PRÉLIMINAIRE

trouvons à la ligne 10, i1 io° = i5o' = i3.io, lequel , augmenté de a, donne 1 3a. C’est le dividende choisi ci-dessus. Nous ferons donc x — 10, et le quotient sera

io*9” i3' 5o"-;° = 2o-f9" i5'5o" fj = if 8^ g" i3' 5o" .

En continuant de descendre de six lignes dans la colonne , nous aurions pour les valeurs successives de a,

«*k, io‘, i6‘, aa‘, 28*, 34‘, 4o*, 46*, Sa*, et 58', ou o% i‘, 2‘, 3e, 4', etc.;

ce qui ne changerait rien aux degrés, aux minutes, ni aux secondes, puisque les quantités que nous ajoutons ont toutes des cercles entiers.

Les équations qui donnent successivement x'", x", x' et x, sont l’cxpression algébrique des régies que l’auteur donne sans démonstration ,, elles se résolvent par le plus simple des calculs algébriques, et la table dispense même de ces calculs si faciles. Il a suffi , pour trouver ces régies , «l’exécuter numériquement la division de -1- ou généralement de ; de rcmarcjucr les dévcloppcmcns de la division , ot d’exprimer par une règle particulière, chacune des opérations successives; enfin, de reprendre successivement toutes ces règles en ordre inverse. On avait, de cette manière,

6 od — e 6oc — d , Gcb—c „ Go a — b n* — 6*

X — lS— , X — , x pj , X=x jj-- -3~.

Rien de plus régulier ni de plus simple que cette marche. Il ne faut donc pas donner ce cùtuka fixé comme une preuve d’un grand savoir. La méthode est assurément curieuse ; elle" ne pouvait être trouvée que par un bon arithméticien, qui eût les premières notions d’itne Algèbre quelconque. Si celte méthode était inconnue en Europe, c’est qu’elle y était encore plus inutile que dans l’Inde. I.’anonyrne, qui peut-être n’a pas pris la peine de la développer , dit qu’elle ne se présente pas d’abord, et que fauteur indien a dû se féliciter de l’avoir trouvée. Mais s’il y est parvenu comme nous venons de le faire, il n’avait pas tant de raison de s’en applaudir. Il a vu sans doute que sa remarque lui fournissait l’occasion de proposer un problème tout-à-fait neuf et tout-à-fait singulier; il aura donc supprimé l’échafaudage, pour donner l’air d’une merveille à une chose fort simple et fort inutile, qui d’ailleurs ressemble à ces tours de science amusante, qui font l’ctonncment des spectateurs, parce que ces spectateurs sont loin de soupçonner la iaciiité des moyens qui rendent le succès infaillible.

xxvj DISCOURS

On peut même résoudre encore d’une manière plus simple ce singulier problème. Il est évident que tout nombre entier de la forme i3 a1 -f- 1 5 . 6’ -f- 1 5c' 4- 1 ûtf'-f- îo", satisfera à la condition de donner ■— pour reste, quand il sera divisé par i3; le quotient sera a' 4- b°-\- ;

les nombres a , b, c, d, sont entièrement arbitraires; ou peut leur donner toutes les valeurs depuis o jusqu’à l’inGni. Le problème est donc du genre le plus indéterminé. Pour fixer le cutuka, il faut donc s’imposer quelque condition.

Demandons d’abord que 1 5<f' -f- io" fasse un nombre de minutes; nous aurons

i3<f'-f- io'' = /i.Go";

et notre table nous donnera aussitôt

i3.5o"+ io"5= io'.5o"+ io"= il'; lcquation deviendra

N sas i5a*-f- i3â*4- a 5c' — 1— n'.

Demandons maintenant que i5.c' 4- 1 1 — n.V^z rt.Go', nous aurons par la table

N = i5a*4- îôâ* 4-5*.

Faisons encore

nous aurons

N = ]3a‘4-al=i5o*4-a‘=i3.io*4-a‘,

a* = io*, ...

et Q= io‘9*j5'6"4f.

Au lieu de îo* nous pourrions mettre i6‘, as*, a8‘, 34*, 4o‘, etc., en augmentant toujours de 6* = î cercle.

