CHAPITRE H
Principes généraux de la Gnomonique.
Soit MN un plan quelconque, et PS un style ou gnomon élevé perpendiculairement sur ce plan. PS, prolongé jusqu’à la sphère céleste, y marquera un point Z qui sera le zénit de ce plan. Soit CZAB un grand cercle qui passe par le zénit Z; ce cercle sera perpendiculaire an plan ma, et par conséquent à MN ; il sera un vertical de mn.
Ce cercle sera vu du point S, sommet du style, comme la droite c7,ab tangente au point Z; l’arc Z A sera vu comme sa tangente Za, ZB comme sa tangente Z b, Z.C comme Zc. Tous ccs arcs scrout vus comme leurs tangentes, et l’arc entier comme une ligne droite.
Menez ZSP, aSa', bSb', cSc, etc.; a'P sera la projection de l’arc ZA, b' P celle de l’arc ZB, c'P celle de l’arc ZC; et ainsi de tout autre.
Le point P, ou le pied du style , sera la projection du zénit ou de l’arc o.
Les triangles ZSa et PSa' seront semblables; leurs côtés homologue» seront proportiounels.
.Vous aurez • „
a'P = PS tang ZA , i’P = PS langZB, c'P = PS tang ZC.
0) Vous remarquerez d’abord que toutes ces projections seront renversées , et que les arcs qui sont à droite ont leurs projeelious à gauche , et réciproquement
(a) Que tout arc ayant son origine au zénit du plan, a pour projection PS. tangente de l’arc.
Supposons maintenant un grand cercle qui ne passe pas par le zénit , et qui , par conséquent, ne sera pas un vertical du plan ; on pourra toujours concevoir un vertical qui lui soit perpendiculaire.
(3) imaginons par exemple un cercle dont le rayon soit SA , et qui soit perpendiculaire au plau de la figure , c’est-à-dire perpendiculaire au vertical ZA/i; réciproquement le vertical Z A n sera perpendiculaire au cercle SA; le point A sera le point culminant de ce cercle, c’est-à-dire le point le plus voisin du zénit Z du plan.
(4) Le point culminant A aura sa projection en a' et a'P=PS tang Z. A = PS tang N = tangN.
(5) Du rayon S«' et du centre S imaginez un cercle perpendiculaire en a' au plan du papier; les arcs du cercle SA auront leurs projections sur une droite perpendiculaire en a' au plan de la figure et à la droite MN.
Le rayon Sa' = sécZA =se'c du point culminant du cercle SA.
(6) Soit n un arc quelconque commençant au point A; sa projection sera Sa' tang n = sécN langn = séc distance zénitalc du point culminant tang de l’arc dout l'origine est au point culminant.
Cette expression est générale et sans aucune exception.
Imaginez encore que le plan eZBS tourne autour de la verticale ZSP; les points a, A et a' décriront simultanément des arcs semblables; il en sera de même de b, B et b1, c, C et c', etc.
(7) Il en résulte que les angles autour de P, sur la projection, sont les mêmes que les angles, dans le ciel, autour de Z; ainsi, deux arcs qui s’entrecoupent au zénit sous un angle quelconque X, auront pour projections des droites qui s’entrecoupent pareillement sous l’angle X.
(8) Si l’on connaît sur la projection uue ombre ou tangPa'=PStangN,
* pfl'
on en conclura tang IV = — .
On connaît toujours le style PS que l’on prend pour unité; Pu' exprimé en parties décimales de cette unité .sera donc la tangente de l’arc... IV = ZA = distance zénilale du point qui a sa projection en a'.
(9) Une ligne quelconque étant donnée sur la projection, on pourra toujours y conduire une perpendiculaire du pied du style. Celte perpendiculaire sera la tangente de la distance zénitalc du point culminant; elle déterminera, sur la ligne donnée, le zéro ou la projection du point culminant; les parties de cette ligne, commençant au poiul zéro, seront Sec N langn. Soit p une de ces projections ; ou aura
y> = sécN langn, et langn = /? cosN.
On connaît N par sa tangente ou par la perpendiculaire; on aura donc tangu et l’arc dont cette droite est la projection.
