CHAPITRE U

Alùaleg/iius.

Nous commencerons nos extraits par celui du livre d’Alhategniet, parce que cet ouvrage csl à la ibis le plus substanciel et celui dont la date est le mieux assurée.

L’édition que je suis porte pour titre : Mahomelit AlbaUmi de Sctmtim Stellarum liber cum aliquot adtUtionibus Joannis Regiomoatani tue llibliothecâ Valicanâ transcnplus. Lalande, à qui cet exemplaire appartenait, a ajouté de sa main Bononiie , i645; on lit ensuite

Liber Mahometi JUti Geber,Jilii Crueni, qui vocalur AUtaiegni in numeris stellarum et in locis motuum earum experimeoU ratione cimceptorum. Au lieu de in, on aurait dû mettre de, comme au frontispice; mais nous trouverons partout cet usage de la proposition iu.

Ce prince arabe vivait vers l'an 880 de notre ère ; c'est en 879 qu’il s’occupait de déterminer les positions des étoiles à Aracte (ou RacaJ*)r dontla latitude est de 36° et la longitude 1 0°, ou o* 40' à l’orient d'Alexandrie. Apres avoir étudié lu Syntaxe de Ptolémée , et s’élre mie bienau fait des méthodes des Grecs , il crut reconnaître plusieurs erreurs dans la position des étoiles, soit qu’elles eussent été mal déterminées dans le principe, soit que le mouvement de précesaion, mal connu, eût fait perdre quelque chose de sa précision au catalogue de Ptolémée, soit enfin que l’erreur vktt originairement de la hauteur mal déterminée du cercle équinoxial. Quoi qu’il en pût être , Albategni sentit la nécessité d’ajouter aux observations de Ptolémée, comme Ptolémée lui-même hvait ajouté aux observations d’Abracbis ( Hipparque ) ; car il n’est pas donné à l'homme d’atteindre à la perfection. Tels sont les motifs qui ont engagé Albategni à composer son livre. C’est là ce qu'on entrevoit dans le latin barbare de Plato Tiburlinus , à qui nous avons l'obligation de ce livre précieux, dont l’original u'existc plus, à moins qu'il ne se trouve à la Bibliothèque de l’Escurial (on croit qu’il en existe encore un exemplaire à la Bibliothèque Ambrosienne de Milan). Dans une préface dont on vient de lire l’extrait, il est parlé de la longueur de l'année et de ïluctisal ( conjonction ) des luminaires qui est counu par le teins

ÀLBATEGNIUS. ; vi

des éclipses; ajoutons qu’Albategni promet de suivre les traces de Ptoléme'e, et qu’il divise comme lui le cercle en 36o% parce que ce nombre diffère peu de celui des jours de l’année. Il partage le cercle en r , auxquels il conserve leurs anciens noms, quoique les constellations qui les occupaient autrefois s’en soient éloignées par le laps de terns. Le degré se divise en minutes , la minute en secondes , en tierces et ainsi de suite, jusque aux dixièmes et ordres suivans in decenas et sequenles.

Albategni donne ensuite des préceptes et des Tables pour connaître l’ordre des fractions sexagésimales qui résulte de la multiplication ou de la division d’un nombre sexagésimal par un nombre sexagésimal d’un ordre quelconque.

À l’exemple de Ptolémée, il divise le diamètre en tao parties, le rayon en 6<f. 11 détermine la corde de 1 ao*, la corde du supplément d’un arc quelconque dont la corde est déjà connue; les cordes de 90", de 56 et de 7a*. Si l’on aies cordes de deux arcs, on aura aussi celles de leur somme et de leur différence. Si l’on connaît la corde d’un arc, on aura aussi celle de sa moitié; si les arcs sont petits, leurs cordes seront entre elles à très peu près comme les arcs. Tous ces théorèmes sont empruntés de Ptolémée.

RegiomonUuras ajoute ici une démonstration fort simple et cependant atsses obscure par la rédaction , du moyen qui sert à trouver la corde de la moitié de l’are.