Tout ce que prouve une pareille méthode appliquée à l’Astronomie , c’est que les Indicus avaient une espèce de notation algébrique , une Arithmétique sexagésimale, une table de multiplication, et qu’ils supposaient que les planètes décrivaient toutes un nombre donné de cercles en un nombre donné de jours. Or, nous savions tout cela , et nous l’avons exposé dans notre premier volume.

Ces réflexions , et l’inutilité absolue de ce problème singulier diminuent Considérablement le mérite de la méthode. Ce sont les bâtons flottant sur l’onde, de La Fontaine, de Phèdre ou d’Ésope;

Pe loin c’est quelque chose et de près ce n’est rien.

PRÉLIMINAIRE. Jtxvij

On nous dit que, dans une période inconnue, lâ planète décrit un certain nombre de cercles; mais si la période est inconnue, comment a-ton pu connaître le diviseur i3? 11 faut lire apparemment période connue. Mais en voilà trop sur un sujet assez futile, qui n’a d’autre mérite que la singularité.

Pour les questions indéterminées du second degré, M. Colebrooke nous apprend qu’un problème de Bbascnra est résolu par cet indien , par un procédé qui est le même que Brounckcr a trouvé pour résoudre une question que Fermât avait proposée, par forme de défi, à Wallis, en 1657. Ce problème se trouve, avec la solution de Brounckcr et celle de'Wallis , au tome II désœuvrés de ce dernier, page 768. On peut y voir ce que pense Wallis de ces sortes de défis , où le proposant a saisi tout scs avantages; et en général de ces sortes de questions qui ne sont que les jeux d’un esprit méditatif qui abuse de son teins et de ses moyens.

« Étant donné un nombre entier quelconque non carré , on peut trouver un nombre infini de carrés, qui, nmltipliés par ce nombre, et le produit étant augmenté de l’unité , donnent autant de carrés. »

Soit n le nombre donné , on aura

nxx + 1 =yy.

Soient par exemple

n — 5, x — 1 , nXx -f- 1 = 3 4- 1 =4 = 2*, n 3= 3,' * = 4, TUMt-f- 1 =3.16 + 1 =4g==7*.

Solution.

4*'» . jr*n-f (g*— ny -f j*— aj’n-fn* x* + a r»n 4. >

JJ (x*— n),-r (x“ — n)* (x* — n)' (x*— n)*

n étant donné, on peut prendre pour x un nombre entier quelconque.

Le problème est certainement curieux. Je remercie M. Colebrooke de nous avoir appris qu’il a été connu des Indiens; mais que fait ce problème à l’Astronomie? La quadrature de la parabole par Archimède, n’empêche pas que l’Astronomie ne fut alors au berceau chez les Grecs. Voyons quelle conséquence l’anonyme pourra déduire de cette formule.

» C’est un fait, dit-il, qui ne peut être contesté, et qu’on ne peut trop fortement recommander à l’attention des mathématiciens, qui ne

xxviij DISCOURS

voient rien d’origînal ni de recommandable dans la science de l’Orient. »

Je n’ai jamais prétendu nier celte science ni son originalité ; j’en ai seulement demandé des preuves. En voilà pour l’analyse indéterminée au VII* siècle. Qu'on m'en fournisse de pareilles pour l’Astronomie au lems d’Aristarquc, d’Apollonius , et j’admettrai que les Indiens ont en effet possédé une Astronomie qui leur appartenait. •

« La solution de Bhascara n’est pas générale , I/agrange l’a prouvé en 1767. Euler n’a pu écarter tontes les restrictions. Brahma Gupta a donné une règle tout-à-fiiit sans exception; M.Colebrooke la regarde comme telle.»