Une ligne quelconque étant donnée, on aura donc toujours facilement la distance zénilale N du cercle dont elle est la projection, et la sécante de cette distance N, qui est le rayon diviseur de cette ligne; c’est ainsi qu’on appelle Sa' rayon du cercle, dont les tangentes sont les parties de
la droite donnée. On connaîtra le zéro ou la projection du point culminant, les tangentes qui y prennent leur origine, et les arcs qu’elles représentent.
Les formules (8) et (9) renferment toute la théorie des centres et des rayons diviseurs, dont tous les goomonistes font un usage fréquent et par fois assez obscur.
Naturellement le centre diviseur est au sommet du style; mais, pour plus de commodité, on fait tourner le rayon diviseur autour de la ligne à laquelle il est perpendiculaire, jusqu'à ce qu’il soit couché sur le plan du cadran.
(10) Dans celte projection, les triangles sphériques sont représentés par des triangles rectilignes dont les trois angles font constamment une somme de 180*; la somme des trois angles sphériqnes est variable et toujours plus grande que 180e. Les angles sphériques sont donc altérés sur la projection, à moins qu’ils n’aient leur sommet au zénit du plan et au pied du style (7).
Il y a une autre exception; elle a lieu ponr le point culminant, où la projection est perpendiculaire au rayon diviseur et à la ligne menée dn pied du style, c’est-à-dire que les projections des arcs n sont perpendiculaires à la langN et à la sécanteN. De là ce principe, qu’on lit dans toutes les Gnomoniques : quand deux cercles sont perpendiculaires entre eux , et que l’un deux est perpendiculaire au plan de la projection , les projections des deux cercles sont perpendiculaires entre elles.
(n) Dans ce cas, il suffit de connaître l’un des deux angles obliques rectilignes; l’angle oblique qui a son sommet an zénit, n’est pas dénaturé snr la projection ; l’autre y est diminué de manière à devenir le complément du premier.
Après avoir exposé les principes fondamentaux, Tayons le parti qu’on en peut tirer pour résoudre les problèmes particuliers, et construire tous les cadrans qu’on peut décrire sur des plans. Nous établirons nos formules pour le cas le plus général et le plus compliqué que présente la Gnomonique; tous les autres cas s’en déduiront par des réductions faciles.
Soit RZPR' (fig. i3g) le méridien , Z le zénit, P le pèle élevé , EQ l’équateur, PQ le cercle de 6*, RR' l’horizon, ZQ le premier vertical, Mx un grand cercle quelconque, représentant le plan sur lequel on veut tracer un cadran,
(is) Z.\0 le vertical perpendiculaire au plan Mx, 'La sera la plus
GNOMON IQUE. <5fo
courte distance du plan au xénit , 'La marquera de combien le plan s'est écarté du zénit pour arriver à la position Mar, Za mesurera l'inclinaison. Nous ferons 'La = I.
(i3) Q.r sera l'amplitude du plan M.r, ou la quantité dont il décline, ou s’est éloigné du premier vertical. Nous feronB
Qx = R^ = D = déclinaison du plan.
Les angles a et A sont droits, x est le pôle de ZaAO,
Ax = 90* = QR , d’où Qx = RA.
(14) PR' = hauteur du pôle = H.
II, D, 1 sont les trois données du problème; ce soûl elles qui déterminent la position du cercle Mar.
Soit «O = 90"; nous aurons AO = Za = 1; O sera le pôle du cadran et du cercle Mx.
Oe= OM = Oa = OL = OK = Or = 90*.
Tous ces arcs sont perpendiculaires à M » .
Soit PK perpendiculaire surMx;
PR = Il = hauteur du pôle sur le plan.
PK prolongé passera par les pôles O et O' de Mx ;
OCZO' = 1 8o* = OKO';
OK==90* = OF4-FK = FR-f-PR; donc OF=PK=/i.
O est le point du ciel où aboutirait un style droit piaulé au centre de M.r; car ce style ferait partie de l‘a\e OO'.
L’azimut du pôle O du cadran = RZO — RA rs= Qx = D.
L’intersection commune des plans M.r et ZoO sera la verticale du plan ; cette verticale passe par le point a. L’intersection commune des plans Mx et OPO' sera la méridienne du plan j le cercle OPO', qui passe par les pôles du plan et par ceux', du monde , sera le méridien du plan, comme le cercle RZR', qui passe par les pôles de l’horizon et par ceux du monde, est le méridien de l'horizon RQR'.
