AS=TS
cos O'i ü
ÿsin au «iuH *
comme ci-dessus.
a*. Que zA est le sinus de l'amplitude ortive du Soleil le jour où la décliuaison a pour sinus, AS; enfin
Su =zS = AS tangH = tang II =
a «mil ° coi H
A présent, soit (fig. no) KDEB l’équateur, DCB l’horizon du lieu, BE l'arc de l'équateur qui mesure la durée du crépuscule au jour de l'équinoxe, EV=2a=I’arc d’abaissement, OF l'arc du parallèle que décrit le point cherché de l’écliptique ; le crépuscule commencera en O et finira en F. Soit OECK. ou autre horizon qui lasse en E, avec l’équateur, l’angle CED=CDE; il en résultera
CE=CD et CB=i8o’ — CD=i8o” — CE et CBE=CÊD=i8o*— CEB ;
CB opposé à l’angle obtus CEB, sera plus grand que go* et CE plus petit que go*.
Soit
CO = CB, OF, = CB — CE= 1 8o* — CE — CE = 1 8o* — aCE ,
EG = 0G=r:fOE=go*— CE, CG=go\
Par le point G et du pôle C décrivez l'arc du grand cercle GII,
CH = go* = CG, BH = CB — CH = CO — go*=OG = GE;
dans les deux triangles rectangles BHZ et EGZ nous avons l’angle commun Z opposé aux côtés égaux BH et EG; les deux triangles sont égaux; l'hypoténuse BZ = l’hypoténuse EZ; les troisièmes côtés BZ et EZ sont pareillement égaux.
sinGZ = sin EZ sin E= sin ± BE sin. hauteur del équateur = siii * (P' — P) cos 11 = sin j BCE,
GH=aGZ = angle C des deux horizons.
Nonius n’a pas senti tout le parti qu'on pouvait tirer de cet angle. Le triangle BEV donne
sin EV=sin 2<j=siuBsinBE=sin(P' — P)cosH
et sin = (F— P) = 'j~— sinj c*. • • (»)i
P' — P est l’angle qui mesure la durée du «répuscule au jour de l’équinoxe.
Nous venons de trouver
__ . J-1I7 »inEV sinaa rr\ .
sm CE = cos EG= cos;OE — mx* — cos*x .. . (a).
*inGZ=siniBEcosH=sini(P'— P)cosII=smix,cosH=sinix". . • (a);
le triangle CEV donne
sinEV = sin C sin CE; tin E V a in C
abaissez la perpendiculaire Ox, ce sera la déclinaison du point O, celle qui donnera un crépuscule égal à celui du jour de l’équinoxe. Or,
si n Ox = si n OE si n F. = sin aEG cos H = sin 2(90* — CE) cos H , sin D = sin (180' — aCE) cosH=sin2CEcosII = siux"' cos U- . . (4)j,
enfin sin long. G = • • (5).
Telles sont les formules auxquelles Nonius parvient par la construction qu'on vient de voir. On ne voit pas trop ce qui lui a fourni l'idée du second horizon CEO, ou de celui qui voit lever le SoltÉUquand le crépuscule commence pour l’autre horizon ; c'est ce que nous montrerons plus loin.
Sur l'horizon du lieu , B est le point du lever équinoxial ; sur l'autre horizon O est le point de lever au jour où la déclinaison est D; sur cet autre horizon le Soleil, au jour de l’équinoxe, se lèvera en E; OE est donc l'amplitude ortive quand la déclinaison cstD, EG = OGest la demiamplitude ; l'arc BC = BU —J— IIC = BH -d-90” donne le point où les deux horizons se coupent. Ces deux horizons funl le meme angle avec l'équateur. Nous avons l'arc CE,
tang CEcos E = tang CEsinII=tangEP=tangDP=tang; DE, KT>+DE=i8o*=DE+BE, KJD = BE, lvC= 180' — CE,
N0N1ÜS. /,«5
ainsi nous connaissons tous les arcs, tous les angles delà figure. Il resterait à prouver que OF, qui mesure le crépuscule, est en effet égal à BE. Ainsi celte démonstration, malgré sa longueur, laisse encore quelques nuages, et elle aurait besoin de nouveaux développemens. INous allons démontrer qu'elle se déduit de la formule générale.