Soit donnée ( fig. 1 ) la corde AB de l'arc ACB; on demande la corde de sa moitié AC. Menez le diamètre ATG, le diamètre CTE et la corde

GFH = AB. Vous aurez BG = AG — AB — DF ; vous aurez donc DF = corde de 180° — ACB, puis DT = ; DF, puis CD=TC — TD; enfin ÂC == AD -+• CD.

Il serait bien plus simple de dire corde AC = a sin f AC ; «

CD— ABsinjCB= asin^ AC sin j AC— asin’j AC, et AD=ACcosjBC, et sin AC=asin-£ AC cos i AC , TD = cos AC = rayon — asin’jAC.

Jusqu’ici Albategni n’a fait que copier Ptolémée en l’abrégeant; mais ce qui suit est un changement bien remarquable et bien important.

« Le diamètre EC qui divise en deux arcs égaqx l’arc AB, divise pa- » reillement la corde AB en deux parties égales AD et DB, qui sont le» » moitiés de la corde de l’arc double AB. Or la corde est au demi- » diamètre , comme la demi-corde est au rayon. Ainsi , quand on a » un arc AC, au lieu de le doubler pour en chercher la corde AB, ou

jj peut s'en tenir à l’arc simple AC, et considérer la demi-corde AD on » DB qui sont de part et d’autre du diamètre. C’est de ces dcmi-cordes que jj nous entendons nous servir dans nos calculs, où- il est bien inutile de jj doubler les arcs. Ptolémée ne se servait des cordes entières que pour » la facilité des démonstrations; mais nous, nous avons pris ces moitiés jj des cordes des arcs doubles dans toute l’ctendue du quart de cercle, » et nous avons écrit ces demi-cordes directement à côté de chacun desjj arcs, depuis o” jusqu’à go”, de demi-degré en demi- degré; ainsi la » moitié de la corde de 6o” se trouve vis-à-vis l’arc de 3o”; la moitié' jj de la corde de tao-” vis-à-vis l’are de 6o”, et la moitié de la corde de' » 180“ ou le rayon, vis-à-vis l’arc de go”, cl ainsi des autres; en sorle- >i que quand nous parlerons de corde dans tout ce traité, il faudra en- » tendre la demi-corde de l’arc double, à moins que le contraire ne soit jj expressément déclaré; et nous faisons- cette remarque une fois pour jj toutes, u

Ainsi Aibategni parait être l’auteur de cette substitution importante et si naturelle, que nous avons eu lieu de nous étonner plusieurs fois , en lisant Ptolémée, qu’une idée si simple lui eût échappé, à lui sur-tout, qui, dans son Analemme, substitue partout ces demi-cordes aux cordeseutières, ou , plus exactement, qui ne fiait jamais usage que de ces demicordes. 11 est vrai que c’est pour une opération graphique, mais le principe est le même, la remarque était faite; il s'agissait de l’introduire dansle calcul numérique; la table des cordes était calculée; il n’y avait qu’à prendre les moitiés de toutes les cordes, et l’on avait- la table des sinus;, c'est ainsi qu'on a nommé ces demi-cordes. Des auteurs qui n'avaient aucune connaissance de l'arabe, ont donné à ce mot sinus une origine plus spécieuse que véritable. La corde, en latin, s'appelle inscripta; sa moitié, semis inscriplæ , ou s. ins. par abréviation , et plus simplement encore' sins , et enfin sinus, pour rendre l’abréviation déclinable. D’autres ont donné des étymologies qui paraissent moins naturelles et ne sont pas plus sûres. Le mot arabe est gib ou dgib, qui signifie un pli, c'est la corde' pliée en deux. Le pli d’une robe, en latin, se dit sinus.

Nodo que sinus collecta Jluen tes. VlRG.

Les traducteurs latins des Arabes ont remplacé gib par te mot sinos,adopté depuis par tous les astronomes et par tous les géomètres.