L’intersection de RZR' avec le plan Mx sera la méridienne du lien; elle passera par le point M.
L'angle MPK sera la différence des méridiens. MPK =
Cela posé, le reste n’est plus qu’un problème de Trigonométrie sphé-
55o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
rique. Nos trois données vont nous fournir des moyens pour calculer
tous les arcs et tous les angles de la figure , et pour les représenter
ensuite sur le cadran , par la projection dont nous avons expose les
règles.
On peut se représenter Mar par un cercle décrit d’un rayon arbitraire autour du pied du style pris pour centre.
(i5) Le triangle rectangle ZMA donne
langAlo = sinZo UmgAIZo = sinl tangD = tangAIOZ.
Cette formule donne l'angle que forment, au pied du style, la verticale et une parallèle à la méridienne; en effet, la projection de l’arc OM sera celte parallèle, et celle de l’arc O a sera la verticale; l’arc Ma mesurera l’inclinaison de ces ligues. Celte formule est d'un graud usage.
La tangente de OM et celle de Oa sont infinies, puisque les arcs sont de go*; on ne peut qu’en tracer la direction sur le plan; rien ne les borne ; ruais la projection de OZ s= tangOZ =*= lang (go* + 1) = — col I.
Le point Z se projettera donc sur la verticale, à une distance cotl, au-dessus du pied du style, puisque la cotangcnte est négative, car si elle était positive elle serait au-dessous, puisque la projection renverse,
ALr = Mo -f- ax = Mo -+- go* ; car x est le pôle de ZoAO,
(t6) Le même triangle donne
tang ZM = gg = gjj = tangl sccD.
ZM est l’arc dn méridien compris entre le plan M elle zéuilZ.
MP =MZ -f- PZ est l’arc du méridien entre le plan et le pôle,
(,7) uosmp
cot H -f- tangl aie D
l — tangl a ÆcD cot 11 9
('« ME=ZE-ZM, i.n8ME=:“5HS^
U»s H — tangl M C D i + tang I séc D tang H'
(tg) Enfin le même triangle donne
cos AI = cos Za sin Z = cos I sin D= cosPK sin MPK = cos h siu S",
ZMO = M+ go*, et TAIO =? go" — M.
SoitOT perpendiculaire abaissée sur le méridien ,
sinOT =sinZsinZO=sinDsin(ç|0* + l)=siiiD cosI=cos M=cosOQ, OQ = M=rî, TO = Qr, sR' = RT = ZM,
OT =90’ — M=TMO ; d’où MT=MO=go”, cl RT— ZM.
< 1 *’ ** OT est la plus courte distance du méridien au pôle du plan; langOT sera la projection de cet arc, et la plus courte distance du pied du style a la méridienne; scc OT sera le rayon diviseur de la méridienne’ j le point T sera le point culminant ou le zéro dés arcs du méridien.
MT = go”, ZT = go” -f- ZM.
Il suffit donc d’ajouter go” à ZM trouvé ci-dessus , pour avoir le zéro T.
(20) tang ZT = cosZ tang OZ= cos D tang (go -f- 1)— — cos D cot I
=— -cotZM,
(21) colTOZ=tangZcosZO=tangDcos(go”4-I)= — sinl tangD
— tang Ma, TOZ = 90” + Ma.
TOZ est l’angle entre la verticale et la plus courte, distance du pied du style à la méridienne. Ce triangle pouvait se conclure du triangle MZa, dont il est un complémentaire.
Tang TO. tang TOZ = col M col Ma sera la projection de la partie TZ du méridien.
C’est ainsi qu’on pourra déterminer par le calcul, tout ce que les gnomonistes déterminent par des opérations graphiques, moins susceptibles de précision.
I.e triangle EeM rectangle en e donne sinEea=sinMEsinM = cos EO=sinM sin (II — ZM).
(22) Mais le triangle ZEO donne
cosEO = cosZ sinZO sinZE -4- cos ZO cos ZE
= cosD sin(go”-(- I) sinll -f- cos(go” -f- 1) cos H , ou cosOE — sinH cosD cosl — cos H sinl = cos h cos «T,
par le triangle POE.-
(23) cot ZOE — cot 11 — cos(90*-f-I) cotD
= cosl cosécD cotH -f- sin I cotD.
