COS C” — CO» C COS C COS C”-#- COS C COS C
Hïcliïc’ = siu C sin C > Ce Sefa ,a Valeur du cos,nns
du côté opposé à (i8o“ — C1'); le cosinus sera négatif et le côté plus grand que 90".
Conservons C" en le changeant en angle, et mettons (180*— C) on (180” — C') au lieu de C ou deC', l’expression deviendra
ce sera celle du cosinus du côté opposé à C", mais le cosinus sera positif.
Voilà donc Sans doute le véritable triangle réciproque de-Vièle. Ce changement de C ou de C'en (180* — C) ou (180” — C") introduisait un angle obtus qu'il changeait en un angle supplémentaire aigu , par l’une de ses quatre anapléroses. Cette explication est parfaitement conforme à tous les exemples numériques, et aux passages cités de Viète.
Ailleurs il se propose ce problème, dans le genre à peu près de plusieurs qui ont été résolus par Régiomontan.
Dans le triangle rectiligne ABE (fig. 127), on connaît l'angle au sommet A, le côté opposé BE = C avec ses deux segmens DE = £ et BD = e, de sorte que ô-f-c=C ; on connaît de plus la ligne AD=a, qui va du sommet au point de section D de la base. On demande les deux autres côtés et les angles opposés.
Tout triangle est iuscriptible au cercle; ainsi, la base BE est la corde de l’arc BIlE = aA. Soit r le rajon iuconnu du cercle
48o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
FA = FB = FE = r; BG =GE = i (A + c) = rsin A; FG = rcosA :ÜÊ+^^ = i(i+c)cotA; DG==BG — BD=i(i + r)-c
FC. ; (A-fQcotA ^A+c
«in A = s b+-.c-
c=K*-c): ,angFDG=^=^±^=(5±-;)colA)
nF DG i(A-Q:
m — coa FDG ~ cos FDG ’
dans le triangle ADF , nous avons
AF = r=*fe
asm A*
AD=u, DF:
’acos FDG’
nous aurons donc l’angle ADF ; nous aurons
ADG = ADF -f-FDG, ADB = i8o" — ADF ■
FDG;
avec l’angle ADB et les côtés BD = c et AD = a nous aurons les angles DBA , BAD, et par conséquent DAE et E; mais il suffit de DBA et de BAE pour avoir BEA ; nous aurons donc les trois angles; avec le côté BE,nous aurons BA et AF.; le problème sera complètement résolu par la recherche de ai logarithmes.
La solution analytique serait plus longue et moins commode; la solution graphique serait bien simple.
Sur le milieu de BE élevez la perpendiculaire indéfinie GF.
Menez BF, qui fasse GBF = 90" — BFG =90° — A, vous aurez en F le centre du cercle, vous aurez le rayon FA; décrivez le cercle.
Du point D, avec le rayon AD, marquez le point A, tirez AB et AE, le problème sera résolu géométriquement.
Adrien Romain avait proposé aux géomètres de son teins la solution d'un problème du 45; degré. Vicie, qui s'était beaucoup occupé des sections angulaires , reconnut en trois heures que l’inconnue x du problème
était la corde d'un arc = -S-; B étant l’arc dont la corde A serait le terme 4t>
tout connu de l'équation.
Dans sa réponse, Viète, après avoir plaisanté Adrien Romain, lui corrigea son problème, en expliqua la solution, en donna la construction, à laquelle il ajouta , sans démonstration , plusieurs théorèmes qui conduisent à donner les expressions des cordes des arcs multiples en séries ordonnées selon les puissances de la corde de l'arc simple-, il donna quelques exemples del’usage de ses formules, en y ajoutant quelques petits théorèmes pour les sinus des arcs multiples et sous-multiples.
Digitizsdby Ce
VIÈTE. 48 1
Parmi ces théorèmes , qui ne sont pas tous également utiles, Alexandre A nderson a rassemblé les plus importans, et les a démontrés synthétiquement. En les traduisant en langage moderne, on retrouve ou des propositions connues de tout tems, ou des expressions qu'il est aisé de ramener aux formules plus modernes des puissances des sinus en Coudions des sinus ou cosinus des arcs multiples, ou réciproquement.
Le premier se réduit à
sin A = sin (a A -f- B) cos (A + B) — cos(aA -f- B)sin(A-f-B); cosA=cos(aA -(- B) cos(A+ B) -f- sin(aA -(- B) sin (A -1- B).
