CHAPITRE III

Stoffler et Munster.

JParwi les modernes qui ont traité de la Gnomoniqae, les premiers, suivant Montucla, furent Jean StabiuS, André Striborius et Jean VVerner, astronomes du quinzième siècle, dont les ouvrages n’ont pas vu le jour; il ajoute que Jean Scboner (il paraître, en i5i5, un livre intitulé : Horarii erlindri canones , où il enseignait la construction des cadrans cylindriques; et que son (ils André publia, depuis, ses propres ouvrages gnomoniques , à Nuremberg, en 1 50a; mais Lalande a dit que Sébastien Munster avait été le premier. Les dates prouvent que Lalande avait raison, du moins contre Montucla.

Cependant on trouve quelques ide'es de Gnomonique moderne dans un Traité de Siofllcr, sur le Calendrier romain, imprimé en i5i8, c’està-dire treize ans avant la première édition du livre de Munster. On y voit la description du carré horaire général, d’après Régiomontan. Ce carré suppose déjà les heures égales ; elles étaient donc établies dès le milieu du quinzième siècle, et peut-être plus anciennement.

StoWler, prop. ai, enseigne la construction d’un i/uadrant propre à faciliter la description des cadrans horizontaux.

Soit (fig. 1 44) *e quart de cercle CB, divisé en ses 90° de C en B. Tirez les rayons AC, AB; divisez AB et AC en trois parties égales, et tracez les quarts de cercle DF et EH, du même centre A. Le cercle CB servira, par exemple, pour la hauteur du pôle 36"; le cercle DF pour la latitude 49“ > et EH pour 6a". Ces nombres sont arbitraires; Ott peut les resserrer ou les étendre.

D’après une table des angles horaires du cadran horizontal, pour 56* marquez sur BC les points des six heures égales; avec la table de 49*» marquez-les de même sur DF; et avec celle de Ga", marquez-les sur EH.

Par les trois points correspondans d’une même heure, comme 1, 1, 1, ou a, a, a, etc. , faites passer un arc de cercle.

Par le centre A , laites passer un fil très fin , le long duquel glissera

STOFFLER. 5; 3

nne perle. Divisez les parties CD et DE chacune en treize parties égalés; la droite Cl) indiquera tous les degrés de latitude de 3fî à 6a*. Arrêtez la perle au point qui marque la latitude; alors faites mouvoir le (il autour du centre A, le long de CB; dans ce mouvement, la perle indiquera sur les courhes horaires le point qui convient à la latitude.

Quand la perle couvrira une des courhes, le (il formera au centre A , avec le rayon AC, l’angle horaire de l'heure et du lieu. Cet angle vous servira à tracer votre cadran hori^pntal. Il ne restera plus qu a placer l’axe qui doit faire, sur la méridienne AC, l’angle égal b la hauteur du pôle sur le plau du cadran.

Ou voit que la méthode n’est qu’approximative; elle n’est rigoureuse que pour les trois latitudes primitives.

Stofller nous dit qu’on peut calculer les angles horaires par les vieilles tables du premier mobile, et notamment par celles de Régiomontan. Ou

devait connaître la formule = sin H j^. Stofller ne parle pas

de cette formule; il nous dit seulement que par ses tables du premier mobile, l’opération est laborieuse, mais parfaite.

Stofller nous dit encore qu'il pourrait nous enseigner à décrire le cadran oriental et occidental ; il donne des tables des angles horaires du cadran horizontal et du vertical non déclinant, pour nombre de latitudes, et ces tables sont exactes. On connaissait donc la règle qui sert à calculer ces angles , quoique Stofller n’en fasse aucune mention expresse. Les cadrans avaient un centre ; ils marquaient l'heure par l'ombre d’un axe. Voilà tout ce que nous apprend Stofller, et probablement tout ce que l’on connaissait avant Munster; il en résulte évidemment qu’une Gnomoniquc nouvelle s’était formée, dont on ne peutassigner le premier auteur. Voyons du moins quels accroissemens elle aura reçus entre les mains des auteurs qui ont succédé à Stofller.

Munster.