L’anonyme 11’a pas eu le loisir de s’en assurer. Je n’ai aucune connaissance de la règle de Brahma Gupta , mais j’admots tout. Qu’en résultera-t-il pour l’Astronomie des Indiens? Supposons que dans une branche particulière do l’Algèbre, les Indiens aient été plus loin que nos géomètres, il ne s’ensuivra nullement que leurs astronomes aient surpassé ou devancé ceux de la Grèce. Je crois avoir démontré que la Trigonométrie est une invention d’Hipparque. Si l’on voulait me prouver que cette invention est plus ancienne, serait-on reçu à en donner la preuve que voici? Archimède a trouvé la quadrature de la parabole, la surface du cercle, celle de la sphère et son volume, la théorie des sphéroïdes , des conoïdes, des hélices, etc.; ces inventions étaient bien plus difficiles que celle de la Trigonométrie; donc, à plus forte raison Archimède, auteur de ces connaissances profondes, possédait la Trigonométrie. Je répondrais : elles sont plus difficiles, elles exigeaient plus de génie, je le veux bien; mais, quoique moins utiles, Archimède s’en est occupé de préférence; il n’a pas songé à la Trigonométrie, dont il n’a senti le besoin que très rarement, et dont il n’avait aucune idée, Ilipparque , qui ne pouvait s’en passer , en a fait l’objet de scs méditations ; il a complètement résolu ce problème important : Quand de deux théories , la plus difficile suppose la plus aisée , on ne peut s’empêcher de croire que Jn plus facile soit aussi la plus ancienne. Mais dans des sujets indépendant l’un de l’autre, on peut arriver à une découverte difficile sans avoir connu la plus aisée, qui ne sc trouvait pas sur le même chemin. Il en est de même de l’Algèbre indienne. Elle s’occupe principalement de questions numériques sur lesquelles l’Algèbre proprement dite n’a que fort peu de prise. La difficulté principale est de les mettre ,cn équation; c’est ce qu’a remarqué M. Lagrange, quand il s’est occupé d'analyse indéterminée, et des théorèmes de Fermât. Quand nos géo-

PRÉLIMINAIRE. xxîx

mètres envisagent une de ces questions , ils cherchent « la ramener à l’espèce d’analyse qui leur est familière. L’indien , qui n’a dans ce genre que les notions les plus élémentaires, et n’a nullement l’habitude de combiner des équations, prend une route très différente ; il calcule moins et raisonne autrement; comme Fermât, Il donne des règles et des résultats , sans nous indiquer la route qu’il a suivie. Cette route a pu cire longue, tortueuse; pour nous la faire bien connaître, il faudrait des explications longoes et difficiles à rendre claires. II se met à son aise en supprimant toute démonstration. N’ayant aucune notion des théories indiennes, nous sommes portés à les croire plus savantes, plus sures et plus générales qu’elles ne l’étaient sans doute. Ces questions numériques , qui souvent n’ont aucun but , aucune utilité réelle , pouvaient, par leur singularité, piquer l'analyste indien, qui avait de la patience et du tems , au lieu que nos grands géomètres n’y ont donné qu’une attention passagère , ou bien , s’ils en ont fait l’objet d’une longue méditation , leur but a cto non d'enseigner à résoudre des questions oiseuses , mais de reculer les bornes de l’analyse: ils n’attachent d’importance qu’à la doctrine , aux démonstrations ; le problème en lui-même n’a d’autre mérite à leurs yeux que celui d’avoir fourni l’occasion de savantes recherches et de découvertes difficiles. L’indien indolent redoute le travail des observations, il n’a aueun intérêt à imaginer des hypothèses propres à représenter des mouvemens qu’il n’a pas exactement mesurés. L’Astronomie mathématique sera venue tard dans l’Inde ; elle n’y aura fait que peu de progrès ; elle se sera aidée des théories étrangères qu’elle aura défigurées au lieu de les perfectionner ; les progrès de cette espèce d’Atgèbrc ont pu 4tre plus marqués, plus rapides que ceux de l’Astronomie; enfin, vous prouve* l’ existence de l’Algèbre indienne, par des monumens antérieurs aux écrits des Arabes; prouvez de même, par des monumens existons, que I Astronomie indienne est plus ancienne que celle des Arabes. Pour plus ancienne que celle des Grecs , je crois la chose impossible; mais je suis loin de rien affirmer.

* La règle de Brama Gupta n’est précédée d’aucun raisonnement, en sorte que nous ignorons si la découverte est le résultat d’une analyse régulière, ou si elle a été trouvée par induction. Nous penchons pour ce dernier sentiment, quoiqu’il ne soit passons quelque difficulté. »

En attendant qu’on nous expose cette analyse régulière , d’après un ouvrage indien de cette date, nous adopterons provisoirement l’opinion pour laquelle penche l’anonyme. En effet, n’est-il pas très possible qu’un