Aibategni se met ici en opposition avec Ptolémée.

Ptolémée se servait des cordes entières, mais nous en avons pris l*s moitiés.

ÀLBÀTECNIUS. >3

Ici devait se trouver la table des sinus; l’éditeur la supprime parce quelle se trouve dans les ouvrages de Régiomontan, Rhéticus, Finkius, Afaginus, Lansberg, Piliscus, Schoolen , Cavalleri, et autres; mais tous ces auteurs , à l’exception de Rçgiomonlanus , donnent les sinus en parties du rayon , an lieu qu’Albategui , copiant Ptolémée, avait formé sa table en divisant tous les nombres par a ; mais si on la veut en sexagésimales, on la trouvera étendue à toutes les minutes, du quart de cercle, dans Régiomontan et dans la Métrique astronomique de Brcssius. Paris, i58i. La ier* édition d'Albatcgni était de 1837.

L’auteur expose ensuite assez longuement la manière de trouver les sinus des arcs qui ont des miuutcs et des secondes , en outre du degré ou demi-degré, cl ensuite celle de trouver l'arc auquel appartient exactement un sinus donné.

Pour trouver le sinus verse, qu’il appelle corde verse, il dit : Retranchez l’arc donné de go" ou prenez-en le complément à 90*; prenez le sinus du reste, ainsi qu’il est dit ci-dessus; retranchez ce sinus de Co’o' o' ou du rayon , lo reste sera le sinus verse.

Si l’arc donné surpasse go* retranchez 90*; cherchez le sinus du reste,' et ajoutez-y Go'o’o*, vous aurez le sinus verse de l’arc plus grand que go*. 11 ajoute les préceptes pour trouver l'arc auquel appartient un siuus verse. A yanl les sinus on peut avoir les cordes.

IciRegiomontauus prouve dans une note, que, sin*A=csin3o*sin verseaA = j asin’A = sin*A.

Le chapitre IV, qui vient immédiatement après, est encore fort intéressant. Un y voit une détermination de l’obliquité de l’écliptique, mais détaillée et complète , telle qu’on n'en trouve aucune dans Ptolémée , ni dans aucun auteur ancien dont les ouvrages nous soient parvenus. Voici

Je passage

« Ptolémée, dans son livre, en citant Hipparque, insinue qne l’intervalle entre les tropiques est de 47<‘4a,40"î mais nous, avec une alidade et un côté, tel qu’il est décrit dans l'Almageste (la Syntaxe), c'est-à-dire par les règles parallactiqucs, après avoir exécuté une division la plus parfaite qu'il nous a été possible, et avoiY vérifié l'instrument, nous avons observé la plus petite distance au z énit de la tête (point vertical) de 11* a6', et la plus grande de 5g* 36'; d’où résulte que l’arc entre les tropiques est de 47*10', que l’obliquité n’est que de a3*55', et la hanteur du pôle à Aracte de 36*. »

Lalande ajoute 44” pour la réfraction, et retranche 3' pour la pa-

rallaxe, ce qui lui donne 2 3" 35'4i" pour l'obliquitc, en 879. La correction est juste; mais les observations ont-elles cette précision? Il parait que l’alidade d’Albategni donnait les minutes au moins par estime. Nons voyons d’une part 26', et de l’autre 56'; ce dernier nombre pourrait indiquer une division en dix parties, l’observation aurait donné 5g*,6 ; mais 12* 26' =i2* 24' -H 3'=: is'tV+tï; les a' ou le tiers d’un espace de 6' serait la fraction estimée.

On peut aussi supposer l’instrument divisé de 2 en 2', et alors on aurait lu sans rien estimer. Nous aurions moins d’incertitude si Albategnr eût donné la longueur précise de son alidade et la division de son arc. De cette observation , comparée à celles que nous avons faites en 1800, nous

déduirons une diminution de — — ou de — — — o", 5o5 par année.

