coï'D.ia 4®co,‘D .(Scos'D 4^co,,D
P 003(90° — D — D)~ "cus(go° — aD) sinaD asinDcosD"
Ce procédé n'est pas très long, celui de l’hyperbole le sera beaucoup plus; il est un peu plus long dans Aboul Hhasan qui, faisant véritablement ^YiCZTi jj» cst obl'gc éo diviser par 36oo pour détruire l’effet du
fadeur 60 , rayon qui multiplait cosD. Nous simplifions en faisant le
rayon = i. , . .
Passons à l’hyperbole. Il suppose H=5o et D = a3’ 55' = ». Voici les
règles qu’il nous prescrit. '
Equation = 8e-“~ ou e=sinD langH; multiplier, par 60 pour avoir e en parties sexagésimales. L’auteur trouve e= i3"5i'. Nous trouverons 33' ,36 de plus.
a*. Cherchons cosD , c’est-à-dire 6ocosD; noos trouvons
54»9®7 = 54‘ SO' >9" 5ï- Aboul Hhasan dit 59. H met moins de scrupule
dans ses évaluations.
3’. Faites (cosD -+- e) (cosD — e)—289i7=i 6990a (Aboul Hhasau
dit 169991), et conserve* le premier prodoit.
/. Cherche* le grand axe des deux hyperboles opposées , en calculant l’ombre méridienne aux deux solstices, et prenant la somme ou la difference suivant les occasions. Nous aurons plutbt fait par la formule
G [lang (H 4- D) — tang (H — D)J — + D)c<m(FI— b)
Gain aD 1 min 4-7*10'
~ D) co, (1 l-t-U) coa53*35' coaî'a5'
= 1^9*7*= ,4^55',oa.
L’auteur trouve 14. 55
5*. Faites
e .inPt.nBn ainD g5a
«in H sin II coaH ' "
Aboul Hliasan donne a7-42*
Élevez ce nombre au carré , il sera 768p3a = 46099' ,a;
Aboul Hbasan trouve 46057.
Conservez ce second produit.
6*. Divise* le premier produit par le second , vous aurez au quotient
7*. Multiplie* l'axe par ce nombre et vous aurez
à une fraction près comme dans la parabole, pour la même déclinaison , a3* 35'.
Nous ferions 34 col D, et nous obtiendrions le même résultat par trois
GKOMOMQUE. 635
logarithmes ; il en faut vingt-cinq pour la méthode arabe, quoique uous ayons supprimé le rayon Go.
L’identité des résultats prouve déjà que les deux méthodes conduisent au même but. Mais rassemblons les méthodes de l'auteur.
e = siuD tang II = partie du diamètre du parallèle entre le plan de ■l'horizon et l’axe du monde.
(cos D-j-sinD tang H) (cos D — sin D tang II =
/cniDcn» Il -f-.sin D iin tlyco» DrmH — sinI>taTigH\ en» (tt — D)co» (Il 4- P)
\ co»lt A, co» H / co»* H
C’est le premier produit; le second produit sera
/'fin D tangll^* /'siu P\* mu* D
\ sinl] J== \ci»il/ !X~- cos* Pt ’
r*'pmdnit eo»(H — D) c™ (H + fq enj* H cos(H — D)eo*(H 4-1Î) »*
a* prodoit cou* H " ain*U »in‘D *r m*'
C’est le facteur de jc‘, dans la formule de l’hyperbole.
aunDensD
co»(U— D)co»CUq-JLO’
C’est notre expression trigonométrique.
f\" produitX osiiiDcotP rm(H — D) «o» (H + D)
,XC \ a'produil / coa (tt — f)) coa (11 -f- Ù*) sin’ 1) '
Sain T> coal) : ain* f>
— acot B.
Multipliez par la hauteur du style s=ia^, et vous aurez a4c°tU-
Ainsi , tous les facteurs étrangers introduits par l’auteur se sont effacés et n’ont laissé que notre formule générale aGcotD, comme il était arrivé pour la parabole. Passons à l'ellipse; et pour que le Soleil ne se couche pas, soit II =s 78*38' et conservons, D= a5* 35'; les distances zénitalcs méridiennes seront 37' et 77° 57'; le Soleil ne fera que tourner autour de l’horizon, sans jamais en être moins éloigné que de Sô'ay'. C’est le cas de l’ellipse. Les préceptes de l’auteur sont à peu près les mêmes que pour l’hyperbole ; pour nous , il est bien sur que nous aurons encore
a/,colD = 54^9774.
