BD : (AD ■+• AB) :: (AD — AB) : (CD — BC
que Théon avait démontrée plus simplement.
Il ajoute, d’après Commandin, que la ligne qui partage en deux l’angle au sommet, est toujours plus courte que la demi-somme des deux côtés. 11 eût été mieux encore de donner l’expression de cette ligne.
Soit ADB (fig. îao) un triangle quelconque, dont l’angle est également partagé par DC ; à cette ligne menez les deux perpendiculaires AH et BF.
DC = DP — CP = DB cos BDC — BC cos C = DB cos j D — BCcosC, DC =DH-f-CH=DAcos ADC-f- C A cosC=DA cos j D-f-C AcosC , aDC = (DB -f DA) cosi D — (BC — C A) cos C
= (DB -f- DA) — a(DB -t- DA) siu- $ D — (BC — CA) cos C , DC = i (DB + DA) — (DB + DA) sin* i D
— (DB -f- DA) cos C ;
quantité évidemment plus petite que j (DB -f- DA), car DB > DA et eosC est positif.
Après plusieurs théorèmes fort obscurs eide très peu d’utilité, il donne des tableaux peu commodes , où il a rassemblé dix analogies générales , long- temps désirées et non encore publiées , qu’il répète six fois, selon le nombre des parties du triangle.
Soit ABC (fig. îai) un triangle sphérique rectangle en C. Ces tableaux peuvent se traduire aiusi :
sinBC=sinA sinAB sinAC=sinBsinAB cosB =sinA cosAC cos A =sinBcosBC cos AB=cosACcosBC
sin BC=cotB lang AC sinAC=colA tangBG cos B = col AB lang BC cos A =cot ABtangAC cosAB=cotA col B
tangBC = tang AC sin AC langAC= tang B sin BC col B = tang A cos AB col A =s tang B cos A B col AB = cot BCcosB
46a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Ces trois premiers tableaux offrent, avec les formules déjà connues, qui ne renferment que des sinus et des cosinus, les formules qui euiploient les tangentes.
coséc BC — coséc A . coséc AB coséc AC — coséc B . coséc AB séc B = coséc A . séc AC séc A = coséc B . séc A B séc AB = séc AC . séc BC
coséc BC = tang B cot AC coséc AC= tang A cot BC séc B = tang AB cot BC séc A = tang A B cot AC séc AB = tang A rang B
cot BC = cot A coséc AC cot AC = cot B cosec BC tang A = cotAsécAB tang À == cot B séc AB tang AB — tang BC séc B
Ces trois tableaux sont la traduction des trois précédens, en substituant les cotangenles aux tangentes, les cosécaales aux sinus, et les sécantes au cosinus.
tang BC as cos B tang AB tang AC = cos À tang AB cot B = sin BC cot AC cot A = si» AC cot BC cot AB = cos A cot AC
I séc BC ~ sin B séc A séc AC= sia Atéc B coséc B ss cos BC séc A coséc A = sin B coséc AC coséc AB = sin À coséc BC
| séc BC = cos AC séc AB séc AC ss cou BC ace AB coséc B = sin AB coséc AC coséc A = séc AB coséc BC coséc AB =rséc B coséc AC
Ces trois tableaux sont des renversemens des précédens; il en est de même des trois suivans ;
cot BC = aéc B cot AB cot AC = aéc A cot AB taDg B ■= coaéc BC tang AC tang A = coséc AC tang BC tang AB r= aéc A tang AC
cos BC=cos À coséc B cos AC=cos B coséc A sin B = cos A séc BC sin A = cos B séc BC ain AB = sin BC coséc A
cos BC = cos AB aéc AC co* AC = cos AB sec BC sin B = sin AC coséc AB sin A = sin BC con'c AB sin AB =sin AC coséc B
Viète a tort de dire que ces six équations générales sont nouvelles ; il n'y a de nouvelles que celles qui donnent des tangentes, et parmi celleslà même il y en deux qui étaient connues de tout temps; au lieu de tang A f
Albategnius écrivait , mais Aboul Wéfa mettait, comme nous,
tang A. Des six règles qui composent notre Trigonométrie des triangles rectangles, les Grecs et les Arabes connaissaient les quatre premières; Géber donna la cinquième ; la sixième seule est de Viète. Les Grecs avaient donc
cos C" = cos C cos C', sin C" sin A = sin G , tang G = cos A tangC", * tangC' = sin C tang A'.