Le second à
si n (a A + B) — si n ( A + B) cos A -f- cos ( A -f- B) sin A , cos(a A -J- B) = cos(A-f- B) cos A — sin(A -f- B) sin A.
Ce n’était pas trop la peine de travestir ainsi deux théorèmes de Ptolémée ; ou du moins , en leur donnant cette forme, il fallait en montrer les usages particuliers.
Dans le troisième, il cherche les expressions de sinaA, sin 3 A, sin4A, etc.; cosaA, cos3A, cos4A, etc. Tout cela n'offre aujourd'hui rien que de bien connu, et les démonstrations qu'on en donue sont bien plus faciles.
Le théorème quatrième est plus remarquable; mais pour le rendre intelligible je l'ai mis sous la forme suivante : ,
sin(n-4-i) A=sin«A-)-[6ia»A — sin(n — i)A] — 45<n*ï A- sinnA,
qui donne le moyen de calculer la table des sinus par les différences première et seconde, quand on a déterminé directement les sinus de o. A et i . A avec sin* j A ; formule que j’ai trouvée il y a plus de a5 ans , sans avoir lu Viète, ni aucun des auteurs de ce tems, cl que je n’avais pas aperçue d’abord dans le théorème obscur de Viète, qui ne l’a pas vue lui— meme , car sans doute il n’aurait pas manqué d’indiquer un usage si remarquable. {Voyez tome I, page 458).
Voici , au reste l'énoncé de Viète :
Si à pirncto , in peripheriâ circuit , sumantur segmenta quolcumque œqualia, ut minima ad sibi proximam, ila reliquarum queevis à rninimâ detn ceps ad summam duarum sibi Mrinque proximarum.
La démonstration synthétique tient plus d'une demi-page in-folio,
On trouve ensuite ce problème : Prendre, sur une circonférence, deux arcs eu raison multiple qui soit aussi celle des carres de leurs cordes. Soieut A et «A ces deux arcs; on aura A : siuA :: sio*A : sio'nA;
d'où
Soit n = a.
cos’Assf
sio’nA
sin’A n‘
sio’3 A (asin À cos A)* 4a'n’ A cos* A
sia’ A sia’A sio“A
4cos* A ;
=j, A = 45% aA=go*, sin’A = |, sin‘aA= i.
Le problème, dans ce cas, est bien simple. C’est l'exemple que Viirte calcule. Pour toute autre valeur de n , le numérateur siu*/iA serait bien plus compliqué.
Vièle se sert ailleurs de ce problème pour la quadrature des lunules.
Le théorème cinq , en langage moderne , est
aio(/j-f-*)A+sin»A=asin(«+-;) A cosf A ,
asin { (n 4- 1 -+-«) A eos £ (n-f- 1 — n) A — asin (n-f- f) A cos f À r
sin (n-f- ») A — sin«A=asin 1 — n) A cosf («-+- 1
• =asinf Acos(n-J-fA).
Cette seconde partie du lliéorème donne la différence première de» sinus, comme te théorème quatre en donne les différences secondes.
On trouve les deux parties , en deux lignes de calcul, d’après un pria» eipe connu de tout tenu; Anderson y emploie une page de démonstration et deux figures. Comme nous le présentons, ce théorème est bien plu» concis et plus facile à retenir; mais enfin, voilà deux formules utiles et qui étaient là comme ensevelies, en sorte qu’elles sont restées ioconnue» pendant plus d’un siècle.
Le théorème six donne les cosinus de aA,5A, etc., en fonctions de eos A. Viète indique la loi des séries. U les desliuait à faciliter la construction d'une table de cosinus; mais ce moyen parait peu commode.
Le théorème sept donne des séries de même genre pour les cordes des arcs multiples. Nous lies retrouverons, avec quelques éclaircissemens iusuflisans, dans l’ouvrage de Briggs.
Le théorème huit est encore bien plus compliqué et plus difficile à énoncer.
Le théorème neuf donne encore des séries de même genre pour les sinus et les cosinus des multiples d’un angle quelconque.