ZOE est l’angle au pied du style , entre la verticale et la droite menée au point équinoxial de la méridienne.
55a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
TangOE sera celle ligne; elle nons donnera an point qui appartient à la méridienne et à l’équinoxiale; prolongez PQ jusqu’en t à la rencontre de OE ; EQ = 90°, EQt = 90*, donc E/Q = 90’, donc E est le p61e de Qlou dePQt cercle de 6‘; donc Et = 90’; doncO<=90" — OE; tangOl sera la plus courte distance à la ligne de 6', et sécO l le rayou diviseur de cette ligne.
OT=90° — OQ; tangOQ = cotOT nous donnera donc un autre point de l’équinoxialo ; c’est celui qui appartient aussi à l'horizon.
cotZEO = 8i°nco,-^°:+l) „ cosH cot D
un □
= — tangl sin H cosécD — cosH cotD.
(34) col TEO = tangOEQ=-4-lang 1 coséc Dsin H-f-cosH col D, cos EQ = o = cosOE cosOQ-f- sinORsinOQcos EOQ;
(a5) cos EOQ =— cot OE cot OQ = — tang Ot . tang OT.
EOQ est l'angle au pied du style entre les points de l’équinoxiale sur la méridienne et sur la ligne de 6*.
(36) tangZOQ = UngAOQ =
cot ZOQ — sin I tang D = tang Ma = cot Z Or; donc Ma -+-ar= 90" == Mr = ar rx ,
donc r.r = Ma.
cot EOQ :
EOQ = EOZ -f- ZOQ ,
1 — tang EOZ. tang ZOQ cot ZOQ — tang EOZ
tang EOZ + tang ZÜQ tar.g EOZ cot ZOQ -t- t
COt ZOQ cot EOZ 1
’ cot ZOQ + cot EOZ
: cot eOr = cot er
sin I faog D (cos I coséc D cotll sin T cot D) — t . sin I tangl) -H COb ï coséc D cot 11 +■ -in I cot D ' ' 9
, .v fin IcosI *écD cot H 4- sin* I — 1
COter= COt(«M + 90 ) — 3in r tangD + I en,,* D cot ft 4- sin I cot O «in î coh I séc D cot H — cos*I sin I «éc P cot II — co« I
»inl (tangl >-f-cotr))-f-coaIcosécDcotH tanglsécDcosêcD-HcosecDcotll
«inl tangD cot H — coslsinD «inl rang D — cos I sin D tangH # taogl sécD-j-cot II 1 <4- tangl aécD tang H *
O étant le pôle de eM/*, il est visible que
EOQ = eOr= er= s eM -f- Mr = eM + 90*,
ainsi
tang (EOQ — ooO = »i"n<-^1 tanKn-.inTta^p
x J J i -f langl sécDtaugH
Celte expression noos sera 1res ulile parla suite.
(a8) Le triangle ARO donne
cosOR = cos AO cosAR=cosl cosD.
Le triangle OPR ,
cosOR = cosZPO sinPR sinPO -f- cos PR cosPO
a= cosif sinli cosA -f- cosH sinA = cosl cosD, cosJ' cosA-f-sinA cotH = cosI cosD cosécH.
TangOR sera la distance du pied du style au point horizontal de la méridienne.
(ag) lang ARO = = coséc D tang I = col ORT,
car ART = 90*1
(3o) tang AOR = = cose'cl tangD.
v ° ain AO . imi p
f30 tanc TOR = —
' * ® siu O'i’ »inOT tin D cosl
= tang I secl sécD coséc D.
(3a) cosORT— cosOR langTOR=cosI cosD tanglsécD se'cl coséc D = tang I coséc D = tang A RO ;
MO = 90% MT = 90% MTO = MOT = go*.
Projection de TR = tangOT tang TOR = —^. tang TOR
• sin D cos I tan^IsécTsécD coséc D tan^îsécD
cos OT sio M
Projection de TE == tangOT. tangTOE = tangOT cotEOM a= tangOT coteM.
Projection de TM est infinie comme tangOM,
Projection de TZ =' tangOT tang TOZ=tangOT tang (go’-f-MOZ) = tang OT tang (90* -f- Mx).
Projection de TP — tangOT tangTOP=tangOTtang(TOM-|-MOP) = tangOT lang(9o-j- MK).
