Chapitre LYI. Déterminer la distance de la Lune au centre de la Terre

Soit

Q'=esina(<C — O), Q*=ecosi(C — O),

c= io'i9',/==49' (/* — Q") ‘ = (f + Q') (f—Q'ÿ »

V' = R -f- Q" = distance cherchée.

11 remarque que Q' devient négatif avec cosinus a((C — O); ce calcul est pareil à celui qu’il a fait pour le Soleil, à la réserve du signe de Q on voit qu'il connaissait la formule générale A’ — B'=(A-f-B)(A — B). Les valeurs io' 19' et 4ÿ4l> sont celles de Ptolémée.

V' est la distance du centre de l’épicycle au centre de la Terre. Pour avoir la distance des centres de la Lune et de la Terre, il suit un procédé tout semblable. />' est le rayon de l’épicycle =ÿi' 14" a3'";

Q * = /' sin anom. corrigée, Q''=/' cos anom. corr.,

Q1’ devient négatif avec le cosinus; V" sera la distance des centres de la Lune et de la Terre; V" la distance évaluée en demi-diamètres de la Terre.

Il ajoute que cette distance est celle qui sert à calculer les parallaxes ; il suit en cela l’exemple de Ptolémée, qui prend 5g pour distance moyenne. Nous voyons au reste qu'Ebn Jounis ne fait d’ailleurs aucun change»

EBN JOUNIS. i5j

ment à la théorie de Ptolcméc, d'où il résulte que ses parallaxes cl ses diamètres apparcns auront l'inexactitude que Copernic a reconnue le premier.

Seconde méthode pour le centre de l'épicycle.

Faites sinK' = ^, et K = />cosK'; alors V'=K-f-Q"; Q" cLange

de signe avec le cosinus; voyez nos formules, tome 11, p. ig y. '

Dans ce calcul, on voit encore un nombre de i > chiffres écrit en caracr tères indiens; et comme probablement on était alors peu familiarisé avec cette Arithmétique, Ebu Jounis prend le soin de nommer successivement tous les chiffres qui composent ce grand nombre, en commençant par les unités.

Troisième méthode, dite de V ombre sexagésimale (c’est-à-dire de la tangente.)

Faites Q* = V' + Q” et 5. =lang h. Cherchez l’arc h dans la Table des ombres sexagésimales ; alors v"=;?i«v=v"(|).

= Qm&éch=-l~:

Nous ne ferions pas autrement aujourd'hui. Voilà donc un arc subsidiaire trouvé* par sa tangente, et un binôme converti en une sécante, et puis en un cosinus. C'est le premier exemple que je trouve d’un artifice de calcul si curieux. Voyez cependant pag. m, 114 et 12G, des formules auxquelles il n’a pu arriver que par ce même moyen.

L 'auteur expose ensuite la construction et l'usage des tables qu’il a calculées pour faciliter ces diverses opérations. La première est celle do 10' 19' sin argument, qui donne également 10' 19' cos argument.

La seconde a pour formule 49,41,5‘QarSument'

Nous avons eu ci-dessus

R=(f* — Q'‘y—f (1— ^r‘)T =/(i— sin‘<p)î=/cos<p=/sin(9o— <p) ,

Y = sin$; d’où Q'=rf sin p = 49'4l,s'n P-

Cherchez, dans la table , à quel arc p répond la quantité Q', qui 11e peut jamais passer 10' 19'; prenez-en le complément (go* — ?), lequel vous servira à trouver dans la même table R = / sin (90 — p).

,5a " ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Cel artifice de calcul est tout au moins aussi adroit que le précédent. Je n’en connais aucun autre exemple ni ancien ni moderne. INulle part je n’ai vu une table servir à trouver la quantité qui doit ensuite lui servir d’argument.

La troisième table donne les valeurs />' sin argument et f' cos argum. , c’est-à-dire Q'" et Q”; après quoi

V,'s=[(V'+Q,,)*-fQ'",7 =Q' ■+-,]‘=Q''(i‘f-'*ng*4)T

= Q*séc4 = -^-r5

c'est ce qu’il a nommé ci-dessus méthode de f ombre sexagésimale.

Les méthodes suivantes ont été ajoutées dans le manuscrit ; elles sout d’une autre main, ce qui ne prouve pas quelles soient d’un auteur différent.

Quatrième méthode. Prenez l’équation de la Lune, que vous ajouterez ou retrancherez, suivant les cas, pour avoir le lieu vrai dans l’orbite inclinée.