Ils n avaient pas cos À* =3 cos C; sin A , Géber Ta donné le premier ; noo plus que cot A' = tang A cos Ç"; c’est la seule que l’on doive à Viète.
V1ÈTE. 4Ca
Toutes ces analogies, car c’est sous la forme d’analogies que Viètc les présente, ont le rayon au premier terme; il en ajoute 16 autres, qui n’ont pas cet avantage, et qui sont toujours inutiles. La manière de les obtenir est extrêmement simple, ce qui nons dispensera de les insérer ici.
Dans chacune des six formules fondamentales, l’inconnue sc trouve au moyen de deux données; pour chacune de ces données on peut mettre sa valeur, exprimée par deux autres; après l’élimination, la valeur de l'inconnue dépendra de trois données au lieu de deux; ce qui, comme on voit, est moins simple et se trouvera bien rarement utile; mais ce qui parait plus inutile encore, ce sont dix équations absolument identiques, telles que
coséc AD :
qui revient à
çnst c B sin B lin AB ’
coséc AB sinÀB = cosc’cB sinB, ou is=r.
Ponr résoudre les triangles obliquangles, Vièle les partage en deux rectangles par une perpendiculaire, comme on a fait de tout tems. Il résout en passant ce problème : Connaissant la somme ou la différence de deux arcs, et le rapport des deux sinus, trouver les deux arcs. Ptolémée en avait donné la solution; mais les tangentes rendent l’opération plus facile.
Soit (fîg. 122 )
WP=À, PN^B, MO=i(A4-B), PO=j(A — B), MA=sinA, Na=sinB.
Les triangles semblables donnent
Mb : nN :: MA : Na,
Mb -f- bN : Mb :: MA-f-Na : MA,
MN : Mb :: MA+Na : MA, asini(A-l-B) : Mb :: sin A -f- sin B : siu A;
Bsiiii (A +B) sin A asinf (A -t- B)
— siu A + lin B . sin B ’
,+.kÂ
Mb sera donc connu.
mn = Mn — sin j (A-f-B),
tang PO = tang PCO= tang ï (A— B) = fc- = — coai(A+Bj"
a»in j (A -f- B)
1 lin B
• «in j (A -f- B)
sin À
cos ; ( A. + B)
a«ini(A-pB) — sin 1 (A + B) •
-^,ini(A + B) sin A
(1+5£Â)cosiCA+B)
= tangi(A+B)(
La solution de Vièle est donc au fond identique à celle des modernes; mais elle est beaucoup plus longue , car il calcule M/i , il en retranche
sin i (A 4- B) pour avoir mn et calculer tang £ (A — B)= cosJ. (A-flü)- Pour le second cas, il sulTil de changer le signe de B et celui de sinB; on aura
tang i (A + B)
/ . s'm Bn ( ,+^7L\
— V sin B 1
V1 sin K.S
Ungi(A— B),
ou mieux encore de renverser la première formule.
Pour trouver les côtés par les angles , il dit : cos i" angl. àlabase:cosa*ang.àlab. :: sini'rangl.verlic.,.sina,ang\.vert. et renvoie à la démonstration de Regiomontanus. On a doue la raison des sinus des angles verticaux ; on a la somme de ces angles ou leur différence; on aura donc les deux angles; dans chacun des deux triangles rectangles on aura tous les angles; il restera à calculer les deux hypoténuses et les deux bases.
La solution est bien longue ; elle n'a d'ailleurs rien qui appartienne à Viète, que la manière de calculer tang i (A dtz B).