Le théorème <h* servirait à sommer des cordes; problème assez inu-
VIÈTE
lîle à l'Astronomie. (V oyez Montucla, tome I, page 608). Viète ajoute : Ces mystères, inconnus jusqu'ici, sont dévoilés par l'analyse des sections angulaires. Étant donné en nombre la raison de deux angles , on aura la raison des côtés, théor. 5; on trouvera des angles qui seront entre eux comme nombre à nombre; on partagera un angle en 3, 5, 7 parties égales; des arcs étant donnés en progression arithmétique, on aura les cordes , si l'on connaît la première et la seconde seulement, ou si l’on connaît la première et la dernière. On pourra donc construire et vérifier une table de sinus, et voici la marche qu’il indique :
Vous trouverez le sinus de i8‘ par la section du rayon en moyenne et extrême raison ; par la quinti-section vous en déduirez le sinus de 3* 36'du sinus de 60*, par la trisection, vous tirerez le sinus de ao% èt par un autre trisection celui de 6*40'; par la bisection, le sinus de 3* 30'; des sinus de 3* 56' et de 5’ 20', vous tirerez le sinus de 16', puis ceux de 8', 4”, 2' et 1'; et enfin par les cosiuus des arcs multiples, vous achèverez ce qui reste.
Dans tout cela , on ne lui voit faire aucun usage des théorèmes bien plus utiles des différences premières et secondes : utilité qu’il n’a pas bien sentie lui-mème.
Ces recherches, bien plus difficiles alors qu’elles ne le sont aujourd'hui, marquent certainement un esprit éminemment analytique; mais la marche d’Euler, dans sa Théorie des sections angulaires, est aussi claire et aussi facile que celle de Viète est obscure et embarrassée. La notation ajoutait pour Viète, à la difficulté des problèmes; mais il aurait pu se rendre beaucoup plus accessible, et l'on est en droit de soupçonner qu’il était de son goût de ne parler qu’en énigmes. Il cherchait à étonner beaucoup plus qu’à instruire.
Viète mourut en i6o3; il était né en i54o, à Fonlenai en Poitou. II fut Maître des Requêtes de la reine Marguerite. Nous parlerons ailleurs de son Calendrier.
Magini.
A la suite de Viète nous pouvons placer Magini (Jean- An toi ne), professeur de Mathématiques à Bologne , commentateur de Plolémée , de Régiomontan et de Viète; auteur de Tables volumineuses, et qui n’étaient pas alors sans utilité; il composa des Épbémérides; il fut laborieux et savant, mais il n’a fait faire aucun progrès à la science. 11 était, comme tous ses contemporains, grand admirateur de l'Astrologie judiciaire.
ainsi que nous le verrons par scs ouvrages. Né en i556, il mourut en 1617. 11 était en correspondance avec Kepler et Tycho, à qui il dédia un de ses nombreux ouvrages- Le plus considérable de tous ceux qu’il a publiés a pour titre :
Primum mobile duodecim libris contention, inquibus habentur Trigono met ri a Sphivricorwn, et Astronomica, Gnomonica, Geographica queprob le ma ta ac prœterea magnus trigonomelricus canon ac magna primi mobilis tabula. Bononice, 1609.
Le grand canon donne, pour tontes les minutes, les sinus, les sinus verses, les tangentes et les sécantes à sept décimales, et à côté des sinus l'arc dont le sinus est un dixième du sinus principal de la. table; ainsi, vis-à-vis 2909 sinus de o" 1', on trouve l’arc 67, dont le sinus est 390,9.
La seconde série donne le sinus verse, et ensuite l’arc dont le sinus droit est égal à ce sinus verse; ainsi, le sinus verse de i* est i5a3, et c’est le sinus de o'5i".
La troisième série offre les tangentes pour toutes les minutes ; à côté de ces tangentes on voit l’arc dont le sinus est de la tangente; après quoi on trouve les arcs qui ont celte même tangente pour sinus.
La quatrième offre les sécantes pour toutes les minutes, et à côté de chaque sécante l’arc dont le sinus est ~0 de ccttc meme sécante.
La table va de o° à 90°, chaque degré occupant une page; les comptémens ne sont pas en regard.
Celle manière d’augmenter l’étendue de la table est simple en théorie, mais elle a dû exiger beaucoup de travail.
Magini appelle sinus second, tangeule seconde, sécante seconde, ce qu’on appelle aujourd’hui cosinus, cotangente et cosécante.
Il parle du triangle complémentaire, du complémentaire de ce premier complémentaire, de la continuation des côtés jusqu'à 180% du changement d'un triangle en un autre dont les deux premiers angles sont égaux à deux côtés du premier, et le troisième angle est le supplément du troisième côté; l'angle opposé au troisième côté se change en un côté qui en est le supplément, et les deux autres angles en deux côtés qui les mesurent. Ce triangle est celui de Pitiscus, dont nous aurons occasion de parler par la suite.