Suivons Aboul Ilhasan , comme ci-dessus;
(sin D tang H — cos D)(siaDlangII-f-co5D) = io8i5' = 648700'
= premier produit,
GïüTîO" I44,5p,o = deuxième produit, quotient = 0,75045.
Ici l'auteur prend la somme des deux hauteurs me'ridiennes , parce que l'une est au nord et l’autre au sud; mais notre formule est générale ; elle donne la somme des deux tangentes et le résultat est le même pour le grand axe; ce grand axe, multiplié par le quotient, ou par le rapport des deux produits, est 54,9778 = 54" 58' 40", 08.
On voit que c’est toujours le même paramètre, malgré la différence des courbes et celle des latitudes, parce que c’est toujours la même déclinaison; il en résulte que la formule du paramètre ne doit pas renfermer la latitude; c'est ce qu'on voit par la formule p= aG cotD.
Aboul Hhasan n’a pas vu cette simplification de ses règles; il n'a pas vu qu'une seule formule donnait le paramètre dans tous les cas; et que pour une même déclinaison et un même gnomon, le paramètre est invariable; ce qui dispense dé tout calcul, quand ce paramètre est déterminé une fois pour toutes. C'est en effet un théorème assez remarquable, et qu'il était assez difficile de prévoir, aussi ne l'ai-je vu dans aucun auteur ancien ou moderne, et il était assez important pour n’ètre pas négligé par les auteurs qui nous ont donné des méthodes si compliquées pour tracer les arcs des signes , d'après les propriétés des sections coniques.
Si la déclinuison = o, le paramètre aG cotD — ce qui prouve que la courbe devient une ligne tUfoite , ce qui est connu d’ailleurs.
PZ = G tang (H — D) =G tang distance zénitale méridienne,
AZ = j-— gr = G se’c distance zénitale méridienne.
On voit que ZH est la méridienne qui passe par le pied du style, Ou la méridienne du plan, et non celle du lieu.
AP est la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan du cadran; AP est donc le style, car toujours les sommets des cônes opposés sont au sommet du style.
Pour construire la parabole, Aboul Hhasan emploie la méthode des moyennes proportionnelles : y,=px,y= Vpx; d’un rayon=i ( p+x) il décrit un demi-cercle, dont il partage le diamètre en deux segmeus p et x ; la perpendiculaire au point de section est y.
Pour l'hyperbole jr'=px-\- (JA) x* = px *4- qx' = (/> + qx)x;
y— ViF+qx^x ; ainsi pour trouver le diamètre du cercle, il faut augmenter le paramètre d'une quantité qx; pour l’ellipse il faudrait prendre ( p — qx)x .
Quand il a le paramètre, Aboul-Hbasan construit des tables ou des échelles qui lui donnent, pour chacune de ces abscisses x, les valeurs ( p *+* qx) et le rayon -A* -f- p -f- qx). 11 serait encore plus court de faire une tabley=(px + 7x*)ï.
Ici se termine la partie vraiment intéressante de sa Gnomonique; il ne traite, dans tout le reste, que des cadrans de fantaisie , dont il a parlé précédemment, tels que les cadrans cylindriques, perpendiculaires à l’horizon, à un vertical ou à un plan quelconque; les cadrans dans un hémisphère creux, horizontal ou vertical , et les cadrans sur des feuilles de paravent , comme ceux que lord Elgin a rapportés d'Athèues. (V oj-cs tome II, p. 5o4).
Au chapitre XLII il détermine la latitude du lieu pour lequel un cadran a été construit; il en retrouve le gnomon perdu. Pour ce gnomon, les cadrans arabes offrent un moyen particulier; ce gnomou est l'excès de l’ombre de l’ashre sur l'ombre méridienne. Ses méthodes n'out d’ailleurs rien de nouveau.
