Livre III. Trigonométrie sphérique
Tout cc troisième livre est dans le genre de Théodose ou de Ménélaüs, Il serait difficile de décider, d'après ce livre entier et le commencement du quatrième, si Régiomontan était plus avancé que les Grecs.
I.es théorèmes 5, 6, 7, 8, donnent les règles connues pour l’espèce des angles. Ces règles n’ont point été données par les Grecs; elles sont peut-être de Régiomontan.
Théorème g. Si un triangle a ses trois angles aigus, il aura les trois côtés de même :
cos A" -f- cos A cos A' = cos C" sin A sin A';
cette formule moderne sert à démontrer ce théorème , qu’elle rend à peu près inutile.
Théorème 13. Si un triangle a sur la base deux angles aigus, le côté opposé au petit angle sera aigu. La démonstration de l'auteur est fort simple; sur la base élevez deux arcs perpendiculaires qui se réuniront à son pôle. Ces deux arcs enfermeront Je triangle; donc les deux autres côtés formeront une somme moindre que de 180”; ainsi l’un des côtés sera nécessairement au-dessous de 180*.
Dans la formule col C” = — — f- cos A' cot C , le premier terme
est nécessairement positif, si A" < 90*; si de plus A' > A", ce terme positif est le plus grand des deux, car > cot C et sinA'cotA"
sin A' cos A* tir . , „ . , . .
— HiTÂ' — •'> cos e cos C0S-A ; ainsi, quel que puisse être
C, aigu ou obtus, C" est aigu.
Théorème i3. Si les deux angles à la base sont obtus, le côté opposé au plus grand angle surpasse go”. En effet, les deux termes de la formule seront négatifs et C" obtus, dans le cas oô C est aigu. S’il est obtus,
nous aurons — > 1 , car sin A' sera plus grand que sin A", > col C et cos A” > cos A'.
Régiomontan le démontre par les deux perpendiculaires qui, dans ce cas, se réuniront dans l’intérieur du triangle.
Régiomontan demande de 1 indulgence pour la longueur et l'obscurité de son i5” théorème, qui 11 est rien au fond que l’expression sin déclio. = sin obliquité. sin longitude.
RÉGIO’UOi'iTAN. 5mj
Le théorème 16 esl la formule qui était connue
am C sin C stu C. 1
des Grecs ; la démonstration tient trois pages et emploie trois figures.
Théorème 18. cos A' = siu A cos C'; c'est un des deux théorèmes des triangles rectangles qui étaient inconnus aux Grecs et aux Arabes jusqu'à Géber. La démonstration, quoique très-longue, est cependant curieuse, en ce qu'on y voit les triangles complémentaires qui se trouvent bien au moins implicitement dans les figures de Plolémée, mais dont il n’avait pas su tirer tout le parti possible.
Le théorème 19, cos C' = cosCcos C' était connu depuis long-tems. Régiomonlan se félicité de sa démonstration qui est simple, au lieu que l'ancienne considérait trois cas différeus.
Théorème ao. Dans tout triangle partagé par une perpendiculaire en deux rectangles, les sinus des angles verticaux sont entre eux comme les cosinus des angles à la base. C’est un corollaire fort simple du théorème 18. La démonstration est longue, et l'auteur y emploie deux triangles complémentaires dont on n’a fait depuis aucun usage, et qui étaient inutiles.
Les théorèmes 31 , aa , a3, a/j, avaient été donnés par Plolcmce, dont les démonstrations étaient même plus simples; Régiomonlan a la bonne foi d’en convenir.
Dans ses règles pour les triangles rectangles, il n’emploie qne les sinus et les cosinus; il est un peu plus avaucé que les Grecs, puisqu'il avait son théorème 18; mais il ignorait toutes les formules dans lesquelles il entre des tangentes; il esl souvent obligé de faire deux analogies au lieu d’une qui nous suffit toujours.
Théorème a8. Connaissant deux côtés et l'angle compris, trouver le reste. 11 abaisse la perpendiculaire, il la calcule aussi bien que le segment, et trouve le reste par les sinus et les cosinus.
Théorème 39 et 3o. Deux côtés et un angle opposé ne suffisent pas pour trouver le reste; il faut de plus savoir si la perpendiculaire tombe en dedans ou eu dehors. 11 calcule la perpendiculaire et les segmens.
Théorème 3i. Deux angles étant donnés sur un côté connu , il calcule de même la perpendiculaire dont nous savons aujourd'hui nous passer, et les segmens qui suffisent toujours.
Théorème 3a : il est pour les angles ce que le 3o* est pour les côtés.
Théorème 35. Les trois angles donnés, trouver les trois côtés. Les sinus des angles verticaux sont comme les cosinus des angles à la base ;
on s la raison des sinus et la somme des deux angles; on peut donc connaître ces deux angles.
On a beaucoup mieux aujourd’hui.