Cet écrivain, né à Ingelheim en 1489» se fit cordclicr. Mais ayant embrassé les opinions de Luther, il se maria , se relira d’abord à Heidelberg, et puis à Bile, où il professa la Géographie, les Mathématiques et l’hébreu avec tant de succès , qu’on lui donna les surnoms de Y Esdras et du Strabon de l’Allemagne. « La candeur de son caracu 1ère, la pureté de ses meeurs, sa probité et son désintéressement, s le firent autant estimer que sou érudition. 11 mourut de la peste, à

Celte construction graphique, ou son équivalent, se retrouve aujourd'hui partout. Quoique cette pratique soit de la plus grande simplicité, pour la faciliter encore , il décrit un quart de cercle au moyen duquel on pourra construire les cadrans horizontaux pour tontes les latitudes, depuis 56“ jusqu'à Ga. C’est ce que nous venons de voir dans Slofller.

Il enseigne à décrire le quadmlum horarium , que nous avons démontré à l’article de Régiomontan; il n’en donne pas la théorie et n’eu nomme pas l'inventeur; niais plus loin, dans son chapitre XL, il avoue l’avoir trouvé dans l'ouvrage de Kégionionlan. Il donne à ce cadran le nom de horologium quadrangulum generale. Tout ce que j'y vois de particulier, c'est que, pour le parallèle que vous habitez , il vous conseille de placer sur la ligne de latitude une tringle de fer le long de laquelle le RI pourra glisser. Régiomontan s’était arrêté à la latitude de 54* ; Munster va jusqu'à 64°. Nous avons montré qu’on peut aller à 6G°.

Il montre à tracer le vertical du midi et celui du nord, toujours par I#' moyen de l’équinoxiale; il varie ensuite la construction, mais au fond , c'est toujours le même principe.

Pour les habilans de l’équateur il décrit trois cadrans; l’un dans un demi-cylindre icreux , dont l’axe est horizontal. Ici la chose est possible, parce qu’à l'équateur le jour n’est jamais que de 1a heures, ce qui 11’aurait pas lieu pour le cylindre attribué à Bérosc par Montucla, et qui deviendrait insuffisant dans les signes septentrionaux. Le second cadran est vertical , et le troisième horizontal.

Il résout le même problème pour l’habitant du pôle.

11 en était là de l'impression de son livre, quand un certain Hiérôme lui apporta la figure d'un cadran tel qu'il n'en avait jamais vn, et dont il donne la description suivante, sans aucune démonstration; mais cette démonstration saute au yeux (fig. i45).

Tracez le cercle ABCD; que le diamètre AC représente l’horizon, BD le premier vertical, RM l’axe du monde, CM étant la latitude du lieu, enfin N F l’équateur.

Parle point F menez l'horizontale indéfinie EO, et la verticale indéfinie CP; prolongez RHM, en sorte que ce diamètre aille couper FG en G elFE en E; portez le rayon FH de F en O sur l'horizontale, et de F en P sur la verticale; du point O décrivez le quart de cercle F «6, et du point P le quart du cercle Fi6; ces deux quarts se couperont au point 6; divisez chacun de ces quarts en six arcs de i5*; du centre P, et par tous

munster; 577

BG = BD-f-DG = lang’H -|- sin*D -f- cos’D i -f- tang* H

ss sec* H =

cos*H ’

BG s= -TJ, cos H ’

sin DBG = = cos D cos II = sin haut, du pôle sur le plan.

tang ABD = ^5= â?H= siu Dcot H = 'ang angle de la souslylaire et 4e l'horizontale.

Donc BD est la souslylaire , BG Taxe, et GD la hauteur du style.

= tang D= distance du pied du style à la méridienne, en

AD sin T)

prenant le style pour unité;

ADn = ABD = a , D/j = -

’ cos m cos « ’

DI = DII=DB sin DBH = l1 — ü? =s 11 co— ,

eos « cos * ’

Dn sinD cosa taneD , . , , ... .

rrr =s . -s — =, — = = ■ - a tang angle de la méridienne avec la

Di COS m SU 11 CO>D SU il DO

toustylaire.

