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supposer qu’il ne connaissait que ce qu’il a exposé dans ces premiers livres? n’est-il pas plus naturel de croire que les sept autres, qui sont perdus, étaient pleins d’une doctrine plus relevée? Le succès de Diophante n’a-t-il pas pu engager quelque grec , à peu près du même âge, à perfectionner l’Algèbre de son contemporain; et, dans l’espace d’un siècle écoulé entre Diophante et Arya Bhatta , cette nouvelle doctrine n’a-t-ellc pu arriver jusque dans l’Inde? Pouvons- nous avoir une confiance entière en ce que nous dit Ganesa? Est-il si rare de voir dans l’Inde des auteur^ qui, pour vanter l’antiquité de leur nation, parlent avec exagération des connaissances de leurs ancêtres? Mais il n’entre pas dans notre plan de discuter longuement de simples conjectures aussi étrangères à l’Astronomie.

C’est ici que M. Colebrookc s’était arrêté. L’auteur anonyme de l’article que nous extrayons , conjecture que la science a dû exister long-tcms auparavant, et qu’elle a dû parcourir dillërens degrés pour arriver au point où elle se trouve dans Arya Bhatta; que Diophante ne peut être l’auteur de toutes les méthodes qu’il nous a transmises; et qu’Arya Bhatta doit être encore moins le seul inventeur d’un système plus parfait que celui de Diophante. (Pour discuter ce point nous attendrons qu’on ait retrouvé les 3cpt livres de Diophante; retrouvé ettraduit l’ouvrage d’ Arya Bhatta. )

« En effet, continue l’anonyme, avant qu’un auteur pense à introduire un traité d’ Algèbre dans un cours d’ Astronomie , la science dont il fait une telle application, doit avoir été dans un état d'avancement qui atteste les efforts de plusieurs âges. »

. Ou pourrait répondre que quand un auteur vient de créer une science nouvelle, chez un peuple où la civilisation est fort avancée, de bons esprits ne tardent pas à s’emparer de ces idées nouvelles pour les étendre et en multiplier les applications. Ainsi, chez les Grecs, Archimède a succédé à Conon, et Apollonius à Archimède, en moins de 60 ans. Newton et Leibnitz vivaient encore quand les Bernoulli ont fait, dans l’Analyse , des progrès si marqués.

« Le plus ancien commentateur dont l’âge soit avéré, a dù écrire vers i4ao; le second vers 1 538 et i54i. Ganesa est de i545. Un commentaire du Vija Ganita , portant la date de 160a, contient des explications et des démonstrations qui sont tout-à-fait dans la manière do Ganesa. Un dernier Scholiaste vivait en 1631. »

11 faut avouer que toutes ces autorités sont un peu modernes, et la

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grande antiquité de l’Algèbre indienne ne semblera peut-être pas suffisamment constatée. L’cpoque la moins incertaine reste encore celle de Brahma Gupta, c’est-à-dire le commencement du VII' siècle. Enfin, puisque Arya Bhatta , le plus ancien auteur non inspiré qui ait parlé d' Astronomie chez les Indiens, est du cinquième siècle, l’Astronomie indienne est postérieure de près de (ioo ans à llipparque , et de plus de aoo ans à Plolémée. Bailly aurait donc eu tort de nous dire si affirmativement qu’llippurque avait emprunté pour les défigurer les théories des Indiens. L’Astronomie indienne ne remonte donc tout au plus qu’au cinquième siècle? Qui sait d’ailleurs si Arya Bhatta était plus astronome qu’Autolycus? Brahma Gupta était du VII' siècle; c’est à peu près la date des tables de Siarn.

.\1. Colebiooke met en parallèle l’Algèbre des Grecs, celle des Arabes et celle des ludions, dans les tems les plus anciens dont il existe dos

monumens.

« Les symboles algébriques des Indiens sont les lettres initiales des mots. »

C’est une méthode fort naturelle et fort claire, à laquelle je me conforme autant que je puis dans mes ouvrages; mais je n’emploie pour chaque mot qu’une seule initiale ; les Indiens en mettaient deux ou trois. Ce n’est pas là tout- à-fait uuc notation algébrique, c’est une manière abrégée d’écrire.

« Un trait au-dessus d’un symbole indique une quantité négative; le signe -f-, pour l’addition, est inconnu; il en est de même des signes = , > et < ; la multiplication est indiquée quelquefois par un trait entre deux nombres; les deux membres d’une équation sont posés l’un audessous de l’autre ; les inconnues sont exprimées par les lettres inilialus des différentes couleurs; la première inconnue est marquée par la lettre initiale du mot quantité; les puissances sont de même indiquées par leurs initiales. Les Arabes n’avaient de symbole d’aucun genre.

j> Ce qui caractérise principalement le Lilawati, c’est que le styTe oriental est partout mêlé avec le style sévère de l’Arithmétique; il en résulte que l’énoncé du problème est par fois si obscur, qu’on a besoin de la règle pour en deviner le sens. ».

Rien de tout cela n’annonce une science bien avancée.

« Les règles des combinaisons sont les mêmes que la loi des coeffiçiens du binôme. »

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Cette identité est dans la nature de la chose, et n'a rien de remarquable.

« Nulle part on n’aperçoit la roule qui a pu conduire à la solution. \4insi, un voile mystérieux couvre toujours la science mathématique des Orientaux; il est bien à craindre que ce voile ne puisse jamais être levé. »

Cet aveu est précieux. Il est certain au contraire que les Grecs mettaient un soin extrême à tout démontrer. Les Indiens ne démontrant rien, on peut douter qu’ils eussent la pleine intelligence de leurs méthodes.

