-jR. L’ascension droite qui en est le complément sera donc =45“— 7 R- Ce sont les formates que j’ai données, il y a plus de 5o ans.
— tang* i a = cos aL = sin R ; c’est encore la formule que j’ai donnée pour la plus grande réduction; prenez pour ai l’inclinaison d'une planète, et R sera la plus grande réduction à l’écliptique, et.......
tang R = r^^ngI"1«'œj'âL * réduction à l'écliptique; on aura donc en général
;• £ m sin aL
tang* m sin 4L (in i"
tang*î «sin SL ' sin 3* '
Le premier ternie suffira ordinairement pour les planètes.
Le problème de Régiomontan, considéré plus généralement, peut s’exprimer ainsi : Trouver la relation entre les côtés d un triangle sphérique , lorsque le troisième côté est égal à F angle opposé.
Dans ce cas, la formule devient sin C sinC' = cos<a; mais dans ce cas aussi cosa> = sinus perpendiculaire abaissée sur le troisième côté...., = sin P = sin C sinC' = sinCsiu A' = sinC'sin À ; Ai et A étant alors
les deux angles sur la base, sin A = sin A' = mais l’un des
deux angles peut être obtus. La solution est double ou même quadruple. Cette manière de considérer le problème mène exactement aux mêmes formules; il est inutile de la développer davantage.
La table générale dont il est question au problème 8, est construite sur la formule sin A = sinBsin C ; elle est à deux entrées. Deux de ces arcs étant donnes, elle sert à trouver le troisième. L’auteur a donné eu 58 articles la solution de plus de 60 problèmes d’Aslronomie sphérique, qu’il résout par des opérations plus ou moins nombreuses; c’est une espèce de Trigonométrie par les sinus, sans mélange d'autres lignes. Nous retrouverons ailleurs ce qu’elle renferme de curieux. Problème 9. Connaissant (C — C'), sinC sinC', trouver C et C'. Nous ferions
cos (C — C') = cos C cos C' + sin C sin C', cos (C — C') — sin C sin C' = cos C cos C';
sous aurons donc cos C cos C'
cos (C + C') = cos C cos C' — sia C sia C'} nous connaîtrons donc (C-j-C'), C et C'.
On voit par la solution de Régiomontan et par tout le reste de son livre, qu’il ne connaissait aucune des formules
sin (A ± B) = sin A cos B =fc cos A sin B, cos (A ± B) s* cos A cos B =)= sin A sin B ,
cependant ces formules sont dans Ptolémée. Régiomontan avait étudié et commenté la Syntaxe mathématique ; on pourrait soupçonner qu'il veut, dans ces divers problèmes, tirer tout de son propre fonds, et ne rien devoir aux autres, (fig. 70).
Problème 10. Si deux triangles ont un angle commun et connu C, que la différence AD des hypoténuses soit connue ainsi que la différence des bases, on trouvera tous les côtés. Nous aurons par ce qui précède
sin (('B — CE) cos C fin (AC — CD) sin (CB — CE) cos BC cos CE
cos CB cos CE cos ÀC cos CD * sin (AC — CD) cos C "" cos AC cos CD
Le premier membre est tout connu, le second est donc une quantité connue, ou pour abréger
, ^ sin BE cosBCcosCE cos BC cos CE 1
' ' -in AD cos C cosAC cos CD coj BCcosAU.cosCEcosDE coa AB cos DE ’
de plus
cos AD = cos P sin PA sin PD -I- cos PA cos PD
= cos BE cos AB cos DE -f- sin AB sin DE par la formule(o) = cosBE — - C -f- sin AB sin DE
= cotBE sin AD cos C -f- sin AB siu DE, cos AD — col BE sin AD cos C = sin AB sin DE;
ajoutez cos AB cos DE d’un côté, et de l’autre sa valeur -ln coa **
suifiE
cos AD-
cosBEsin ADcosC . tioADcosC
siu Blô
u BE
= cos AB cos DE + sin AB siu DE
cos AD-f
sia AD cos C bin BE
= cos (AB — DE),
( . — COS BE) = cos AD 4- ?.8il> AD coa C »in* j BE ' 3 sin i BE cos I BE
= cos AD-i-sio AI) cos C lang-j BE = cos ( AB— DE);
RÉGIOMONTAN. 3 19
vous aurez donc (AB— DE); mais, par son cosiuus, ce qui peut n'ètrc pas assez précis; au Heu de prendre la somme des deux équations, prenez-en la différence
jinADcosC . un ADcosCcosBE
«io BE 1 sis BE
=cos(AB-4-DE);
sin AD coj C . a cos’i BE
-cosAD=cosABcosDE — sinÀBsinDE
a sin i BE coj , LE
atn AD cos C . nr. 1
— i' BE— 0 +COSBE) — cos AD,
■ cos AD = si n AD cos C cot J BE — cos AD
= cos (AB 4- DE);
vous aurez donc pour l'écliptique
cos (D'+ D)=cos a* sin (L' — L) col j (AV — Al) — cos (L' — L) , cos(D' — D)=cos(L' — L)-f-cosaisin(L' — L) tang)(AV — Al);
relations générales qui font trouver les déclinaisons par les différences de longitudes et d’ascensions droites, les ascensions droites par les différences de déclinaisons et de longitudes, enfin les longitudes par les différences de déclinaison et d’ascension droite. La somme de ces deux
équations donne cos D* cos D s= > qu* se réduit à
cos D' cos D = cos in , quand (L' — L) = (Al' — Al).
Il serait difficile de tirer ces relations générales de la solution plus embarrassée de Régiomontan.
Problème 11. Soit donné *A,-> = tang J A; on
sin A asiujAcüj;A ’
aura donc l’arc A par le rapport de son sinus verse à son sinus droit.
Au lieu de celle solution si simple , par les tangentes, ou meme au lieu
de faire comme les Grecs a= et 0*= - --- , Régiomontan
coj! a , — ajin'jA ®
prend de longs détours qui prouvent qu’il n’avait pas senti toute l’utilité des tangentes.
Problème ia. Si dans les équations du problème 10, vous prenez pour inconuueBE, vous la déterminerez en renversant nos formules. Régiomontan, faute de tangentes, y emploie des sinus et des sinus verses et le calcul est bien plus pénible.
Problème i3. Connaissant (C — C') et (sin C —sin C'), faites
a = sin (C — C') = 2 sin ) (C — C') cos i (C — C') , b =: sin C — siti C' = 2 sin j (C — C') cos j (C -f- C')
vous aurez
a en 1 (C — C')
S cos i (C -f- C') *
cos i (C + C') = (s) cos j(C — C') = cos i ( C - c')
ain (C-
= (sinC— sinC') ■ ,
' ' asm { (Ç — Cjcos ; (C — C )
ï(sinC — sinC’)
siaKC— C)
Rcgiomonlanus prend de longs détours, mais ici ce n'est pas pour éviter les tangentes.
Froblème i4- Il démontre d’one manière nouvelle, et qui n’est pas plus facile, le théorème cos A'= cos C' sin A qu’il a démontré plus haut par les triangles complémentaires. Nous avons vu que Géber est l’auteur de ce théorème très utile et qui manquait aux Grecs.
Problème i5. Circonscrire un cercle à un triangle sphérique donné.
Les trois cordes seront asinjC, asinjC', asin^-C"; cherchez les trois angles, vous aurez rsin jA=sin-jC, rsin jA’=sin^C', rsin~A,'=sin;C’1; vous aurez trois formules pour trouver la distance polaire A, en faisant
siu
^ sin î C sin ]
C sin 1 C'
sin i A sin 1 A' sin i A*'
La solution de Régiomontan est toute sphérique. Vous connaissez les trois côtés, vous aurez l’angle C (<ig. 71 ); sur le milieu de BC élevez la perpendiculaire FE, vous aurez FE, car tang FE= tang C sin j BC ,
cos E = siu C cos j BC et tang CE — ; prenez CG =7 AC,
GE = CE — CG = CE — -j AC , tang HG = tang E sin GE , cos CH=cosiACcosHG} II est le pôle, HC la distance polaire du cercle à décrirei
Régiomontan commence par abaisser la perpendiculaire AD dont il ne parle plus et qui est inutile; il n’emploie que les siuus, ce qui allonge les calculs.
Celte construction exige cinq analogies assez simples; mais on peut trouver CH par deux analogies connues (fig. 7=0- On demande le pôle du triangle AA'A''; soit P ce pôle, il sera à égale distance des trois sommets A, A', A*; PA=PA'=PA'; les trois triangles APA', A'PA", A'PA seront isoscèles.
Abaissez les trois perpendiculaires Pu, Va', Pu*; elles partageront en deux également les côtés C, C' et C*.
Vous aurez
tang AV= tang PA”cos PA V, ou tang iC' = tang A cos r, tang A'a = tang PA' cos P A’a , ou tang^C =tangAcosx,
RÉGIOMONTAN, laug i C' : tang j C :: cos^* : cos x;
Ung J C' + Ung {■ C : tang j C' — lang C :: cosj- cos x : cos y — cos x , sio j (C' + C) : sin ~ (C' — C) :: a cos j ( x — j) cos a (x -f-j)
: a sin i (x — /) sin i (x +jr) :: i
: tangK^-7)!ang '-(x+7)=,£r^-^§.