Cette construction est donc parfaitement d'accord avec nos formules modernes; on peut donc la regarder comme démontrée.

Tout cela est exact; mais comment y était-on parvenu ? A-l-on employé la Trigonométrie sphérique? s’est-on contenté de la Trigonométrie rectiligne? Essayons ce dernier moyen comme plus naturel.

Quand un plan est tourné directement vers le midi, l’ombre du style droit, à l'instant du midi, est toute entière sur la méridienne; la distance du sommet du style à la méridienne est égale à la longueur du style, et la partie de la méridienne comprise eutre l'horizontale et le centre du cadran , est égale à la tangente de la baulenr du pôle ( fig- >47)-

Supposons que le plan AB vienne à tourner d'un angle AT« = D; le style TS tournera de la même quantité et deviendra TS'.

L’ombre de S', à midi, tombera eu m, S'm étant parallèle à ST ; elle tombera sur la verticale qui passe par le point m, et non plus sur celle qui passe par le pied T du style; la verticale qui passe par m est la méridienne , car à midi l’ombre tombe sur m , et la méridienne des cadrans verticaux est toujours verticale; S'T ne sera plus la distance à la méridienne, ce sera S'm; on aura

/bT = S'm sinmS'T=S'm cosTmS' = S'm sinmTA = S’m sin D,

S'T = S ’m co* mS'T = S'm cos D ,

mT S'm »in D

g. .j-.— ÿ'mc0J J}

— taugD.

Ainsi , quand on aura mesuré la distance horizontale des deux verticales du pied du style et de midi, on connaîtra la déclinaison D, dont i . , distance mesurée

a tangente — ]ongueur du slylc

Plus l’angle D augmentera, plus mT sera grand; il en sera de même de S'm.

Si D — o, mT = o , S'T = S'm ST ; c’est ce qui a lieu quand le plan regarde exactement le midi.

Quand D sera =90", S'm sera parallèle à mT; S'm=mT=«5 , l’ombre à midi est infinie; c’est ce qui a lieu pour le cadran oriental et pour le teadran occidental.

Si l’ou prend S'm pour unité , on aura

mT = sin D, et TS'=cosD.

La ligne S'm étant toujours horizontale et dans le plan du méridien, la hauteur du centre, au-dessus de ra, sera toujours tangll; car H est l’angle que fait l’axe avec le plan de l’horizon.

Ainsi, en prenant S'm pour rayon, on aura toujours, TS'= cosD, et ensuite (fîg. 146),

AD = sinD, GD = cosD = TS',

tangABD = ~ = ——g = *inD cotH = tang angle de la méridienne avec la ligae horaire qui passe par le pied du style.

On connaîtra donc 1 équinoxiale EQ, qui doit toujours être perpendiculaire à la soustylaire ; ou peut la faire passer par le point D, on peut la faire passer plus haut ou plus bas; mais son rayon diviseur sera d’autant moindre qu’on la portera plus haut.

Connaissant le pied D du style, et sa hauteur cos D, on aura la position de l’axe.

Du pied du style abaissez la perpendiculaire DII, H sera le centre de 1 équateur; car ce centre est nécessairement dans l’axe, et l’équateur est perpendiculaire à laxe; DH sera le rayon de l’équateur; HDG sera l’inclinaison de l équateur sur l'horizon du plan, car le style DG est hori-

MUNSTER. 57f>

eontal ; HGD = 90* — 11 DG sera i élévation du pôle sur cet horizon, et GBD ta hauteur du pôle austral sur le plan.

Pour diviser l’équinoxiale il faut que le rayon DH soit perpendiculaire en D sur cette ligne ; le plus simple est de le porter de D en I.

En prenant DH pour rayon de l'équateur, nous transportons réelle* ment le pied du style en T ; mais peu nous importe, puisque c’est l’axe qui nous donnera t’ombre et non le style. Ordinairement on ne fait pas passer l'équinoxiale par le pied du style ; mais on la détermine par la perpendiculaire HD menée à l'axe, du sommet du style à la soustylaire. Après avoir pris DG es cosD = style , il aurait dû, pour ne rien confondre , mener la perpendiculaire GV à la soustylaire, faire passer l’équinoxiale par le point V, et prendre VG pour rayon diviseur.