Pour trouver les angles par les côtés , il prolonge deux côtés jusqu’à go*; du sommet de l’angle compris, comme pôle, il décrit un arc du grand cercle qui coupe le troisième côté prolongé, s'il est nécessaire; les segmens de cet arc , ou du troisième côté, forment deux triangles rectangles, qui ont un angle commun ; le rapport des hypoténuses est connu ; leur
VLÈTE. 465
somme ou leur différence est le troisième côté. On a tout le reste comme dans le problème précédent. On a trois analogies à faire avant de pouvoir calculer un seul côté, chacun de ces côtés exige une analogie de plus. La solution d'Albategni était plus courte, plus élégaîlle et plus générale.
Victe donne ensuite, pour le même cas, l'autre solution des Arabes par les sinus verses, et pour la démonstration , il renvoie encore à Régiomontan.
Il n'examine aucun des quatre cas rcslans, et termine ici la Trigonométrie sphérique.
Ponrexprimcr les arcs en parties du diamètre supposé de 200,000 ;
il donne les males.
rapports suivans , où l’on entrevoit l'usage des fractions déci-
COO.OO. O OQ 086,7a
Le reste de l'ouvrage contient des propositions de Géométrie, des recherches sur le rapport du diamètre à la circonférence, des vérifications des tangentes et des sinus, les limites du sinus de 1'; enfin, quelques considérations sur l’usage de la règle de fausse position , des additions et des corrections.
Dans la collection des œuvres de Vicie, donnée à Leyde, en 1646, on trouve un huitième livre de problèmes, sous le titre :
Francisci F ietee variorum de rebus mathcmaticis responsontm , liber octavus. On ne sait ce que sont devenus les premiers. Le huitième commence par divers théorèmes qni ne sont pas de notre sujet. Au chapitre X, il rappelle la partie analytique du livre qui suit son canon. Is enim infeliciler éditas est anno i5yg. S'il a eu à se plaindre du peu de succès, ce n’est pas sans doute à cause de quelques fautes typographiques aisées ù corriger, il n'a dù s’en prendre qu’aux défauts de rédaction , au langage étrange, et à l’obscurité dont il parait avoir cherché lui-même à s’envelopper. Nous allons voir qu’il n’est pas bien corrigé de ces défauts, qut xml dù effrayer le plus grand nombre de ses lecteurs, cl font qu’on ignoro les services réels qu’il a rendus à la Trigonométrie. II passe en revue les diffère us objets qu’il a traites dans ses Universelles inspections. Au cba-
pitre XIX , il arrive à l'usage de sa table; il annonce qu'on ne sera pas accablé parla multitude des préceptes, car toute la pratique se réduit à vingt-un J'tJ'éfuva. ou données.
Première donnée. Dans un triangle plan rectangle, les angles étant donnés, les côtés se trouvent dans sa table. Pour l’explication de cette table, soit C le côté perpendiculaire, il sera le sinus de l’angle A ; le côté C' le cosinus de A on le sinus du complément de A ; C" ou l'hypoténuse sera le sinus total. On aura donc
C" = i , C = sin A , C' == cos A = sin A'.
Autrement. C = prosinus de A , c’est-à-dire tangA; base = C' = i . C" transsinuo.se de A , c’est-à-dire sécante de A.
Enfin,
C = j , C' = cot A , Cr' = coséc A.
"Viète n’emploie les mots ni de cosinus, ni de tangente, ni de sécante; il dit toujours sinus, prosinus, traossinuose, soit de l’angle, soit de ce qui reste quand l’angle a été retranché de l’angle droit. Anguli reliqui à recto. Nous abrégeons les préceptes.
Ou peut trouver les mêmes choses dans sa table d’une manière mêlés ou composée.
Soit
C = sécA — eos A;
fl) c sic K — cos A i — co,‘ A sin* A ,
sin A sin A sia A cas A ma A cos A ^ s
(séc A — cosA) cot A = ^^v co s A
i — cos’ A sin? A .
r— r — = = sin A ;
cnn A mi ■■ A •
cot A (\ — ctvs* A)
cos A
formules plus bizarres qu’utiles, et qu’il ne démontre pas.