» f- ~\ »inKc' — rDcotKx4-y) »mi(C'— C) — ,, K, l/il a\.
tang Ï {*-r) n^C+C) .ini(C'+C) cot , A lang . ; A. A) ,
ainsi i (x — j) = r (A' — A) ,
JT =i A'-iA' + i A = i A"+i A' + i A-A'=(r-A'),
Une A — tan^’r — ta”Sîc tanSÎc' t»"K î <?
® cos.c cos(r— A) cos y cos (»■ — A')‘
Ces formules sont bien simples, mais od peut éliminer les côtés oa les angles; ainsi (Astr., t. l,p. »75)
^ A ( f ^COsrcOà(r— A) J / — COsr
V COs(r — A'}cos(r. — A’)cos*(r — A) v cos(r— A)cos(r — A')cos(s'— A')
(— cosr)cos(r— A)cos(»- — A')cos(r — A' )*
formule élégante que M. Sorlin m’a communiquée sans démonstration.'
— cos g- X — cm r — cos «• x — cos»-
an^ — cosrcos(r — A)cos (r— A*) cos(c— A") j sia* C" sin* A sia" A'
(Astr., t. I, p. 175). .
jsin‘Asin,C'sin’C,'=sinSsin(S — C)sin(S — C')sin(S — C’) (.-fstr., 1. 1, p. 173), isin*A'sin’Csin*C'=sinSsin(S— -C)sin(S— C')sin(S — C') , «
ïSin*Asiu,A'sin*C".'Sin*Csin*C'sin,C"
=[sinSsin(S — C)sin(S— C')sin(S— C'')]*,
jsin*Asin>A'sin*Cll=^si°S-8— t.l, p. aSa),
— cosrX— co3^X’s»n,Cain*C'sin*C*
^iSu(j — C)sin(S— C')t»iii(5— C“) j*
/ ;5iii,Cÿin*r/3iD9C*,sinS3in($ — C)s in (S— C/)sin (S — C*)\
\ 4cos* t Ceo»* JC co«*£C# /
4co$*-‘ CcO»* jr/cOll’IC* (j«inS«in(S — C)sin(S— 4?)sin(S— C")]* sin,îCco5,îC . 4»m,iC,cos*^C/ . 4**n*l;C/co**»C*\ 4cos*iCcos,7<Vco9,,LC' J
[«inSdia(S— C)3io(S — C)sin(S — C")]
4sin*iCainil;C/siD,;CIT
* ^inSsin(S— C)sinQS— C)3in(S — Cr)] 9
as in jjCsi n J C'sin \C
-y, formule de Lexell.
[»inSsin(S— C)sin(S— C')sin(S— C*)3*
Voilà donc trois formules directes et faciles pour les cas où l’on connaît deux cùte's et l’angle compris, trois angles ou trois côtés.
Pour inscrire un petit cercle au triangle , on partagera les trois angle» en deux moitiés, et l’on mènera les trois perpendiculaires Pa, Pa', Pa'
tang Pa' = sin A "a' tang } A" = srn A a' tang ;A,
sin AV : sin A a " tang 7 A : tang 7 A",
sinAV+sinAa'rsinAV — sinAa':: tangiA-f-tangjA": tangjÀ — tangjA",
tang;(A"a-f-Aa'):tangj(A"a' — A a') :: »in7(A-f-A").'sin7(A — A”),
A„''i s!nï(A — A')tangi(A'aH-Aa')iiioi(A— A*) , fr,s
long, (A a— Aa; + “ .¥Ï(A + A-) ,ang*îu>
==langï(C — C*)»
7 (A"a' — Aa') = 7 (C — C'') ,
AV = iC'-f iC — iC" = iC + iC' + iC"- C' = (S — C"),
Aa' = f C' — fC + iG'sjC + jC' + iC" — C = (S — C), . tang A = sin (S — C*) tang 7 A"=sin (S — C) tang 7 A’
• /c /«in(S — C') sin (S — C'
s=sin(S — C) U — • V • ,g ^ —
v yV «in Sain (S — C)
^/sin (S — C) gin (S — C) sin (S — C*)
sin S
4 /sin S sin (S — C) sin (S — C^sin(S— C*) .
— V ^nS ’ r
flinSsin(S— C)sin (S— r/)sin(S — C*) i«in*A*sioaCBÎA*CT e . * *
«ang A = ÏETs = *»•
mais
donc
tangA:
i sin* A" sin* C sin* C' =
7 sia* A sm‘ A »in*
V) co a (r — A')]*
COi«COS(r — A)cos(r — A')cos (»*— A”)
^niuAsinA'smA'sinS
— eoocwfr— A)coa(« — A')co»(«^A*)
»in jAcosiA . a,ini A'co^lA'asiniA’co, i A*
33in| Asinj A sinî A
C— COSrCOsfr— A)OOS(^ — À^COsfr — À*)”]T ,
=L ÏToTîLkx'ïvW -^PaSc a34).
Ces formules sont analogues à celles du cercle circonscrit ; elles sonr
RÉGIOMONTAN. 3a3
plus curieuses que vraiment utiles. Ce problème est le dernier du livre de Régiomontan sur les triangles. Cet ouvrage doit être un tableau asser. complet de ce qu’on savait alors de Trigonométrie rectiligne et sphérique. Les découvertes de l’auteur ne sont pas bien importantes; elles se bornent à quelques théorèmes de détail que notis avons fait remarquer à mesure qu’ils se sont rencontrés; il nous reste à extraire quatre ouvrages posthumes , son Calendrier , le Recueil qui contient ses observations , son petit Traité de la Comète , et ses Lettres.
Kalendarium magistn Joannis de Monte-Regio viriperitissimi. Ce même titre est exactement répété à la fin, où de plus on lit : explicit féliciter Enhardi Ratdolt viri solertis exi/nid industriâ et mira imprimendi arte quà mtperV eneliis ruine Augustes vindelicorum excellit nominatissimus , 1499.
Ce calendrier était destiné aux années 1475, i4g4 et i5i5, dont l’intervalle est de 19 ans ou d’un cycle entier. Dans une seconde édition, on a laissé en blanc la colonne de l'an 147S devenue inutile. Chaque mois tient deux pages. On y voit les phases de la Lune , les jours du mois , les noms des saints, les longitudes du Soleil, celles de la Lune et de son nœud, la figure des éclipses qui devaient avoir lieu depuis 1483 jusqu’à i53o.
On trouve ensuite une explication succincte des articles de ce calendrier, des tables de la demi-durée du jour pour les latitudes depuis 36 jusqu’à 55*, et pour tous les degrés de la longitude du Soleil , de trois en trots.
A la suite, nn procédé graphique pour faciliter la description du cadran horizontal à une hauteur du pôle quelconque; un autre pour tracer une méridienne. v
L’auteur vient ensuite à la description de son carré horaire ( quadi-alum horarium ), dont voici la traduction littérale.
En quelque habitation que vous soyez , vous trouverez les heures du jour par le carré horaire inséré dans ce livre ( fig. 7a), si vous commencez par bien examiner l’ofllce de chacune des parties de l’instrument.
L’échelle des latitudes est formée de lignes qui se croisent; celles qui sont parallèles entre elles, font connaître les élévations du pôle par les chiffres qui en sont les plus voisins à droite. Celles qui descendent en convergeant, marquent les signes du zodiaque et leurs degrés de 10 en 10, indiqués par les symboles des signes.
Pour plus de clarté, nommons zodiaque de l’habitation chacune des lignes parallèles. Chacun de ces zodiaque est divisé en signes et en degrés
par les lignes qui descendent en convergeant. Sous cette échelle des latitudes , on trouve deux suites de nombres horaires. La rangée supérieure sert pour les heures avant midi; la rangée inférieure, pour les heures après midi. Chaque ligne est accompagnée de son numéro. A la dernière de ces heures, c’eSt-à-dire à celle de midi ou 12*, on a joint une échelle divisée en certains espaces dont chacun représente 10”. Ces signes et ces degrés sont également accompagnés de leurs symboles. Cette dernière échelle pourrait , sans impropriété , s’appeler le zodiaque du midi. Au-dessus de la première est attaché par un bout un bras mobile qui se plie sous tous les angles possibles ; appelons main l’extrémité Vie ce bras; cette main porte un fil à plomb; le long de ce fil peut glisser un nœud qui doit servir à montrer les heures. Sur la dernière et la plus élevée des lignes de latitude, ou sur le dernier zodiaque, il faut placer à gauche un corps opaque tel qu’une boule de cire qui puisse jeter uu ombre en arrière, quand on le présente au Soleil.
En quelque habitation, c’est-à-dire sur quelque parallèle que vous soyez, choisissez votre zodiaque , conduisez-y la main du bras mobile, arrètez-la sur le degré que le Soleil occupe pour le moment; et laissant pendre librement le fil à plomb , conduisez ce fil au degré du Soleil sur le zodiaque de midi ; amenez le nœud ( ou la perle ) sur la degré du Soleil. Tout étant ainsi disposé, présentez au Soleil le côté gauche de l'instrument, en sorte que l’ombre de la boule de cire s’étende le long de la dernière ligne de latitude; tout aussitôt la situation du petit nœud, entre les lignes horaires, vous indiquera l'heure que vous cherchez.
