COS P

COS A .9,81996

col D =fc. . ,. 0,37a i5

Au" — Ko! = 0,9797 ;

cas A... 9,81996

— cosH — 9,81694

± o,5873o Conipl. log. Nombrea.

Au — Au' = 6,4982.

Nous retrouvons nos distances à l'équateur telles que par les méthodes précédentes; on a toujours l'équinoxiale et son intersection avec toutes les lignes; d’ailleurs on aurait Aai" = séc fl sécA, et le point u" étant trouvé, on aurait u‘u cl tu'u'- par la dernière foi mule;. il suJiit de prendre la somme et la différence des deux termes du dénominateur, el de chercher le complément arithmétique de la somme et de la différence; on a les logarithmes des deux distances à l'équinoxiale. Cette méthode, que je n'ai vue nulle part, me parait la plus simple que J’ou puisse imaginer; mais il faut se souvenir qu’on y prend pour unité le rayon diviseur de l'équateur, dont la valeur est coscc H; ainsi, quand on voudra, comme à f ordinaire , le style pour unité, on fera

. , . « conic H

® ® ' tin 11 col D coj A coj H — cosH coj A

sin1 H cot D cos A cos P — »in H cos H cas A*

Pour le cadran horizontal on mettrait cos*H au premier terme, il u’y aurait rien à changer au second; on aurait donc

Au Au — cos, j j cot y c0, co. P — ,in H cos H coj A '

Nous avons vu que le cadran incliné déclinant pouvait être traité comme un cadran horizontal pour la hauteur du pôle h , pourvu que tousles angles

MUNSTER. 5gt

fussent rapportés à la méridienne du plan, c’est-à-dire à la soustraire ; on aura donc ainsi pour tous les cadrans

A ai' — As/=

co.1 h cot d eus A cas P — si nh coTTl cch A’

Je mets ici d pour distinguer la déclinaison dn Soleil de la déclinaison du plan , que j’ai nommée D, dans mes formules générales.

Non content de cette solution, Munster en donne une seconde, complètement oubliée aujourd’hui , mais qui se trouve répétée et modifiée par les auteurs qui l'ont suivi plus immédiatement; nous ignorons si Munster en est le premier auteur (fig. i5o).

Faites un cercle d’une grandeur passable, que vous diviserez en quatre arcs égaux par les diamètres 15T et AQ; de part et d'autre de BT prenez quatre arcs de i5% MT, TL, BN, BR ; menez les parallèles MN, LK , divisez le quart AT en scs 90° de A eu T, menez CD, qui fasse l’angle FCD=90° — H et ACE—H ; prenez , sur le diamètre BT de C vers T et vers B, les tangentes de i5, 3o, 45, 60 cl 75*; par les extrémités de ces tangentes menez des perpendiculaires de la ligne MN à la ligue LR ; décrive^lc cercle du rayon CF = CFI.

Si vous prenez CF pour unité , vous aurez

FE = tangH, CF = sécH, FD = cotH et CD = cosécII.

Portez CE de H en I et CD de F en G-, des centres I et G menez des sécantes à toutes les divisions de MN et de LR; vous aurez le cadrait vertical et le cadran horizontal; les lignes de VI heures seront parallèles à BT.

Munster donne toutes ces pratiques sans nous dire ce qu’elles font trouver. Il appelle cette figure le fondement des cadrans. On pourrait dire que ce sont les cadrans eux-mêmes; il u’y manque que le style et les arcs des signes.

Sur la ligne AG (fig. i5i) décrivez le trigonc des signes, en sorte que son axe couvre la droite AG; sur AG menez la perpendiculaire ABFI.

Prenez sur la figure i5o l’intervalle DF , et portcz-le de Aeu B sur AU; prenez de mèW l’intervalle CF, et faites-en AC (Fig. i5i); l'hypoténuse BC sera la méridienne du cadran horizontal.

EA sera le style et BA L’axe. Ainsi L’on voit que le sommet du trigone est au sommet du style.

Prenez (fig. 1 5o}

L'angle x = i8o* — A' — 90* — D = 90’ — A' •

AB sin A

tangH cn*D côI(À'-t-D)*

sin x : AB :: sin A : Bx ; comme ci-dessus.