Théorème 54. Des trois càlés étant connus, trouver les trois angles; la solution emploie six ligures et tient trois pages. La démonstration, quoique longue, est facile; il réduit le problème à trouver l’angle au centre de la sphère entre deux lignes dont il donue les expressions; ainsi il substitue un triangle plan à un triangle sphérique; c’est une projection orthographique qui n’est pas l’analemme ; sa règle n'est ni celle de Plolcntcc, ni celle des Arabes, qui donnaient l'équivalent de la formule moderne. ..
A >< cos C" — cos C COS C'
tin C suit-
Ce quatrième livre renferme une Trigonométrie complète en son genre, différente à beaucoup d'égards de celle des Grecs, et plus commode, malgré les simplifications qu’il n’a pas trouvées. L’auteur parait avoir fait tout ce qui était possible, quand on n’avait aucune idée des tangentes; mais il en avait la table, il l’avait appelée féconde , et il n’en a pas vu les usages. On ne peut cependant lui refuser de la sagacité et de l'attention. Le cinquième livre est le plus court.
Théorème i. Si deux triangles rectangles ont un angle commun, comme ABC et GBII, menez GN perpendiculaire sur AC (fig. 68); sinüN=*inAG*inA=sinPsinPG=sinHCcosGH=sin(BC — BIl)cosGH =sin (BA — BG) sin A = sin (BA — BG) ~^i ' car sin A es ; donc
COS ALi
sin (B A — BG) : sin (BC — BH) ;; cosGII:^— :: cosGHcosACtcosB;
telle est au fond la démonstration de Régiomonlau simplifie'e. Nous dirions aujourd’hui
tang BC = cos B tang AB, tang BH = cos B tang BG , tang BC— tang BH=cosB(tangAB— langBG)
rin (BC — BH) cos B sin (AB — BC)
cos BC cos BH" cos AB cos BG *
Ou
sin (BC — BIT) __ cos BC cos BH cos B cos B
sin (AB— BC) cos AB cos BC cos AC cos GH ’
sin (Aft' — /B) cos obliquité
sin (L' — L) cos D' cos D"
Ce théorème parait appartenir à Régiomonlan ( voj. ci-dessus, p, î88.)
Digitiz»
)ooqIe
RÉGIOMONTAN. 5i ,
Théorème a. Dans tout triangle sphérique
sio v. A" : sin v. C" — sin v. (C — C') :: i : sin C sin C';
cette proposition est due aux Arabes. Elle se déduit facilement de la formule moderne.
Théorème 3. Les trois côtés étant donnés, trouver les trois angles. Il a résolu ce problème au livre 4 ; il y revient pour en donner une solution nouvelle.
Soit le triangle scalène ABC (fig. 69) dont les trois côtés sont connus. Prolonges AB et AC jusqu’à 90* en D et E; du pôle A décrivez l’arc DEII, et prolongez BC jusqu’à la rencontre en H.
On demande
A = DE = DH — HE, ou HE = DH — DE.
Dans les deux triangles rectangles nous aurons
sin BD: sin CE:: sin BH:sin CH ;
le premier rapport est connu, le second l’est donc aussi; on connaît BC = BH — HC , on aura donc BH et HC; avec HC et CE, on aura HE; I1B et BD donneront HD, et DE = DH — HE; ce qui se réduit, après les développemens, à trois analogies au lieu de deux qui suffisent actuellement.
Sur BC abaissez la perpendiculaire AF , prolongée jusqu’en G ; elle y sera perpendiculaire, puisque A est le pôle de DE; les angles F et G sont donc de 90*, H sera le pôle deFG; FH=go=GH, FC=go° — CH; CH est le complément du premier segment FC; BH =90° -(- second segment. L’angle FHG est le complément de la perpendiculaire AF.
Ainsi Régiomontan, par sa construction , cherchait l’équivalent d’un segment de la base; il en concluait l’équivalent de l’autre segment; mais le calcul était plus long, parce qu’il n'avait pas de tangentes.
Mettez AB et AC au lieu deBDetCEdansl'analogie primitive; alors
cos AB:cos AC :: sin (BC + CH):siu CH
;:sin BC cos CII -f- cos BC sin CH: sin CH :: sin BC cot CH -f- cos BC: 1 , sin BC col CH cos AC + cos AC cos BC = cos AB , sin BC cos AC cot CH = cos AB — cos AC cos BC ;
cos AB — cos AC cos BC
col CH =
sin BC cos AC
OU
, .... i % (cos AB— -cos AC cos BC) tang AC
(multipliant par tang AC) = * ,i„BC»inÀC ’
col CH = cos C tang AC = lang CF ; la même construction donnera les trois côtés par les trois angles. On aura
DBH = i8o* — ABC, ECU = ACB, cos (180* — ABC) = sin H cos DU , cos ACB = sin H cos EH ,
cos (180— ABC) en, DH coj (DK + EH) en» (A + EU)
coj ACB cos TH co» EH cos EH
- Aco. r.It- smjVj.inFJIl cos A s;n A t EH.
• rrw Kl I u
ou aura donc EH et DH, sin EH = sin C sin CH, sin CH = ; on
aura CH; sinBH = ^ï?; on aura BH et BH — CH = BC ,
7 siu B 7