9ai 921 r

Voilà donc la plus curieuse des observations anciennes, et la plus sûre sans contredit ; et cependant on ne peut pas dire qu’elle soit exacte à la minute. Albategni lui-même ne le croyait pas. En effet, la hauteur du

pôle devait être, selon lui, de la aS-4-59 36. — 7 ^-=36*1'; et il la conclut de 36° seulement.

Cette observation donne lieu à la réflexion suivante : voilà Albategni qui se sert, pour l’obliquité de l’écliptique, de l’instrument imaginé par Plolémée pour les parallaxes. Comment Ptolémée, qui n’a imaginé, nous dit-il , ses règles parallactiques que pour avoir un rayon beaucoup plus grand et une division du degré plus étendue que par tons les instrumens en usage à Alexandrie , n’a-t-il pas employé cet instrument pour mesurer les hauteurs solstiliales du Soleil, comme il a fait pour la Lune dans ses deux limites ? comment n'a-t-il pas profilé d’un instrument nouveau et plus parfait, pour vérifier les deux points fondamentaux de l’Astronomie? comment, avec cet instrument, a-t-il fait d’aussi mauvaises observations de parallaxe? comment ne voit -on pas une autre mention de cet instrument, ni de ses usages? Ne serait-ce pas que cet instrument n'a jamais existé à Alexandrie , et qu’il en est des règles parallactiqnes comme du quart de' cercle sur uue brique, avec lequel il prétend avoir observé les distances solstiliales, et mesuré un degré, sans entrer dans aucune autre explication. J’avoue que je ne vois dans Ptolémée qu’un théoricien, un calculateur, et bien rarement ou jamais, ut» observateur; enfin, un calculateur qui suppose des observations pour se procurer les données de ses calculs.

Pour calculer en tout tenu la déclinaison du Soleil, Albaiegni donna la règle sin D = sina> sio O , qui est identique à celle de Ptoléraée, et celle dont nous nous servons encore.

Pour l’ascension droite, son précepte est encore celui de Ploléme'e,

en y substituant les sinus aux cordes, __ ÜH* et s;n \ __

J 9 eu*© coaA

cm » ain • sin O cos A cos# sia P ... t\ . • » 1 % •

^ÏÏÜcÔTg = ÂT. ^Td =* c* * Ul*s D- O» Peut •"* w « !» ^gl«

d’Albalegni par notre formule tang A = cos» tangO , ou par la formule tangD=sinA tanga. Aibategni donne sa règle sans démonstration; il ne fait, en cet endroit, aueun usage des tangentes dont il parlera plus loin, et dont il ne sentait pas encore toute Futilité. Il a celle ressemblance avec Ptolémée, qui n’a pas senti de quelle commodité seraient pour les calculs les siuus et sinus verses dont il se sert uniquement dans son Analemme. .

B parle ensuite de la sphère droite; il avone qu’aucun voyageur n’a pénétré jusqu’à l'équateur; il cite seulement les régious Sanababan et Algiemen, qui en sont très voisines. Il traite des climats de jours et de mois, et des différentes obliquités delà sphère, en termes très obscurs, peut-être par la foute du traducteur; on n’y entrevoit rien qui ne soit ailleurs exposé beaucoup plus clairement.

Viennent ensuite des détails assez longs et presque inintelligibles sur la position et l’étendue des mer», et sur leurs îles ; les distances y sont données en milles. Nous n’en citerons que cette ligne ; le degré est de 85 des milles dont ont vient de parler , c'est à peu près le chemin de deux jours. S’il n’y a foute d’impression, ces milles diffèrent étrangement de ceux des astronomes d’Almamoun,

Les longitudes ont été déterminées par les tems des éclipses de Lune, et les latitudes par les hauteurs méridiennes du Soleil. Il parle enfin d’un traité de Géographie, danslequel , à l’imitation de Ptoléraée, il a marqué le» positions moyennes de quatre-vingt-quatorze régions.

