J HO (11 + D
EM = BM — BE = BF -f - F M — i = BF-f-F Vr — 1 = BF -f- 1 — BF cosll — *
= BF (. - cosH) = aBF sin-, H=
EM a sin U sin’ ; II sin (II + D) nsin’JH asin’-H . ... . T»
CV siu(H-l-D) "jinDsinlI"- sin H asinjHcoslll n®î •
Dans le triangle MEZ nous connaissons l'angle EMZ = P n. i5*.
Nous avons
sin H coiD
MZ = FV =
nous avons
nous aurons
sin (Il -f D) »
asin* 7 H sin D
r,ai ~~ sin(H-f-D) ’
taneZ= —
® MZ — EM cas AI
\MZ/
donc
— as*n* » ^ tang D sinli
cos M
. EM Sain* • H sinD srn(H-|-D)
61 MZ «io(ll-fü) ’ îiaUrotD
09111*7 H taneD . ,
= tanei 11 lansD;
tanî»Z — rangjHtangHrinP ** 1 — tang i H laug D cos P *
AE* =AMZ — Z=i8o” — ZME — Z = (i8o* — P — Z),
AccE = i8o* — MAeu — AEfti=i8o» — A — i8o"-f-P-f-Z=(P-f-Zenfin, ce triangle nous donne
«inq.: AF.:; «in AF.« r A a'° — («écH— 1) »in(P + Z)
Jin A»li sin (P -f. Z — A)
tang II tang-JHsinfP + Z)
Jin (P-f-Z— A) '
La solution de Munster revient donc aux formules
tang A 5= cos H tang P, tang Z = -I^«üit?n-8jg,in?.-,
“ b 1 — tang jlltangl) coj P
« a tang II tang; H Jin (P + Z).
jia(P+Z — A) *
Pour une déclinaison boréale on changerait le signe de tangD, Z changerait de signe, et l’on aurait
et
tang A = cos II tang P ;
tangZ = Aai =
tang j H tang D sin P i -(-tang, H tangD cos I)' tang H tang , H sir (P — Z) Jin(P~/.^A) *
Le calcul de ces formules serait hien plus court que l'opération graphique, laquelle exige qu’on décrire subsidiairement autant de cercles qu’on veut tracer d’hyperboles, qu’on divise tous ces cercles au moins de i5 en i5°, et qu’on tire les lignes E Z».
Pour vériGcr cette solution , cherchons-en une autre à laquelle nous puissions la comparer.
Soit AB la méridienne, A» la ligne horaire, AX l’axe, et supposons le triangle BAX relevé perpendiculairement sur la figure.
Autour du point A , comme centre , formons uu triangle sphérique rectangle.
L’arc opposé à l’angle BAX = 90* — II; l'arc opposé à l’angle À vaudra cet angle.
Nous aurons les deux cotés qui comprendront l’angle droit. Nous trouverons l'hypoténuse en faisant
cos A' = coshypotén. = cos(t)o* — H) cos A = sin II cos A ;
Celte hypoténuse mesurera l’angle entre AC et As». Alors, dans le triangle AC» , bous aurons
sin AC» : AC :: siuC : A»
On aura donc les trois formules
A<~ sin C tang H sin (oo° — P)
•inAsrfi sin (A’ -f- 0)
tangHcnsD tang II cos D
•in (A' -(-90 — D) cos(L) — A )"
tangA = cosII tangP, cos A'= sin II cos A ,
et
A tang H cos D
A“ — o.w'caZ^E) »
on changerait le signe de D pour une déclinaison boréale , et
tang H e s D cos (A' -f- D)*
Il est aisé de prouver que les deux solutions sont identiques.
