GC : EC :: FG : EM

FG \ sin D / «in (H — D)

EO.FG pr / FG V »mP EM s= -jrg t L . KC) — c0. H

^co»(H-D )+^

équation fort incommode et très inutilement compliquée. Heureusement, contre son habitude, Albategni donne la démonstration, sans laquelle la traduction était inintelligible.

Pour trouver le sinus de la différence ascensionnelle, il donne deux

„ , sin H sin D aif

règles dont l’une est inexacte; la première est un dtf. — - COj]5 » au

lieu de

su? H sin D

. 5* la seconde est = sin cosP. — UngH UDg$*

sin Al = sin At lang (AAI), iü étant la différence ascensionnelle solsticiale, ou la plus grande de toutes; on voit que cosP est le cosinus de arc semi-diurne du solstice.

Il donne ensuite, pour la conversion des heures temporaires en équinoxiales ou réciproquement, les mêmes préceptes que Ptolcmee.

Il expose comment, par la hauteur méridienne du Soleil, on peut trouver la hauteur du p61e.

Dans le problème suivant , chapitre XVI , il se propose de déterminer, par une observation d’ombre ou de hauteur du Soleil , la parl,e ccoulee du jour depuis Je lever du Soleil.

Il suffit, pour cela, de connaître l’arc scmi-dmrne, et de calculer l’angle au pôle par les trois côtés. Dans cedcrnicr calcul , on peut employer 1# foumule donnée ci-dessus pour le cas tout pareil ou 1 s afi'ssa‘ “ trouver l’angle au zéuit par les trois côtés du même triangle. On peut soupçonner qn’Albategni n’avait pas vu la généralité du cherche idi une solution nouvelle, au lieu qu d suffisait -,

côtés. Voici cette autre solution : ,•

Cherchée la hauteur méridienne du Soleil pour le jour de 1 ’b“rV^0"|

Cherchez l’arc semi-diurne; enfin, observez une hauteur du Soleil avec le quart de cercle, ou par la mesure de 1 ombre.

Cherchez le sinus verse de l’arc semi-diurne.

Soit A l’arc semi-diurne ; cos A = — langD tang H ;

, . , cojDcosH-fMnDsinlî coa(R — D)

i~cosA=WnvA=i+langDlangH= 535531 S5H citlP

(H — D) = 90* — hauteur méridienne du Soleil.

„ . , , . , , r .. . , . . siirA'caifH — D)

Soit h la hauteur observée ; faites sin h sin verse A = — ^dc;T»H — ;

divisez ce produit par le sinus de la hauteur méridienne = cos( H D)$*

sin h ain verse A sin A

co* (il — D) coa D coaH*

retranchez cette quantité du sin verse de A, vous aurez

•in h

vous aurez

cos (H — D) co s JH co s u

co* H cos D

sin verse B ,

B étant un arc qu'il faut mettre à part, pour le retrancher du demi-arc diurne, si l’observation a été faite le malin, et qu'il faut ajouter à l'arc semiv diurne , si l'observation a été faite le soir; divisez par i S l’arc ainsi trouvé

“ Wto(te^2)» vous aurez les heures équinoxiales écoulées , et vouspourrez ensuite les convertir en heures temporaires; notre formule serait

eos P =

sin h — sin D sin H

1 — cosP=2sin*^P=sin v.P=

cos D cos H

cosDsinlI — sinfl-l-sinDcosH côa(H — D)— sin A

cos HcoaÜ

cos D cos H

c’est la règle qu’Albalegni donne en deux parties ; mais on ne voit pasdans son livre comment il a pu arriver à ces pratiques, qu’il ne démontre pas.

0 11 voit du moins que la Trigonométrie a subi de grands changement par la substitution des sinus aux cordes, et par l'introduction des sinus verses. Voila déjà deux solutions du problème qui fait trouver un angle par les trois côtés. 11 cmploio l'une pour l'azimut, et l'autre pour l'angle horaire; il en aurait peut-être cherché une troisième pour l’angle au centre de l’astre.

L’angle horaire trouvé, on aura l’ascension droite du milieu du ciel, et les points de l'cquateur et de l’écliptique qui sont à l'horizon.

On voit enfin que l'usage des heures temporaires durait encore chez les Arabes, vers l'an goo.

AEBATECN1ÜS. -ai

l,e tems élaut donne , on peut demander la hauteur du Soleil ; convertissez les heures données en degrés; relranchez-lcs de l'arc semi-diurne, si c'est avant midi, il vous restera l’angle horaire; si c’est après midi, retranchez l’arc semi-diurne de l’arc trouvé, le reste sera l’angle horaire. Vous eu chercherez le sinus verse = asin*iP; retranchez ce sinus verse de celui de A, ou de asiu* j A; vous aurez par ce qui précède

asin*i A — asin* j P = ~ — sin*^p\

• \cosUcosD * /

multipliez par cos(H — D) =sin hauteur méridienne , vous aurez

(asin* j A — asin'iP) cos (H - D) =ÇZh~ü ~ s!n '** P) cos ( H - D) ;

j. . *• . cm- (H — D)

divisez par sin verse A = — vous aurez

r cos H cos D

asin* \ Â — a*in* \ P /cos( H— D) . # , iA CM (H — D) cos H cos D

mrvêîïïÂ \oosHoosD asln ï v) Cos(H— TTj »

ou a'n A T'P = cos (II — D) — asin'i PcosHcosD

ain verse A ' 1

=cosH cosD-q- sin IlsinD — cosHcosD.asin*î P £=sin HsinD-f-cosII cos D cos P= sin h ;

le précepte est juste, il est identique à notre formule fondamentale; mais ce prc'cepie est inutilement compliqué.