Le triangle PZO donne
cosPO = cosPZO sinZO sinZP -f- cosZO cosZP
= — cosD sin(90*-+- I) cos H + cos(t)0-+I) sinll, cos — cosD cosl cos H — sinl sinH,
(33) el sin h = -f-cosD cosl cosH -)- siuIsinH; formule importante.
h est la hauteur du pôle sur la surface supérieure, ou son abaissement sous la face inferieure du plan.
(34) Le même triangle, donne
cotZ/F0 = sinH eot D-r, tang l coae'c D cosH=xcot J*
. = col différ. des méridiens.
(35) colZOP= langll cosl cosécD — sinl colD==ccttGOF=5 colaR ss cot angle do la verticale et de la soustylaire ; c’est ainsi qn’on appelle la méridienne du plan, parce qu’elle passe toujours par le pied du style.
L’angle GOF n’est pas altéré sur la projection, non plus que GFO; OGF devient le complément de GOF, et.ee complément est l’angle de la verticale et de l’équinoxiale.
MK. s= Mu -f- aK ,
ou bien
langMK = iHfe+ÆIÎ*,
° i -T- UngAIa taqç aK 7
tangMR = siuPRtangZPR=:sia/i tang = sinl sin H -f- cosl cos H cosDf-
n’oJD*
Vùo i J eo* D — tang I cos (36) tan O MR nntunH.inü-t-coëtrn.HënDcnsD »inl tarât) -t-coclMnDcotll ' ^ n *iuH cosD — tangl cosH 3= i — tangl >« L)cotH
On aurait trouvé la. môme chose en mettant, dan» la valeur ci-dessu», les expressioas de Ma et aK.
Les projections de OM et de TM sont toutes deux infinies, toutes deux perpendiculaires à la projection de OT ; elles sont donc parallèles et font le même angle avec la soustylaire. MOR est donc l’angle au pied du style entre la soustylaire et une parallèle à la méridienne, et par conséquent aussi 1 angle au centre du cadran entre la soustylaire et la méridienne.
E0F ~ SS = 3r / ;
on peut remplacer sin A et langé*
tangFOQ
FQ U F
par leurs valeurs cbdessus.
«in h "
fis*..
CNOMONIQUE.
tanp J cot £
(S8)ungEon=riar.?/,Fny' -fFOon— 6— tIM8F0<? iiD /7 '■*" *
° 1 — tang LOF tang FOF tüiig/coT/
êiu'h
yr’~ E — V.
coséc A r
. C03ré^(teng/ 4- cot /)
’.iin / cos
,cos <T «in
- coséc* A coàéc*A — î
ro^cA^+™;^
r / cosécAfang^A tangAsécA
{Voyez a7).
cot1 A
ain/cosT'
nia / cos/ T
(59) tang AG = sin AQ tang AQG c= cosD cot H.
(4o) tang OG = taog(OA+AGJ = ■.t»"e14-co»Dc°ttt ' J o ^ 1 — rang I co j l> cot H
OG est la partie de la verticale entre le pied du style* et l’équinoxiale.
Projection de FG = tangOF tangFOG=tangA.tangaK.
Projection de FE = tangOF tahgFOF. = tang/icosécAtangi/t=sécAtangcr. Projection de FQ = tang OF tangFOQ= laogtaoUfcoséc/itzzsécAcoùf'.
On aura ainsi les parties de l’équinoxiale comprises entre la méridienne et la ligne de G*.
(40 langQG == ^rf!r,=^== C0*écH cotD.
eotD
cos À<^G aiu li
(4a) cos AGQ = cos H sin D.
tangaL = sin I cotD.
cosL = cosl cos D.
langZL = — . n 0 cos A6L «in D
= langl coséc D.
am D 0
. /COS M OOSPM\ . / sin M \ ,
cot MJ = ( r-TO )-f-( jjTr) COtMPrf.
\ 11a CM / Vin PM/
On voit d’abord que pour un même cadran, cette formule n’a d'autre variable que colMPr/, ou l’angle horaire ; elle fait voir aussi que Mar peut être considéré comme un cadran vertical, pour le lieu dont le zénit serait en M, ou la latitude EM = (II — ZM), et dont la déclinaison serait PMx; que, dans ce cas, Mtf serait fiingle de la ligne horaire avec la méridienne. C’est ainsi que, dans mon Astronomie, j'ai considéré le cadran incliné déclinant, pour en faire un cadran déclinant non incliné, et simplifier les •çlulions.