« Le pulvériseur est un procédé qui se rencontre souvent dans l’Algèbre et dans l’Arithmétique des astronomes indiens. C’est une règle générale pour les problèmes indéterminés du premier degré. Il est à remarquer qu’avant Bnchet de Méziriac, en 1624, on n’avait rien de comparable en Europe, et que la règle de Bachcl est virtuellement la même que celle de l’Algèbre d'Euler (vol. II, chap. I). Si l’on demande par exemple que

~Xi^— soit un nombre entier , x sera ce qu’on appelle pulvériseur ; ou

bien le pulvériseur sera la méthode qui lait trouver x ; car il est difficile de déterminer le véritable sens de ce mot. La règle est donnée d’une manière trop concise et avec trop peu de précision. »

Voici un exemple de cette règle dont nous avons déjà parlé tome I, p. 55 1, où elle est désignée par le nom de cutuka fixé. Nous n’avions pas eu le courage de l'analyser; mais puisqu’elle peut avoir quelque importance, pour l’idée que nous devons nous faire de la science indienne , il la faut examiner à fond.

a Supposons que dans une période inconnue d’années, une planète ait fait un nombre de révolutions ou de cercles, plus un certain nombre de signes, de degrés, de minutes et de secondes , plus une fraction donnée de seconde; que ces nombres soient perdus excepté la fraction, on demande le quotient tout entier, d

Il est certain d’abord que l’énoncé est piquant; qu’il promet une méthode curieuse. Qtiant à l’utilité, elle n’est pas très évidente, et si les Indiens en font un fréquent usage en Astronomie, ne serait-ce pas que n’ayant pas encore d’Astronomic véritable, ils s’amusaient en attendant à des subtilités de calcul numérique, plus étrangères encore à la science astronomique que les théorèmes métaphysiques des Autolycus et des Théodose. Jamais, depuis les Grecs jusqu’à nos jours, les problèmes

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indéterminés de ce genre n’ont attiré un seul instant l'attention des calculateurs.

Dans l’exemple cité, la fraction de seconde est ; nous prendrons iô pour diviseur. Soit a le chemin de la planète, le quotient demande sera

L’auteur parle de signes et de degrés. Pour simplifier un peu le calcul ,

nous emploierons les doubles signes, ou les signes de Go", à l’exemple de Théon et des Alphonsins. Tout cercle vaut donc six hexécostades ou soixantaines de degré.

Si a était divisible par i3, il n’y aurait pas de fraction. Nous ferons = x -f- , et x = "T*; ^ sera une fraction ; multiplions-

la par Go, pour la changer en degrés ; x sera la première partie du quotient , ou les hexécostades , il restera ^ = ^7-^ = x' + ; x' sera le

nombre de degrés du quotient.

De même ^ = ‘ - — x" ~ , x" — — ; x" sera le nombre

de minutes du quotient. >

Enfin , = '-^~yr- = x'" -h -3, et x'" =» ; x'" sera le nombre

«le secondes du quotient.

e = 10" dans notre exemple ; le quotient sera x -f-x'-t- x''-f- x'" + fj-

Soit a= sa cercles =a64 sigucs= i3a hexécostades ou doubles signes; nous verrons plus loin que c’est la supposition de l’auteur ou celle du traducteur.

€ob

i3ak : ~3

i3.io*4-a4 1 . a .. k a — b i3.io — a ^

îob i9p’__ i»70-f-3>i3.s*+3* .

i3— ,3— l3 =* ~z , *— 9> et c — O,

l3 l3;+ll>= x"=i3ct <f=n,

60 d 60.11' S4o* 65o'+io* i3.5o’+19' c #, , 10

13 — “73~— TT— ÎS = 13 * ~~ 5°

x'" — $0", et e = 10".

Le quotient •

x-t-x' -+-x"+x"'+47=io*9*15'5o"f j==so/9,i5'5o"if = ic8 g"i5'5o"fî. C'est le quotient de l’auteur. Il est à remarquer que le dividende est un

xxiv DISCOURS

nombre cnlicr de cercles, ce qui lient au système suivi par les Indiens dans toutes leurs Tables astronomiques, ou ils supposent que toute planète lait un nombre donne de révolutions entières en un nombre donné de jours , supposition qui décèle l’enfance de l’art. Cette remarque nous lait voir encore que dans l’énoncé du problème les mots , un nombre de cercles , plus un certain nombre de signes , de degrés, de minutes et de secondes, doivent s’entendre du quotient et non du dividende.

Voilà de l’Algèbre sans doute , mais elle n’exige pas un grand effort de génie. Voyons maintenant comment de la fraction nous pourrons remonter à nos quotiens partiels x'", x", x' et x. Il suflira de reprendre en ordre inverse les opérations exposées ci-dessus.

So d 10 Geai — 10*

On voitquc x'" est un nombre plus petit que 60, et que pour le trouver il faut chercher parmi les multiples de Go, celui qui, diminué de 10", deviendra divisible par i3.

Or, sans recourir aux règles de l’Algèbre indéterminée, nous savons que les Indiens, comme les Grecs, avaient la table de multiplication Sexagésimale , que nous avons rapportée tome II, page 5ï. Dans cette table prenons la colonne de notre diviseur 1 3 ; cherchons-y un nombre qui , augmenté de 10", fasse un nombre exact de minutes ; à la ligne 5o nous trouverons io'5o"=i5.5o,,= 6o<f — io''= u' — icP.

Nous en conclurons x'"=5o'', et rf=n. Alors, en remontant successivement aux ordres supérieurs, nous aurons

TJ

' i3', et

Gofc — 3°__

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