Dans le chapitre XVIII il enseigne h trouver les lieux des étoiles par rapport à l’équateur , quand on les connaît par rapport à l’écliptique ; c’est-à-dire le» ascensions droites et les déclinaisons par les longitudes et les latitudes.

Si l’étoile A (fig. 3) a une latitude AB, ajoutez cette latitude à celle du point de l'équateur, qui a même longitude que l’étoile; prolongez la latitude AB jusqu’à l’équateur en C, abaissez les perpendiculaires AD et BE; AU sera la déclinaison de l’étoile, et

fin ^ D 'in rtf’fiînr' s'n ^s'n • sinACsin» tangBC cot» sin AC cos»

sin BC ' sin BC — cos BC *

cresl la règle indiquée par l’auteur : elle équivaut à cos* ; cher-

chez cos AC et cos t B . vous aurez cos AD cos CD = cos AC , ou . . . .

cos CD puis Æ = rD=rC-CD;

nous ferions tar>g CD = tang AC cos C ,

«inCD /.-in AC\ „ lin AC . „

ou — ( — 7-7. )cosL= — ;=r sme cos rB.

cosCD VcoiAC/ cosADcost.D *

lin AC lin » coi TB lia (a +*') »in« cm L 1

siuCDn

cm AD

coi D

On voit que la mc'thode d’Albalegni est la même au fond que la méthode perfectionnée depuis par Tycho, dans scs Progymnasmes. Tycho doit à l'usage des tangentes, ce que son calcul a d'avantage en simplicité.

Il fait langBC=sinrB tang ai; tangrC=*-^j~5 ;cosC = sjnwcosBr.

Il trouve ces trois quantités dans les tables de l’écliptique; il fait ensuite tangCD=cosCtang AC, et siu AD=s'mCsin AC, et tD=tC — CD.

On voit que les Arabes connaissaient les formules sin arc perp.=sin hypoténuse.siu angle a la base; cos hypoténuse=cos base. cos côté perpendiculaire. Alhalegni réduit habilement le calcul à celui des sinus ; il eût été mieux encore d'iutroduire les tangentes dans le calcul des triangles rectangles.

Dans le chapitre XIX on trouve la formule exacte du sinus de la ditTêrcnce ascensionnelle = langD tan" '1=^^ . j l'erreur remarquée

ci-dessus est sans doute une faute de copie.

Ce qui rend ce chapitre obscur, ainsi que beaucoup d’autres, ce sont les dénominations auxquelles nous ne sommes pas habitués; ainsi, la déclinaison est appelée longitude de rétoile comptée de t équinoxial; c'està-dire probablement distance à l’équateur.

Dans le chapitre XX, on retrouve la théorie de Ptolémée pour les ascensions obliques. On y voit le mot nadahir dont nous avons fait nadir } c’est-à-dire le point diamétralement opposé à un point quelconque qu’on appelle zénit. Le zénit de la télé (point vertical), est le point du ciel où arriverait une droitemenée par les pieds et la tète. Zénitdu Soleil ou d'un astre quelconque est le poiut du ciel auquel on rapporte cet astre. Nous avons restreint la signification de zénit et de nadir.

Le chapitre XXI enseigne à trouver l'heure de la nuit par les étoiles.

Cherchez le point culminant avec l'étoile, la déclinaison de cette étoile, sa hauteur méridienne et son arc semi-diurne.

Soit MEO (Gg. 4) le parallèle de l’étoile, ou plutôt la projection orthographique de ce parallèle. MI = sin A = sin hauteur jnéridieune, EN = sin h = sin hauteur observée de l'étoile.

AEBàTÈGNRJS. a3

MI: EN:: MO: KO, «b sin A: sin/i :: MO : IX) = ,

aiu A 7

sin A : (sin A — sin/,) : : MO :MO — EO = ME =

sia A

MO = eos D -+■ cos D cos a rc semi-diurne = cos D( i -f- cos P)

= a cos D cos* a P=cos Dsin v. P,

M£=MO — EO=co9Dsinv.P-

coaDsin v. P sin A

sin A

cos D sio v. P sin A — cos P «in v.Psin/i

—t — j — — - = cos D sîut. P (■

* sin A \

sin A — sin h' sio A

ri • t» /COrt (U — D)— sinJW

= cos D sm v. P ( — - — y» * ' — ) ,

\ cos (Il — D) J7

ME w cosD”

sin v. Pfcos(H — D) — sin AI . . ,

— D) " ~ s,n y • wgle norairc de 1 etoile.