Soit
C = sécÀ' — cos À'; vous aurez C"= tangA' et C'«=sioA'. X» démonstration est la meme.
Soit
C = sécA , C' =s séc À cot A = — * — cosécA ,
eos A »in A 3
C” — ^cA a , A , A «U» A . co« A
sin A sin A cos A sinaA * + COlA — ^ A
r sin* A -f- cos* A l
P"~ wnAcosA ~~»iuAcosÀr
VIÈTE. » ’ /1C7
Écrivez toul cela dans le langage de l’auteur, réduisez les équations en analogies, et vous aurez autant de logogripbes, qui vous donneront plus de peine qu’ils ne valent.
Deuxième donnée. Connaissant l'hypoténuse et un côté, on a les angles.
C" : i ::C:sinA; C = C"sinA et C' = C*cosA=C"sinA',
C' : r :: Ç*: séc A = — ^-r, C : C' :: i : coséc A = -4-j.
~ coiA* »mA
Ces formules sont connues de tout tems.
Troisième donnée. Ayant la perpendiculaire avec la base, on aura les
angles.
C' : C :: i : tangA, C : C' :: i : cotA = tangA'.
Quatrième donnée. Triangles plans quelconques.
Les angle» étant connus, on aura les côtés en parties de la table.
sitiC I sinC' : sinC" :: sinA : sin A' : siuA".
Autrement. Partagea les angles en deux parties égales, par des droites qui se réuniront en un même point H(fig. ia5), de ce point U menez le* perpendiculaires HP, HP', HP '; vous aurea
C"=HrcotP'AH4-HP"cotP''A'H=HP"Ccot i A+cotiA') , car les trois perpendiculaires sont égales.
Autrement. Soit
C*=tangï A+tang; A', alors C*=cot; A" — tang^A, C=C0lî A''-tangjA',
co» î A* sin; A
C cot ; A' — tang j A sin j A' cos J A
C' tang j A + taog î A' sin ; A , sinjA'
co s j A ‘ cos j A'
__(cosg A'cns JA — sin j A* sin j A) cos j A cos ; A' cn»j (A° -f~ A) crt A cos } A’ ^ (sinj A cos ; A' -+-cosj A sin j A'Jsin j A' cos j A »iu j (A4- A') sin i A’ cos ; A
cos (qo* — j A') cos , A cos 1 A’ «in £ A’ cos j A' sin A’ ^
*“ ccsçA” sin ^ A" cos j A sm - A" cos ^ A* sin A* ’
la supposition est donc démontrée; niais à quoi peut-elle servir?
Autrement. Soit P la perpendiculaire abaissée de A" sur C', V l'angle vertical du côté de A, V' l’angle vertical du côté de A'. Y ■+• V'=A*. r> p r c JL,
— cos V oso A linA' ""coeV'’
C' : C :: coséc A : coséc A' :: sinA' sin A;
C' = P (cqt A + coi A') ;
celte manière est au moins un peu plus simple; on en déduirait
ç,, P »in (A -f~ A') PsinA* ^ p __C'sin Asin A' C* sin A ain A'
sia Asin A' $\n A sin a """" sin A* sin (A + A')
Cinquième donnée. Les côtés étant connus , on en déduit les angles.
cosÀ“==£±£p£-\ A -4- A' = 180' — A",
tout cela était bien connu et n’est pas devenu plus clair entre les mains de 1 Yièle.
Sixième donnée. Élantconnus CclC'avcc A", on en conclut les angles à la base.
lang 1 (A- A') = (£=£) col £ À".
Voilà une formule très utile et qui est restée. Je la crois de Viète, puisqu'il parait que c’est lui qui, du moins en Europe, a véritablement introduit les tangentes dans le calcul trigonomélrique, idée dont on fait honneur à Régiomontan, qui n’y a jamais songé; elle appartient incontestablement à Aboul Wéfa. Elle a été renouvelée par Reinbold.