Mais de celte manière d'opérer il ne résulte aucun inconvénient réel, et seulement un peu d’obscurité.

Cette démonstration du procédé de Munster me parait très simple; elle ne suppose que des principes connus long-lems auparavant. Je ne répondrais pourtant pas qu'elle nous montrât bien sûrement la marche de J’inventeur. Cet inventeur n'est pas Munster; car il cite une construction, qui est au fond la même, qui n'en diffère que par quelques modifications très peu importantes , et qui se démontrerait absolument de même.

11 est singulier qu’un changement total se soit opéré dans la Gnotnonique sans qu'on en puisse indiquer l’auteur, et tout aussi singulier que le premier auteur, qui imprime une Gnomonique, donne toutes ccs pratiques sans aucune démonstration.

Ou a substitué les heures équinoxiales aux heures temporaires, on a donné un centre anx cadrans, on a substitué l’axe au style droit, on a imaginé les centres et les rayons diviseurs; tous ces chaiigenicns n'ont pu être faits que par un géomètre habile : aussi voyons nous que Monlucla nous dit que ceux qui se sont occupés de la Gnomonique, eu ces premiers tems , étaient des astronomes habiles et considérés, qui , sans doute, auront bien voulu donner quelques leçons et quelques avis, et qui peutêtre ont dédaigné d'écrire pour l’instructiou de ceux qui font métier de construire des cadrans.

Nous avons vu comment l'on pouvait tirer des méthodes de Ptolémée, la détermination du centre et celle des heures équinoxiales; et c'était en supposant l'équateur divisé par les méthodes de l'analemme; mais il n’était pas difficile de trouver un autre mode de division. Ce qui rendait la chose un peu plus longue, c'est qu'on ignorait l’usage des tan-

58o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

gentes; nous peies avons pas supposées dans la démonstration précédente; car à tang II on pourrait substituer et quant à la déclinaison du

plan , on pouvait la trouver par son sinus, en faisant sinD =

Munster nous avertit que ce qn'il appelle déclinaison dn mur, d'autre» l'appelaient inclinaison ; aujourd'hui ce dernier mot signifie l'angle que le mur fait avec l’horizon , ou avec un vertical qui aurait même base. Munster ne fait aucune mention des cadrans qu’On appelle inclinés ; il suppose tous les murs verticaux, c’est-à-dire formant des angles droit» avec l'horizon.

Dans le chapitre suivant , qui est le dix-septième de la seconde édition , il nous dit qu’on peut toujours mettre Je pied du style sur la méridienne, à moins que la déclinaison ne soit très grande ; on en était quille pour le rendre oblique au plan , an lieu de l'y planter perpendiculairement, et pour le soutenir par des supports; dans ce cas, il n’y avait pas de soustylaire; on pliait le style jusqu'à ce que son ombre, à midi, tombât sur la méridienne. Il fallait , nous dit-il encore , qu’il (ht éloigné de le méridienne autant que l’équinoxiale s’élève au-dcSSus dé l'horizon; mais sa première construction était bien plus sûre et bien plus commode.

Il enseignes diviser l’équinoxiale au moyen d’un cercle partagé en heure» de i5’, dont on place le centre au sommet du style perpendiculairement à l’axe; de ce centre on tendait un fil qui, passant par les divisions horaires , allait aboutir successivement aux divers points horaires de l 'équinoxiale.

Pour lés arcs des signes, il se sert du trïgone; sa méthode est pu-* remcnt graphique; mais cette méthode, malgré sa longueur et sa complication, mérite d’être connue; car, si elle est prolixe, elle est ingénieuse , et pent se renfermer dans des formules assez simples.

Soit un cercle décrit autour du centreC (fig. «48) ; du centreC menez le rayon vertical CF ; prenez de part et d’autre les arcs FA=FBs= an ; menez la corde AB = aDA = aDB = asin*.

