Chapitre XLIII. Déterminer le degré qui culmine avec une étoile
Si l'étoile n’a pas de latitude, elle culmine avec le point quelle occupe dans l’écliptique; quelle que soit sa latitude, si elle a 90° ou 370* de longitude, elle culmine avec l’un ou l’autre de ces points. Dans tout autre cas, 1 etoile ne culmine pas avec le point auquel elle correspond sur l ccliptique; et pour déterminer le point culminant, il faut d’abord passer par l’ascension droite. Soit A la latitude de l’étoile. A' celle du point de l’équateur qui a la même longitude que 1 etoile; nous aurions (fig. 45)
tang AB = tang (A A') cos B = tang (A ■+■ A') sin a cos L, tang TB = ’ijjli et TA = (TB — AB).
I.es Arabes connaissaient tous ces moyens, ou du moins ik en avaient l’équivalent; mais le défaut de tangentes les rendait fort incommodes.
Ebn Jounis lait
cos L cos A = cos TC, -ï^g=sinCT#, CTA = » + CT*, sin D = sin TC sin (»+Ct«),
et enfin
«in V A — ci»» rr^r;- »in T C cos (. 4- CT«) CM awel coMnhiraf
cos D cos D — *
il nomme awel le complément de l’hypoténuse TC, et inhiraf, l’angle CrA; inhiraf parait indiquer toujours un angle ou une inclinaison. Deuxième méthode. Quand vous avez calculé D comme ci-dessus,
vous pouvez faire cos Al = — > et cette méthode n’aurait pas
l’ambiguité du sinus; mais Ebn Jounis ne pouvait sentir cet avantage, et dans l’une comme dans l’autre méthode , il détaille tous les cas qui peuvent se rencontrer dans la pratique. iNotre méthode par les tangentes serait plus simple et plus expéditive, et n’aurait aucune incertitude.
Pour entendre la troisième méthode de l’auteur, reprenons notre formule
tang AB = tang (A A') sin a cos L
sin fx -f-x')sin *.iin (qo*— L) cos (a -f a#)
Cherchez la déclinaison D' donl le sinus D'= sin «sin (90* — L), et mettez pour cos(A-j-A') la valeur cosAC cosAB; vous aurez
sin (A + a') sin D'
. »in(*+*')»mD' »in (Ca + aB)jiniy
et sm AB= — jj = C03 AC •
Les Tables de l’écliptique vous donneront la longitude fictive TB qui répond à la longitude Ta, prise pour une ascension droite; elles vous donneront en même tems la déclinaison «B de ce point. Vous aurez («BH-aC)=(A + A'); vous avez D', vous avez la déclinaison D par ce qui précède; vous aurez donc AB et TA=(TB — AB), d’où la longitude TR du point culminant.
Mais, en cet endroit, le texte parait altéré, car l'auteur fait
ou tanga>sinL' = sin A' ; il ferait donc un sinus de ce qui est une tangente, ce qui pourrait être corrigé par la suite du calcul; mais il
donne aussitôt sin AB = ce qui n’a pas de sens; je lis
«in (Ca 4" nB) «in D' «in (Ca + oB) «in « cos L ., a.
— ! ^ i , et i eflace cos a qu. est au
cos I) cos D ’ 1 *
dénominateur; alors sin «cosL=sin A' sera le sinus de ma déclinaison D'.
Chapitre XL1V. Trouver le point de l’écliptique qui se lève ou se couche avec une étoile donnée. Ce problème a été résolu pour la première fois par Hipparque, dont la solution ne laissait à désirer qu’un peu plus de facilité et de brièveté.
Si l’étoile a une latitude , Ebn Jounis prescrit de chercher d’abord l’ascension droite du degré qui passe au méridien avec elle, parle problème précédent. Ajoutez 90% vous aurez le point de l’équateur à l’horizon pour le moment où l’étoile est au méridien. De cette ascension droite, retranchez l’arc semi-diurne, le reste sera l’ascension droite du point de l’écliptique qui se lève avec l’étoile ; avec cette ascension droite , vous aurez le point de l’écliptique.
Pour abréger ces opérations, à l’ascension droite du point qui médic avec l’étoile, il ajoute ou retranche la différence ascensionnelle, ce qui lui donne l’ascension oblique qui lui fait trouver dans les tables le point cherché de l’écliptique.
Pour connaître le point de l’écliptique qui se couche avec l’étoile, à l’ascension droite du point de l’équateurqui se lève avec elle, ajoutez l’arc diurne de l’étoile, la somme sera l’ascension droite du nadhir (ou point opposé) du point de coucher. Avec ce nadhir, cherchez, la table, le point de lccliplique qui se lève ; prenez-en le nadhir ( c’est-à-dire ajoutez 180*}, vous aurez le point qui sc couche.