L'angle MOzf au pied du style , sera d<)nc le même que l'angle au
centre du cadran; ainsi, nous aurons tous les angles au centre, en calculant ceux qui ont lieu autour du style; les lignes menées du centre, et celles qui sont menées du pied du style, ne devant se rencontrer qu’à des distances infinies en M , a , K, d, elles seront nécessairement parallèles et formeront les mêmes angles, soit qu’on les tire du centre ou du pied du style. ( Voyez d'ailleurs page 554 , article 36). •
Nous avons déterminé ci-dessus M et PM; le calcul de la formule serait donc. bien facile; mais on peut éliminer ces deux constantes.
cosM cot PM = cos I sin D cot (PZ -f- ZM) = —
' 1 tangl’/. taug/M
. . tn/i — cotll tangl iècP\ coil »inD — «inl rang D cot H
COS sin \^COIi|-f- rai gt îéc py cot H -f- tangl .écD
coït «inD tangl! — ain I tangD î -f tangliccD tangll
C’est la première constante; c’est aussi la valeur de cotM d pour la ligne de G1"; car à G* cotP = o; c’est la cotangente de My. En effet,
tangPM = tangMy cosM et cotMy = cosM cot PM,
M y = 90* — y r = go* — Me.
Le triangle O eq est tri-rectangle et tri-rectilalère ,
«y = 9°*» er > 9°% My < go*,
sin M sin I sin I
ÜnPM .in ZM .iu (PjT+TM) lia ZM (ain PZ coiZM + coi PZ nnZM) *
si ni sinl
’ cosH sin ZM cosZM -f sitiHüUi9 "ÏjM cos'ZM (cosH tangZM -f- » inH tang’ZM )
«ni (i -4" Unp*ZM) ____ sin I -f- sin l targM séc*D
cosH tangZM -f- sin ÎJ tang“ ZM tangl sécD cos II 4-sinH tang* 1 séc* D
■IdI cw^D-fainl tang» I sinl(i — sin* D-|- tang* I)
" tangl cos D cosH -f“ «nll tang‘ 1 tangl cosD cosH -f sin H tang*I
__ sin I (»ér* I — airatD) sinl (» — sin*D cos*I)
' tang 1 cosD cosH -+* sin H tang* 1 sin I cos I cos D cos H -f- sia H sin* I
î — sin'Dcos’I /»in*M\
cos I cosD cos II 4" 1 *iu H “* \ sin h /
(46) Ainsi
, /co«I sinDtangH — sinftangD\ . / i — sin’Dcoi*I \ n
eot Mrf — ^ r+tang I sic D tan g H — J Vco.IiinDcosH +.inU[nTi j COth-
Supposez P =s 90*, ce qui arrive à 6* ; le premier terme restera seul et sera la colangente de l'angle horaire de 6‘. t-
Cctte formule générale donnera l’inclinaison d'une ligne horaire quel-
conque sur la méridienne, dans les cadrans inclinés déclinant, et, par suite , dans tous les cadrans, en mettant ponr 1 et D leurs Valeurs, ainsi que nous verrons plus loin.
Sur le cercle horaire quelconque P<i0 abaissez l'arc perpendiculaire OA.
(47) sin 00 == sin PO sin OP0 = sin (90*'+ A) sin (P — / )
= cos A sin (P — /) = cos A cos / sin P — cos A sin / cos P = (sinHcosDcosl — ‘COsHsinl)sinP — cosMcosP(aaet 19) = (sinHcosDcosI)sinP — coslsinDcosP=AsinP — BcosP.
(48) cot PO0 = cos PO tangOPS = — cos A tang (P — J)
=^(r?£in&>
On pourrait éliminer tang / au moyen de la formule (34) ; mais en éliminant ensuite A par la formule (19) ou (aa), on ferait rentrer / et l'on ne gagnerait rien. Le plus court sera donc de s’en tenir à . . . — cos A tang (P— /). Nous indiquerons plus loin un moyen fort simple pour obtenir POA.
Avec tang 06 et langPOfl, on pourrait tracer une ligne horaire quelconque sans connaître le centre, qui se déterminerait par l’intersection de deux lignes horaires. •
11 nous reste encore h marquer les arcs des signes. Le plus court serait d’y employer l’hyperbole, par les moyens indiqués page 545.
