BÉNÉDICT

sin A-f- sin A tang* jH= cos P cosD — cosP cosD tang’ £ H ■+• asiuD tang ’ H , sin Atang*iH-f-cosPcosD lang* j H — asinDtangj H=cosPcosD — siuA,

lang* ï H — a(;

sin D

,co»P cosD -4“ !»>n h.

), .j co» P cm D — sin A anS * co» P cosD -f* *inS ,

lang* 7 H — 2 a tang JH + d*=:fl,+ ^ taDg i H = -f- a =fc (a* •+• b)J = -f- a ± a(i +

sin D

sinD

’ co» P co» D-f

’ co» P co» D -f- »m A '

cosPcos D — sin h /en» P cos D -f-sin A\*T;

1 ^”co»Pco»D-p»*«^V

sinD sinD

sin D

TT

’ co»P-f-co*D»in/i co» P cos I) ■+■ ain h

■ (co» P co» D — sin A) (co> P cos P 4- sin h)~~ |* sin* D J

sinD | , sin D /sin*D-4-co:>*Pc>VD — ainjAU

co»Pco»D-|-sinÀ co»Pco»l>-|-âin^\ sin’D /

sin D (sin* O 4- cos*D — cos’D 'in* P — sin*/»)*

-sin h

co» P eps D + sin h cos P cos D -

0 — sin* A — cos*D sin* P) ___ sinD A (cos 9 h — co»*D sin* P)* co» P cos D •+• sin h kco» P cosD -+■ sin/»

sinD (co s* h — co#*$) * sin D ±: (»»n*? — sin*A)a

co» P cos D + sin h

co»Pco»D4-siaA

: iin; (±±ÿ (lig. , 55).

co» P co» ü f sinfl v ° '

Le radical se réduit à zéro quand on a cos A = cosD sinPr= sin S xj ou quand ZS=Sx, ce qui a lieu au premier vertical; et eu eflét alors, on a quatre données dans le triangle, l'angle droit Z , l'angle horaire, la distance polaire et la distance zénitale observée; il n’y a plus qu'une solution possible.

Mais aux environs du premier vertical le radical doit être peu de chose, les deux solutions dînèrent très peu, et t'est alors que le problème peut être insoluble, parce que les deux solutions différeront trop peu pour qu’on puisse reconnaître la bonne.

Si cos h < sin S x , le radical est imaginaire ; 90 — A<Sar ou ZS <S.r , ce qui est impossible.

Dans notre première solution

lang» = cos P colD= langPx, Par + II = Ojt >90*;

Gi4 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

ainsi sin (p -f- H) est nécessairement le sinus d'un arc obtus , cet arc n’a

donc qu'une valeur possible.

La solution de l’auteur est toul-à-fait dans le style arabe.

OI. est le sinus de la déclinaison , GL la partie du parallèle décrite depuis six heures; GL =cosD cos P.

11 en conclut

OG — sin*D-4-cos*Dcos*P =sin*D -f-cos*D — cos*Psiu*P = i — cos* D sin* P = i — siu* haut. O sur le plan.

Il pouvait en tirer

cos T) cos P n lT. . GM lin A

tangGOL = -rn-p-==cosP cotD, smGOM=^ = -^g-.

GOL -f- GOM = MOP = i8o* — H.

OG est le bahad , et GOM est le complément de l’inhiraf d’Ebn Jounis ; la solution trigonomélrique serait

tangPx = cosP cotD = tangGOL, cosPStcosPx:: cosZS:Zx==— r^P-, Px — Zx = PZ = oo* — H.

Bénédict se contente d’indiquer la solution. On ne voit pas s’il faisait usage des tangentes. 11 cite Régiomontan qui n’en a su tirer aucun parti dans sa Trigonométrie.

Soit 11=4®*» D=ao*, P = Go*; d’où A = 34'3<)'.

Les solutions sont H = a4* 6'ao",

et H = 4®-o-oo.

On n’a jamais a4* d’incertitude sur la latitude; il est donc bien évident que H = 48* ; d’ailleurs nous avons dit que H -f- Px = Ox > 90*; ainsi nous n’avions pas le choix.

La seconde solution confirme le résultat delà première, et donne de même une différence de a3”53' entrç les deux, en sorte que l'une des deux latitudes est presque double de l'autre.

Nonius n'avait pas nié la possibilité de la solution, il en avait seulement remarqué l'ambiguité sans dire comment on la lèverait; niais ni l’un ni l'autre n'a vu que les deux solutions ne seraient possibles que dans le cas où H ■+■ Px pourrait être moindre que de 90*; ce qui n’a lieu que dans des parallèles assez voisins de l'équateur.

BÉNÉDICT. - 6i5

Benédict avoue cependant que la solution est ambiguë quand II > D; or, c’est ce qui a lieu dans noire exemple, et cependant l'incertitude n’est que géométrique et nullement astronomique. El voici réellement de quoi elle dépend : si la distance perpendiculaire Su? ne se confond pas avec la distance zétiitale SZ, ce qui n’a lieu qu’au premier vertical, vous aurez toujours des deux côtés de la perpendiculaire St, deux obliques égales, SZ et S7/; les deux zénits seront sous le même méridien, compteront la même heure, verront le Soleil à même distance.

53* 56' 5o"= Px , PZ=/,a*, <p— P7.=Z.r=n'56'5o"=ZZ'x, ZZ'=a3<53'4o".

Quand la différence sera si grande vous n’aurez aucune incertitude; mais, plus elle sera petite, et moins vous serez sûr de votre latitude. Mais, dans ce cas, observez une seconde hauteur. Plus le Soleil approchera du méridien, plus Zjc et Z7.'= aZar sera sensible; le zénit Z restera le même, le zénit Z' changera à chaque moment ; chaque observation vous donnera deux latitudes différentes ; mais l’une de ces deux latitudes sera constamment la même, et ce sera la bonne; la seconde latitude changera à chaque fois , et vous la rejeterez. M. Burgade a fait une remarque toute semblable à propos d’un autre problème. (Voyez la Connaissance des Tcmsde 1817). Benédict, qui voulait réformer Nonius, u’a ni senti ni levé la difficulté.

Il détermine ensuite la hauteur du pôle par uue hauteur et un azimut observés.

11 a, dans la figure i5G ,

, GM nin h fane h

cos/i cosZ = GN=MO, — 7 — -.= — =7 :

’ MO ens h co» /. co a/i