BC

11 y ajoute trois remplissages (fig. 1 26) , x«t ata-K^rfmcru , c’est-à-dire qu'il prolonge chacun des trois côtés, de part et d'autre, jusqu'à i8o‘; ce qui lui donne trois fuseaux, dont le triangle primitif est la partie commune; dans les trois triangles nouveaux qu’il forme de celte manière, les côtés et les angles sont ou égaux à ceux du triangle primitif, ou leurs supplémcns à 180°; les angles sont égaux quand ils sont opposés au sommet ou aux deux bouts d’un même fuseau ; ils sont supplémentaires quand ils sont des angles de suite; les côtés sont égaux quand ils sont communs à deux triangles, et supplémens quand ils sont les prolongemens des côtés donnés.

Des trois angles de son triaDgle rectangle , il fait les trois côtés d’un triangle rectilalère.

Les angles seront i5o° .. ,a5° 32'4o' et 19° 8' 56,

Viète donne. .. . i5o. . . .a3.3a.4o et 19. 8. 58;

mais dans la Ggure, plusieurs de ces nombres sont altérés, et par suite leurs supplémens.

Jusqu’ici l’on ne voit pas trop à quoi servent ces remplissages et ces changemcns d’angles en côtés.

Son triangle suivant est obliquangle; il en suppose les côtés en nombres xonds.

AB = 70°, BC = 54% AC= iao\.

J’en conclus les angles

VlÈTE. 477

C=a4*49'n', A=ai*i i'g" et B = i57* i4'a6r

Viète lait B =113. 45. 33

C = 34.49. 11 A =3 ai . 1 1 . 9

La somme ne serait que de. . . . = i5H.45.53,

et elle doit être plus forte que 180°; le sinus de B est aussi celui de aa* 45' 55''; au lieu d'en prendre le supple'ment Viète aura ajouté go”. La même faute s'est glissée dans les remplissages.

Des côtés 70% 54% lao”, Viète fait les angles 7o”54” et 60“, dont la somme est 184°. Je trouve les côtés a4“4î/ 1 1*, aa”45'34'', ai” 1 i'g*. Deux de ces côtés sont les angles du triangle primitif; celui du milieu esf le supplément de l'angle primitif. Serait-ce là ce que Viète appelle son triangle réciproque ? En prolongeant les côtés jusqu’à 90”, l'arc compris et décrit du sommet comme pôle, sera la mesure de l'angle. Les trois côtés ainsi trouvés, pourront former un triangle, mais ce triangle ne bous apprendra rien.

Sur des côtés donnés on pourra élever des arcs perpendiculaires , les angles au pôle auront la même valeur que les côtés; ces trois angles pourront être ceux d'un triangle, pourvu que leur somme surpasse 180”.

Viète prend un autre triangle dont les côtés sont 70% 45* et 3G*.

11 trouve les angles ia3’36'ao", 38*48' 5o* et 3i”a3'49*.

Je trouve ia3.36.ai, 38.48. 3o et 3i.a3.44*

11 en donne encore les remplissages , qui ne sont pas plus utiles que les précédens.

Des trois côtés, il fait encore trois angles, mais leur somme ne serait que de i5i”; il change 36” en sou supplément i44*.

Viète trouve pour les angles i48*36'ia", ia3”56'ao" et 38*45' 3o”.

Je trouve.. i48.36.ia, ia3.36.at et 58.48. 3o.

Deux de ces angles sont les anciens côtés, l'autre est le supplément de l’ancien angle; il est opposé au côté dont on a pris le supplément.

Voilà tous les exemples numériques de Viète; on n'y voit rien qui ressemble au triangle vraiment supplémentaire. Les triangles dont il a changé les côtés en angles, sont probablement ce qu’il appelle triangles récipro'/ues , et ils ne sont qu'une spéculation assez oiseuse. Quand il a prolongé ses côtés jusqu’à 90”, et que des trois sommets comme pôles il a décrit des arcs de grands cercle, il a trois arcs; niais les arcs ne

forment point un triangle; on peut en former un triangle, si deux quelconques de ces trois arcs surpassent le troisième ; les trois angles ne sont pas assujélis à celle loi; l’un des angles peut surpasser la somme des deux autres , et nous en avons un exemple dans le dernier triangle où l'un des angles était de i44% et J* somme des deux antres n’était que de 1 15”. On peut supposer sur une base, deux angles aussi petits qu'on voudra, le troisième surpassera le supplément de la somme des deux petits angles, et surpassera de beaucoup leur somme. II résulte de cet examen, que Viète n’a aucun droit à l'idée d’un triangle supplémentaire; nous verrons que celte idée appartient à Sncllius, qui s'est énoncé de manière à ne laisser aucun doute.

La définition du triangle réciproque, donnée par Viète, page 4 18, n* 10, si suit apicibus singulis proposili Iripleuri sphœrici , describantur niaxum circuli, tripleurum ila descriplum Iripleuri priniùm proposili. Literibus et angulis est reciprocum, est incomplète de toute manière, et le Lasard fait qu’elle convient beaucoup mieux à nn triangle auquel Vicie

ne pensait pas, çt qui a été imaginé long-tems après. Il aurait dû nous dire en quoi consistait cette réciprocité des angles et des côtés. Le sens le plus naturel à donner à ces mots , était que les angles du premier triangle devenaient les côtés de l’autre, et réciproquement : ce qui n’est pas vrai. Cette réciprocité 4 lieu dans les échanges pleurogoniqaes (E liai loge tAoj foyo> mx») dont il nous a donné des exemples numériques ; mais dans ces échanges de côtés en angles, il est obligé de substituer le supplément au côté lui-même, pour que le nouveau triangle soit possible. C'est une chose dont il n’avertissait pourtant pas dans sa définition. Heureusement il a donné des exemples sans lesquels on ne l’eùt jamais compris; et l'on pourrait, avec quelque vraisemblance, soutenir qu’il a eu l’idée du véritable triangle supplémeutaire. Cet exemple doit nous rendre très circonspects dans les interprétations que nous donnons quelquefois à des passages obscurs, pour attribuer à quelque ancien une découverte à laquelle il n'a jamais songé. Si Viète avait eu l’idée de ce triangle supplémentaire, aurait-il négligé d'en expliquer les propriétés et les facilités qu’il offre pour les démonstrations de certains théorèmes? il donne lui-même quelques lumières sur ses véritables intentions, p. 4'8|

n’ 1 2. El si quidem in iis rectongulis proponatur angulus aliquis obtusus eliquodve laïus rnajus quadranle , inverlitur /riangulum xotr' àvairxifuen et cum idem tnangulurn quatuor modis variari possit.... ; eligitur adsequenda ea spccies quœ angulos, qui aculi sunt , exhibel, et latera quadranle mi-

VIÈTE

nora. Ea enim adsecutâ, de specie proposila licct judicium Jacere et ratiocinari. Ainsi, tous ces remplissages, et les conversions de triangles, n’ont d'autre objet que d’éviter les angles ou les côtés qui surpassent go”, pour raisonner plus sûrement sur l’espèce de l'inconnue. Ce sont des préparations dont nous n’avons plus besoin aujourd'hui.

Pour son triangle réciproque voici comment il aura pu y parvenir, et comment il aura senti la nécessité de changer un côté on son supplément avant que d’en faire un angle.

Pour trouver un angle par les trois côtés, il calculait