11 se propose ensuite ce problème : Tracer le parallèle du plus long jour d'après celui du jour le plus court ; et, sans connaître la latitude , notre formule
rt,c.ü)),+(ït5ÿ!±S) x-
, zi •r'xv , /(cosTTcrviD-f-*mHaiaD) (cos H cos D— linHfltn D)\
= (aGcotD)x+(; îüâd ) *
, r> . /co»*Hc<m*D — sin*H»in’D\ .
=(aGcotD)x-f-( ) x*
=(,Coo,D)x+('2lUSiï2)*-
nous donne
y* aG cot D . cos* H
x* x s in1 D
Quand on a l’arc du jour le plus court tout est connu dans cette formule;
| l'exception de H; on tirera donc la valeur de
cos-H =(£) sin»D4-8— ^C08-+ sin'D
=aGriaPeosp + sin.D(|-t-g)
Il » • * . ;
Connaissant H on pourra calculer l'autre hyperbole à l’ordinaire.
Ces deux hyperboles opposées sont toujours égales; car supposez que D change de signe, sin* D n’en changera pas, cos(H — D) deviendra COs(H-f-D); cos(H-f-D) deviendra cos(H — D); le produit ne changera pas.
Le grand axe am;
Ciin nD
con(H-D)cos(H-H>)
et sa moitié mz
GiinDcmD
coa(H — D)cos(H-(-D)
ne changeront pas de valeur , ils ne changeront que de signe , parce que d’une hyperbole à l’autre on change le point de départ.
Le paramètre change de signe avec cotD; mais x en change également, parce que les x ont une direction contraire; ainsi la formule est la même pour les deux hyperboles opposées. Déterminez donc le grand axe Ka (fîg. 1 5^) , prenez-en le milieu en a; h partir de ce milieu prenez, a A == tta , vous aurez les sommets des deux hyperboles ; menez la ligne yay' du second axe , de tous les poiuts de l'hyperbole tracée CAC’, abaissez des perpendiculaires sur yy' telles que Cy, B/3, B'j8',C 'y'; continuez ces perpendiculaires, en sorte que yc=:yC, bf 3 = /3B, etc., et vous aurez autant de points que vous voudrez de l’hyperbole cac\ ou, pour abréger, ployez le papier selon yaÿ, en sorte que a A se superpose sur ou, et calquez cac' sur CAC' en transparent.
Mais pour déterminer le grand axe il fant avoir la hauteur du pôle.
On a , au jour le plus court ,
ombre méridienne = G tang(H-f-D)=Glang(H-f-«);
on aura donc H, si l’on a le pied du style. Si on n’a que l’hyperbole et la hauteur du style, il faudra recourir au moyen exposé ci-dessus, qui doune cosH par xx y et D.
Soil-^ = tang<p, <p sera l’angle que la corde hyperbolique, menée
du sommet du grand axe au sommet de l’ordonnée , fera avec le grand axe. Or
sGcnt D
cos* n
ain‘D
lang*<p,
et
GNOMÔNlQUË.
aG cotD
, CO!* H . , aG sin* D cot D 4- x cos'H
+- r-rv: = J + tang*<P SS Sec* if) S= r— ~ ,
un* D 1 o t t x ,m>D *
cos*!? ;
xsin*D
' aG sin D cos D + x cos* H
Soit K la corde hyperbolique
-^— = (aG cot D.x
COS f \
cos,,I .\i /aG cot D , cos* n\i
sin* D *** / \ x sîn* D/ ’
00 aura donc xj et K ou les trois côtes du triangle rectangle.
Avant de quitter les Arabes , voyons les usages de ces formules , qu’ils ne connaissaient pas, mais dont l'idée m'est venue a la lecture d’Aboul Hhasan.
Faisons-en l’application au cadran d’Athcnes, qnc nous avons calculé tome 11, page 493. Ce cadran est un vertical du midi; nous pouvons le conside'rer comme un horizontal pour un lieu qui serait sur le mémo
méridien, mais à go* d’Athènes; la latitude 37*3o' deviendra
S7*5o' — go* = — 5a°3o'; à la vérité ce lieu n'aurait pas les mêmes heures temporaires , mais l’angle horaire n’entre pas dans nos formules nouvelles.