Régiomonlan n’eu dit pas davantage. On voit que son carré horaire est l’analcmme rectiligne universel; mais, dans la figure qui est au bout du livre, les latitudes ne passent pas 54°, et les heures voisines de raiuuit ne passent guère Celle de 4* du matin et de huit heures du soir. Les degrés de latitude ne sont marqués que de trois en trois; les zodiaques sont divisés de 10 en 10°; le bras mobile est composé d'une règle de cuivre coudée qui peut s’allonger et se raccourcir. L’extrémité qu'il appelle main est plus étroite; l’extrémité opposée tourne autour d'un boulon qui s’attache au milieu d une règle de cuivre fixée par trois vis au-dessus de la dernière ligne de latijjjde. La figure porte pour litre : Quadratum horarium generale.
La construction est assez détaillée pour que l’on puisse exactement imiter la figure sur des dimensions plus grandes , pour en mieux concevoir le jeu. Du reste aucun détail sur la manière de placer et d’espacec
RÊGIOMON TAN. 5*5
les lignes horaires; mais c'est encore ce qui était le plus aisé à deviner; l'inspection des deux échelles indique aussitôt deux lrigones des signes.
Rien ne montre à quelle dislauce il faut les placer; on voit que les lignes de chaque latitnde doivent être fonctions de cette latitude, mais on ne dit pas quelle fonction. Les zodiaques particuliers doivent dépendre de la latitude et de la déclinaison, mais rien ne dit que leurs points de division doivent se marquer par la formule tang II tang D. Pour tout le reste, il faut absolument deviner. 11 n'est donc pas bien étonnant que la démonstration ait été long-tems omise et sans doute ignorée de tous les auteurs de Cnomonique. Régiomontan ne s'attribue pas cette invention; il n’en nomme point l'auteur, mais l'étude parti-culière qu’il avait faite des livres arabes noos persuade qu’il tenait cette invention d'un auteur de celle nation. En attendant , rien n’empèche’ qu’on ne la donne à Régiomontan, par qui nous la connaissons, jusqu’à ce que nous la retrouvions dans un livre plus ancien que son Calendrier, dont l'édition que j’ai entre les mains est de 1/199.; ma's csl v*“ sible que l’ouvrage devait paraître avant i475; j’ignore la cause qui' l'avait retardée, et à quelle époque précisément il faut rapporter les dernières pages de ee volume où se trouve la description que nous ve-' nons de traduire. L’auteur est mort en t47&
L'auteur parle ensuite des heures temporaires, car son carré est pour les heures égales. Pour convertir ces dernières en heures inégales, ildonne une figure aisée à imaginer. Elle suppose la connaissance de l’arc semi-diurne, après quoi il ne resterait. à faire qu’une règle de trois.
L’arc diurne : 180* :: le nombre des’ heures égales : celui des heures inégales.
Enfin, comme on lui demande quelquefois les tems les plus favorables sla saignée , et que la-Lune, suivant qu’elle occupe tel ou tel signe du zodiaque, peut avoir en cela une très grande influence, il expose les qualités diverses de ces signes et les parties du corps humain sur lesquelles ils exercent leur empire; et non content des règles générales qu’il donne en cet endroit, il promet un traité tout exprès sur ce sujet important. Ce n'est pas la première preuve que nous avons de sa crédulité; mais nous croyons devoir rapporter ces traits de faiblesse dont les meilleurs esprits n'étaient pas exempta alors.
L’ouvrage est terminé par des réflexions sur l’anticipation des équinoxes et sur le désordre qui en résulte dans la célébration de la Pâque. H •si tems d’entreprendre une réforme qui nous mette à l'abri des reproches
et des plaisanteries des Juifs. Il donne une table qui s'e'lend de 1 477 «
1 53 1 , et qui montre en quel jour l’usage romain a fait célébrer la Pâque , et en quel jour on aurait dû la célébrer selon les décrets. Dans ce court intervalle, l’erreur a été sept fois de 35 jours, cinq fois de a8 jours, et le reste du tems, de sept jours dont la Pâque a été retardée.
jdureus hic liber est, c’est ainsi que commence une pièce de vers qui est au verso du frontispice. II jouit au moins d’un succès qui était alors bien mérité. Il est des premiers tems de l’imprimerie ; nous voyons même dans la Bibliographie de Lalande, qu’en i473 ou >47^9 d avait paru une édition du poème de Manilius, ex ojficinâ Joannis de Regiomontc habitanlis in Nurembergâ.
Lalande dit encore à l’an i474> que les épbémérides de Régiomonlan sont les premières qui aient été publiées, et ponr ainsi dire les premières qui aient été faites, ce qui doit s'entendre de l’Europe.
Bailly dit que chaque exemplaire se vendit douze écus d’or, et que l’empereur, à qui elles étaient dédiées, avait donné 1200 écus d’or à l'auteur.
Nous ne quitterons pas le calendrier de Régiomontan sans avoir donné le mot de l’énigme qu'il a proposée aux auteurs de Gnomonique dans 2a construction de son carré horaire , plus connu depuis sous le nom d 'analemme rectiligne universel. En lisant l’ouvrage d'Aboul-Hassau sur la Gnomonique, traduit par M. Sédillot, il m’avait paru que les Arabes avaient des instrumens qui leur donnaient l'heure sans calcul par une seule ombre du Soleil. J’avais cherché quelle pouvait être la construction de l'instrument des Arabes, et comment on pourrait remonter au principe de l'analemme universel, exposé par tous les auteurs sans ancuue démonstration.
Le problème général à résoudre pour trouver Ja construction de cet analcmme, se compose de trois parties distinctes.
i”. De tracer et espacer convenablement les lignes horaires.*
3°. De trouver le point de suspension, ou le lieu de la main qui porte le (il, pour parler comme Régiomontan. Ce point de suspension doit varier avec la hauteur du pôle du monde et avec la déclinaison du Soleil.
3°. De déterminer pour chaque déclinaison et pour chaque hauteur du pôle, à quelle distance du point de suspension, la perle où le nœud mobile doit cire arrêté pour marquer l’heure pendant la journée. A la rigueur, cette distance doit varier à chaque instant avec la déclinaison j mais cette variation est leutc; en sorte que le plus souvent on pourrait
RÉG10M0NTAN. 5 a7
employer la déclinaison qui a lieu à midi, ou enfin la déclinaison pour l'heure à peu près connue, ce qui suflira toujours. Dans tous les cas, on ferait avec celle déclinaison une première observation pour avoir l’heure à fort peu près, alors on connaîtrait la déclinaison dont on devrait se servir.
Pour observer l’heure, on dirige au Soleil une alidade fixe garnie de deux piunules; ce qui vaut un peu mieux que la boule de cire de Régiomontan.
À l’instant du lever, l'alidade dirigée au Soleil est horizontale; le fil a plomb, dont la situation est toujours verticale, couvre nécessairement une ligne perpendiculaire à l'alidade. Nommons ligne de foi cette ligne verticale. Il est inutile qu'elle soit tracée sur l’instrument, il suflit de l’imaginer.
A mesure que le Soleil s'élève, on est obligé, pour viser à cet astre.,'d'incliner l’alidade ; la ligne de foi tourne avec l’alidade à laquelle elle est perpendiculaire; elle s’éloigne du fila plomb, qui conserve invariablement sa position verticale; l’angle qu’elle fait avec ce fil est égal à la hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon.
Soit r la distance de la perle au point de suspension ; cf la distance de la perle à la ligne de foi et h la hauteur du Soleil ;ott aura
/ = r sin h (i).
Soit H la hauteur du pâle, D la déolinaison du Soleil, P l’angle horaire compté de midi ;.
Js=r(sinHsinD-+-cosHcosDcosP}=rcosHcosD(tangHtangD-f.cosP)...(a).
Soit r=sécHséc D, en prenant pour unité le rayon des tables,
W'=sécHsécDcosHcosD(langHtangD+cosP)=tangHtangIH-cosP; mais à l’horizon d = o = tang H tang D + cos P ,
on cosP=— tangH tang D = cos arc semi-diurne;
à 6‘ cos P =z o, alors = + tang II tang D =cf' (3);
à midi cos P = i , J = tang II tang D -f- i ;
à minuit cos P = — i, et <f = tang H tang D — i ;
d’où résulte cette construction, qui est sans doute celle deRegiomontanus.
D'un rayon arbitraire que vous prendrez pour unité, décrivez un cercle ■occulte qui représentera l’équateur ( lig. 74).
Dans ce cercle, tracez un diamètre horizontal, c’est-à-dire de gauche adroite; aux deux extrémités de ce diamètre, menez deux tangentes indéfinies; marquez 1 2* la tangente à droite et minuit , 24* ou o la tangente à gauche.
Par le centre même menez une perpendiculaire indéfinie qui sera la ligne de 6‘; cette ligne, comme toutes les autres lignes horaires, doit s'étendre au-dessus et au-dessous du diamètre horizontal à des distances faciles à déterminer, d'après ce qui va suivre.