11 passe aux amplitudes, et voici son précepte ! Prenez l’excès du plus long jour sur ia*, vous en tirerez la moitié que vous multiplierez par i5, pour la convertir en degrés; vous y ajouterez go*, ce sera Tare semidiurne du jour le plot long; vous la retraoeberez de 90* pour avoir l’arc semi-diurne le plus court. Soit P cet arc semi-diurne , grand ou petit , cos « sin P=cos amplitude solstitiale. Au lieu de ai mettez une déclinas» foa quelconque , anse I’mc senti - diurne qui lui convient, vous aurez

i6 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

l'amplitude. Il ne dit pas comment on aura l'arc semi-diurne qui convient à la déclinaison.

Si vous connaissez la latitude H, vous aurez sin amplitude =

Ces règles sont encore les nôtres ; il ne les démontre pas.

Pour trouver la latitude par le plus long jour, vous ferez comme ci-

dessus, cos « sin P =co$ amplitude, et ^ * t ml e ~ cos ^ '

Pour trouver le plus long jour par la hauteur du pôle , il fait comme les Grecs cos P= = tang u> tang H ; mais il n’emploie pas encore

les tangentes.

Pour avoir la longueur de l'ombre ; soit r la hauteur du gnomon , h la hauteur du Soleil ; ombre = t = K cot h = ► tang N ; on supposait

y = 1 3 parties; on aurait pu de même choisir tout autre nombre, et principalement 60. Albategni ne se sert pas encore des tangentes.

De l’ombre observée, voulez-vous conclure la hauteur? multipliez J’ombre par elle-même, vous aurez <r* =»• ; y' =*

= -âiï * =.TnT5 et *'nh =;î »* + = ( hypoténuse}* ;

sin h = bÿ^ôT* cos h = Ainsi voilà trois règles pour obtenir la hau-

teur par la longueur de l'ombre.

Afin d’abréger, nous mettons en équations les préceptes d’Aibategni ; mais les Arabes n’ont , as connu l'usage des équations; à cet égard ils ne sont pas plus avancés que les Grecs.

L'ombre debout (umbra s tons) s’appelle aujourd’hui ombre verse; c'est l’ombre du complément de hauteur , c'est le contraire de l’ombre étendue ? car elle est la plus longue à midi, et la plus courte à l'horizon; elle s

pour expression tr' — = » tang ô=r cotN ; retournez. la formule, et

vons aurez la hauteur par l’ombre verse. En imitant ce qui précède, on aurait la hauteur par son sinus et son cosinus , aussi bien que par les tangentes.

« Voulez-vous connaître l'ombre par la table des ombres étendues ? >> cherchez la hauteur dans la table , vous trouverez , à la suite de cette a hauteur, l’ombre qui lui convient »

Les Arabes avaient donc, au tems d’ Albategni , des tables des quantités,

ALBATF.GNIUS. ,7

ombre = e = r = ta col h= latangN, et par conséquent des table*

de tangentes, mais calculées pour le rayon la, tandis que les sinus étaient calculés pour le rayon 60; mais en multipliant ces tangentes par 5, ou on aurait eu les tangentes pour le rayon Go.

» Voulez-vous avoir la hauteur par l'ombre étendue? cherchez l'ombre z dans la table, et vous trouverez sur la même ligne la hauteur à laquelle » elle répond. Si cette ombre ne se trouve pas exactement dans la table, » vous prendrez la plus voisine, et vous calculerez la partie propor- » tiounelle.

» Voulez-vons connaître l’ombre debout ou verse par la hauteur? » prenez le complément de cette hauteur, avec laquelle vous trouverez j* l'ombre demandée; si vous voulez connaître la hauteur par l'ombre, » vous entrerez dans la table avec les doigts de l'ombre ; vous trouverez » à coté le complément de la hauteur, d'où vous conclurez la hauteur » même. »

Voilà bien la première idée des tangentes ; voilà des tables qui donnent les tangentes de tous les arcs , et par lesquelles tout arc peut être connu d'après sa tangente. Le malheur est ce choix du rayon de douze parties, qui était encore une imitation d'une pratique grecque. Albategni ne sentit pas futilité de ces tangentes pour les calculs trigonométriques , et Ja preuve, c’est qu'il n'a pas changé le rayon. Les Arabes ont depuis reconnu , du moius à quelques égards , l’utilité de ces lignes pour abréger les calculs.