Sur celle corde décrivez le cerle AGB, divisez ce cercle en douze arcs égaux , qui seront de 5o* chacun : par les» points de division correspon— dans menez des parallèles occultes au rayon CF ; elles diviseront en sinus le diamètre ADB ; ainsi DE, par exemple, sera le sinus de 5o* dans le petit cercle AGB; nous aurons ainsi L)E=DB sin 5o*sassin tt sin5o*=sm déclinaison à 3o*; et ainsi des autres.

Ces mêmes parallèles diviseront l’arc AFB en arcs inégalement crois-

«ans , qui seront les déclinaisons des points de l'écliptique à 3o, Go et 90* du point équinoxial.

Par l’un de ces points Comme e, correspondant à E, menez sur CF la perpendiculaire ea ; tous aurez ea = ed = DE = sln D , donc l are cFs=D ; menez la sécante indéfinie Ce, vous aurez FCe = Fe = D.

Soit CM = tangH,et menez la perpendiculaire NMQO.

MQ = CM tangD t= langH tangD = cos arc semi-diurne.

Nous avons lait usage de celte formule, en démontrant le quadratum horaruun de Régiomonlan. Cette construction est plus ancienne que Munster. Abaissez QR perpendiculaire sur TV, CR = MQ = cos P, l’arc Vu sera l’arc semi-diurne, si la déclinaison est australe; ce sera Tu si elle est boréale.

Prenez CS = MO — tangH tanga, menez OxS; Vx sera l’arc seminocturne, et Tx l’arc semi-diurne au solstice d'été.

Quand le calcul trigonométrique , par les sinus naturels était si long, on aimait beaucoup ces constructions, qu’on indique presque toujours «ans les démontrer. Il y a tonte apparence qu’on les devait aux Arabes; le germe en était dans la méthode d’Hipparque et de Ptolémée, pour calculer la différence ascensionnelle.

Munster nous donne tout cela d'une manière assez obscure. Il n'inscrit les arcs semi-diurnes que d’une manière approximative. Il aurait pu être plus clair et plus exact, et tout démontrer sans être plus long. Celte figure est communément appelée trigone; il l’appelle aussi déclinatoire, parce qu’elle donne les déclinaisons du Soleil ; il l'emploie pour marquer sur chacune des lignes horaires, le point de chaque signe, ainsi qu'on le voit dans tontes les Gnomoniques plus modernes, et il joint tous ces points par des courbes.

Suivons l’opération graphique de Munster, pour mieux saisir l’esprit des méthodes de ces premiers tems.

Soit AB la méridienne (fig. > 49)» A le centre du cadran ; menez AX, en sorte que BAX soit la hautenr de l'équateur; sur cette dernière ligne prenez un*poiut C, et menez la perpendiculaire BC qui coupera la méridienne en B ; B sera le point de l’équinoxiale. Le cadran n'a pas de déclinaison. L'équinoxiale sera la perpendiculaire "rBX , BXA sera la hauteur du pôle, et AX sera l’axe; en C placez le centre du trigone des signes, de manière que le rayon équatorial CD prolongé arrive en B; parles points de divisions du trigone, tirez du centre C des lignes occultes, ou tendez des

58a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

fils , qui rencontreront la méridienne au» points F, G, H, I, K, L, el

la méridienne sera divisée en signes. La raisou en est évidente.

Prenez CE — BC = rayon diviseur de l’équinoxiale; du point E décrivez un cercle occulte Bar, partagez-le, non pas seulement en arcs de i5% mais en arcs de 5% pour avoir un plus grand nombre d’heures et de points des arcs des difTérens signes ; par tous ces points divisez l'équinoxiale, et tracez ensuite toutes les lignes horaires de 20 en ao' d heures.

1) ne manquera plus que les signes à ce cadran.

Prenez la plus courte distance de F à l’axe, ou la perpendiculaire FV, et portez-la de F en M.

Portez de même les perpendiculaires des autres points, de G en N, de H en O, de I en P, de K. en Q, de L en R; du rayon FM décrives cm cercle occulte FT, que vous diviserez de même en arcs de 5*.

Placez une règle sur le centre E d’une part, el de l’autre, sur les divisions du cercle occulte , menez de E une ligne occulte à chacune des divisions du cercle, el prolongez ces lignes jusqu'à la ligne horaire voisine ; le point où cette ligne coupera la ligne horaire sera le point du signe.