Celle seconde méthode de Munster est donc celle qu'on trouve dans les livres deünomonique; mais au lieu d'une construction mécanique on J applique aujourd'hui le calcul, ce qui est beaucoup plus clair et plus facile. Pour comprendre Munster on est obligé de se représenter que le plan du trigone, perpendiculaire à midi sur le plan, s’incline successivement de manière à passer par le plan de tous les cercles horaires, eu tournant autour de Taxe. 11 est certain que le sommet du trigone restant fixé au sommet du style, ses diflérens rayons ne peuvent arriver tous à la fois sur une même ligne horaire, le rayon du milieu étant sur l’équinoxiale, sans que les autres rayons marquent sur la ligne les intersections des arcs des signes. La plus grande difficulté de ces sortes de solutions consiste à savoir se représenter clairement ce qui n’est montré par la figure que d’une manière très imparfaite, et qui trompe le plus souvent; mais ayez un cadran véritable, un trigone réel, toutes les obscurités se dissiperont , et vous serez étonné de voir qu’il n’y a plus véritablement de problème; mais si le procédé devient pins intelligible on voit en même teins qu’il n’est que d’une précision bien médiocre dans la pratique, et la formule définitive que nous aurons tirée des denx constructions differentes, pour avoir les distances à l'équinoxiale sur chacune des lignes, est bien plus expéditive et bien plus sûre.

On voit que dans cette seconde construction l'unité est toujours la rayon diviseur de l’équateur, ce qui n'a aucun inconvénient quand on en est averti.

L’autenr applique la même méthode au triangle oriental et occidental. Nous ne le suivrons pas dans des détails qui ne nous apprendraient rien de nouveau.

11 marque sur ses cadrans, à chacun des arcs des signes, la durée du jour , et nous avons vu comment il la trouvait sans calcul, par sou trigone prolongé.

Nous passerons sous silence les additions très peu intéressantes pour la plupart, dont il a grossi sa seconde édition. Nous ne dirons que quelque* mots de sou cadran cylindrique.

Ayez une colonne bien travaillée au tour, dont la hauteur soit triple du diamètre; sur celte colonae placez ou chapiteau, qui puisse tourner

&j8 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

et présenter directement an Soleil un index , dont la saillie soit d'un diamètre; développez la surface du cylindre , c’est-à-dire étendez une toile qui puisse le couvrir tout entier fort exactement; partagez le côté supérieur en six parties, qui seront affectées aux divers signes du zodiaque; par les points de divisions laissez tomber des perpendiculaires sur lesquelles vous marquerez les tangentes des distances zénitales du Soleil aux différentes beures ; on joint par des courbes les extrémités des ombres ou des tangentes; après quoi on colle la toile ainsi divisée sur le cylindre. On voit que le cadran nommé le Jamhon, n’est qu'une plaisanterie, dont l'idée a été fournie par le cadran cylindrique.

il décrit ensuite un cadran sur la convexité d’une sphère; il y trace i’horizou et le méridien, l’équateur et les deux tropiques, et autant de parallèles qu'on le jugera convenable; il les divise en beures égaies et inégales, qu’il marque de différentes couleurs; pour les divisions, il se sert d'une lame flexible qui puisse s'appliquer à la surface sphérique; il place le style au zenit, et le fait d'une longueur arbitraire. On conçoit que l'ombre marquera toujours l’azimut du Soleil , et que l'endroit où elle traversera le parallèle du jour indiquera l'heure.

Immédiatement après on trouve le noctwnal, qui sert à connaître l'heure par les étoiles; il est composé d'un zodiaque divisé en ses 36o’, d'un cercle des jours des douze mois; un autrt: cercle est divisé en douze beures; l'instrument est armé d'un manche pour le soutenir, et d’une alidade ; au centre est uu trou par lequel on vise à l'étoile polaire, et en même temps on dirige l'alidade sur une des gardes de la petite Ourse.

Pour se servir de cet instrument, on fait tourner la roue dentée jüsqu’à cc que la dent de douze beures coïncide avec le jour de l'observation , ou avec- le degré qu’occupe le Soleil; on regarde l'étoile polaire par le centre, et l’on dirige l’alidade à l'autre étoile; la situation où elle arrivera montrera l'heure la nuit. Ces deux étoiles étaient alors en conjonction avec le Soleil au jour de Saint Simon cl Saint Jude , le 37 octobre.

On peut voir la figure et les usages du noctureal dans les Récréations mathématiques de Montucla , et dans nombre de Gnomoniquet. Munster donne aussi un instrument pour trouver l’heure par l’ombre de la Luue. C’est un cadran solaire universel, c’est-à-dire un équatorial, qu’on peut incliner selon le climat qu’on habite; un cercle intérieur porte le mois lunaire divisé en ses 39 £ jours, on autre offre les 34 heures du jour. 11 faut doue conuatlre l’àge de la Lune. On amène ta heures vis-à-vis le

Munster. 599

jour de l’obsêrvation ; on oriente l'instrument avec une boussole ou au moyen d'une méridienne, on élève l’équateur à la hauteur convenable, et l’ombre d’un style droit placé au centre indique l’heure à peu près.

Quand la lune est pleine elle passe au méridien à minuit; ainsi son ombre marque aussi à peu près les heures; on ne pourrait pas se tromper d’une demi-heure.