Dans la définition de ce triangle, qu'il appelle réciproque , il copie plusieurs expressions de Vièle; mais il s'exprime d’une manière plus claire et plus complète ; il commence par achever le cercle dont un des côtés fait partie; il prolonge les deux autres côtés, jusqu’à leurs rencontres avec ce
MACINI. 483
Cercle entier; alors des trois sommets du triangle donné comme pôle il décrit trois demi-cercles qui , par leurs intersections , forment le triangle réciproque où le troisième angle est le supplément du troisième côté, au lieu de lui être égal. Ce commentaire ne laisse plus aucun doute sur le triangle réciproque de Viicte.
Dans son second livre, il parle de la prostaphérèse des tangentes et des sécantes. Quand on a, par exemple, un produit tel que sin A langB, on trouve dans sa table tangB= i osinB'; en sorte que sin AtangB=losin AsinB', qui se change en^[cos(A — B') — eos(À-f-B' )]. Si l'on a langAtangB, on Te change en
îosin A'. 1 osinB' sas ioosin A' sinB' =~°- [cos(A' — B') — cos(A'-f- B)] ,
et ainsi des antres. Ainsi , avant l’invention des logarithmes , la table avait une utilité réelle. On a employé des artifices tout pareils dans des tables Subsidiaires très modernes.
Pour abréger encore les calculs, il forme des tables à double entrée, eu l'on trouve tout faits les produits sin A sinB, sin A tangB, sinA sécB, et autres semblables. Nous avons vu que Régiomontan avait donné, sous le nom de Table génémle, celle des produits sin A sinB. Ces tables sont devenues fort inutiles par l’invention des logarithmes.
Dans les huit livres suivans, il se propose la solution de tous les problèmes de l’Astronomie sphérique. Nous ne parlerons que de ceux qui offrent quelque chose de remarquable. Ainsi , au problème V III , il cherche la longitude et l’ascension droite d'un point de l'écliptique, quand ou connaît la somme (L
La solution qu’il donne de ce problème revient à faire sin(L — j4\) = tang*,1 u sio(L-f-Æ).
Quand j’ai donné celle formule dans la préface de mes Tables du Soleil, je n’imaginais guère qu’elle fût si ancienne. Ces ouvrages, que personne ne lit aujourd'hui, peuvent renfermer des choses dont on pourrait faire un bon usage. Cette formule, au reste, est de celles qu’on trouve à l’instant où l’on en sent le besoin, et dont la découverte exige moins de tems qu’on en mettrait à les chercher dans un livre où l’on se souviendrait de les avoir vues. Il est utile cependant de recueillir ces formules; on en tire des conséquences auxquelles on n’aurait pas songé. Ainsi, il est évident que sin(L — jft) est le sinus de la réduction de l'écliptique à l’équateur. Sin(L — Æ)= lang" &>siu(L-}-A\) nous dit que la
réduction à l'écliptique est la plus grande, quand (L-J- A) = 90k ou Ai = 90’ — L, et tangyR=cosû) tangL = cot L, et coso» = col* L , ce qui donne L etAl pour l'instant de la plus grande réduction.
sin.amplit. orlive = (anghaut. du pêlesiuhauteur Q au premier vertical
sinD
rw OUI aiu xj
=,aneH.-üH=^
sin D
:cS7H*
Magini démontre péniblement ces formules, que les Arabes démontraient si simplement par l'analemme.
Le livre IX traite des projections des rayons et des directions. Cette théorie est un des moyens de l’Astrologie judiciaire.
Voici la définition qu’il donne du mot direction : ce n’est rien antre chose qu’nne détermination du tems que doit employer un signijîcateur pour venir prendre la place d’un promisseur. C’est donc l'arc de l'équateur qui passera par le méridien ou par l'horizon, en vertu du mouvement diurne, et cet arc s’exprime ou en hetues temporaires , ou par les arcs de position qui passent par les sections de l'horizon et du méridien. 11 y a donc deux formes de direction. La première, qu’on dit celle de Ptolémée, emploie les heures temporaires; l'autre, qui vient d’Abrabam Avenesra, a depuis été renouvelée par Régiomoutan , qui lui a donné le nom de rationnelle.
Malgré l’obscurité de la définition, on voit qu’il s'agit d’un problème d’ Astronomie sphérique, et c’est à ce titre seul qu'elle peut nous intéresser. La suite la développera. (V oyez ci -après, problème XVIII).
Pour les radiations. Soit A (fig. 128) une étoile dont la longitude soit TL,la latitude AL, l'ascension droite xB, et la déclinaison AB; EF étant l’équateur et CD l'écliptique.
Prenez les hypoténuses AE = AF = 6o*; la radiation sur l’équateur commencera au point E et finira au point F.