Sur le diamètre horizontal prenez, à partir du centre, tant à gauche qu’à droite, des distances = cos P, d’heure en heure, si le cercle est petit, de 10 en 10', s’il est assez grand.
Par tous ces points, menez des parallèles aux lignes de midi, de 6* et de minuit; vous aurez toutes les lignes horaires, et la première partie da problème sera construite.
Pour la seconde, qui doit déterminer les zodiaques <F habitation , marquez sur la ligne de 6‘, dans la partie supérieure, et à partir du centre, .des distances = lang H autant que vous pourrez.
Mais si H = 90*, la tangente est infinie; on ne peut donc en aucun cas marquer cette tangente. Il est meme tout-à-fait inutile de passer H =s GG* 3 2' = go° — a5* 28' = 90* — obliquité = 90* — u.
En effet , la plus grande valeur de D est ai,
tang II tangD=tang(yo’ — ai)langa>=cotai tangûi= i=cosi8o*=cosarc semi-diurne de 12*; et quand l’arc semi-diurne, est de 180*, le Soleil cesse de se coucher et de se lever.
Prenez donc sur la ligne de G* la distance cot a», et à celle distance menez à angles droits un diamètre égal à celui du cercle et terminé aux dejux lignes de minuit et do midi.
Du centre du cercle menez aux deux extrémités de ce diamètre deux hypoténuses qui seront = coséc vous aurez un triangle
isoscèlc, élevé perpendiculairement sur la pointe, et qui sera partagé eu deux triangles égaux et rectangles par la ligue de 6*.
Dans ce triangle, vous formerez le trigone des signes, en prenant sur la base, de part et d’autre de 6‘, tous les points de déclinaison aux distances cot ai tang D.
A tous ces points de déclinaison , vous mènerez des hypoténuses dont
RÉGIOMONTAN.
Sag
l'expression générale sera
^ S = séc D tang H • • (4)-
Enfin par tous les points tang H de la ligne de 6‘, menez des parallèles au diamètre horizontal ; toutes ces parallèles se termineront aux deux hypoténuses extrêmes coséc u.
Ces parallèles sont les lignes de latitudes, ou, selon Rcgiomontan, les zodiaques d’habitation. Elles seront les lieux des points de suspension pour l’année.
La seconde partie du problème sera construite; il ne restera plus qu’à trouver la distance de la perle au point de suspension =r=séoHsécD.
Or sécDsécH=sécD(i-f-tang*H)*=ï(séc*D-f-séc,Dtang,H):* = hypoténuse d’un triangle rectangle dont les c&tés seront séc D et séc D tang IL Nous avons déjà le côté séc D tang H ( formule 4)> c’est une des hypoténuses du trigone; il reste à trouver sécD, ce qui n’est pas difficile.
Sur le diamètre horizontal, formez un second trigone des signes dont le sommet sera le centre du cercle, cl la base a tang ce sera prise sur la ligne de midi.
Sur cette base, prenez des distances tangD, tant au-dessus qu’audessous du diamètre horizontal ; à tous les points ainsi marqués sur la base, menez des hypoténuses qui seront toutes séc D.
Ce second trigone est parfaitement égal à la partie inférieure du premier trigone, à cette partie qui a pour sommet le centre du cercle et pour hase la ligne de latitude 45*.
Les hypoténuses correspondantes des deux trigones seront entre elles des angles droits. Cela est évident pour les axes mêmes des deux trigones; cela s’est pas moius clair pour les autres hypoténuses qui forment sur leurs axes et du même côté des angles égaux à la déclinaison.
Chaqne couple d’hypoténuses correspondantes, c’est-à-dire appartenant à la même déclinaison , offrira donc les deux côtés d’un triangle rectangle; les deux côtés seront séc D et séc D tang H; l’hypoténuse sera
(séc*D+séc‘Dtang*H)T=(séc*Dséc*H)*=sécDsécH=cr.
Ainsi , quand le fil sera arrêté par un bout au point de suspension , dont la distance à 6* est tang H tangD, conduisez ce fil au zodiaque de mtdi, au point de la déclinaison D; arrêtez la perle h ce point; l’instrument sera préparé pour l’observation.
53o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Nous avons encore à parler de l'alidade et de ses pinnules. Celle alidade doit être un peu au-dessus de la base a cot«tang<a =2 du premier trigone, et lui être parallèle.
Il faut, sur le milieu de cette base et sur la ligne de 6*, attacher le bras au moyen d’un boulon, autour duquel il pourra tourner.
* Ainsi nons avons démontré et complété la construction donnée par Régiomontan. Tel est l’analemme rectiligne universel, tel qu’il est décrit par tous les auteurs depuis Munster jusqu’à Ozanam. II paraît, par un passage d’Oronce-Finée, que Régiomontan l’a fait connaître le premier, du moins en Europe. Il est possible que cette construction vienne des Arabes; c’est du moins une manière de concevoir l’opération qui leur donnait l’heure sans calcul. Mais rien ne nous assure que cet analemme soit en etfet le moyen qu’ils mettaient en usage; car notre équation générale est susceptible de plusieurs constructions. Nous en indiquerons bientôt une autre.
Tous les auteurs qui ont parlé de l’analcmme universcT, tels que Munster, Oronce, plusieurs autres, et Clavius même, lui qui démontre tout si longuement, tous se sont contentés de donner la description , sans descendre, dit Ozanam , jusqu à la démonstration; de quoi l'on ne doit pas être surpris, vu quelle repose sur des principes très cachés dune théorie très profonde , en sorte qu’il semble qu'il était réservé à notre auteur ( Dechalles ) d’en pouvoir pénétrer lobsaurité.
Cette démonstration ignorée de tant d’auteurs, semble prouver que l’analemme est une invention étrangère à l’Europe, et nous ne voyons que les Arabes à qui nous puissions en faire honneur.
La démonstration de Dechalles emploie l’analcmme ordinaire; elle est longue, pénible et indirecte, en ce qu’elle prouve bien la légitimité de la conslruelion , sans donner la moindre lumière sur la voie par laquelle on a pu y être conduit dans l’origine. Dechalles passe par tous les cas qui peuvent se rencontrer , en allant du plus simple au plus composé; taudis qu’à l’aide d’une formule très connue, nous arrivons tout d'un coup à l’équation générale du problème.
Nous avons dit que cette équation est susceptible de diverses constructions. En voici une seconde, elle est du jésuite St.-Rigaud, qui l’a publiée sous le titre Analemma novum- ( fig. j5).
Décrivez comme ci-dessus le cercle occulte avec son diamètre , ses deuv tangentes et toutes ses lignes horaires. Sur la ligne de minuit et sur celle de midi , prenez au-dessous du diamètre les distances tang If.
• RÉGIOMONTAN. 33 1
A côté de tons ces points, sur la ligne de midi, marquez les nombres H, et vis-à-vis, sur la ligne de minuit, les nombres 90*— H. Ces nombres se placeront au-defaors de la figure.
Sur les lignes de minuit et de midi, prenez de même, tant en dessus qu^n dessous dn diamètre horizontal, des distances tangD , c’est-à-dire construisez deux zodiaques , l’un de midi et l’autre de minuit. Joigne* les points corresponds» de déclinaison par des parallèles au diamètre horizontal.
Les déclinaisons australes seront dans la partie supérieure, les déclinaisons boréales dans la partie inférieure.
Vous placerez les deux pinnules sur le diamètre horizontal ; la pinnule oculaire près de la ligne de midi. Ta pinnule objective près de la ligne de minait.
L'instrument sera construit. Voici le moyen de s’en servir.
Étendez le fil en travers du cercle, de manière qu’il le coupe diamétralement, et qu’il passe en même tems sur le point II de la ligue de minuit; on se souvient que ce point H appartient véritablement à (90* — H); le fil fera au centre, au-dessous du diamètre horizontal, un angle =90* — H; il fera, avec la ligne de 6*, un angle sss H. Dans celle position, il coupera toutes les parallèles horizontales à des distances tangD tangH de la ligne de 6*; il marquera le point de suspension pont la hauteur du pôle H et la déclinaison D. Le point d’intfersection sera à gauche au-dessous du diamètre, si la déclinaison est boréale; il sera au-dessus et à droite, si la déclinaison est australe. V 1 , j •' * ' '
La distance du point de suspension à la ligne de midi1 sera ,À
(1 ± tang H tang D); le signe -f- pour les déclinaisons boréales, le signe — pour les déclinaisons australes.
La partie de la ligne de midi comprise entre le point de latitude II et le point de décliuaison D sera (tang Hsp tangD)*, le signe =p pour les déclinaisons boréales, le signe -f- pour les déclinaisons australes.
Ces deux lignes sont réciproquement perpendiculaires; elles seront les côtés d’un triangle rectangle dont Hypoténuse sera
[(1 d: tang II tangD)* -f- (tang H=fc tang D)*]’, ou
(1 zbalangH tangD -Hang'Htang’D-Hang’HïFstangDlangH-Hang’D)*
= ( 1 — f-tang*II -f- taug’D -f-tang*!! tang‘D)r= (séc*D-f- tang’II séc’D)*
s= (séc*Dséc*H)*=sécHsécD=/-=dist. de la perle au point de suspens.
