tang 7 p :: 1 : tang±(A — A') tang 7 (A -f- A

Ainsi , au lieu de supposer la somme connue , on peut supposer la demidifférence. Cos^ est le rapport connu des cosinus, ou le rapport inverse des sécantes; on a donc cos$ et

tang p = tang i (A — A') tang 7 ( A + A') ; -

ainsi, avec la somme et le rapport ou aura la différence, et par conséquent les deux arcs, d'une manière bien plus courte que celle de Viète. On arriverait plus naturellement à cette solution en faisant

• cosA' : cosA :: 1 tcosip, cosA'-t-cosÀ:cosA’ — cosA::i-f-cosip:i — cosp, 2COS7 (A — A')cos7(A+A'):asin-J (A — À')sini(A-f-A'):: 1 : tang* \ p, tang* i p = tang 7 (A — A') tang {-(A -f- A').

Mais pour trouver cette formule plus élégante et plus générale, il fallait transformer l’analogie primitive en prenant les sommes cl les différences des deux termes de chaque rapport. Nous avons plusieurs fois témoigné notre étonnement de ce que les Grecs, qui ont tourmeuté leurs proportions de tant de manières souvent bizarres, ne se soient jamais avisés de cette combinaison. Les Arabes ont eu la même maladresse, et nous voyons avec quelque surprise, qu’une chose si simple n’ait pas été aperçue de Viète. 11 donne ensuite uue règle particulière pour le cas de la différence. 11 en donne encore d’autres pour les cas où c’est la somme ou la différence des arcs qui est donnée; mais notre formule reste toujours aussi simple et aussi générale.

sinAtsinA':: 1 :n; donc sinA-j-sinA':sinA — sinA':: 1+»: 1 — «;

donc

tang î (A — A') 1 — n 1 — eoaÿ

tang j (A -+■ À') t -f n t -+• 004 ç

tang'ip;

tang i(A — A') = tang* { tang ± ( A -f- A'),

tangï(A-j-A')= cot*7<p tangi(A — A').

Plus loin il donne

cotA + cotA' :colA — cotA' :: sm(A-f-A') : sin(A — A');

en effet

co«A . cnsA' . en. À, cos A' „ sinA'cosA-f sinAeosA' , sin A7 ces A — cos A' ain A «in A** sin.V * sin A ein À' *" «in A sin A' * sinAainA'

:: sin(À'-f-A) : sin(A'— A).

11 ne démontre aucune de ces formules.

Il revient à l'histoire des Tables de sinus, de tangentes et de sc’cantes, 11 persiste k rejeter les dénominations de sécantes et de tangentes; se» raisons sont que la sécante doit eouper le eercle en deux points, et que la tangente n’a par elle-même aucune borne; mais c'est qu'il s’obstine à placer l’origine de la sécante hors du cercle. En plaçant l’origine au centre, elle ne coupera plus le cercle qu’en un seul point, et elle bornera naturellement la tangente. Les dénominations sont une chose arbitraire et qu’on peut changer pour plus de commodité, pourvu qu’on commence par les définir pour éviter toute méprise. Viète lui-même n'a-t-il pas changé la définition du mol hypoténuse, qui, cher les Grecs, signifiait indifféremment l’un des côtés quelconque des triangles. La restriction qu’il proposait était bonne et commode, elle fut généralement adoptée. Les dénominations de tangentes et de sécantes, dans le nouveau sens, avaient les mêmes avantages. Elles ont triomphé des mépris de Vièle, et elles méritaient la préférence sur les prosiuus et les transsinuoses.

Au lieu de prosinus il proposait encore amsinus, sans en dire la raison; la préposition am est peut-être à/ta des Grecs , ou cum ; ainsi, arasinu» serait le sinus compagnon : ce qui serait le cosinus , à ia signification près. Il propose encore de donner aux sécantes le nom de prosemidit *• metri , quasi prolensœ semidiametri.