Jacques Kobel avait publié, en i53o, une description d’une horloge naturelle, on il montrait à se servir des doigts de la main , et il avait mis • en vers les usages de cette horloge. Sa poésie valait son instrument. Munster nous donne le commentaire de ces vers barbares, qui sont plus propres à rappeler ce qu’on a su qu'à expliquer clairement ce qui est à faire. Pour l’usage de cette horloge voyez Montucla, Récréations mathématiques.

L ouvrage est terminé par des préceptes fort vulgaires sur la division du cercle en signes et en degrés, et sur la division d’une ligne donnée en certain nombre de parties égales qu’il donne comme un moyen connu alors de très peu de personnes, et faiblement des plus habiles raalbémati* ciens ; il forme un carré qu’il divise par des parallèles en vingt rectangles égaux. Cela posé , voulez-vous diviser une ligne donnée en treizo parties, par exemple, couchez-la obliquement sur le carré, de manière que l’une de ses extrémités étant placée à l’un des angles, l’autre aboutisse à la ligne t3; voire ligne se trouvera divisée, par les parallèles, en treize parties égales. Il en sera de même si vous voulez la diviser en dix-sepl ou dix-ncufporlies. Ce moyen n’était pas difficile à imaginer, mais il peut être utile. Le compas de proportion de Galilée résout le problème d une manière plus générale, mais plus longue, et quelquefois moins commode. Munster se croyait d’abord le premier inventeur de cette pratique. Cryn.Tus la lui montra dans le livre de Malhemalicis supplemenlis de Charles Bovillus, qui dit lavoir imaginée; mais Munster parait avoir un peu étendu l’idée de Bovillus, comme il serait aisé d etendre celle de Munster qui s’arrête au nombre ao; le principe est toujours le même. A propos’ d’un grand cadran qu’il avait composé, et sur lequel il avait marqué une multitude de choses, il exprime le désir de voir réformer le calendrier pour rendre l’équinoxe immobile; dans cette vue, il propose divers moyens d intercalation qui reudeulles bissextiles plus rares et approchent plus ou moins du but.

Au premier coup-d’ceil on jugera ce traité de Munster assez médiocre cl assez obscur, malgré le soin qu’il dit s etre douué pour être partout

Coo ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

clair el intelligible ; rosis en se reportant au lems où il l'a composé, et en se démontrant, comme nous l'avons fait, toutes ses pratiques, on voit des choses remarquables et qui ont enrichi la science gnomonique. Tel est l'emploi qu’il fait du trigone des signes pour trouver les arcs serai- diurnes, sa construction du cadran vertical, enfin, sa manière de tracer les arcs des signes. Rien ne nous prouve bien incontestablement que ces inventions lui soient dues; mais il est le premier auteur qui les ait publiées; c’est donc à lui que nous les donnons, sauf à les restituer au véritable père si nous acquerrons d’autres lumières par la suite.

Terminons cet article par quelques formules, qu'on ne trouve dans aucune gnoiqpniquc, et dont l'idée m’est venue en commeulan! Munster.

Dans l’hyperbole, la distance du centre au foyer = ni séc i't p. 54a.

La distance du sommet au foyer = m séc t' — m — m lange' tang}*'.

La puissance de l’hyperbole (fig. i5a)

AD= } m* séc t

\o cos (1

c<» H cr» D

(tt-t-D) coa(H— D)

ut.

u sera l'abscisse comptée du centre, le long de l’asymptote « = C F; t sera l’ordonnée parallèle à l’antre asymptote; t = FG.

Supposez une valeur à u, vous en conclurez /, et vous aurez deux points de la courbe, t fera sur u l’angle as' des asymptotes, cet angle est souvent obtus. Vous observerez la règle des signes pour cos at'.

Soit

Ca = u' — u t cos a*' = abscisse corrigée.

C<a= t' ~ t sin as' = ordonnée orthogonale Je l’abscisse tT, m+x=(u -t-l) cos s' = CP; J — (u — t ) sin s’ = PG. (m-f-ar) = abscisse comptée du centre ; J = ordonnée ordinaire.

Soit tang ou y = n tang 4. = m tang e' tang 4.

En prenant arbitrairement 4 ou y , vous aurez

m-\- x — m séc *(/, et x =c m tang 4. tang ~ 4'»

on bien enfin sur la base a m séc «'= distance entre les deux foyers; formez On triangle avec les deux côtés ( m séc e' -1“ "> + z) , et (m séc <' — m-\- s), Je sommet de ce triangle sera un point de la courbe.

Chaque supposition pour z, depuis z = o jusqu’à s = 00 , donnera deux points de chacune des deux hyperboles opposées.

Cette cinquième méthode est la meilleure de toutes ; elle n’exige aucun calcul. F ojrcz un de ces triangles en fil f fig. i5a.

SCHONER.