EBN JOÜNIS.
Cette méthode était déjà fort ancienne ; en voici nne autre :
Soit vfV le point de l'équateur qui passe au méridien avec l’étoile ;
A l'arc semi- diurne de l'étoile :
A sera le degré qui culminera au moment du lever de l’étoile;
yïV'-l-go0 le point qui se lèvera avec l’étoile, alors la Table des ascensions obliques vous donnera le point de l’écliptique;
AR'+A— Al'" sera le point qui médie au coucher de l’étoile;
Al"' -J- qo* sera le point de l'équateur qui se trouve à l’horizon au même moment.
Avec ce dernier point, la Table des ascensions obliques du lieu vous donnera le point de l’écliptique qui se lève; vous y ajouterez 180” pour avoir le point qui se couche avec l’étoile.
Ces tables et celte doctrine sont en entier des inventions d’Hipparque.'
Le chapitre XLV manque; il parait une suite du précédent, puisqu'il traite du lever des étoiles, pour savoir si elles se lèvent de jour ou de nuit. A tout ce qu'on vient de lire il suffit d’ajouter la connaissance du lieu du Soleil pour l'instent du calcul.
Chapitre XLVI. Déterminer l’ascendant par la hauteur d’une étoile fixe. Nous avons vu , dans les chapitres précédens, comment les Arabes calculent l’angle horaire de l’étoile et le dayer ( ou la partie écoulée du jour), par la hauteur de l’étoile; on connaîtra donc l’ascension droite du milieu du ciel et le point ascendant de l’écliptique. Hipparque avait résolu ce problème, mais les Arabes en ont abrégé le calcul par leurs nouvelles règles trigonométriques et par l’usage qu’ils ont fait du théorème fondamental de notre Trigonométrie moderne.
Deuxième méthode. Délerminez.d’abord le dayer, ajoulez-lc à l’ascension oblique du nadhir du Soleil daus le lieu donné, vous aurez l'ascension oblique de l’ascendant, et, avec cette ascension, les Tables vous donneront l’ascendant.
Aujourd'hui la hauteur nous donne l’angle horaire; en le comparant à l’ascension droite de l’étoile, on aurait celle du milieu du ciel, d’où l’on conclurait aussitôt l’ascendant par une seule règle. L’embarras , pour les Grecs et les Arabes, était de réduire le problème en tables pour le mettre à la portée des astrologues. Aujourd’hui que nos tangentes cl nos logarithmes ont simplifié le calcul, il est devenu totalement inutile, puisque heureusement il n’y a plus d’astrologues; mais on peut se consoler de ce qu’ils ont été autrefois en si grand nombre. Saus eus
i4 6 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
l'Astronomie serait née beaucoup plus tard, puisqu'il parait constant que les premiers astronomes n'ont guère été que des astrologues, et qu'ils oui fourni des matériaux précieux à Hipparque.
Chapitre XLVII. Déterminer le dayer d’une étoile d’après la hauteur, et réciproqncment.
Ce chapitre ne contient que des applications et des exemples numériques des règles données ci-dessus au chapitre XL1I. L’auteur continue de se servir d’Al Tliaïr, qui lui a fourni ses exemples précédens.
Chapitre XLVIII. Calculer la longitude d'une étoile d’après sa latitude et sa déclinaison.
L'équation moderne serait sin D=sin a cos A sin L -f- cos u sia A ,
cos A sin L ,
sin D — sin A ens •»
sin m «os A
d'où
— sin A cot a> =
«in D
— sin A enta
et
= sin L :
L’auteur fait
sinl' =
îmï) sin a’
sin 1" = sin A cot u , et
sin L =
sin Y :fc sin I*'| cos A '
nouvelle preuve de l’emploi très fréquent du théorème fondamental de la T rigonométrie moderne.
11 explique tous les caseu détail, ce qui lui est d’autant pins nécessaire, que sin L trouvé par ses moyens, peut appartenir aux quatre quarts différens du cercle; mais on voit que, malgré toutes ses règles, sinL peut appartenir à un arc de plus on de moins de 90°; H ajoute donc que l’on connaîtra la longitude, si l’on sait d’avance eu quel quart elle se trouve; mais avec notre règle des signes , il suflil de savoir eu rpièile moitié elle se trouve.
La seconde méthode, qui est la meme au fond, se présente sous une forme plus extraordinaire.
L’auteur fait siu 1' = sin (c* rp D) , et sin Y'=z cos (a> cpD) ; puis
Q = (sin I' -(- sin A) cot u = [sin (» D) -f- sin A] cot et = (sin a cos D cos a* sin D -f- sin A) cot et — cos u cos D =p cos et cot « sin D-f- sia A cot et)
ensuite
