MAG1NI
et cot O ±= cos H cot ET , et cot ET = — ^ ;
’ CO* Il
niais le triangle PO A donne
cot PA = tang D = — colll cos P + 3lnP cf',r>
8 ‘ un il ’
tangDtangH=^osP+S-iîi^^=-cosPV-l!i^-=s;üA.ll,
^ 0 1 unit 1 coj H '
sinAAL + cosP==sinP cot ET, et cotET = s-^^-f-cot P.
’ un F 1
Magini s'arrête à cette formule, qu’il déduit d'une des formules générales de Vièle.
col ET a'P (arc irmi-dinme — 90°) + cm P cnsP — ccw arc semî-diorno
sia P lin P
cru P — co« A aiin;(A — P) ainj (A-t-P)
fin P sin P *
Or, ci-dessus, ET -f- AAV = P ; donc AAI' = P — ET.
On aura donc AAI' et l’ascension ou la descension oblique, par rapport au cercle de position, sans savoir quelle est la hauteur du pôle sur le cercle de position. . .
Connaissant l’arc de position ET, et l’arc semi-diurne du ■promisseur , vous aurez A Al=(arc semi-diur. — 90°) ; vous ferez sia AAl=sinAAlsinET, d’où vous conclurez l’asceusion oblique du promisseur, par rapport au cercle de position.
Le problème XVI donne le moyen de trouver si une étoile est dans un même cercle de position, avec une planète ou un signficateur quelconque.
Trouvez l’arc de position ET, ce qui suppose l’angle horaire de l’étoile et son arc semi-diurne. Avec ET et H vous aurez l’angle O du cercle de position avec le méridien ; vous comparerez ce cercle à celui du siguifi-
cateur, et vous verrez s’il en diffère.
Problème XVII. Le significateur étant placé dans un angle quelconque, le diriger ou le conduire au promisseur , suivant l’ordre des signes.
Il appelle, suivant l’usage des astrologues, significateur celui qui tient le premier lieu dans le zodiaque , et promisseur , celui qui tient le second lieu selon l’ordre des signes.
Diriger signifie chercher l’arc de l’équateur qui , par le mouvement de la sphère, pendant que le promisseur sera transféré à la position du premier, c'est-à-dire du significateur, passera par le méridien ou par l ho-
Ga
4'jO ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
rizon, s'il est dans un de ces cercles, ou par le cercle de position du significateur, s'il décline de Ton de ces angles. Nous avons déjà vu que les astrologues comptaient quatre angles; l’angle de Varient et celui de l’occident, celui du méridien supérieur et celui du méridien inférieur; c’est-à-dire les deux poiuls de l’écliptique qui sont à l’horizon et les deux qui sont au méridien. L’angle du méridien supérieur s'appelait aussi milieu du eiel, celui du méridien inférieur s’appelait encore bas du ciel.
Ce problème, assez compliqué , ne dépend que des règles les plus ordinaires de la Trigonométrie sphérique.
Problème XVIII. En quelque lieu que soit le significateur, hors des a gles du méridien et de l'horizon , le conduire à un promisseur quelconque, suivant l’ordre des signes, par la voie rationnelle.
L’opération , dit Magini, est très pénible. 11 faut avoir l’ascension droite et la distance au méridien, tant du significateur que du promisseur; leurs déclinaisons et l’arc semi-diurne ou semi-nocturne , selon qu’il sera au-dessus ou au-dessous de Fhoriaon ; il faut chercher l’élévation du pôle sur le cercle de position et l'arc de position. Nous avons rapporté les formules nécessaires pour tous ces calculs. Alors
Soit S le significateur, R le promisseur (fîg. 1 3o), RZN la parallèle du promisseur, OK. la différence des ascensions droites; R traversera le cercle de position ASC en Z ; KV sera le mouvement de l'équatenr, qui mènera R au point Z; l'intervalle de feras sera donc mesuré par
KV = KO — OT — TV = direction, sinEAT cosAE = cos T = sina sinll. . .(i), tangD=tangSO = sinTOtangT ou sinTO=tangDcolT...(a), sinTV = tang VZ cotT=tangD' cotT...(5).
Si la déclinaison TO était boréale, OT changerait de signe; si RK était australe, TV changerait de signe. Ainsi, cette partie du problème n'est pas si effrayante que le dit Maginus; elle se résout par trois formules fort simples, ou quatre au plus, si l'on est obligé de chercher •<t = EAT = EAS par PEA, PS et l'angle APS.