Vous ferez une opération semblable pour chaque ligne horaire, et vous aurez tous les points de l’arc du Capricorne; vous les joindrez par une courbe, qui sera d’autant plus facile à tracer que vous aurez un nombre de points triple de celui qu'on prend ordinairement.

Ce que vous avez fait pour FM, répétez-le pour GN, HO, IP, KQ et LR, et vous aurez tous les arcs des signes.

L'opération est extrêmement longue , mais facile; il est même assez aisé d'en sentir la raison ; cependant Munster aurait mieux fait de ne pas la supprimer.

Pour ne pas compliquer inutilement l'explication, nous ne parlerons que de FM = FV et de l'arc du Capricorne; ce que nous aurons démontré pour cet arc s'appliquera naturellement à tous les autres.

Invaginons Je triangle LAX relevé perpendiculairement sur la figure et sur la méridienne; le plan de ce triangle tout entier, et par conséquent le trigone C%S et le quadrilatère CBFV, tout sera dans le plan du méridien ; on voit que le trigone divisera la méridienne en signes.

Imaginons maintenant que le quadrilatère BFVC , entraînant avec lui le trigone, vienne a tourner autour de l’axe, de manière à passer successivement par tous les cercles horaires; le trigone et ses fils tendus diviseront chacune des lignes en signes , comme ils ont divisé la méri-s

dienne, et l'opération serait achevée; mais cette manière d’opérer en l’air aurait trop d’inconvénient et trop peu de sûreté; il suffit qu’on l'ait bien conçue pour entendre ce que l’auteur y substitue.

Dans ce mouvement du trigone entraînant le quadrilatère BGVF , les points B, F, et tous les autres qui touchaient le plan à midi, s'élèveront au-dessus du plan, et s’en écarteront de plus en plus en décrivant des cercles; le poiol B décrira autour de C le cercle dont le rayon est CB; Je point F décrira simultanément le cercle dont le rayon est VF, et ainsi de tous les autres ; il faudra allonger ces rayons par des Bis tendus pour aller rencontrer et diviser les lignes horaires.

L’auteur prend le parti de coucher sur le plan tous ces cercles parallèles et également inclinés au plan de la Bgure.

11 porte BC en BE , et du ceutre E il décrit le cercle B.r.

Il porte FV en FM, et décrit de M le cercle FZT; et ainsi des autres successivement.

Ne considérons que le cercle FZT.

Ce cercle, dont le rayou est FV, est réellement un parallèle à l’équateur, et, comme l’équateur, il est divisé de i5 en iS* par les cercles horaires; ainsi, à cinq heures, le rayon VF se sera avaucé de 75* de F en Z, le rayon CF du trigone se sera avancé en Z avec le point F, mais le point Z est au-dessus du plan; pour atteindre la ligne de cinq heures sur le plan, il faudra prolonger ce rayon CF oirCZ jusqu'en en, qui marquera le point du Capricorne.

Imaginez la droite Bar, elle sera toute dans le plan du cadran ; à présent couchez l’équateur et le parallèle sur le plan; Bar n'éprouvera aucun déplacement, les deux rayons qui se croisent en Z arriveront ensemble sur le plan, le point C tombera en E, le point V en M, la droite EZ» sera la projection du rayon CF prolongé jusqu’au plan.

Ainsi, pour obtenir le point en du Capricorne, sur la ligne de cinq heures, il faut coucher FV surFM, décrire un cercle du rayon MF=VF, prendre sur ce cercle un arc de coucher BC en BE, et, par le point Z de l’arc de 75% mener EZ m jusqu'à la ligne de cinq heures.

Appliquons le calcul à cette construction un peu obscure.

FM=FV=BC-Bj =BC -BFcosFBC= i-BFcosII = : -

en prenant pour unité CB, rayon diviseur de l'équateur; car le triangle BFC dçune

sinBFC :BC::sinFCB

- D) ain (H 4- U)

sin D cos H

jin (Il ■

sin H cos D -4- cos H sin D — sin D cos H

sin H coj D : sin (H 4- D)’