Nous aurons donc
H= — 5a*3o', — H-f-a3*5i'=x — a8*3g' et —H — D=— 76*3 1 ' ;
nous aurons toujours
/>=aGcolD= 1 x io,55'cotD=ai,,iocolD=2i,,i coi23° 5 1'—47'737»
grand aie = c~ 17"n^~-(îi?6)= 57',67855 ,
demi-grand axe = 18,839375 ,
n* cos (II — D)cos(H-f-D) u
Le plus simple serait de donuer à x les Valeurs 1, a , 3 et successivement; mais pour nos vérifications il faut calculer les x et lesj' d’après les ombres et les angles de notre cadran , tome II, page 4g3 , ce qui doublera la longueur de l’opération.
x = P7, zh. PH' = G tang (H — D) ± ombre cos angle, jr = ombre sin angle. •
54o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Ainsi , à deux heures du méridien
Hiver. Été.
cosangle 9,8787656 cosangle = 9,9318770
ombre = 7.04 0,8476737 ombre =83,02 .... 1,9191837
sinangle=4o.5i 9,8i563i5 sinangle = 53,ai .... g, 7401668
PH= 5,3a52 .. 0,7263583 PH =69,549 ■••• 1,8410697
P Z = 5,7640 p 1,6789665 PZ = 43,443 p 1,6787655
px — 20,<j43 •> 1, 32i233i px~ 1256,4 .... 3,0931659
• ix’= 0,244 •• 9,3872063 —jX* ” 85o,o .. 2,9294728
ci-dessus = 4,6047 ci-dessus= 45,64'
diflërence= 0,0027 diflër. = o,o56
On ne peut désirer plus d'accord avec des ombres qui ne sont calculées qu’en centièmes de pouces, et des angles qui ne sont calculés quen minutes.
Un avantage de ces formules, c’est qu’elles servent à calculer les deux hyperboles » la fois , sans rien connaître que le grand axe et ses deux extrémités. Le grand axe est toujours sur la méridienne du plan.
Supposons x = 10, x ... 1,0000000
1,265403 ... 0,1022780 10 p=px ... 3,6787665
37 = 49,153 est la largeur de l’hyperbole pour x= 10; la double abscisse surpasse déjà le paramètre qui n’est que de 47,727.
C'est par des calculs semblables que j'ai formé la table suivante :
Pi IF. I«»
Dlff 3*».
IIO
>9.9c4 ai ,5>o a3 , oF>4 04,575
7,oco 3,036 3,407 a,oq5 '.9'3 '>779 1 ,684
0,6.9 o,3ia 0, 18a
0,oq5
De 8 à 10 les différences secondes sont si petites que les différences premières sont presque constantes; en les supposant nulles, ou pourra continuer la courbe en ligne droite.
En tout , le calcul est très facile et assez court pour qu’on puisse multiplier les déterminations autant qu'on le jugera b propos.
Les deux hyperboles opposées étant égales, puisqu'elles ont même grand axe et même paramètre, il suffit d’en calculer une pour chacune des déclinaisons dont on voudra l'hyperbole.
Ce moyen, pour calculer les arcs des signes, nous parait préférable à tout ce que nous avons lu en ce genre, à tout ce que nous avons donné, et à tout ce que nous pourrons donner par la suite.
Pour diviser les courbes en heures, il suffit d'avoir la longueur des ombres comptées du pied du style, ou la longueur des lignes boraircs comptées du centre.
Dans ce dernier cas, il suffira d’une seule longueur pour chaque heure; avec cette longueur, et du centre du cadran, on marquera sur un arc hyperbolique un point de section ; ce point et le centre donneront la ligne horaire , qui divisera toutes les hyperboles.
Dans le premier cas, il faudra deux longueurs d'ombre et deux points d'intersection pour avoir la ligne horaire.
Il est étonnant sans doute qn’aucun auteur n’ait encore songé à disposer l’équation aux sections coniques pour l’usage de la Gnomonique ; il est vrai qu’il était difficile de prévoir que l'expressiou du paramètre et celle de seraient d’une simplicité 6i remarquable.
Voulons-nous savoir, dans notre hyperbole, à quelle abscisse répon*
54a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
dra y == j p = a3,8655. La simple inspection du tableau non* montre
que x différera peu de 9,5.
log — , = 0,1026730, log — =o,o5i336o = log tang t'= 48* aa'4a".