Problème XIX. Trouver la distance entre deux étoiles qui sont dans un même cercle de position, par exemple en Z et en S.
cos ZS=cos (A'— A) cosD' cosD 4-sin D' sinD , cosT=coaAEsinEAS,
sioD
=sinST,
,,n— =sinTZ, ZS=ST-f-TZ.
•in T' - aui J
Ce serait la différence si les deux déclinaisons étaient de môme nom.
-^SP-eà
MAGINI. 4gt
Ces derniers problèmes mettent dans le plus grand jour la Théorie des directions. Celte tbéorie appartient exclusivement au moyen âge. Nul ne I a exposée aussi complètement que Magini. C'est ce qui nous a sur-tout déterminé â placer ici cet auteur, qui est postérieur à Copernic, et qui, pour ses systèmes et ses théories astronomiques, paraîtrait d’uue époque plus ancienne.
Dans le livre X, parmi beaucoup de problèmes d' Astronomie sphérique qui se trouvent partout, on rencontre celui-ci, qui est moins commun; c’est le huitième.
Trouver le tems qu’un arc donné de l'écliptique emploie à traverser le premier vertical.
Soit AB (fig. 1 5 1 ) l’arc de l'écliptique, PA et PB les distances polaires des deux points extrêmes, AVE le parallèle du point A, qui coupe en V le premier vertical; le point A passera donc au premier vertical par le point V ; et quand le point B y sera à son tour en B , le point A sera parvenu en A à la distance ZPA du méridien.
tangPZ = langPV cosVPZ,
et
cosVPZ == tangPZ cotPV=cotH laugD=tangP tang(c>o'— H)=sinAAl, cosBPZ = cotH tangD'=tangD’tang(9o” — H) = sinAAl, • APV=(APB — BPV)=(Al' — Al)— BPV= (Al'— A)— (ZPB— ZPV) = (AV — Al) — ZPB -f- ZPV = (Al'— ZPB) — (Al— ZP V)
= (Al' — A Al') — (Al — A Al) ;
AAI et AAI' sont les différences ascensionnelles calculées pour la hauteur du pôle (go* — H); c’est-à-dire qu’il faut considérer le premier vertical ZVB comme l’horizon d’un lieu où la hauteur du pôle est égale à PZ; V PZ et BPZ sont les arcs semi-nocturnes des points A cl B , ou les complémens des différences ascensionnelles; P est le pôle abaissé sous l’horizon ; APV mesure le tems du passage par cet horizon substitué au premier vertical.
Le problème XV enseigne à trouver de combien le Soleil se lève plutôt pour le sommet que pour le pied d’une montagne ou d’une tour. *
Soit R le rayon de la terre , ÂR la hauteur de la tour ou de la montagne.
= sindist. ©au nadirà l’instant du lever pour le hautde lamontagne , g~2g = cosos= cos abaissement du petit cercle où se lève le Soleil;
mais a étant un petit angle , son cosinus donnera peu de précision.
... R R + rfR — R <fR
asm ;«~i cosa i R+dR R + </R R-t-rfR*
HR
,itl î« = S(K.+ *y
Soit
</R as 3400 3,3803113
R + dR = 5373600
a(R-f-</R) as 6547200 6,8iôo556-
sin*- <j 6,564i556
sin {a = 1° 5' 49", 5 8,3830778 ■■ <3 = 2. ri. 38, 6.
Calculez l'heure du lever pour 90* et 92* 1 1' 38", 6 de distance zénilale ; la différence des deux arcs semi -diurnes sera l'accélération du lever. Magini s’arrête à l’expression de cosu.
Magini emploie ensuite à ta détermination de la latitude l’observation de tous les phénomènes dans le calcul desquels la hauteur du pôle doit être l’une des données; il ne s'agit dans ces formules que de dégager la hauteur du pôle ; mais ces méthodes, bonnes en. théorie, ne peuvent donner qu'uneprccision très médiocre ; et ce serait inutilement grossir le volume que de les passer en revue. Nous n’en donnerons qu’un exemple.
Connaissant (L' — L) différence de longitude de deux points de l’écliptique ou l’arc quelconque (L' — I.) de l’écliptique, et ayant observé le tems que cet arc met à se lever, c'est-à-dire, connaissant (Alr — AAI) — (Al — A Al), trouver II.