Ainsi, le fil étant arrête au point de suspension , amenez-le par l'autre bout sur le point H de la ligne de midi , vous connaîtrez la place de la perle ; arrêtez la perle sur ce point, et tout sera préparé pour l’obrservation.
Comme dans la première construction, vous aurez tangHtangD pSur distance du point de suspension à la ligne de 6k, et r = sécH séc D ;■ et cette construction nouvelle a eet avantage, qu’on épargne lea hypoténuses de deux trigones qui se réduisent à un rectangle divisé en plusieurs bandes.
Les symboles des signes pour les déclinaisons ou pour les longitudes du Soleil, se placent intérieurement entre les lignes de n et ta*, d-’un côté, et les lignes de »5 et »4\ de l’autre, en cet ordre :
fl
Les ligne» % , Jt etc., représentent les parallèles qui divisent le rectangle.
Lea lignes horaires s’étendent depuis la parallèle % % , au-dessous de l’alidade , jusqu’à une distancent sécH séc D -f- tangD..
Il est évident que, pour l’usage ordinaire,. tant de points différent de latitude sont inutiles; les Arabes pouvaient se borner aux latitudes depuis i5 ou ao* jusqu'à 3® ou 35', ce qui permettait uu plus graod rayon et promettait plus de précision.
On pouvait, pour un observatoire donné, se borner à nnc latitude unique, ee qui abrégeait encore la construction. On pouvait supprimer les heures qui précèdent le lever, au plus long jour, et ne marquer que «elles où le Soleil pouvait être visible au lieu de l’observation.
Dans ce cas,, sur la ligne de 6* prenez en remontant tangH, et du point ainsi trouvé menez à la ligne de midi une droite qui sera séc H.
Faites de' séc f^l’axe d’uolrigone des signes; en divisant la perpendiculaire à sécH, en distances séc II tangD; cette base sera le lien des points de suspension pendant toute l’année, et le mécanisme de la suspension sera beaucoup simplifié et plus susceptible de précision : vous placerez l’alidade sur cette base ( fig. 76}. *.
RÉGIOMONTAN. Sôî
Toutes les liypole'nuses sec H sécD du trigooese réunissent au sommet du trigone, c’est-à-dire au point de midi, qui sera physiquement le même toute l’année.
Les arcs décrits en un jour par la perle , seront des arcs de cercle qui, partant du point unique de midi, iront se terminer sur la ligne horaire du lever, en toutes saisons.
Vous pourriez supprimer la perle , car le fil marquerait l’heure par son intersection avec l’arc de signe.
Cet analemme particulier est connu sous le nom de' capucin, parce que les arcs de signes forment ensemble une figure qui ressemble assez à un capuchon. Sur la ligne des levers, dessinez un profil ; vous croirez voir une tète qui sort du capuchon. Ce cadran du capucin n’est qu’une plaisanterie, quand on le dessine sur une carte à jouer; mai!; tracez-le sur un plan d’une certaine étendue, supprimez les arcs de signes, qni ne sont bons qu’à créer la confusion; conservez la perle ou le nœud qui glisse le long du fil , et vous aurez l’un des meilleurs moyens que pussent avoir les Arabes, pour trouver l’heure d’un phénomène sans aucun calcul.
Ce moyen, comme tous ceux qui emploient la hauteur du Soleil, sera fort incertain aux environs de midi, parce que la hauteur varié alors fort lentement; mais depuis le lever jusqu'à 10 ou 1 1* du matin, et depuis i ou a* jusqu'au coucher, on aurait l'heure le plus souveut à la minute, ce que n’ont jamais eu les Grecs, ni même les Arabes , au tems d'Ebn Jounrs.
Les Arabes avaient l'équivalant de noire formule
sin h = sinHsinD -f- cosli cosD cosP;
ils avaient dès tangentes et des sécantes, qu’ils avaient introduites nonseulement dans la Gnomonique, mais même dans la Trigonométrie; ils avaient plus de moyens que Régiomontan pour imaginer l’jinalemme universel; et si Régiomontan est le premier qui l’ait fait connaître aux Européens, il a pu le teuir des Arabes, dont il avait étudié les ouvrages. 11 est possible qu’un de ces analemmes lui soit tombé entre les mains , e( qu’il l'ait reçu d’Espagne, où les Arabes l’avaient apporté; il en aura donné la figure et le6 usages, sans peut-être se donner la peine d’en chercher la démonstration.. -
On trouve encore dans les livres de Gnomonique un cadran portatif décrit dans un quart de cercle. Montucla, loto. III, p. aGa de ses Me-
créations Mathématiques, en donne une description fort claire et fort simple. Ce cadran suppose une latitude déterminée et une table des hauteurs du Soleil, pour toutes les heures ou fractions d'heures, pendant toute l’année. Ce cadran parait aussi noos venir des Arabes. Tous les arcs des signes sont des arcs de cercle divisés en heures, au moyen de la table des hauteurs. L'ordre de ces cercles est arbitraire ; on peut mettre en haut l'arc du Capricorne ou celui du Cancer; mais ces arcs, qui ont tous un même ceptre, sont nécessairement de grandeur inégale; le cadran ne peut avoir la même précision en hiver et en été. Par tous les points des différons arcs qui répondent à la même heure, on fait passer une courbe qui est la ligne horaire, et qui a la forme d’un s à peu près. On ne peut nier que la construction n'en soit extrêmement simple, mais on n’en peut espérer une précision aussi grande (fig. 77).
Pour estimer celle qu’on peut attendre de l'analcmrne, supposons que le rayon du cercle soit un pied, ou i44l>g°es; i44e-cosP sera la distance à 6‘; donc, pour l'eSpace d'une minute,
i44 «in P sia t/P = 144 sin i5'siuP s= o'',65 sinP.
Si le fayon est un mètre, la minute vaudra 4““'363sinP, ce qui donne la table ci-dessous, où l’on voit que si le rayon est seulement d’un pied, on pourra toujours espérer la précision d'une ou deux mi» putes , pour peu que l’angle horaire soit de une heure ou deux.
1 pied.
Mètre.
La formule
lin v. P
co« (H — D). — co» N cm(H — B)— rin A
cos U eus D co» U cos D
= séc H sec D cos (H — D) — sin A sec H sécD
pouvait fournir deux tables commodes pour trouver sin verse P en deux parties; une troisième table aurait donné l’heure par sin verse P. Il aurait suffi d une hauteur du Soleil observée avec un quart de cerple ; mai*
RÉGIOMONTAN. 335
ce serait changer la nature du problème, qui ne veut ni tables, ui calculs.
Cceli et siderum in eo erranlium observationes Hassiaccc illustrissimi principis IVillhelmi Hassite lantgravii auspicüs quondam institutœ et spicdegium biennale, esc observât wnibus JB ohemicis V. N. Tjchonis Brahe, ruine primum pubhcante fVillebrordo Snellio, quibus accesscrunl Joannis Begiomontani et Bemardi Wallheri observationes Noribeigicce. Lugdtmi Batavorum, 1618. Ce dernier article, et le Livre de la Comète, qui appartiennent à Régiomontan , nous ont décidé à placer ici l’extrait de cet ouvrage, et nous ne séparerons pas ce qu'il a réuni ; nous suivrons même l’ordre des pages.
Les observations du landgrave commencent an i3 avril t56i. Ce sont des hauteurs du Soleil avec les déclinaisons et les longitudes qui en résultent. L’éditeur ne les donne que comme de premiers essais. 11 en conclut l’obliquité a3° 3o', la hauteur 5i* 18'; on la suppose aujourd’hui de 5i* 19' ao''. Un grand et un petit quart de ccrdle s'accordent à a' près. Rothmann, mathématicien du prince, trouvait 5i*ao'; Juste Byrge, qui construisait ses inslrumens, ne trouvait que 5i* 19' ao". On remarque l’équinoxe de 1571 , arrivé le 10 mars, aV 3»'. Ces observations finissent en i58a.
Rothmann, en i587, écrit que la veille des ides de juin la hauteur solstitiale était de 63* 11', d’où résulterait une obliquité de a3* 29', ou a5* 3o', ou enfin a 5° 5o' 40 ' •
Les observations suivantes sont de Juste Byrge, qui, à la qualité d’artiste , joignait celle de bon observateur et de calculateur. II avait eu l’idée des logarithmes, et il en avait commencé une table. 11 observait des distances d’étoiles et de planètes. Les distances, qui sont à peu près invariables, pourraient se comparer à celles que donnent les catalogues modernes. On verrait quelle conGance on peut accorder aux distances des planètes ; mais on sait d’ailleurs que la réfraction a dû y produire des erreurs de plusieurs miuutes. A la page 63, on trouve de* distances de la Lune.
Les observations de Tycho commencent à la page 69, année i5gg, style grégorien. Nous avions eu d’abord l’idée de les renvoyer à l’article de ce grand astronome ; mais elles ne nous fourniront que quelques lignes, et l’anachronisme sera tout-à-fait sans conséquence.