•x = mséct' — tu — tn (sdct' — j) = m tangè langi e'.
log cos t 9,8223048 logm 1,375064a
logséct' 0,177695a tang e' s= 48l>3a' 4a* O,o5i336o
logm == 11,839275 1,2753642 tang4£'= 24.11.21 g,65a43o6
rosées' = 38, 3635 3,4527694 x = 9,52420 0,9788208
Je. • . ..
C’est donc 3 une distance du centre mséct' que l’ordonnée y — jp, ou , à une distance du sommet , s= m tang s' tang ; <' = abscisse.
Dans l’ellipse
cost, 1 — ~ = sin'î , sin t — e= excentricité de l’ellipse.
Le demi-paramètre de l’ellipse est l’ordonnée qui repond à la distance gin e du centre. J ■ -
Le demi-paramètre de l’hyperbole est l’ordonnée qui répond à. . .1 x — tang s' tang j 1 ou à la distance sécc' du centre.
Nous supposons ici m == 1.
Dans la parabole nous avons vu que le paramètre répond à l’abscisse * = i P-
Le paramètre est donc une ordonnée très remarquable de la courbe, et non pas une quantité étrangère comme on le croirait en lisant Apollonius.
La formule p=aG colD = acolD, quand on prend le style pour unité , fait qn’on peut calculer une table de tous les paramètres qui serviront pour tous les cadrans cl à toutes les latitudes. Les gnomonistes, qui ont donné tant de tables subsidiaires pour la construction des cadrans, auraient sûrement calculé cette table des paramètres, s’ils eu eussent connu la formule.
GNOMONfQUE.
Para maires.
Paiîtm^lrc».
CO
ai
8,66aq5a
On voit que le plus petit de tous les paramètres est encore égal à 4,6 fois la hauteur du style.
On voit que quand la déclinaison est très petite les hyperboles sont fort aplaties.
m diminue avec la déclinaison , il est nul à l’équateur.
tang «' augmente avec la déclinaison.
m secs' diminue , quoique séct' augmente.
Le centre de l’hyperbole se rapproche du pied du style jusqu'à ce que D = o, alors le ceulre est sur l'équinoxiale.
Formules usuelles pour F hyperbole.
p = acolD, en supposant G=i.
Grande ombre = tang (II -f- D) ,
Petite ombre = taog (H — D) ,
Demi-axe=~ [tang(H-f-D) tang(H D)] = coa(H+S)éo;fff3D) = ».
o sut D
y% = (a cot D) .r-f- ( tang s7. a:)*.
On multipliera tout par G, si l’on ne lait pas G = 1, ce qui serait le plus commode.
Revenons aux Arabes.
Voici en dernier résultat ce que leur doit la Gnomonique.
Le pied da style est la projection du zénit du plan ; les Grecs le vaient déjà. Les Arabes ont imaginé de placer sur leurs cadrans le ze'nit de la Mecque; ils ont imaginé les lignes du commencement et de la fin de l'ashre, dont nous n'avons aucun besoin; ils ont des cadrans cylindriques qu’on ne voit pas chez les Grecs, et qui ne sont pas d'un usage bien sûr; ils ont, comme les Grecs, des cadrans coniques qui doivent être un peu moins mauvais; ils ont des cadrans sphériques. Aboul Hbasan se faisait un honneur de toutes ces inventions, et les Grecs, qui avaient la plus passable de toutes, pouvaient avoir également toutes les autres : je ne parle pas de la balance horaire, qui me parait une invention plus bizarre qu’utile. Ils ont eu la première idée des cadrans qui marquent les heures équinoxiales , les seules dont les modernes font usage ; ils ont connu la projection du pôle , qui est le centre du cadran et le point commun des intersections des lignes horaires équinoxiales; mais ils n'ont pas su tirer un parti bien avantageux de cette remarque heureuse; ils n'ont connu ni les rayons, ni les centres diviseurs des dif- ’férentes lignes horaires; ils ont imaginé de décrire les arcs des signes d’après les propriétés générales des sections coniques. Ils ont donné des règles générales pour calculer le paramètre des trois sections; leurs règles ne dépendent que de la hauteur du pôle, de la déclinaison et de la hauteur du gnomon. Ces règles étaient beaucoup trop longues à calculer : il est inutile d’y faire eulrer la hauteur du pôle. Ces règles ne se déduisent pas im- ‘médiatement des théorèmes d'Apollonius. Elle appartiennent doue aux Arabes, qui n’ont pas su les simplifier.