Soit donc
(Al’— Al) — (AAV — AAI) = C , (AAI' — AAI) = (Al — Al— C),
sin __ tanglt tangD' tarpD'
sinSAl tangH tangD taogD 9
, sin AAI' : sin AAI :: tang D' : tangD,
sin AAI' H- sin AAI: sin AAI' — AAI :: tangD' -f- tang D : tangD' — laDgD, tang ’ (AAI’ -f-AAl) : taug£ (AAI' — AAI) :: sin(D'-f-D) : sin(D' — D),
tang {(AA' + AAI) = tang ) (A Al' AAI)
tang l — vlî — C) sin (D' -f- D) ^
âlii (iy — b) >
MAGINf. 493
o«» a par observation le lever de deux étoiles dont on connaît les ascensions droites et les déclinaisons, C l'arc de l'équateur qui a passé dans l'intervalle et qui est quinze fois le teins sidéral de cet intervalle; on connaît (.AV — Al) et (Al' — Al — C) et les deux déclinaisons; on aura la demi-somme des différences ascensionnelles et leur demi-différence ; on aura doue les deux différences ascensionnelles, et par conséquent deux équations qui donneront II. Celte solution est bien plus générale que celle de Magini , qui suppose deux points de l’écliptique, comme s’il était possible d’observer les levers des deux points de l’écliptique, au lieu qu’on peut observer les levers de deux étoiles, quoique l’observation soit peu sûre.
Exemple. Soit
Al' = 68“ D'= 4°* tangH =4;)° 0,0608369 o,o6o83Cg
Al == 3o D — 10 rangiy 9,ga38i35 tangD g,a463i 88
A l — Al = .38 D'-)-D = 5o sin AAl=74-°5i'aa"g,g8485o4sicAAl 9,507 1 557
D' — D =3o Al=u.4a.it
Al= 681* AAI'— aAI=65. g.ü AAt' + ûAl = 86»33'33*.
AAI = 74-5i'aa' Al' — Al = 38. o. o
Al' — aAI = — 6.5i.aa C = a5. 9.11 = (Al' — Al) — (aAI' — AAI)
en 353. 8.38
Al= 3o Al= 1 r
Al — aAI= 18.17.49 Al'— aAI'=3S3. 8.38
du — a5. 9.1 r
Yoilà donc ce qu’on observait.
Supposons l’observation faite et cherchons la latitude.
An' Al = 38° G. sin (D' D) =So° -. . o,3oio3po
G=s=— a5. g.n- sin (CV ■+■ 0) = 5o 9,8843540
Ai — C= 63. 9.11 tangl (aAI' — AAt) = 3i .34. 35', 5 9,7886305-
l (48' — Al — C) = 31.34.33,5 titng; (AAI' + A.jt) = 43 . 1 6' 47' 9,9739045-
dAtf = 74-3i .32,5
dA 1= 11 .43.11,5
sin AAI... 9,9846488 sin Al... 9,3071577.
CutD\.. 0,0761865 cotD... 0,7536813
tangH = 49°o'o* o,o6o8353 0,0608389
49i ASTRONOMIE DU MOYEN ACE.
On voit que la solution serait exacte et facile, si l’on pouvait avoir de bonnes observations, maison n’cn aurait de telles que par un grand hasard et une compensation d’erreurs.
Dans le problème que je viens de généraliser, Magini s'exprime d'une manière si obscure, qu’il m’a fallu le calculer en entier pour m’assurer qne j'en avais bien saisi le sens. L’auteur suppose qne le Soleil ait été observé à l'horizon avec une déclinaison connue; que quelque tems après on ait encore observé le Soleil levant avec une déclinaison également connue, mais différente, et que l’on connaisse en outre la différence des deux différences ascensionnelles.
II faitsinp=cosD'sin(&A’ — AA); <p sera l’arc perpendiculaireabaissé du second lieu du Soleil sur le cercle de déclinaison du premier.
«in IV Co* ç 9
4 est la distance polaire du pied de la perpendiculaire.
X=(go’ — D — 4); cot£=sinx cotip = cos(D + 4)cotp;
£ est l'angle que le cercle de déclinaison du premier jour faisait avec l'horizon.
sinH = sin £ cosD ;
en effet, le sinus de cet angle £, multiplié par le sinus de la distance polaire du Soleil est le sinus de la hauteur du pôle.
11 lui faut donc quatre analogies pour trouver, dans un cas particulier , ce que je trouve, dans tous les cas, avec six logarithmes. Cet exemple serait bon tout au plus pour exercer des élèves au calcul; mais la solution qu'il donne est pénible. J'en donne une plus simple, qui ue sera guère plus utile.
11 cherche encore la hauteur du pôle par l'observation simultanée de deux étoiles connues, dont l'une est à l'horizon, et l’antre au méridien.
La différence des ascensions droites est l'arc semi-diurne de l'étoile qui se lève ; vous avez donc
cos(A' — A) «=: — langHtangD et tangH= — cos(A' — A)cotD.