Pour la radiation trigone il faut que les hypoténnses soient de... 120*= 180” — 6o\ EA, prolongé jusqu’à 180°, tombera sur l’équateur à 180* de E ; FÀ, prolongé de même , tombera à 180’ de F.
La radiation sur l’écliptique se trouvera de même en prenant... AC = AD = 60" pour la radiation sextile, ou de 120* pour la radiation trigone, et toujours on aura
cos hypoténuse cos déclinaison
= cosEB == cos BF ,
cos hrpotéoma T r. -
= cos LC = cosLD.
cos latitude
Soit (fig. 12g) OAIi un cercle de position passant par l’astre connu A.
MAGES!. 4Sj
On demande l’angle du cercle de position avec le méridien ou l’auelc PHA.
On connaît PH et PA et l'angle APH, on aura l’angle PIIA par sa cotangente.
cotPHA = ^-^- cosll col P,
l'angle P étant compté de minuit.
Connaissant PHA , on aura
sinPR = siuPH sinPHA = siu hauteur du pôle sur le cercle II AO. Connaissant PR on aurait PIIA — PIIR en faisant
sinPIIR =
»in PR sin II' «in PH ™ «iqH *
Connaissant PR et PA, on aura
sinPAR = siu PÀII =
sin PR »in IV
siu PA ' cos L)"
PAR est ce qu’on appelait alors angle de position; aujourd'hui l'angle de position est l’angle du vertical avec le cercle de déclinaison ou TAP, Connaissant PH et ET, arc de l'équateur entre le méridien et le cercle de position , trouver PR.
L'angle TRS est droit ainsi que TSR; donc T est le pôle de PRS;
donc T — SR == po*— <• PR = 90* — H'.
tang ET = sin EO lang EOT = cosH tang PHA
“8PHA-SÏ;
tang ETH = — tangHTQ ssi. — tang fc,Q ___ cot
sin LT sin 1- 1’
• col PR = — tangETO = — cotH',
et tang H' s= siu ET tang H, ou sinET == tangH' cotH.
Connaissant PR, PA et HPA, trouver ET.
HPA = QV, sinPAR =f=s£Ï,
sinAV tangA = tangTV = sinD tangÀ, ET=EV— -TV, tang PR = tang PH cos HPR ,
cosQS=cosHPR=?lang{,R£plPJI:y=tat!gH'cotH=sinET=sin(90,-!IPR).
Quand l’étoile est en A, sur son cercle de position , elle est a 1 horizon d'un lieu dont la hauteur du pôle est PR = H', et pour ce lieu la différence ascensionnelle est sin AA' = tangD tang H .
Quand elle est à l'horizon OBH du lieu de l’observateur, sa différence ascensionnelle se trouve
sin AA = tangD tangH;
d’où
ain AA' : sinAA" tangH’ : tangH, et sinAA=sinAAlangH'cotH. Si ET est connu ,
tangOTE=î^=^ =tang IITQ = tang RS = col H';
sin aA' = sin AA cotH sinET tangH = sin Ail sinET : — sindiffér. asc. du licu.sinarc de position, tang PA cos APR= tangPR, cos APR = tang PR col P A = tang H' tangD = sin AA' ,
EP A = angle hor. de l'étoile = EP V=E V=ET +T V =ET +TS —SV = ET +90"— 90' ■+• A A = ET + AA'.
Pour une étoile australe AA' changerait de signe, alors EPA = ET — AA'.
Toutes ces formules sont les applications les plus simples de la Trigonométrie sphérique; Magini les démoutre péniblement par la Trigonométrie rectiligne. Il se félicite beaucoup d’avoir trouvé ce moyen de construire une table qui pût servir pour tous les climats. Sa table, en effet, ne dépend que de l'arc de position ET et de AA, qui lui donne
A A' sin AA sin ET s= tang D tang II sin ET.
11 était dispense par là de calculer des tables semblables pour diverses latitudes; mais il fallait que AA lui fût donnée par une autre table.
Cet arc de position , Magini l'appelle encore distance du significateur ou du promisseur au méridien.
Dans le problème XIII , il cherche l’arc ET par l’arc semi-diurne et l’angle horaire, qui est ET -+- AA'. Or l’arc semi-diurne — 90* -f- AA et AA= arc semi-diurne — go*. On a donc AA, et partant AA' ; d‘ou ET = angle horaire — AA ; mais on peut trouver ET directement.
tangET=sinOE tang O = cosH langO, tangO = ,
