BL == 1 = AD = AF = AT
Remarquons que
sin LBK = = ro'.lU'v.n CQS jj cos jj sjn ^ .
BÉ>'ÉDICT. Gi$
aimi BL sera Taxe, RL le style, B le centre, 'BK la soustylaire. En eflet ,
tangABR=^ = ,^i^— =sinD cotïI = tangangle soustylaire et mérid.
11 mène KM perpendiculaire sur l’axe, et Ma perpendiculaire sur BK ; il prend Mo pour style, alors MK détermine, sur la soustylaire, le point où passe l’équinoxiale.
LKO est donc celte équinoxiale , MK en sera le rayon diviseur; il porte KM sur In soustylaire en KN ; N sera donc le centre diviseur.
Cette construction est d’uue simplicité assez remarquable. Elle est bien plus heureuse que celle de Schoner. C’est une chose adroite que de retrouver ainsi BL = AD. On ne peut construire d’une manière plus courte sinH, cos H, cos H cosl, cos H sinl. Rien de plus simple que AH = AG, AK = Al, AB== AG, KL = HI. Après quoi trois perpendiculaires donnent l’équinoxiale, la soustylaire, le style et le rayon diviseur.
Comme Schoner, il a l’air de supprimer le style; mai$, dans le fait, il prend l’axe pour unité sans en rien dire. 11 a saus doute connu l’équation sinA = cosH cosD, que fournil au premier coup-d’œil la Trigonométrie sphérique; il a, de celte manière, KL = sin A et BK = cos A, KM =sin A cos A et LM = sin*A, Mu = KM cos A = sin A cos* A.
Il ne lui manque plus que la méridienne; car il a pris arbitrairement le centre B.
Or, le même triangle qui lui a fourni sin A lui donne taugKBO == siu D cot H = —
Ainsi, pour trouver la méridienne, il faut sur BK former un triaDgle avec les côtés AI et FG; l’intersection de ses côtés en A sera un point de la méridienne, l’angle en B, sur labasesinH — AB, sera celui de la méridienne avec la soustylaire.
On aura
BK = AB-f-AK = sin*H -f-cos*Hsin*D = sin ‘H + cos*H — cos*H cos’D = t — cos* H cos* D = BL — KL.
K A ou DK devait donc se trouver perpendiculaire sur la méridienne; il a pris pour donnée la méridienne, il a élevé la perpendiculaire... AD = 1 == BL ; il a décrit un quart de cercle sur AD, et lié aiusi fort
6=o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
adroitement les constructions subsidiaires qui devaient donner sinH, cos II cosD,cosII siuD. Je ne sais pas s'il a eu intention de déguiser sa marche, mais en le faisant il a trouvé le moyen d’abréger; ce qu'on ne saurait dire de Schoner.
Il est étonuant qu’aucun gnomoniste n’ait parlé de cette construction ; mais l'autenr en a donné une explication si longue et si obscure, que tous les lecteurs auront fait ce que j’avais été tenté d’abord de faire, ils l’auront laissée pour ne pas se donner la peine de l’étudier. 11 faut dire pourtant que la construction qui a prévalu est encore un peu plus simple, ou du moins que la marche en parait plus naturelle.
L’auteur nous assure qu’il s’était fait sou système de gnomonique avant la publication de l’Analcmme de Ptolémée , qui n’a paru qu’eu i56a; c’est-à-dire vingt-un ans avant qu’il ne publiât son ouvrage. Il avait été contraint d’imaginer un analemme qu'il a disposé pour les heures italiques. La description qu’il en donne emplit sept pages in-folio, sans compter quatre pages de planches; en sorte que je n’ai pas eu le courage de la 1 ire, quoique l'auteur ait pris soin de nous dire que son invention était egrrgia et ingrnii plena. 11 avoue qu’en plusieurs choses il s’est rencontré avec Ptolémée.