D’après Tycho, la longitude de la citadelle Bénatique ( Benaticœ arcis in Bohemiâ ), serait de 39° o', ou de 3g* 5o'; et de 9' plus forte que celle
d’Uranibourg. La hauteur du pôle 5o* 18', 10", i5", a5", ou 3o". La latitude de Prague serait de 5o* 4’ï» d’autres la font de 5o* y'.
A la page 78, ou trouve des hauteurs, des distances et des déclinaisons de Mercure, et l’on fait la remarque qu’elles s'accordent mieux avec les tables de Copernic qu’avec celles d’Alphonse ; enfin beaucoup de distances de Vénus.
Le a5 février 1601 , Tycho vint à Prague habiter la maison de Cnrtius, que l'empereur avait achetée pour lui, de la veuve.
Le i3 octobre, Tycho dîna avec M. de Mincowilz, chez M. de Rosenbergh; on but beaucoup; Tycho sentait la tension de sa vessie; mais il préféra la civilité à la santé. De retour chez lui, il ne put uriner; au commencement de sa maladie, la lune était en opposition avec Saturne et en aspect quadrat avec Mars, dans le Taureau, et Mars au même beu qu’à l’instant de sa naissance. On ne dit pas si ce fut Tycho lui-même qui en lit la remarque. La rétention d’urine continuait et lui causait des douleurs très vires; de là les insomnies, la fièvre, le délire; on ne pouvait cependant obtenir de lui qu’il ne mangeât pas; enfin, le 24 octobre, le délire cessa pendant quelques heures, et Tycho expira doucement, entre les consolations, les prières et les larmes des siens. La nuit précédente, pendant son délire , il répéta plusieurs fois les mots; ne frustra vixisse videar.
Dans un avis au lecteur, page 85, Sneliius rapporte que Tycho avait observé la réfraction à 5* de hauteur, de 12' seulement, quoiqu'il l’ait faite de 17' dans sa table ; on la suppose aujourd'hui de >4' 28’'. On voit donc que ses observations ne sont pas sûres à 3' près. Sneliius soupçonnait une minute d’incertitude dans la parallaxe du Soleil; il voulait qu’on allât sous le tropique, observer Ja plus grande déclinaison. 11 fait une dissertation sur l’obliquité de l’écliptique , sur la manière d’observer les équinoxis, et il donne la préférence à celle de Régiomontan, qui consiste à observer plusieurs jours de suite la hauteur méridienne «lu Soleil, pour en conclure l’instant du passage j»r l’équateur. 11 en donne pour exemple l’équinoxe de 1571 , et trouve qu’il arriva le 10 mars à 20* 4' t > >1 cherche ensuite l’apogce. Arzachel , ig3 ans après Albategnius, l'avait trouvé en aJ‘ 17* 5o'; nos tables ne donnent que ix i5’ 19'. Tycho, en 1577, trouva Sx 5* 5o'. Arzachel avait employé trois longitudes, comme Hipparque avait fait pour la Lune. Nous avons donné des formules générales pour appliquer celte méthode au Soleil. Juste Byrge lirait de ses propres observations 3 s 5o° 55' ao", et l’excentricité 0,0359133, ce qui différait peu des conclusions de Tycho.
RÉGIÔMONTAN. 33;
Les observations de Régiomontan comtnencenl à Rome, le 3 janvier 146a, et à Nuremberg, le 6 mars i47a> elles sont données eu cordes de la distance zénilale, pour un rayon de ioooOo, on observait avec les règles parallac tiques de Ptoléme'e; elles finissent au 28 juillet i4?5. Celles de Wallberus commencent au a août et finissent au 3 juin i5o4* On peut remarquer que plusieurs observations sont suivies de cette note : P instrument vérifié par le gnomon. La Caille a fait usage de ces observations pour ses Tables du Soleil.
On trouve ensuite uit petit écrit de Schouer, sur le rayon astronomique. Cet auteur , né en 1477, est mort en 1647 j il a fait quelques observations de Mercure, que Copernic emprunta de lui, pour composer ses Tables.
Ayez une règle quadrangulaire bien plane, de six coudées environ ; vous la •diviserez en parties égales ; le nombre de ces parties est arbitraire; l'auteur s’arrête à i3oo.
Ayez d'autres règles de diverses longueurs, comme de 10, ao, 5o,
4o 310 parties de la première; que ces règles soient percées d'uu
trou carré, pour qu’elles puissent glisser le long de la grande règle, et former toujours des angles droits; à chacun des bouts de la petite règle, plantez une aiguille, et mettez-en une pareille à l'un des bouts de la grande, pour marquer le lieu de l'œil, et l’instrument sera construit.
Adaptez à la grande règle celle d’entre les petites que vous croirez la plus convenable pour la distance que vous voulez mesurer; avancez la petite règle jusqu'à ce que les-dcux aiguilles extrêmes couvrent les points dont vous prenez la distance ; la moitié de la petite règle sera le sinus , et la partie interceptée de la grande sera le cosinus de la demidislance.
La comparaison vous donnera “o" * ^ — tang^D; vous aurez donc
la tangente de la demi-distance; vous la chercherez dans la Table de Purbach; il ne parle ni de celle de Regiomontanus, ni de celle de Reinbold. Après cet opuscule, on en voit un autre dont voici le litre :
Joannis de Monte-Regio , Georgii Beurbachii , Bernardi JValteri ne aliorum, eclipsium, cometarum , planetarum ac Jixarum observaliones . Magister G. Beurbacliius et J. de Monte-Regio , observavenmt in Mellico Auslriœ apud Viennam , anno D. eclipsin Lurue universalem ; in
oppositione verâ seplembris. Scilicet die tertio mensis, post occasum Solis. Ilabuil autan , in principio morte, penultima ex Pleïadibus altitudinem
r>8 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
ante incriduvujm 23 graduum et Sol secundum nwnerationernjuit W& 20*4$ • In Jine autcni morte altitmlo e jus dan stellæ 56*. Ex his duabus observa • Itombus eliciam tempus medium eclipsis per numéros subscriptos cumjiguratione hue rei opporlund.
Voici le calcul.
H=48" as' haut, du pôle. Déclin. 0—4’^ sina* = 3g8Gai
90'— H=4i.38 haut, del’équat. Ce sinus suppose le raj on Cooooo, D=a3 . 5o décl. de l’étoile. Comme dans la table de Régiomont.
90* — II-4-D=C5. 8 hauteur méridienne de l’étoile sin... 544^7
gin haut, observée a= 2a* = sin h. . . . . . 32476
sin(9o° — H-f-DJ — sin 4= cos(H — D) — sinA. . . 5 1961 .
11 calcule ensuite — — L — = asin* jPcosD, c’eat -à -dire le
co? H '
sinus verse de l’angle horaire sur le parallèle de l’étoile ; pour le réduire à l’équateur, il reste à diviser par cosD. En effet, si A = cosPcosHcosD -f-sinHsiuD = cos(H — D) — asin'-gPcosHcosD, et
asin* i P =
cOs(H— D) — sin A cojlIcosD ’
c’est la méthode des Arabes. De l’angle de l’étoHe il Conclut l'asc, dr. du milieu du ciel et l’heure.
En 1460, dans la nuit du 3 au 4 juillet, 7* r6' après midi, commencement de l’éclipse; fin, 9* 10'; quantité éclipsée, 2* 56'. Telle était l’annonce. La hauteurtle la Lune, corrigée de la parallaxe, lui donne la hauteur du nadir du Soleil. Le calcul des tables avançait de i* 10' sur l’observation.
Le a décembre 1461, à Rome, au commencement de la nuit, Régiomontan vil Mars et Saturne, qui, suivant l'almanach, devaient être en conjonction ; l’erreur des tables était de a*.
Le 14 décembre, Vénus et Saturne paraissaient en conjonction, ce qui s’accordait fort bien avec les Tables Alphonsines.
Le 17 décembre, la Lune devait se lever éclipsée de 10 doigts; il n’en trouva que 8. Les tables marquaient la fin 1* a' trop tard.
Dans la nuit du 1 1 au 1a juin, vers i5*i5', la Lune fut éclipsée de 6' 54 , suivant les tables. On ne put observer ni le commencement , ni la fin, à cause des nuages; le milieu, estimé à i j‘48'; les tables lu mettaient 37' trop tard.
RÉG10M0NTAX. 33c)
Au verso de la page aa, on trouve des observations de Mars, qui, comparées au* tables d'Alphonse, montrent des erreurs de -f-3o' et — 86', et Rëgiomontan ajoute ces mots : Quare vide ne nimium confidas niant calcula et quasi somnio Alphonsino. Alphonsus etiam locis Jixarum plus tri/uo addidit in uno gradu et 55'.
Ou voit ensuite deux observations de la comète de 157a, et une observation de l’Ane boréal, qui allait être caché parla Lune.
Puis des distances d ctoiles et de planètes, mesurées avec le rayon astronomique, par Waltherus.
Année i477- 11 a paru que Mars et Saturne allaient être en conjonction avec même latitude; il en conclut une erreur de 1’ 56' dans les tables.
O quanta affecta eorum vidissem convention, quia verisimih conjectura unus eclipsabal aliertim, ratissimus aillent eventus ille.