Pour connaître le zenit de la hauteur (c’est-à-dire l’amplitude mesurée .aur l’horizon) en un lieu quelconque de la Terre, et à une heure quelconque ( tenu est le mol Arabe que nous écrivons zênit , il signifie point), cherchez siaD et cosD, siull et cos H, siu/< et cos h , vous aurez

(sinD sinAsinHN

omit ctttU —’,n H— cos azimut

cos h cos h cos H

e= si n amplitude; c’est la formule moderne: les Grecs ne l'ont jamais connue. Voilà encore un pas dans le calcul Irigonométriquc. La formule générale donne le moyen de trouver un angle par le moyen des trois côtés connus.

[Voilà donc notre formule fondamentale,

cos azimut cos h cos H-j- siu h sin H=s sinD ;

iS ASTRONOMIE DU MOYEN AGE»

il est vrai qu'elle était dans l’Analfertime de Ptohhnée, qui ne l*a pas Vue' elle esl dans l'opération d’Albategni, dont npus avons rassemblé les différentes parties pour en composer notre formule.

Albategni enseigne ensuite à décrire la méridienne et la ligne est-ouest, par deux ombres égales, en avertissant que l’opération sera d'autant plus juste, que le Soleil approchera plus du solstice.

Si vous connaissez le lieu du Soleil , vous pourrez trouver la position de la ligne est-ouest, et par suite la méridienne , par une seule ombre observée. 11 suffira de calculer l’amplitude par la formule précédente. La longueur de l’ombre donnera h, par ce qui précède; vous connaissez D et H, ainsi tout sera connu. Il eut été curieux de voir la démonsfration d’Albategni; Regiomonlanus y a suppléé ; mais rien ne nous assure qu’il ail deviné la manière de l’auteur. Ou peut arriver an même point patbien des routes différentes; il nous suffit que la iftélliode soit identique h notre formule moderne. Contëntons-nôus de trouver Une pratique comamode et sure, qui était absolument inconnue aux Grecs, qui pourtant avaient dans l'Analemme plus qu’il n’en fallait poUr l'apercevoir et la démontrer.

Le lever et le côucber de l’éqninoxe donneront , ssfnS aucun calcul, la ligne est - ouest et la méridienne. Je crois en effet qufe c’est par cette ligne est -ouest, des levers et couchers solstitianV , qu’on a tracé les premières méridiennes. La hauteur méridienne équinoxiale SCrS fa Ratoleur de l'équateur. Vous pourrez connaître la ligue '«si -ouest parle passage du Soleil au premier vertical , ce qui n’est praticable que dart» les tems où la déclinaison du Soleil est de même dénomination que la latitude. Pour cela, il faut connaître la longitude ‘dti Soleil , sa décli>liaison, la hauteur du p61e, d’où vous déduirez la hauteur méridienne, au joiir que vous aurez choisi.

Soit BF la hauteur méridienne (fig. a), FA son complément, HK la hauteur du Soleil au méridien inférieur; menez la droite FMCH , qui sera le diamètre du parallèle du Soleil; EC sera le sinus de l'amplitude ortive, FG le sinus de la hauteur méridienne.

F.M = DL = sin .haut. O au prentier Vertical.

Le triangle ECM donne tout de suite,

sinBD=DL=EM=ECtangC=sinu.cbtII=;,-i,î4colH = si!l?,

° cos ü smH’

équatiop que donnerait égalcmeut la Trigonométrie sphérique. Au lieu

ALBATEGrilUS. 19

de ce moyen si simple, Albategui prend un détour assez long, que