Soit x = P' — P ou P'=F-f-x; la formule de la demi-durée deviendra
• , sin sa sin fl cos a
Stn , X asj„ col |( cojD' sin (P + ji) cos H cosD*
mais soit P = 90", ce qui suppose D = o et cosD= i ; alors
• , smaa . . , imm • • ,
si u ,x=— , — : 3smjxcos'x= — n = sinx=sinx ;
acosjxcosH* * a coati ’
nous nommons x' celte valeur particulière de x, ou la durée du crépuscule au jour de l’équinoxe; nous aurons . * - ■>
» i sin 2<z
■ . imrss — □ : . r • . , ,
cos H 9 . • it 3
c’cst la première formule de Nonius. On aura donc en general
T siujt;' sinor'sécD
Sin % X — a^n i coa L) ==3 acos î x sin P aairi j x cos Ÿ9
. . i. • r» . • * t Tk swxf a>in jx' côs £ x' /vx
asm \x cos ~x sm P -{- asm* J x cos P= -***-=5 — ^ (X), ,1; •
. ... sinaf sine' sin x' t
sin x-4- asm ïXcotr= — tk— rrn— — 7 •
* coi D sin P cos amplitude 00* A
Si nous voulons que x — x‘ et nsi ti ix= asm { x', l’équation X deviendra»
. • y. . • , , „ CO» î i'
eosgXStnP-f-smgX c«sP=-^jj,
ou siuP -f-— — ~7“7 cosP=sécD = sin P-f-cosP tangîx'j
1 cost.i D
eosP=— tangDtanglT et sinP = ^*g;:
Un^J:' ,anSD tanS1Ii=^Di .
cos A — tangjx'sinD tang H±= i ,
ou cos A — ^'"-j-jSin H tang x'=cos A— -siu A sin H tang-jx' = i
— sin Asin H tangjx'— i — *cos A=asin*î A ,
— SU) H tang -g x =^A^= âani j.A côTp =‘ang>A»
ainsi nous aurons par sa tangente la moitié de l'amplitude A, que Nonius
trouve avec bien moins de sfiretc par son cosinus.
Connaissant ainsi 4 A, et par conséquent A, sinD = sin A cosll nous donnera la déclinaison; c’cst la formule (4) de Nonius. Ainsi, toutes les formules de Nonius sont de'montrées indépendamment de sa construction , qui ne se présentait pas d'elle-raètnc et qu'il y a du mérite à avoir imaginée.
NoniuS passe au plus court crépuscule (fig. 111). Soit BAG l’équateur,' AB l’arc qui mesure le plus court crépuscule, ED l’arc du parallèle décrit par le Soleil pendant la durée de ce crépuscule , l’arc ED du petit cercle est du même nombre de degrés que AB ; AC et BC sont les deux horizons de la figure précédente. Nonius prouve que CË = 90*. Pour cela , menez lès parallèles ot, rj , PQ; ils seront tous dn meme nombre de degrés que AB et ED; ils représenteront des temps égaux. C'est ce qui méritait une démonstration que nous donnerons, mais que Nonius suppose. Menez les perpendiculaires A;, om, rn , F.K , P/j; les sinus de ces perpendiculaires seront tous proportionnels aux sinus des distances CA, Co, Cr, CE, CP. F.K. = a« = abaissement crépusculaire, et cette perpendiculaire est la plus grande, car ED = AB est le plus court crépuscule; donc le crépuscule est plus long , il est déjà commencé quand le Soleil est en o, en r ou en P, -et la distance à l’horizon est moindre que a a; mais puisque les perpendiculaires vont décroissant de E vers A, et de E versP, CE = 90° = CK; doue CEK. ~ CK E == 90' ; donc les triangles SEA , SKB sont rectangles l'un en E l’autre en R; ils ont l’angle égal S, l’angle SBK = SAE, les trois côtés sont égaux chacun à chacun.
Si les deux arcs étaient perpendiculaires sur AB comme P' A et P"B (fig. 1 îa), on aurait évidemment
AB = or = ry = ED ,
on a du moins CAO = CBG, par hypothèse;
