C. cos x

su>Cc + *). • • . 9,9347833 »in(x — ») . . . 8,5847958

•in{x+#)= 75*33' a6* 9,9860537 «in (x— f)= a*3a'i3'.... 8,646067» ?=»7-3i.aa ? = 27.31,12

T= 3*ia'8'56 * T' = a>o'i3'4o*.

Formules générales et nouvelles pour les crépuscules.

Soit HOR l'horizon (fig, 1 13), Plepôle,PA=PB=go°, AB=APBl’.ire de l’équateur qui mesure la durée du crépuscule, EE'GG' le parallèle du Soleil; prolongez PB et PA en G et en E, l’arc EG du parallèle sera du même nombre de degrés que AB , et il sera aussi la mesure du crépuscule; mais Une sera pas réellement l'arc décrit pendant .le crépuscule; car l’arc crépusculaire doit se terminer à l'horizon en G’. Soit G'E'=GE, G'E' sera l’arc crépusculaire; ôtez la partie commune GE', il restera G'G = E'Ii ; par le point E' et le point A menez l’arc de grand cercle E'AC qui aille rencontrer l’horizon en un point C, les triangle» GBG’, EÀE', composés do deux arcs de grand cercle et d’un arc du même parallèle seront parfaitement égaux; car outre l’angle droit G=E, on aura les arcs de déclinaison AE=BG, les arcs du parallèle EE'=GG'. Les triangles pourront .donc se superposer; on aura AE'= BG'— amplitude ortivc, car B est le point du lever équinoxial, puisque AB est uw arc de l'équateur. t '.F '<

L’angle EAE' = GBG' = PBO = H = hauteur du pôle sur l’horizon = PAC, qui est opposé au sommet à EAE'.

Dans le triangle BAC nous aurons

BAC = 90* + PAC = go* + H,

CBA == go* — PBC = 90* — H,

sin CBA ; sin BAC :: sin (go*— H) : sin( go* -f H) :: sin CA :sin CB ; donc sin CA == sin CB;

mais ces arcs sont inégaux, car CB est oppose au plus grand angle ; donc CB—180* — CA;

CA est nécessairement moindre que go* ou (go* — m) et CB = (9°*+ ”>)■ Ce triangle donne

cos C = cos AB sin'CBA sin CAB — cos CBA cosCAB , i— 2sin*ïC=cosABcos*HH-sin*H=sin*H-+-co5*H — 2sin*î AB ces* H = i — asin* j ABcos’H, d’où sin*jC= sin* j AB cos* H, et sin x C= sin j ABcosH= sin j S cos H . . .(i).

en nommant S l’arc de l’équateur qui mesure le crépuscule.

Du milieu del’arc AB, menez l'arc de grand cercle MC ;MA=MB= {S. Le triangle MAC donnera sin CM : sinCAM:: sin AM : sin ACM,

Le triangle MBC sin CM : sinCBM:: sinBM *. sinBCM. *

Dans ces deux analogies, les trois premiers termes sont identiques; donc

sin ACM œ: ski BCM ; donc ACM = BCM as= ‘ C ;

ainsi l’arc mené du milieu de AB partage en deux également l'angle au sommet C, comme ai le triangle était isoscèle; nuis les angles M, sur le milieu de la hase sont inégaux, au lieu d'élre tous deux de go* : cette égalité aura lieu toutes las fois que k somme des deux côtés sera de i8o\ La première analogie donne

sin CM jSkAM. sinCAM j 8*w(flo*^rH)

<i Jt, „

sia ACM

»io ;c

v.<: -jl

.sialSco.g sin g.Scoa H

parla formule (i) ci-dessus. Donc CM — go*. Du pôle G décrives liane

NONIÜS. 4a5

de grand cercle «Mi , vous aurez C a = CM = CA = 90% les angles en « et en A seront droits, et «M = AM=c-ïa^ = j C.

Les triangles rectangles BnM, AiM, donneront comme ci-dessus

sinoM = sinMBcos H=sinïScosH=sinMAcosH=sin-îC. . .(1), tangB«= taog AA= tangBM cos MBa=s tang j S sinH = tang w . . .(a)j

d’où l'on voit que

CA = CA — AA = 90' — AA = 90* — m,

CB = Ca -f- flB = go* -f- «B — 90* -+- ni ,

comme noos l’avons trouvé ci-dessus.