Cet arc retranché de Parc semi-diurne, ou ajoute si l’étoile est à l’occident, vous donnera le teins sidéral écoulé depuis le lever de l'étoile.

Prenez ensuite le degré de l'équateur qui monte avec l’étoile, ajoutez-y le mouvement du ciel, vous aurez le point de l’équateur qui monte à l'horizon; vous en conclurez le point qui est au méridien et celui qui est à l'horizon occidental; comparez un de ces points avec le Soleil, vous aurez l'angle horaire du Soleil et l'heure équinoxiale.

Renversez celte solution , vous aurez la hauteur de l'étoile par le tems.

Pour trouver l’amplitude de l’étoile ou son amplitude à une hauteur donnée, vous suivrez le même précepte que pour le Soleil, en substituant la déclinaison de l'étoile à celle du Soleil. Vous aurez ainsi fort exactement l'amplitude , si Dieu le veut. Cette formule pieuse revient à chaque instant chez Albalegni.

Chapitre XXI V. — jj =sin amplitude ; deux choses connues dans cette équation , vous aurez k troisième.

Chapitre XXV. Trouver la longitude et la latitude de l'étoile par l'ascension droite et la déclinaison, ou par la déclinaison et par le point qui culmine avec l'étoile.

Ce problème est au fond le même qui nous a donné ci-dessus l’ascension droite et la déclinaison par la longitude et la latitude; ainsi il suffirait de renverser les formules. La solution de l'auteur est fort obscure.

Pour tâcher de la comprendre, ramenons d'abord aux sinus les solutions modernes qui emploient des tangentes. Nous aurons (fig. 5)

sio>=sinCD=sioBCsinB=sin(D — £) —

iangBD=langBCcosB, ou tangBD=tang(D — J')sine»cosdt

ïfin(r> — /)sin»co«^R sm(D~Os'n*coaA

cos (D — cosBUcosA ’ )

sinBD=

ain(D— A)ain«co8 M.

cos A

cette dernière équation se tire directement du triangle EBC, qui donne

sinEC: sinEBC :: sinBC:sinBEC,

cosX : cosCBD : : sin(D — «f ) : sinBD=ï^^-*)— = 8l»(n:r*>"p.gg»g{

les Arabes pouvaient faire sin B = Celte formule était connue de*

Grecs. Plus tard ils auraient pu faire cosB = sin a cos A\, formule trouvée par Géber.

Voilà donc le problème ramené aux sinus. La formule (a) dépend de A, qui se trouve par la formule (i). On avait des tables qui, pour chaque degré de l’écliptique , donnaient l’ascension droite et la déclinaison AB=tT. Ainsi, en cherchant à quelle longitude TB répondait l’ascension droite connue TA=^l, on avait en même tems la déclinaison £ du point culminant B.

Ces formules sont les plus simples qu’on puisse trouver, mais elles ressemblent très imparfaitement aux formules d’AIbategni.

Le triangle TDF donne cosF=cosTDsinDTF=cosLsin&>,

cos a = cos DF sin F ,

d’où sin F as

CO* m COS a»

coa DF ““ co# a'*

JLe triangle CAF donne sin D = sin AC = sin F sin FC , et

• T7o sin AC sin D cos DF sin D cos a'

SH! r (j ■ — ■ . p »i— ■« ' * SSmm

sin r C03 a COS a

,tangDF=sinDTtangai ou langX'=tang»sinL,

CD=CF— DF ou X = i p— X' (4).

On ne voit pas trop d’abord à quoi peuvent nous servir ces formules, qui dépendent de la longitude. La table de l’écliptique donnera X', comme elle a donné J', eu prenant L pour une ascension droite; mais il

ALBÀTEGNTUS. a5

faudrait avoir T. ou la longitude. C’est pourtant par la latitude A' et par ? = A-f-A', qu’Albategni détermine la latitude.

tang BD =

sin1 BD

cos* B1J

sin BD sin(D — /)

cosBÏ5 cos (D-»-./)

sin* BD #

1 — siu'Bb m 9

sia ùt cos A\^zm ,

sin* BD = 777* — 771* sin* BD , sin* BD -f m‘ sin* BD= m*,

sin*BD==-£-., sin BD = — -,

sin pp— «in»tang(D— /)co,A

[i +sin*«tang*(D — /)cos*Æ]*

Albategni aurait pu calculer cette formule par sa table de sinus , en mettant

iin(D — A) „

co.(D — /) * 8U 1,cn de »ang (D— <0 J

connaissant ainsi BD =L—L'} il avait L=L'-f-BD, et il pouvait calculer A', <p et A.

Pour comparer ces diverses formules à la solution d’ Albategni, soient A== ,vA=4o* AC=D=3o%- on demande BD et CD; a ==23* 35.