Nous n’avons trouvé chez eux aucun vestige du cadran universel de Régiomontan, non plus que des cadrans analcmmatiques qui donnent l'heure par la hauteur du Soleil; ils n’avaient aucune idée des angles au centre des divers cadrans.
Nous trouverons ces angles et diverses autres nouveautés, dans les premiers auteurs européens qui ont écrit sur la Gnomonique; mais ces géomètres ne se donnent pas pour les inventeurs de ces innovations heureuses. Il y a donc dans l’histoire de la Gnomonique une lacune qu'il nous a été impossible de remplir. Nous voyons des progrès marqués, sans savoir précisément à qui nous en avons obligation. Ces découvertes ont précédé probablement l'invention de l'Imprimerie. Les ouvrages originaux se seront perdus; la tradition nous a transmis ce qu’ils renfermaient de plus utile. Les plus anciens d'entre ces auteurs , Munster et Schoner ont affecté d'imiter les Arabes, en supprimant toutes les dé-
monstrations ; comme Albategnius e) Ebn-Jounis, ils se sont bornés à donner des constructions reposant sur des principes qui n’ont été exposés nulle part; il en résulte une obscurité qu'il n'est pas aisé de dissiper.
Ponr trouver le mot de toutes ces énigmes , il nous a doue paru convenable de placer ici les principes généraux de notre Gnomonique ; ils serviront à démontrer les pratiques obscures de nos premiers au-., leurs.
Note sur les arcs des signes .
Noos avons donné , page 53 7, Vidée d’une Table des ordonnées pour les arcs des signes, dont la formule serait y = x ^ -f* q^k -, elle anrait cet avantage, qu’en
«n très petit nombre de pages, on y trouverait à vue, pour tous les lieux et pour tous les cadrans possibles , les ordonnées qui n’excèdent pas les limites du plan ; en sorte que la description des arcs des signes , si longue et si compliquée chez tous les auteurs , deviendrait la partie la plos aisée de la Gnomonique.
Après avoir marqué sur la soustylaire les sommets des hyperboles opposées, par les longueurs tang (A ^D), on prendrait sur cette même ligne et en partant de ces sommets, les abscisses aliquotes décimales du gnomon , et aux extrémités de ces abscisses on éleverait des perpendiculaires égales auxjr de la table. On obtiendrait aussi , par une seule opération , les deux branches de la première hyperbole , et l’hyperbole conjuguée s’en déduirait par la simple superposition.
J’ai calculé cette table pour toutes les valeurs de A, de degré en degré, depuis o jusqu’à 90e, et je me suis assuré que cette étendue était suffisante, parce qu’un degré de plus ou de moins sur la hauteur du pôle ne produit dans l’ordonnée que des variations très légères. Quelle que soit la courbe , l’opération est toujours la même , si ce n'est que pour le cercle il suffit du rayon , qui est aussi le demi-paramètre.
On aura donc les arcs des signes, sans avoir encore les lignes horaires ; pour celles-ci, voyez page 54* • Si pourtant l’onost curieux de savoir à quelle heure appartiennent les sommets des y , on songera que
y = [col A -f- tang(Arp D) qr x] tang A= £cot A -f-tang(A qp D) zpx]]sin AtangP,
À étant l’angle au centre du cadran , entre la soustylaire et une ligne horaire quelconque , A la hauteur du pôle sur le plan , et P l’angle au pôle pour l'heure du plan; d’où
ycoaéch
tan^ cot A -f- tang (A D) je*
Nos x et nos y supposent le gnomon = 1 ; s’il avait une valeur quelconque G t on commencerait par prendre dans la table les x et le* y tels qu’elle les donne, après quoi on les multiplierait par G; l’abscisse serait G. x, et l’ordonnée serait G.jr.
