C : C' sin A : sin A' cosécA' : cosécA

— OigilizecJ by Çoegle

VIÈTE. /,6g

SI l’angle esl aigu et C <C', l’espèce de l'angle sera douteuse. Cela n’est pas nouveau.

Huitième donnée. Triangles sphériques rectangles.

C'' et A étant connus, on a le reste; car

sinC" sin A = sinC, langC" cos A = langC' , cosC" langÀ = CotA'.

Ce sont les trois règles actuelles. Rcgiomontanus ignorait les deux dernières. Aboul Wéfa connaissait la seconde. La troisième est de Viète. On peut faire

cosécC" cosécA=cosécC, cotC"sécA=cotC', séc C"colA=*laugA',

corollaires évidens des premières formules.

Neuvième donnée. Triangles sphériques rectangles.

Avec C" et C on a le reste; car

= cos C', on cos C" sécC sss cos C', co* C ' *

cosécC" sin C = sin A , colC" langC — cos A',

formule d’ Aboul Wcfa, ignorée de Rcgiomontanus.

séc C" cos C = séc C', sinC1' cosécC — coséc A, tangC'colC = sccA\

L’idée des tangentes et des sécantes une fois donnée , il y a nombre de ces formules qui ne coûtent que la peine de les écrire, et qui appartiennent au premier qui y porte son attention, ou plutôt à celui qui le premier & introduit les tangentes , c’est-à-dire à Aboul Wéfa.

Dixième donnée. Triangles sphériques rectangles.

C et C' font trouver le reste; car

cosC cosC' = cosC", cotC sinC' = cotA, cotC' sinC = cotA'

et leurs analogues, en substituant les sécantes et les tangentes. Ici rien de *euf.

Onzième donnée. Triangles sphériques rectangles.

C et A donnent le reste,

tangCcolA=sinC’, sinCcoséc A — sinC*, séc C cos A = sin A', et leurs aualogues.

Douzième donné. Triangles sphériques rectangles.

C et A' donnent le reste ;

cotC cosÀ'sscotC", siuC tang A'=UmgC', cosC sioÀ'=sco«A, etc*

Treizième donuée. Triangles sphériques rectangles.

A et A' donnent le reste;

cotAcot A'=cosC'', cose'c Acos À' = cos C', cosécA'cos A=cosC, etc.

Quatorzième donnée. UfaQextS'wv , petite proposition préliminaire. Vièle aime les expressions insolites, car il aurait pu dire lemme , An/^us ou \rfxfjL<tTnv.

Soit I l'inclinaison d’un grand cercle sur un autre grand cercle quelconque, R la plus grande différence qu’on puisse avoir entre l'hypoténuse et la base du triangle rectangle formé en abaissant an arc perpendiculaire d’un point quelconque du cercle incliné.

i ■+■ cos I : i — cos 1 :: i : sin R,

ce qui revient à

acos*î- 1 : asin*;l :: I : sinR =tang*j L

De l’analogie de Viète, qui est celle do Régiomontan , on tirerait

, • n . -ri . ¥ . ¥ sin qo® — sinR

i + smli : i • — sinR :: a: acos 1 i : cos 1 = ,• „ g

un 90* + u R.

sin(45*-iR)cos(45,’ + iR) , ,r. ,r. .•

“* sin (45*+ ; R) éo» (4a* — R) (45 -~ïR)C0t(45 4* ïR)

= tang* (45* — i R).

J’avais trouvé ces théorèmes, et beaucoup d’autres, Jong-tems avant d’avoir lu Viète, ni Régiomontau. Voyez ci-dessus, p. 3i4- Quinzième donnée. Triangles obliquangles.

Avec les trois côtés on a les trois angles.

cos A" =

cos CT — cos C cos CT sin C sin C'

Règle d’Albategni. Viète n'avait-il jamais lu Albategni, commenté par Régiomontan? Il donne des règles pour connaître l’espèce de l’angle. 11 n'avait aucune idée des signes des siuus, ni de ceux des tangentes. Pour donner une idée de son style, rapportons sa règle pour trouver cos A7.