Le triangle CBA donne

einCtsinAB :: «in B : sin CA=»cosm=

asin î S cos 1 S co» H

COS m —

asin i C cosïC sin m — tangra cos m

»în AB >in D sin S cos H sin C sin C

sin j S cos 1 S cos H cos J S

" sin ; S cos H cosi C cos j C

^taogiSsmHcosiS sin^SsinH cosi’C “ ccu j C *

de ces (rois manières de calculer m la première est la plus courte et la plus sûre.

Les triangles BMtf, AMA donnent encore

cotBMo = cot AMAs= cos BM tang MB« — cos^ S cotH = cot <7 j d'où CMA = 9o"-j-y, et CMA = 9o* — (/}

ces déni angles nous Sont inutiles.

B est le point est de l'horizon , BC surpasse 90“; donc le point C se trouvera sur l'horizon entre les points nord et ouest.

Si le point A est le commencement du crépuscule au jour de l’équi-noxe , la perpendiculaire kx menée à l'horizon sera l’abaissement crépusculaire, qu’on suppose ordinairement de i8*=saa=A.r,

Le triangle rectangle BxÀ donnera

sin àje — sin aa=sin AB sin CBA = sin S cos H;

ainsi à l'équinoxe on a toujours sia S= . . (3).

C’est une des formules de Nonius. S étant ainsi connu pour le jour dè' l’équinoxe, on aura pour ce même jour tang Bjc = tang S sinH; c'est le mouvement azimutal du soleil pendant le crépuscule.

On aurait aussi

n coa AB cos S

et col BAx=cosScotII.

Mais plus généralement c'est en E' que se Irouve le Soleil au commencement du crépuscule. Menez E ’y perpendiculaire à l’horizon , E 'j-z=ia, tous aurez

- • r, ■ »in aa

sia CE sin C = sin Ej = sm aa, sm C s= ,

qui prouye que sin C ne peut être moindre que sin aa et j C moindre quea.

«nUE^*S=^-^=sin(Cê+ÉE')=Sin(9o-+êE')

== cos Mi' = cos zi. . . . (4).

Cette formule suppose la déclinaison australe; alors CE' =90* -^-n; si elle était boréale, on aurait CE" = (90* — n),

AE'=Ai-f-éE' = (m-{-n) pour les déclinaisons australes; mais pour les boréales AE" = 4E" — Ab=(n — ni). Du point E' abaissez sur l'équateur la perpendiculaire E'Z qui sera la déclinaison , vous aurez

sinD == sinE'zi=sin AE' sin MAE' = sin (n-f- m) cosH s= sin déclinaison australe,

sinD'=s.inEV = sin AE"sinE'Az'= sin (n — m ) cos H = sin déclinaison boréale dès que n > m. ainsi, chaque supposition pour S nous donnera deux déclinaisons; etponr trouver ces déclinaisons pour chaque valeur de S, le problème se réduit aux formules suivantes :

*inj C = siniScosH. . ' (A), langm=tang;S sinH. . . (B)

9ina«

* a in C *

nn a cos a

sin g C coa £C*

sin D s= sin (/i db. m) cos H. . . (D).

La déclinaison toujours australe avec (n-f-m), devient boréale avec {n — m) dès que n surpasse ni; il peut arriver que les deux déclinaisons soient australes. Il est aisé de voir que (neb/n) est l’amplitude orlive du Soleil; car on a généralcmeutsin D=s sinamplit. cos latitude; donc ( [jïdzm ) est l'amplitude,

• ^ sin D /rii

Sin O s= - . . . ; (E).

jttn m ' •

Celte formule donnera la longitude du Soleil et le jour.

Vousrejelerez comme inutiles, les déclinaisons qui surpasseront l’obliquité.

Au jour de l’équinoxe sin S ==3-‘^?, et D=o; c’est l’une des deux déclinaisons. Pour avoir l’autre qui sera australe, on remarquera queD=o donne(n— m ) = o, n— m, n a n — a m et sinD'= sin'ancosH=

sin a m cos H; vous aurez ainsi la déclinaison australe, qui répondra à la durée équinoxiale du crépuscule. Vous aurez donc deux crépuscules de même durée, l’un quand le Soleil sera à l’équateur, l’autre quand il aura la déclinaison australe calculée par cette dernière formule.

La formule (A) prouve qne C et S croissent et diminuent ensemble ; S ne peut être nul, ni C non plus ; dans la sphère droite C = S ; les pôles P et C se confondent.

m croit et diminue en même tems que S, ni ne peut être nul. cos/» == ^4? deviendra cosn— i, si l’on a C=aa, alors n— o. Cos n