Soit Pn la distance polaire du Soleil et d sa déclinaison.
Pn = 90“ — d — 90* — déclin, boréale.
(49) cosOn = cos OP/2 sin PO sinP/i cos PO cosPn
= cos(P — /) sin(go°-f- A) cosrf -f- cos (go’ -f- A) s>ntf = cos (P — /) cos A cos d — sin A sin d = cos A cos d cos / cos P 4- cos A cos d si n / si n P — sin A sin// s=s cos</cosP(sinHcosDcosl— cosHsinl) (aa) -f-cosdsinPcoslsinD — sinAsimf (ig)
= sin H cos D cos I cos d eos P — cos H si n 1 cos d cos P
-(-cosIsinDcosr/siiiP — (coslcosDcosH-f-sinlsinlI)simf.
Lorsque le Soleil est dans le plan, l'angle horaire se trouve par la formule générale des levers cos(P — J)=. — tangA tangd. Connaissant ainsi (P — /), on en déduiraP, c’est-à-dire l'heure à laquelle le Soleil se lèvera Sur le plan.
(50) Tang On sera la distance du pied du style à l'intersection de la ligne horaire et de l'arc du signe.
Ces deux formules renferment toute la théorie des arcs des signes pour toutes sortes de cadraus plaus; elles supposent seulement que les lignes
horaires sont décrites , ou que l'angle POfl est calculé; avec PO 9 et 09, on aurait lit ligne horaire qui est toujours perpendiculaire b 06, et l’on marquerait les points des arcs des signes par de simples intersections.
Il n’est pas besoin d’un aussi grand nombre de iorniufes pour tracer un cadran. Nous allons indiquer l’usage des plus importantes. Les autres nous donneront quelques lumières sur les pratiques obscures et non démontrées des gaoiuonistes du XVI* siècle.
Construction du cadran.
Prenez une droite arbitraire pour méridienne , et sur celte droite un point arbitraire C pour le centre du cadran et la projection du pôle.
Voyez avant tout quel sera le pôle élevé sur le plan ; si la valeur tde «in A est positive, le pôle austral Se projettera au-dessus du style au :point le fdus haut du cadran.
Si l'expression de sin A est négative, le pôle boréal se projettera au point le plus bas (53).
Eu conséquence, vous placerez le centre C ou tout en haut ou tout en bas de la méridienne ; autour de ce centre et d’un rayon arbitraire, mai» le plus grand que vous pourrez , décrivez un cercle occulte.
Sur la circonférence de ce cercle portez, eo partant du point où elle coupe la méridienne, la corde de l’angle formé par la verticale ou U corde de l’arc Ma; par le centre et le point ainsi déterminé, menez une droite, qui sera la verticale (formule i5).
Dans la figure, Mu est en haut, à la droite de la méridienne M; dans la projection qui renverse, a sera en bas et à la gauche; si Ma était négative, il faudrait faire tout je contraire. Cette ligne est nécessaire pour placer exactement le cadran sur le mur destiné b le recevoir.
Prenez de même la corde de MK. (35) ; la ligne menée du centre au point K sera la soustylaire; faites attention de même au signe de tang M.
La haoteur du style étant prise pour unité, ce style sera placé sur la soustylaire, à une distance du centres=cot h; c’est-à-dire en descendant si le centre est en haut, et en montant s’il est en bas.
L’équinoxiale , qui est toujours perpendiculaire à la soustylaire , la coupe en un point qui est b une distance tang A du pied du style, mais de l’autre côté; en sorte que le pied du style est toujours entre le centre et l’équinoxiale.
Par le point trouvé par tang/i, menez une perpendiculaire, ce sera l’équinoxiale.
uigitize
La disl?ficc cot h, le style i, et l'axe coséc /*, forment toujours un triangle rectangle. Vous aurez donc l'axe qui doit être dans un plan perpendiculaire à la souslylaire, et formant avec elle, au centre du cadran, l'angle h de la hauteur du pôle.