Laïus quœvendo angulo oppositum eslo pnmiun (c’est cosC1') ; duo igilur rectangula sigtllatim applicabuntur ad sinum totum (c’est-à-dire seront divisés par le sinus total); unum rjuod fit sub sinibus ad complementa laie ■ rum secundiet lertii (c’est cosC cosC'); alteruni sub sinibus ipsorum lato-

VLÈTE. 4?l

mm secundi et tertii (c’est sinC sinC') et erit : ut exiens è sccttndà nppli~ catiune latitude (c’est le dénominateur) ; ad aggregalum vel dijjfèreutiam

lalitiulinis ex prirnd applicatione oriundœ [c'est le numérateur

(cos C" — cosC cotC') et «la n’est pas trop clair]; ila sinus lotus ad complementum angali queesili.

Il fallait dire au moins ad sinum complementi anguli qucesiti. Il faut avouer que des préceptes ainsi présentés ne sont faciles ni à reteuir, ni à pratiquer, ni même à comprendre. Jugez quand il y manque plusieurs mots. Par exemple, après le mot oriundœ , on avait omis les mots et sinu complementi lateris prirni .

Seizième donnée. Les trois angles contres , on a les trois côtés.

cos C" = cos A' -hcc» K cos A!

tinAsinA' *

formule inconnue jusqu’alors, ainsi que la suivante.

Dix-septième donnée. C, C' et A' connus , on a le reste.

cotÀ =

cotC — cotA'cotC' sin A" coacc C' *

cotC sinC’

.In-V--CosG' colA''.

ce qui est plus simple.

Di*-huilième donnée. Connaissant A, A* et C', on a le reste, en retournant la précédente.

cot A-pcosC'cotA" , , cotAsinA* . ...

cot C = ■ , on plutôt ■ -a<y - + COS A" cotC,

ce qui est plus commode.

Dix-neuvième donnée.

cosC = cosiScC coiéecT ouPlnl6‘ — Ços A 'smC sin G + cos C cosC .

ôn ne voit pas pourquoi Viète a préféré une forme si compliquée à la règle d’Albategni.

Vingtième donnée. A , A' et C'' donneront le troisième angle.

cos A"

cos (/ — cot A cot A' coaéc A COdtC A' 9

ou plutôt =eosC"sin AsinA'— cosAcosA'.

Vingt-unième donnée.

sin C

fin À

sin C' __ sin C sin À' sin A**

règle bie» counue.

47a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

1,'jiTonot ou manière abrégée.

Les produits, tels quesiuC sinC', sinA sinA', etc,, peuvent s’obtenir par la soustraction.

sin C sin C' = ^ [cos(C — C) — COs(C -f- C')] , cosC cosC' = j [cos (C — C') -f- cos(C -f- C')] ,

c'est ce qu’on appelait pros (aphérèse; elle était connue des Arabes. Vièle fait

i : asinC :: sinC' ; cos(C — C') — cos(C + C'), i : acosC :: cosC' : cos(C — C')4- cos(C-f-C'),

ce qui revient au même. 0 donne cette règle sous trois formes, selon l'espèce des angles.

Appendice à la sixième donnée, ‘Kaftcjroptjnt.

Un triangle sphérique ne peut avoir aucun côté plus grand que 180*, ni même de 180° lout-à-fait.

Si deux sécantes sont en raison donnée, les deux arcs seront connus; pourvu que l’on en connaisse la somme; on pourrait ajouter ou lenr différence.

Vièle fait

séc A : séc A' :: cosécfA H- A') : tangA' 4* cot(A 4- A');

d’où

séc A' coséc(A -f- A') = séc A tangA' -f- séc A cot(A -f- A');

I tangA* co» (A -h A*)

co» A' ein (A -f- A ) — ‘ cosA coa A ’

co» A , A, , cot(A + A*)

cos A' »in (A -f- Â7) ungA “T ain(A + A'y

— = tangA' sin(À -f-A') 4- cos (A + A') ,

cosA=sinA'sin(A4-A')4-cosA'cos(A4-A')=cos(A4-A'— A')^cosA-’ L’analogie de Vièle est donc vérifiée; on aura donc

•écA' déc À

. tangA/-4-cot(A -f- A')

cosec (A -f- A )

séc A'

tang A's= On peut faire

, -r co» (A 4- A')

«ce A v '

langA'sin(A-f-A')4-cos(A4A'),

cos A

- cos ( A + A' )

aia (A-fr-A')

sin (A 4- A')

co s A

^T=cos<f>

alors

VIETE:

kt co*£ — cos (À -f* A') asin \ (A -J- A' — sini(A -f- À'-4-p)

tangA »in (A. +Â') »m(A-fA') '

Or,

i-}-cosp: 1 — cosp :: cos A' -f- cos A : cosA' — cosA,'