Le problème des heures italiques, que Bénédict expose ensuite plus longuement encore, n’en est pas un véritablement; ce n’est qu’un cas particulier du problème des heures antiques, qui commencent aussi à l’horizon ; toute la différence tient à ce que les heures italiques étant égales, c’est-à-dire des heures de i5“, cette égalité simplifie les calculs; les angles horaires se forment d'une manière plus uniforme; du reste les formules sont les mêmes; en effet, les cadrans italiques ne peuvent avoir ni centre ni axe; c’est l’ombre d’un style droit qui marque les heures. Ainsi, pour chaque angle horaire on cherchera la distance du Soleil au zénit du plan pour avoir la longueur de l'ombre, et le même triangle donnera l'angle que fait l’ombre avec la verticale ou avec l'horizontale, et l’on construira le cadran par points comme celui des heures antiques.
Il suflira même d’avoir deux points de chaque ligne , puisque toutes ces lignes sont droites et le sont rigoureusement, au lieu que les lignes des heures antiques ne sont droites qu’approximativemenl.
SoientE, R et H les points de lever de l’été, du primeras et de l’hiver;
PE = go* — a», PRssgo*, PH = go* -\-u.
BENÉDICT. 6a i
Les angles semi-dlnrnes sont ZPE, ZPR, ZPH; les poiuls H, R, E el Ions les points de lever des déclinaisons intermédiaires, sont tous sur l’arc EH, qui fait partie d’un grand cercle, donc tous les points de lever sur la projection seront dans une même droite.
Faites tourner la splière de i5*, tous les arcs semi-diurnes seront également diminués de i5“, tous les cercles horaires PE , etc., auront conservé la même position relative sur l'arc HE, leurs projections seront toujours sur une même ligne droite; cette droite sera la ligne i* pour toute l'année. 11 en sera de même pour la ligne de a*, pour celle de 3*, et ainsi de toutes les autres. Ainsi, toutes les lignes horaires du cadran habylonique seront des droites dont il suffira de déterminer les deux points extrêmes.
Soit À l’arc semi-diurne , pour une ligne horaire quelconque , l'angle au pôle sera (P — n x i5*), n étant le nombre des heures égales écoulées depuis le lever.
Pour les heures italiques qui commencent cl (missent au coucher, la formule de l'angle horaire sera de même (P — n. i5*), n étant le nombre d’heures qui devront s'écouler avant le coucher. Du reste, le calcul est absolument le même.
Ces notions me paraissent plus claires et plus satisfaisantes que tout ce qu'on lit dans tant de Gnomoniques; mais pour ne laisser aucun nuage, nous allons calculer un cadran italique pour la latitude 48* 5o', et l’obliquité a3* ay' 40", et tel qu’on le ferait aujourd'hui peur Paris.
La formule cos A = tangll tango), nous donnera d'abord, pour le solstice d’été. . . A — 1 19* 45' 33",
pour l'équinoxe A = 90*,
pour le solstice d'hiver, A = 60° 14' 27".
P = (90’ — n . 1 5*) et P=(6o*i4'27" — n.i5’).
Nous aurons dans le cadran horizontal, Z=angle entre la méridienne et l’ombre, la distance zénilale N et la longueur de l'ombre O par les trois formules
cotZ = sinll cotP — tangD cosH cosécP,
... cos D «in P ..
sinN=— Sn-Z— et O = lang N ;
les angles Z sont pris extérieurement au triangle sphérique ; nous prenons pour unité la hauteur du style.
Gjî ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Nous calculerons d’abord les diflïrens points de l'hyperbole d'été , parce qu’elle nous donnera un point de chacune des lignes que nous aurons à placer sur le cadran.
Nous calculerons ensuite la ligne équinoxiale, qui nous fournira un nombre moindre de points.
Enfin , nous calculerons l’arc d’hiver, qui nous en donnera moins encore, et nous dirons ensuite comment on pourra compléter le cadran.
Bi
