P AP' = CAP*' = P'BC = QBQ

Ao = B< , angle o = angle t = 90*;

donc les triangles Àoo' et Brr' se superposeront ;

donc ti — 00',

donc =

On prouvera de même que r'jd = ry, E'D'==ED, P'Q' = PQ; donc tous les arcs sont en effet d’un même nombre de degrés.

On a vu qu'au-dessous et au-dessus de ED le crépuscule est plus long; le sinus de la demi-durée est plus haut nous avons trouvé qu’il était

sin a a

accb H cos D

dc8*i';

cos H coi cos« »in 81*69

-ÿ, et D était 12*46' u"A, taudis que a n’est que

, sin sa . sin a . . ,

> i ; donc n » > ^ ; ainsi , depuis

' acos UcoiD coi H1 1

' c<’3 D SÙ177. i3. i

celte déclinaison de ia° 4C', le crépuscule a été diminuant jusqu’à la déclinaison, que nous trouverons tout-à-lheure nôtre pas de 6" A; ensuite le Soleil se rapprochant du pôle boréal, le crépuscule ira saus cesse en augmentant. L'est ce que. nous pouvons démontrer sans aucune ligure.

L'équation géucrale asin j x cos £ x -f- asiu’jx cotP = — ' ■

cause de cutP = — sin H tang amplitude, et de cosDsinP = cos.amplit. s= cos A, peut s écrire ainsi, pour les déclinaisons boréales ;

sinx=— "f -1- asin* | x sin H tang A

CO.- A

= siu x’-f-siu x' tang 1 À tang Aj-}”2sin*4ar sinH taug A = siu x' -f- tang A(sinx'tang j A4- asin* jx sin H) ;

mais en hiver tang A et lang^A changent de signe, ce qui donne pour la partie australe,

siux = sinx'4- tang A (sin x' tang£ A— • asin* jx sin H).

L’amplitude négative est la plus grande au solstice d’hiver, le facteur de tang A est positif; on voit donc que le crépuscule sera long, et qu’il diminuera de jour en jour avec l’aropjitude. Mais l’amplitude diminuant sens cesse, il arrivera un instant où l’on aura sin x' tang j A = asin*; x sin H , alors le second terme sera o, et l’on aura sinx=siux'; le crépuscule sera le même qu’aux jours équinoxiaux.

Le terme tang A (sinx' tang-; A — asin*îxsrnH) deviendra négatif, elle crépuscule un peu moindre, mais de fort peu de chose; peu après le terme négatif dimiuuera et le crépuscule augmentera jusqu'à l’équinoxe où tang A = o, et l’on a de nouveau sinx=sinx', mais après l’équinoxe, la formule redevient

siux= sinx' -f- tang A (sinx' tangj À+ asin'Jx sinH).

Tout est positif et croissant, le crépuscule augmente jusqu’au solstice d’été OÙ l'amplitude est la plus grande, et 2siu’ ix siu 11 au maximum.

4i6 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Cette formule pourrait servir à calculer une table de la durée du crépuscule, en prenant pour donnée la déclinaison D, qui donne sinA=— j|; en commençant la table, on aurait

, sin an

sin x — sin x = — .7 ;

co s H '

et comme les crépuscules diminuent ou croissent lentement, on aurait

toujours une connaissance de x, suffisante pour le petit terme

asin’jxsinH tangA; ainsi l’équation serait directe. Chaque calcul donnerait deux crépuscules par le changement de signes du petit terme : la formule s’écrirait

sin x — dt asin H sin’ j x tang A ;

mais on peut la rendre tont-à-fait directe.

Appliquons toutes ces formules à l’exemple choisi par Nonius.

Soit oa = 1 6° a' , n=8°i', H:=38’4o,-

Suivant Nonius. Suivant nous.