Le 19 février 1478, conjonction de Jupiter et de Vénus.
En 1481, une conjonction de Mercure et de Saturne, qui ne s’accordait nullement avec les tables.
En 148a, occultation de Saturne par la Lune. Les nuages nuisirent à l'observation.
En 1484, j’ai vu Mercure à l'horizon; j’ai aussitôt appendu un poids à une roue horaire de 56 dents; elle lit un tour entier et 35 dents, jusqu'au lever du Soleil. Mercure se levait donc i‘ ||- = 1 ‘ = i*35' après le Soleil, ce qui s'accorde assez bien avec le calcul. L'horloge était bien vériCée, c’est-à-dire quelle faisait 241 juste -entre deux passages du Soleil au méridien. Il paraîtrait que c’est à l'horloge subsidiaire, qui était alors immobile, qu'il a attaché le poids qui l a mise en mouvement.
En i485, 16 mars, éclipse de Soleil annoucée comme totale; elle nu fut que de 1 1 doigts.
En 1489, on trouve l’observation de réfraction la plus ancienne qui existe peut-être. 11 est à remarquer, dit Waltherus, que les astres sont vus au-dessus de l’horizon, par des rayons brisés, lorsqu'ils sont encore sous terre. Sextus Empiricus l’avait dit dix siècles plus lût, mais il ne l'avait pas observé. J’ai souvent remarqué cet effet, ajoute l'auteur, bien avant que d'avoir lu Alhacen et Yilcllion, où je l'ai vu clairement exposé. Waltherus cherchait à déterminer la longitude de a.Q par le Soleil et Vénus.
Pour éviter l'effet de cette réfraction, qui l’aurait empêché d’avoir le vrai lieu de Vénus par le Soleil , il mesure cette distance près du méridien; ou bien s’il la voulait mesurer à l'horizon, il présentait au Soleil le point de l’écliptique qui marquait le lieu vrai.
■>4o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Sans la réfraction, l’ombre aurait dû être dons le plan de l'écliptique; mais à cause de la réfraction qui élevait le Soleil, l’ombre était audessous du plan. 11 tendait un fil à plomb au milieu de l’ouverture; ce fil marquait le vertical du Soleil; il tournait donc l’instrument jusqu’à ce que le rayon solaire traversant la pinnule objective, vint couper le fil suspendu à la seconde pinnule oculaire. Alors le cercle de latitude, sur lequel tombait le point éclairé du fil, marquait le lieu apparent du Soleil, et le cercle de latitude dirigé à Vénus marquait la distance de Vénus au lieu apparent ( fig. 78).
Ce passage, quoique long, n’est pas encore bien clair. Soit SNV 1 écliptique, ZOS le vertical du Soleil; le Soleil est en S dans l’écliptique, la réfraction l’élève en O, et la longitude apparente du Soleil est marquée par le cercle de latitude EON; l’ombre solaire, ou l’image qui a traversé le trou de la pinnule, au lien de tomber en S', à 180* du lien vrai, tombe en O' au-dessous de l’écliptique; le nadir apparent du Soleil est donc dans le cercle de latitude EN'O, N' marque la longitude apparente du Soleil; mais le fil O'S', qui est dans le vertical, est éclairé en O' et marque en S' le lieu vrai du Soleil; le cercle de latitude EV , mené par le lieu de Vénus, marque la longitude V, et Varc S'V = 180* —SV donnera la différence de longitude entre Vénus et le Soleil.
Ce moyen est ingénieux, il peut diminuer l’erreur de l’observation ; mais je n’oserais en garantir la bonté pratique.
Nous arrivons enfin au dernier ouvrage de Régîomontan, dont au reste ce qu’on vient de lire ne nous a pas Jong-tems détourné.
J . de Monte-Regio viri imdequaqite doetissum de cometœ magnitudine ac de loco cjus vero Problcmala XVI.
Le problème 1 donne l'idée de la parallaxe, d’après Ptolc'mée. Le second est celui dont nous verrons que Tycho a fait nu usage fréquent dans scs recherches sur les comètes.
On a observé les deux hauteurs KO et RM (fig. 79), Ta première vers l'horizon et l'autre vers le méridien, avec les azimuts HZK. et HZR; on connaît donc ZO, ZM et ZH; on calcule HO, ZHO et ZOH, c’est-à-dire le triangle ZHO tout entier.
Du pôle H, avec la distance polaire HO, décrivez le parallèle ON* qui serait celui de l'astre sans la parallaxe.
Parle lieu vrai G, imaginez le parallèle GL..
RÊCIOMONTAN. 34:1
Dans la seconde observation, au lieu apparent M répond le lieu vrai L; imaginez HL •= HG.
Soit I.HN = GHO, HN sHO; donc LN = GO; les deux triangles GHO et LHN sont parfaitement égaux. Le mouvement de la comète GHL=OHN; car GHL= LHN 4-NHG = NHG + GHO ; ce sera le mouvement de la sphère dans l’intervalle, si le mouvement propre de la comète est nul; au reste, il est aisé d'en tenir compte. Abaissez ZNP, et menez NM et LN; ZHN = ZHO — OHN ; on a ZH , el HN = HO; on en conclura ZN et les angles ZNH et NZH.
La seconde observation donne ZM et BZR, d’où RZH; RZH — NZH = MZN r avec cet angle et les côtés ZM et ZN, vous aurez NM, MNZ et NZM ; MN L = MNH — LNH = MNH — ZOH = MNZ -f- ZNH — ZOH; avec NM et les deux angles sur ce côté, vous aurez les deux autres côtes ML et NL, qui sont les deux réfractions.
Celte solution est un peu longue, et par suite un peu obscure.
La première observation donne HO et tout le triangle ZHO.
La deuxième donne HM et le triangle MHZ.
Si (HO— -HM) est égal au mouvement de la comète en déclinaison pendant l’intervalle , il n’y a point de parallaxe en déclinaison.
Si (ZHO — ZHM) est égal au mouvement du premier mobile, moins le mouvement propre en ascension droite, il n’y a point de parallaxe d'ascension droite.
Le problème III cherche la même chose d'une autre manière;
Observez la hauteur, l’azimut, et notez l’instant de l’observation ; déterminez l'instant du passage de la comète au méridien, ce que vous obtiendrez par une étoile connue; il 110 s’explique pas davantage, mais il n’y a pas grande difficulté.
Soit G le lieu vrai de la comète (lîg. 80), O le lieu apparent. Menez les cercles de déclinaison HGK et HOL; vous connaîtrez l'angle horaire ZHG de la comète. Vous avez observé l’azimut GZH, vous avez deux angles connus sur un côté connu HZ, vous connaîtrez GH et GZ; vous avez mesuré OZ, vous aurez la différence OG parallaxe de hauteur. Pour bien connaître l’angle horaire GHZ, vous observerez Je mouvement de la comète en un tems donné; vous aarez, par une simple analogie, le mouvement en Unit tems.
Ce moyen est celui qu’on a employé pour les réfractions comme pour la parallaxe ; aucun auteur jusqu'ici ne l'avait exjfosé.
Problème IV. Autres moyens. Le passage de h comète au méridien
a lieu souvent pendant le jour. Observez deux hauteurs égales , 1 une avant, l'autre après le passage, avec les azimuts correspondaus. Soit G le lieu vrai (lig. 81), O le lieu appareot dans le vertical ZGO, M le second lieu vrai;. N le lieu apparent ; les deux triangles GZK., MZK. sont parfaitement égaux, Gli — MK.. Du pôle II menez les deux cercles de déclinaison HG, HM , ils seront égaux; GHZ = MHZ, le passage au méridien sera au milieu entre ces deux angles; ce tems tiendra le milieu entre ceux des deux observations. Le tems écoulé vous donnera GHZ =t GHM. Vous; connaissez GZK. par l’observation; avec deux angles sur un côté connu, vous aurez HG et GZ.
Vous connaissez ZO, vous aurez OG. Avec l'angle H, vous aurez l'asceosiou droite de la comète; vous avez sa déclinaison, vous aurez sa longitude et sa latitude.
Voilà le premier germe des hauteurs correspondantes; mais celle solution suppose encore le mouvement insensible; il est vrai que souvent il ne passe guère l’erreur des observations de ce tems; mais la difficulté est d’obtenir ces deux hauteurs correspondantes.
Problème V. Trouver le lieu de la comète dans l'écliptique , au moyen d’un instrument. Observez la comète, quand elle est à 90* do point orient; elle sera au nonagésime , toute la parallaxe sera en latitude ; mais, comme il est difficile de faire cette observation , il croit devoir avertir que l’azimut du nonagésime est égal à l’amplitude du point oiient. Guettez donc le moment où l'azimut de la comète sera égal à celle amplitude; alors, avec un instrument, vous trouveras, par une étoile quelconque, le lieu vrai de la comète. Il n’en dit pas d'avantage.
Cette solution est fort bonne sur le papier. Hipparque observait la Lune au nonagésime, pour éviter la parallaxe; mais quelques minutes avant ou après, la parallaxe était h peu près nulle, l’astrolabe lui donnait des différences exactes de longitude. Autre chose est de prendre la distance d’une étoile à la comète, qui peut. avoir nne latitude considérable, et de supposer la comète exactement au nonagésime.