On peut garder cette opération pour la dernière. ‘ '
Le rayon diviseur de l’équinoxiale est sic /i. Nous pourrions donc diviser l’équinoxiale, comme tous les gnomonisles, et tirer du centre aux points de divisions, toutes les lignes horaires; mais l’exactitude dç l’opération dépendrait trop du soin avec lequel on aurait mené la perpendiculaire qui est l’équinoxiale; d’ailleurs celte ligne s’étend toujours de part ou d’autre à une âistance incommode. •
Calculez les angles horaires par la formule (4<1); portez les cordes do ces angles sur votre cercle, en partant toujours de la méridienne, ellpac les extrémités de ces cordes meuex, du centre, des lignes droites qui seront les liguas horaires. • >
Aucune de ces lignes ne doit faire, avec la verticale, un angle de plus de 90t. Les lignes qui donneraient des angles ol)lu$ sonpinutiles.à tfaçer; l'angie obtus indique que le Soleil sera au-dessous de l'horizon. Voilà lq cadran construit, à la «serve des arçs des signes.
Celle dernière opération u’esl pas plus difficile que les précédentes; on se servira des formules (49) et , (5ci), et, pour plus de brièveté , vous dclcrmiucrez <f (54)- -
Nous o’aurqqs employé pour (put que les formules i5, 53, 34, 55, 46, 49 et 5o.
On peut varier celle construction de bien des manières.
On peuf. tracef à, l'extrémité 4e bt méridienne, une perpendiculaire et prendre dessus les longueurs m.tangMd» ni étant la, longueur de la méridienne.
O11 peut prendre les longueurs /'cot Md sur deux parallèles à la méridienne menées à une distance /.
On ferait la même chose pour la verticale et la souslylaire ; on éviterait' le cercle- et ses cordes , sans alongcr le calcul, sur- tout si l'on prenait pour met/, des multiples exacts du rayon ou du style.
On peut projeter sur la figure tous les triangles rectangles qui ont leur sommet àu pied du style; c’est-à-dire T0R, TOE, TOZ..TOP; FOE, FOC, FOQ, AOR, AOQ, dont on peut calculer tous les côtés; on peu»’ calculer les triangles AO m , ou les intersections des lignes horaires , avec l’horizontale RAOR'; mais celte ligne serait souvent plus incommode encore que l’équinoxiale.
56o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
(5i) Le triangle rectangle R'Pm donnera les arcs R'm, par la formule
sinll laogP = tangR'm.
(5a) P étant compté de minuit ,
Am = (R'A — R'm) = (<8o* — D — R'm).
(53) cos Ora = cos AO cos Am, et langOm sera la distance du pied du style au point m de l'horizontale.
Toutes nos formules sont pour le cas oit le plan Ma: est descendu du zénil vers le sud-est; l'inclinaison I^Zay tsl supposée positive; la décliuàison positive D se compte en allant du midi à l’est pour le pôle O du plan, et de l'est au nord pour l’intersection x (Gg. i3q).
Si l’inclinaison était du zénil vers le nord-ouest, I serait négatif; il faudrait changer les signes de sin 1 , tang 1 , col I , coséc i , dans toutes nos formules.
Si D surpassait go”, il faudrait changer les signes des cosD, des tangentes, cotangentes et des sécantes.
Si D était du sud à l'ouest, on ferait D négatif) et l’on changerait les signes de sinD, etc.
Notre Cgure i4o représente 1 négatif et >go* — II, en sorte que le plan Mjc coupe le méridien au-dessous du pôle; on voit que Ma, MR ont changé déposition'; les signes des formules en avertiraient; mais il n’est pas inutile, pour se guider, de tracer grossièrement la figure d'après les données.
Le plan pourrait passer entre le zéoit et le pôle I; I serait négatif, mais < go* — H; M serait sur PZ, et Ma changerait de signe.
Dans la figure 139, le centre du cadran serait en haut, parce que le pôle austral est élevé sur le plan ; il en serait de même si l'intersection M était sur PZ.
Dans la ligure 140, c'est le pôle boréal qui est élevé sur le plan, le centre est au bas de la méridienne; la valeur et le signe de ZM ne laissent jamais là-dcssus aucun doute ; mais il ne sera pas inutile de donner des exemples de ces constructions dont personne n'a encore parlé.
Comme Ma change de signe quand le plan passe par le zénit , MR en change quand il passe par le pôle.
Sapposonsd’abord II
GNOMOMQUE.
OQ = M 90 — M 5= OT =
Ma ==
arc TZ =
ZM =