Faites sin équation = sin I', et / sin G = sin I"; G est le mouvement propre égalé , c’est-à-dire l’anomalie vraie ; puis Y” = ‘4^-p.

Dans la théorie de Plolémée, l’équation du centre duc à l’épicycle est d’autant plus grande, que la distance V" est plus petite; en sorte qua V1' sin équation vraie = sin équal. moyenne ; d oit

gin équation moyenne ^

- ain équation vraie 9

telle est, autant que j’ai pu voir, cette méthode, dont je ne garantirais pas la parfaite exactitude.

Cinquième méthode. Soit A=a(C — Q),es= io> 19', / = 4ÿ 4,#»

sinE = , A =A — E ,

sin A'

.V' = — dist. des centres de l’excentrique et de la Terre,

E' = équation de la Lune , Q' = / cos E', Q” = / sin E'',

R — Cf* — Q'”)* > Y* = R + Q' , et V = (g)V";

ces deux méthodes n’ont rien de bien curieux; voje 2 nos formules, Jome II, p. 197.

EBN JOITNIS: ,53

Sixième rnt’lliocle pour les tems dus conjonctions et des oppositions.

Divisez le mouvement horaire vrai de la Lune par 3a'53"3t'"53'*, le quotient sera la distance cherchée; mais on nous prévient qu’elle ne sera pas d’une grande précision.

Septième méthode par les observations.

Soit p la parallaxe de hauteur , sin p = , et V'' =

' V ftin p

Chapitre LVIL Déterminer la hauteur d’un astre qui a une latitude, sans introduire la déclinaison de l’astre dans le calcul.

Soit H' la hauteur du pèle de l’écliptique, L la distance de l’astre au point orient ou couchant de l’écliptique ; faites

sin l' = sin L cos H', puis sin 1" = cos L cos H',

tin L cos H* sin L cos H/ ^ sin L cos H/

COS ( i — cosa L cos‘H')* (i — cos* H' *+- sin* L coa* H')*

. tin L cos H' sin L cot H' tang p

. (sin*ir-f-sin*Lcos*H/)î (i -f-sin8 L cot,H')ï (1+tang*^)î

= = ,ang ^ cos ^ = s*11 ( fig- 38)>

A est donc un angle auxiliaire. Le reste du chapitre manque, et l’on ne voit pas ce que l’auteur faisait de A. Mais sinLcotH'=tangp=tang latitude du point de l’horizon qui a même longitude que l'astre;...sin 1' =s sin L cos H' serait le sinus de la hauteur du point de l’écliptique qui a même longitude que l’astre. La latitude <p du point de l’horizon pourrait s’ajouter à la latitude de l’astre; (p -f- A) serait alors la somme des deux latitudes , en supposant que X est boréal.

L. angle que (<p -f- A) ferait avec l’horizon, se trouverait en faisant cos L cos H' = cos B, et l’on anrait sin/(=sin(,p-l-A)siuB; l’angle A de l’auteur serait donc notre p, 1" serait (go* — B).

Les préceptes que l’auteur donne pour former (prfcA), suivant les cas, nous portent à croire que nous avons rétabli ce qui manque à la solution.

Le chapitre LV11I manque. Le titre était: Trouver la différence azimutale entre l’ascendant et un astre qui a une latitude. Ce problème n’a rien de difficile.

Le chapitre LIX manque de même. 11 traitait du calcul de la conjonction et de l’opposition , matière qui ne promet rien de neuf.

, Chapitre LX. Parallaxe de hauteur du Soleil et de la Lune.

aQ

Il est doutent que ce chapitre soit d’Ebn Jounis, car il y est dit qne la parallaxe O est de a1 5i"; on n'y voit d’ailleurs que des formules vulgaires qui même y sont défigurées.

L’auteur nous dit qu’il a retranché la parallaxe de la hauteur calculée de la Lune, pour en conclure la hauteur apparente, qu’il a trouvée parfaitement conforme à l’observation qu'il en avait faite arec un instrument bien vérifié. Celle conformité n’était due sûrement qu’à un grand hasard, puisque ses parallaxes et scs demi-diamètres étaient le plus souvent d’uue giande inexactitude.

On trouve ensuite une multitude de règles de parallaxes qni n’apprennent

rien, qui ne pourraient servir que rarement, et seulement dans la zone

torride: nous n’en ferons aucune mention ; et enfin cette règle peu rigou-

» parallaxe, vilefie diurne de la Lime reuse, parallaxe cgalee= r ■— ta0g/ .

Les chapitres suivant manquent dans le manuscrit, depuis LXI jusqu’» LXXVI inclusivement; en voici les titres, suivant M. Caussin.