A tang H tang £ H sin (P 4“ Z) rang H targ { II (sin P cntZ4- Cos P sin Z)
■A CÙ ÎZT ““ — — -
«in (P «— * À -f- Z) sia (P
tangH tang j H (sin P 4- cos P rang Z) sin (P — A) -f- co*(P — A) tangZ
tang J H ti
A) COS Z 4- cos (P — A) sin Z
tan g H tangil/sinP-hcosP- -anS> lyWD“-L-'\
° b \ i — rang { tfTang O cos P/
• fn k\ I ra an/ tanfiï H fane D sin P \
.\i —'tang £ il tangD cos P/
p tang TI rang - H (sin P — rang j TT rang D cos P sin P -4- tang î II tangD sin P cos
sin (P — A) — tang £ H tangD co5P siii(P — A)4- tang - H tangDsinPcos(P-— A) îang II îanc J H sin P tang H tang {H sin P
siu(P — A)4-tang;H tangDsinA ainPcoaÀtang H tang î II séc A sin P
• coaP sinA-f-tang j HtangD *inÀ
»inP — cos P tang A -f- tang l H tang D tang A
tangH tang j H séc A
i — cot P tang A -f- tang ^ H tangD co.se, cP tang À
tang H tang ; II séc A
i — cot P cos H taug P 4- tang * H tang D coséc P cos H tang P
^tangHiang^H^ ^
tangH tang \ Il séc A
î — coall -J- tang 'g H cotll tangD sécP * {os\n { II cos j- H tang J H\
\ asin* '% H ftangj H cos H
séc A
(Psin - II cos i H tang ^ H\ , a.iin‘ i I) cos II /
séc A
séc H séc A
, / sin* H cos 11 \ ,
» -H .? il — fiî ) tan6 D «feC p
’ \asin* \ 11 cos l H/ °
i -f" cot H séc P tang D*
Ainsi développée , la solution de Munster devient plus simple que la méthode irigonométrique, qui va elle-même nous conduire à la même formule.
tang II cos D tangH
’ cos A' -f- tang D sin A* tangH
cos D cos A' -f- siuD sin A tangH
séc H .«éc A
cosà'(i 4-tangDtangA') cosAsiniI(i4-tangUtangA') i -f- tang D tang A *
Or,
cos A' = cos Asin II , cos* A' = cos* A sin* H , séc* A'=scc*A'coséc*H = i -f- tang* A', tang* A'=séc* A coséc*H — i , tang* A'= coséc* Il (i -f- tang* A) — i = coséc*H — 1 -f- coséc* H tang* A = cot*II -f- coséc*H cos*Hlang*P=col*H-f-col*H lang*P = cot* II séc* P,
tang A = cot II sec P, = comme ci-dcssus.
munster: ‘ 5 87
Les deux solutions sont donc identiques, puisqu'elles conduisent à une même expression. Pour rendre cette expression plus generale, supposons la déclinaison boréale, et nous aurons
ppc 11 A 1
1 — cnl Illa^gD »éc P cos H 105 A — co. H cotH tang D £0s A séc P* Tout est connu dans celte expression quand les lignes horaires sont tracées; on u'a plus de préparation , de combinaisons d'angles à faire: le double signe du dénominateur donne deux points à chaque calcul. Ainsi, le problème est réduit à ses moindres termes,. et voilà une obligation que nous aurons à Munster, qui pourtant ne s’en est jamais douté.
Ces formules se transporleraieirt aux cadrans horizontaux, en mettant coséc II et langll au lieu de sec II et de col H.
On les transporterait au cadran déclinant et an cadran incliné déclinant, en prenant pour A l’angle entre la soustylaire et la ligne horaire, et pour P l’angle horaire , corrigé de la différence des méridiens.
Donnons un exemple de ces diverses formules, pour qu'on eu voie encore mieux l’exactitude et l'identité. •
Soit H = 49% ; H = 24* 3o', P = Go* et D = rb a3*. '
cosH .. r 9,81694
tang P. ' 0,23856 . -t
tang A = 48* 5* p,or>55o
cos A . 9,81996
tang D .v. . . - " ‘9,Gi7S5
tang-j H. — 9,65370 ■■ . d. .\î
tang D tang ï H 9,28055
cos P.. .. .y. . . o.’ 9.69897 ds 0,096721 8,9855a
tang D tang ^ H
sin P