On n’a donc besoin que de la différence des ascensions droites, et de la déclinaison de l’étoile qui se lève. Si le problème est assez inutile, la solution du moins en est simple.
MAGINI. 49*
Il cherche ensuite la hauteur du pôle par deux étoiles connues qui se lèvent en même teins.
Le triangle formé par les deux cercles de déclinaison et l'arc de l’horizon est facile à calculer. Cherches l’un des angles à la base , et voua aurez sin II = siu angle. sin distance polaire adjacente; si vous calcules les deux angles à l’horizon, vous aurez deux formules pareilles pour sin H. *
Dans le problème XX, il suppose connues les latitudes de deux lieux qui voient en même tems le même point de l’écliptique à l’horizon. 11 demande la différence des longitudes géographiques. C’est une suite du problème de Régiomontan (page 359).
PZet PZ'(fig. i3a) son» les complémcns des deux latitudes; on de* mande ZPZ'; le point E de l’écliptique est à la fois dans les deux horizons. ZE= 90* = Z'E; E est donc le pôle de l’arc ZZ', qui joint les deux zénits, et ZZ'=ZEZ' = angle des deux horizons.
cosZPE = — tangD tangli, cosZ'PE= — tangD tangH'; ces angles sont les arcs semi-diurnes.
ZPZ'= ZPE — Z'PE, sinD = sin a sin longitude E.
Deux analogies fort simples résolvent le problème. Magini cherche les deux points culmioans, et leurs ascensions droites, ce qui est beaucoup plus long.
Voilà tout ce que nous avons trouvé à extraire du livre de Magini. Le nombre des problèmes qu’il résout est très grand ; il en donne un grand nombre de solutions; mais elles ne diffèrent guère que par la manière d’y employer ses tables , dont les différentes colonnes lui fournissent autant de modifications de la formule qu’il s'agit de calculer.
Le volume est terminé par une table des parties proportionnelles, pour faciliter l’usage des autres tables.
Le tout forme un volume énorme de plus de 1000 pages in-folio , bien imprimé, quia dù coûter beaucoup de travail, et que l’invention des logarithmes a rendu presque inutile peu d’années plus tard. Cet ouvrage avait été précédé d’un autre de même format, mais de moitié moins gros, portant pour titre:
J o. Anionii Magini Palavmi Tabules primi mobiles , quas directionum vulgo dicunt, x6oa.
4jG ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Dans la préface, il avoue qu'il nJe6t astronome que de cabinet; dans l'avertissement , il raconte toutes les contrariétés qu’il a éprouvées pow ses cartes géographiques , dont il donne la liste en attendant la publication.
11 adopte les hypothèses de Copernic pour l’obliquité; il en donne la table cl passe aux problèmes astrologiques, qui sont le but principal de toutes seS recherches et de ses tables volumineuses. Nous allons nous y arrêter encore quelques momens, car Magini, du moins, est le plus clair et le plus intelligible des astrologues.
La manière de construire un thème, empruntée d’ Abraham ÀbenEsra par Regiomontanus , a paru préférable à toutes les autres. On croit qu’elle se rapproche beaucoup de celle de Plolémée. D’autres croieat cependant que la manière de Plolémée est celle que Stadius a exposée dans la préface de ses Éphémérides ; Magini annonce qu'il ne donnera que quatre méthodes differentes; il commence par celle de Regiomonlanus.
Les cercles des maisons sont an nombre de six : le méridien et Y horizon, qui constituent les quatre angles; les quatre autres, qu’on appelle cercles de position , passent par les intersections de l'horizon et du méridien ; l'horizon oriental détermine le commencement de la première maison, qui s'appelle horoscopante ; le méridien inférieur détermine le commencement de la quatrième; l’horizon occidental détermine la septième maison; le méridien supérieur la dixième; les quatre autres cercles indiquent les huit maisons intermédiaires , qui n’ont d’autre nom que celui de leur numéro d’ordre.
La première chose à faire est donc de déterminer, pour l’instant donné, l’ascension droite du milieu du ciel, ou, si l’on veut, le point de lcquateur qui est à l'horizon oriental; on aura de quoi déterminer les commenccmens des maisons dixième et première.
Magini, dans l’exemple qu’il calcule, trouve pour le milieu du ciel,' ig6° 3o’. C’est le point de l’équateur par lequel passe le commencement de la dixième maison,
A l’ascension droite M ajoutez continuellement 3o*, vous aurez les points de l’équateur où commencent les onze autres maisons, ainsi que vous le voyez dans le tableau suivant :