Problème VI. Trouver la parallaxe de longitude. Vous avez, par ce qui précède, la longitude de la comète; observez-la ensuite hors du nonagésime, v#us aurez sou lieu apparent. La différence d'avec la longitude vraie sera la parallaxe de longitude. .
Problème Vil. Trouver la latitude apparente. Vous 1 obtiendrez, par les moyens ordinaires, c'est-à-dire sans doute par les distances à deux jéloilcs connues qui feront trouver le lieu apparent. Ou bien, dit l'auteur ,
RÉGIOMONTAN. 54'
observe* la distance au zénit et l’azimut, et de plus la liautcur d'une étoile connue au même instant. Vous avez ZO, HZO, ZH ( fig. 8a) , vous aurez OH, OHZ, HK = obliquité. Par la hauteur de l’étoile, vous avez son angle horaire, le lieu de l’écliptique qui est au méridien; KH prolongé, passe par la tète o* % ; vous aurez l’ascension droite du milieu du ciel, et celle du pôle R de l’écliptique, d’où ZHR , OHK', la longitude et la latitude apparente.
Problème VIII. Trouver autrement la parallaxe de hauteur.
Vous aurez GKO la parallaxe de longitude, ZOH , ROH et ZOK qui en est la différence. Dans le triangle GOR, vous aurez deux angles sur un côté connu, d’où GO parallaxe de hauteur.
Problème IX. Trouver le lieu de la comète, par la distance à deux étoiles; cela se trouve partout.
Problème X. Déterminer la distance de la comète au centre du monde’ et à l’oeil de l’observateur.
Dans le triangle rectiligne entre la Lune, le centre delà terre et l’observateur, on connaît tous les angles et le rayon de la terre. Vous eu concluerez les deux distances.
Problème XI. Pour exprimer ces distances en milles, il suffit d’avoir en milles le rayon de la terre.
Problème XII. Mesurer le diamètre de la comète. Régiomontan décrit ici l’instrument dont nous avons parié ci-dessus d’après une note de Schoner. C’est donc avec le rayôu astronomique qu’il mesure le diamètre apparent de la comète.
Problème XIII. Ce diamètre étant connu aussi bien que la distance, vous aurez le diamètre même par c$fe formule, diam.=a dist. sin j diam.
Problème XIV. Trouver les volumes. Les sphères sont en raison triplée de leor rayon.
Problème XV. Trouver la longueur de la queue.
Il faut savoir, dit l’auteur, que la queue ne diffère du corps que parla figure, et par le moins de densité, et par la légèreté qui la fait monter; d'où il résulte qu’une ligne menée du centre de la terre au centre de la comète, et prolongée au-delà, serait l’axe de la queue. 11 raisonne en supposant que la terre est le centre du monde. Dans la réalité, la queue serait sur le prolongement de la ligne menée du centre du Soleil , ainsi qu’ou l a toujours observe depuis Apian. Mais d'après l'idée de Régiojuontau , l'extrémité de la queue serait toujours dans le même vertical
â44 ‘ ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
que la comète, et un peu plus voisine du «doit. V oyez la figure 83 , dont
le calcul serait extrêmement facile.
Problème XVI. Trouver le volume de la queue. La queue est cylindrique ou conique. Si elle est cylindrique, nous connaissons la base qui est le cercle de la tète, nous connaissons la longueur de l'axe, nous aurons la solidité du cylindre. •
Si elle est conique, on sait que le cône est le tiers du cylindre.
L’e'diteur remarque ici une faute grave dans le petit écrit de Schoner. nous n’avions pas remarqué celle faute , que nous avions corrigée sans l'apercevoir.
De ces 16 problèmes, il n’y a d’utiles que ceux qui étaient connus, sauf le second, dont nous verrons que Tycho a fait grand usage. Nous en modifierons la solution.
Lettres inédites de Régiomontan.
Ces lettres ont été publiées pour la première fois en 1786, parle célèbre bibliographe Christophe Théopile de Murr, dans le recueil qu’il a intitulé :
Memorabilia B ibliolhecanun pnblicarum Norimbergensium et Univcrsitûtis Altfordianœ , pars prima. .
La Bibliothèque de Nuremberg possède quelques petits instrumens qui ont appartenu à Régiomontan , et qui ont été achetés des héritiers de Waltherus. Ce sont trois astrolabes de 10, de 5 et de 6 pouces de diamètre. Le dernier est arabe; les limbes y sont d'argent; enfin un instrument qu'on désigne sous le nom d ’horoscopium parvwn, sans autres détails.
On trouve dans la même Bibliothèque un globe céleste de 4 pieds, les étoiles y sont réduites à l'an i55o; un globe céleste et un globe terrestre de 11 pouces j ; un torquetum d’Apian de J de doigt; un astrolabe de Werner de 6 pouces; un autre de 1 pied 3ÿ pouces; un cadran astronomique de 1 pied 7 ■£ poucês; un cube de 3j pouces, portant cinq cadrans pour la latitude de Nuremberg ; un hémisphère concave de a J- pouces; une horloge solaire ronde et concave de i{ pouces, et une autre horloge solaire de Hartmann, de a pouces en carré.
Le manuscrit du Commencement de la Sagesse d'Abenesra, livre astrologique dont on dit que l’auteur vivait en 908.
Toutes ces curiosités sont assez peu intéressantes pour l’histoire dç
RÉGIOMONTAN. 345
V Astronomie, cl nous n’en aurions fait aucune mention , sans les lettres de Régiomontan , qui nous offriront quelques problèmes curieux , et nous donneront une idée des différons objets qui se partageaient les goûts et le tems de l’auteur.
La première lettre est adressée à Blanchini, dont il a été question ci-dessus à l'occasion de ses Tables astronomiques. 11 lui propose divers problèmes pour essayer sa force et son habileté dans le calcul. Nous allons rapporter ceux qui ont quelque chose d’astronomique et de trigonométrique. *
Le 5 avril i465, a*a5' après minuit, la longitude du Soleil étant de »4*i4'8', et sa déclinaison 9° 2 5’, et l’obliquité a3’35'3o", à Ferrare, latitude 44°45'4'l> une étoile était dans le méridien à 390 16' de hauteur, et sa distance au point orient était de 3a’. On demande la longitude et la latitude de l’étoile, sa déclinaison et l’arc semi-diurne ( fig. 84).
L’heure et lelieu du Soleil donnent le milieu du ciel et le point orient de l’écliptique; la hauteur de l’étoile et la distance à l’orient, font que le triangle EHO est connu tout entier. On a même les trois côtés du triangle, car l’azimut du point orient donne HO; reste à savoir si ces données sont cohérentes, si HO et HE s’accorderont avec l’hypoténuse OEde 3a”.
On aura HC«=HM — MC = haut.équat. — déclin. du point culminant,' CE = 39* 16' — IIC , sin lalit. = sin FE =sin CE sin C , C est l’angle de l’écliptique avec le méridien,
tangFC=langCEcosC; longit.^Fss^C — CF ;
avec la longitude et la latitude, on aura la déclinaison et l’arc semidiurne.
Ce problème n’offre aucune difficulté; le calcul est un peu long, quand on ignore l’usage des tangentes. On ne voit pas trop comment on a pu obtenir CO , si ce n’est par le calcul.
Le 17 juillet >463, près de Venise, une étoile s’est levée à 3* a5' après minuit; elle passa ensuite au méridien à 7* 38'; son arc semi- diurne était donc de 4* >5'; on avait donc sa déclinaison, puisque cos arc semidiurne. col hauteur du pôle = tang déclin. On avait son ascension droite par l’heure de sou passage. On aura donc la longitude et la latitude de l’étoile.
Le i3 juillet 1463, dans un lien dont la latitude est inconnue, à 3‘ de la nuit, une étoile avait 35’ de hauteur, a* d’angle horaire, et son
azimut 5;* compté du méridien. On en conclut d’abord la déclinaison de l'étoile, puis la hauteur du pôle, l’ascension droite par l'heure, le milieu du ciel et l’angle horaire; enfiu la longitude et la latitude.
Le 9 août, à Venise, 5*38' après minuit, une étoile avait 4°* >9* hauteur orientale. Sa distance polaire était de 85* a5'.Ort a les trois côtés ; on aura donc l’angle horaire et l’ascension droite; on aura la longitude et la latitude.
Un astronome à qui l’on proposerait aujourd’hui de pareils problèmes, croirait, a'vec quelque raison , qu'on se moquerait de lui. Mais il parait qu’en ce tems, la solution d’un triangle dont on a les trois cotés, passait pour une opération difficile. Pour les prccédens, dont le calcul est plus long, les Grecs avaient tout ce qui est nécessaire pour les résoudre.
filanchini , dans sa réponse, en proposa un plus facile encore. Celui de trouver la longitude et l’ascension droite d’une étoile dont on connaît la latitude et la déclinaison avec l’obliquité de l’écliptique.
En voici un plus simple de beaucoup
x:j::5:8, x+j = xy, x — et/=Y 10 — *
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