Si des trois sommets d’un triangle sphérique , comme pôles , on décrit des arcs de grand cercle , le triangle nouveau qui en résultera sera réciproque au premier triangle , tant pour les angles que pour les côtés. Viète n'en dit pas davantage. On serait tenté de croire, qu’il vient de définir sous le nom de triangle réciproque, le triangle polaire ou supplémentaire, dont il est question dans toutes les Trigonométries modernes; ruais, dan* le vrai triangle polaire, les côtés sont les supplémens des angles du triangle primitif, les angles sont les supplémens des côtés çt réciproquement. Viète ne prononce pas le mot de supplément. On croirait que les côté* deviennent tout simplement des angles, et que les angles se changent en eôlés i ce qui ne serait pas exact. Nous verrons pins loin le mol de cette énigme; en aliendaDt> contentons-nous d'assurer que jusqu’ici rien ne

.Dioitized

VIÊTE. 4; 5

démontre encore que Viète ait eu la première idée du triangle supplémentaire des modernes.

Ce qui parait démontré, c’est que Viète a le premier complété notre système trigonométrique ; qu’il a véritablement enseigné l’usage des tangentes et des sécantes; qu'il a établi les quatre formules générales, desquelles deux seulement étaient connues.Mais ce qui paraîtra singulier aux géomètres, c'est qu’étant auteur des formules que l'on appelle spécialement formules analytiques, il ne les regarde que comme des théorèmes purement curieux, et que pour la pratique il préfère de partager le triangle en deux rectangles. 11 est certain que le calcul en est toujours plus court , quoique moins précis quelquefois. 11 est pourtant des occa-sions où je préfère les quatre formules analytiques, même comme plus commodes : cela dépend des circonstances. On ne gagne jamais rien à se borner exclusivement à une méthode. Une autre chose presque aussi singulière , c’est que Viète n’ait jamais mis ses règles en équations ; il eu connaissait l’usage cependant, puisqu’il a composé un traité tout exprès, sous le titre de Recognilione œquationum, et un autre de Emendationo œquationum. Il est vrai qu’il ne connaissait pas le signe = qui sert à indiquer l'égalité des deux membres, et qu’il s'expliquait de la manière suivante : si aN œquelw B ; mais ce n’était pas un obstacle; il pouvait écrire , par exemple ,

on aura cosC" égal à cos A" sin C sinC'-f- cosC cosC.

Nous allons voir qu’il est aussi l’auteur de la plupart des solutions qui s'appellent astronomiques , pour les distinguer des formules analytiques.

Soit (fig. i a4 ) B AD un triangle sphérique quelconque, avec sa perpendiculaire AC = P.

sécBAC : sécDAC :: tangAB : langAD, ou cosDAC: cosBAC :: tangAB : tang AD,

séc CB : sécCD séc AB : séc AD, ou cos AB : cos AD :: cosBC : cos CD,

sin CD : sin BC :: tang B : tang B, sin BAC : sinDAC :: sécD *. séc B :: cos B : cosD.

Ce sont, comme on voit, les règles devenues vulgaires. Parla, Viète évite le calcul de la perpendiculaire P, dont on ne pouvait se dispenser avant l’introduction des tangentes. Ici Viète a été plus loin que les Arabes; du moins nous ignorons encore ce qu’avait fait Aboul Wéfa pour les

triangles obliquantes et pour les rectangles mêmes; i) ignorait ce théorème de Vicie, qui nous a appris que le cosinus de l'hypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques. Nous pouvons donc réclamer pour Viète le système complet de Trignométrie que suivent aujourd'hui tous les astronomes. Ce système est devenu plus simple et plus facile à retenir, depuis que nous nous bornons aux sinus, aux cosinus, aux tangentes et aux cotangentes; mais avant l'invention des logarithmes, les sécantes avaient leur utilité pour changer les divisions en multiplications , ce qui n’était pas à dédaigner.

Pour exemple (Gg. ia5),il donne le triangle rectangle ACB, dont voici les angles et les côtés :

C = go", A s= 41*, B = 55° i'56", AB = 3o°oV, AC = a3° 3o' 40',